«Задачи, приводящие к понятию производной» - Определение производной. Основные формулы. Положение касательной. Задача о мгновенной величине тока. Мгновенная скорость. Предел отношения приращения функции. Задача о скорости химической реакции. Прямая, проходящая через точку. Начало отсчета. Приращение функции. Приращение аргумента. Момент времени.
««Производные» математика» - Математический анализ – это раздел математики. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716). Производная и её применение. Лейбниц мечтал об универсальном языке. Производная определяется для функции. Вторым основоположником математического анализа был И. Ньютон. Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Математический анализ появился более 300 лет назад.
«Решение задач на производную» - Решим ряд задач. Число точек экстремума. Найдите сумму абсцисс. Касательные к графику. Вспомним теоретический материал. Абсциссы. Применение производной в заданиях ЕГЭ. Выполним задания теста. Наибольшее значение. Функция. Применение производной. Касательные к графику наклонены под углом 45 градусов.
«Понятие производной функции» - Основные выводы. Производная. Интервал. Понятие производной функции. Исаак Ньютон. Радиус окрестности. Новое исчисление. Слагаемое. Повторение. Приращение функции в точке. С другой стороны. Парабола. Значение функции. Коэффициент А. Масштаб. Приращения. Конфигурация графика. Значение аргумента. Функции.
«Производная в ЕГЭ» - Геометрический смысл производной. Острый или тупой угол образует касательная к графику функции в точке х. Поставьте себе оценку за самостоятельные работы. Задания. Повторить и обобщить теоретические знания. Свойства. Количество точек касания. Определите градусную меру угла наклона касательной. Производная положительна.
«Исследование функции с помощью производной» - Исследование функций. Найдите точку максимума функции. Достаточные условие экстремума. Теорема. Правила дифференцирования. Задачи для самостоятельного решения на нахождение экстремума функции. Алгоритм нахождения точек экстремума. Точки минимума и максимума - точки экстремума. Неравенство. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.
Показать решениеРешение
Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.
Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}
Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.
Ответ
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решениеРешение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение
Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].
.png)
Решение
Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .
Решение
Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.
Показать решениеРешение
Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.
Получаем: x_0 = 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.