Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается полезным наряду изображением предметов в системе ортогональных проекций иметь более наглядные изображения. Для построения таких изображений применяются проекции, называемые аксонометрическими .
Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данный предмет вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта система относится в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость α (Рисунок 4.1).
Рисунок 4.1
Направление проецирования S определяет положение аксонометрических осей на плоскости проекций α , а также коэффициенты искажения по ним. При этом необходимо обеспечить наглядность изображения и возможность производить определения положений и размеров предмета.
В качестве примера на Рисунке 4.2 показано построение аксонометрической проекции точки А по ее ортогональным проекциям.
Рисунок 4.2
Здесь буквами k , m , n обозначены коэффициенты искажения по осям OX , OY и OZ соответственно. Если все три коэффициента равны между собой, то аксонометрическая проекция называется изометрической , если равны между собой только два коэффициента, то проекция называется диметрической , если же k≠m≠n , то проекция называется триметрической .
Если направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций α , то аксонометрическая проекция носит названия прямоугольной . В противном случае, аксонометрическая проекция называется косоугольной .
ГОСТ 2.317-2011 устанавливает следующие прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции:
- прямоугольные изометрические и диметрические;
- косоугольные фронтально изометрические, горизонтально изометрические и фронтально диметрические;
Ниже приводятся параметры только трех наиболее часто применяемых на практике аксонометрических проекций.
Каждая такая проекция определяется положением осей, коэффициентами искажения по ним, размерами и направлениями осей эллипсов, расположенных в плоскостях, параллельных координатным плоскостям. Для упрощения геометрических построений коэффициенты искажения по осям, как правило, округляются.
4.1. Прямоугольные проекции
4.1.1. Изометрическая проекция
Направление аксонометрических осей приведено на Рисунке 4.3.
Рисунок 4.3 – Аксонометрические оси в прямоугольной изометрической проекции
Действительные коэффициенты искажения по осям OX , OY и OZ равны 0,82 . Но с такими значениями коэффициентов искажения работать не удобно, поэтому, на практике, используются приведенные коэффициенты искажений . Эта проекция обычно выполняется без искажения, поэтому, приведенные коэффициенты искажений принимается k = m = n =1 . Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются в эллипсы, большая ось которых равна 1,22 , а малая – 0,71 диаметра образующей окружности D .
Большие оси эллипсов 1, 2 и 3 расположены под углом 90º к осям OY , OZ и OX , соответственно.
Пример выполнения изометрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.4.
Рисунок 4.4 – Изображение детали в прямоугольной изометрической проекции
4.1.2. Диметрическая проекция
Положение аксонометрических осей проводится на Рисунке 4.5.
Для построения угла, приблизительно равного 7º10´ , строится прямоугольный треугольник, катеты которого составляют одну и восемь единиц длины; для построения угла, приблизительно равного 41º25´ — катеты треугольника, соответственно, равны семи и восьми единицам длины.
Коэффициенты искажения по осям ОХ и OZ k=n=0,94 а по оси OY – m=0,47 . При округлении этих параметров принимается k=n=1 и m=0,5 . В этом случае размеры осей эллипсов будут: большая ось эллипса 1 равна 0,95D и эллипсов 2 и 3 – 0,35D (D – диаметр окружности). На Рисунке 4.5 большие оси эллипсов 1, 2 и 3 расположены под углом 90º к осям OY, OZ и OX, соответственно.
Пример прямоугольной диметрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.6.
Рисунок 4.5 – Аксонометрические оси в прямоугольной диметрической проекции
Рисунок 4.6 – Изображение детали в прямоугольной диметрической проекции
4.2 Косоугольные проекции
4.2.1 Фронтальная диметрическая проекция
Положение аксонометрических осей приведено на Рисунке 4.7. Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона к оси OY, равным 30 0 и 60 0 .
Коэффициент искажения по оси OY равен m=0,5 а по осям OX и OZ — k=n=1 .
Рисунок 4.7 – Аксонометрические оси в косоугольной фронтальной диметрической проекции
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на плоскость XOZ без искажения. Большие оси эллипсов 2 и 3 равны 1,07D , а малая ось – 0,33D (D — диаметр окружности). Большая ось эллипса 2 составляет с осью ОХ угол 7º 14´ , а большая ось эллипса 3 составляет такой же угол с осью OZ.
Пример аксонометрической проекции условной детали с вырезом приводится на Рисунке 4.8.
Как видно из рисунка, данная деталь располагается таким образом, чтобы её окружности проецировались на плоскость XОZ без искажения.
Рисунок 4.8 – Изображение детали в косоугольной фронтальной диметрической проекции
4.3 Построение эллипса
4.3.1 Построения эллипса по двум осям
На данных осях эллипса АВ и СD строятся как на диаметрах две концентрические окружности (Рисунок 4.9, а).
Одна из этих окружностей делится на несколько равных (или неравных) частей.
Через точки деления и центр эллипса проводятся радиусы, которые делят также вторую окружность. Затем через точки деления большой окружности проводятся прямые, параллельные линии АВ.
Точки пересечения соответствующих прямых и будут точками, принадлежащими эллипсу. На Рисунке 4.9, а показана лишь одна искомая точка 1.
а б в
Рисунок 4.9 – Построение эллипса по двум осям (а), по хордам (б)
4.3.2 Построение эллипса по хордам
Диаметр окружности АВ делится на несколько равных частей, на рисунке 4.9,б их 4. Через точки 1-3 проводятся хорды параллельно диаметру CD. В любой аксонометрической проекции (например, в косоугольной диметрической) изображаются эти же диаметры с учетом коэффициента искажения. Так на Рисунке 4.9,б А 1 В 1 =АВ и С 1 D 1 = 0,5CD . Диаметр А 1 В 1 делится на то же число равных частей, что и диаметр АВ, через полученные точки 1-3 проводятся отрезки, равные соответственным хордам, умноженным на коэффициент искажение (в нашем случае – 0,5).
4.4 Штриховка сечений
Линии штриховки сечений (разрезов) в аксонометрических проекциях наносятся параллельно одной из диагоналей квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям (Рисунок 4.10: а – штриховка в прямоугольной изометрии; б – штриховка в косоугольной фронтальной диметрии).
а б
Рисунок 4.10 – Примеры штриховки в аксонометрических проекциях
Косоугольная диметрическая проекция (фронтальная)
Если расположить координатные оси Х и Y параллельно плоскости П¢, то показатели искажения по этим осям станут равным единице (к = т =1). Показатель искажения по оси Y обычно принимают равным 0,5. Аксонометрические оси X " и Z" составят прямой угол, ось Y" обычно проводят как биссектрису этого угла. Ось Х может быть направлена как вправо от оси Z ", так и влево.
Предпочтительно пользоваться правой системой, так как удобнее изображать предметы в рассеченном виде. В этом виде аксонометрии хорошо чертить детали, имеющие форму цилиндра или конуса.
Для удобства изображения этой детали ось Y надо совместить с осью вращения поверхностей цилиндров. Тогда все окружности будут изображаться в натуральную величину, а длина каждой поверхности будет уменьшаться в два раза (рис.10.21).
Наклонные сечения.
При выполнении чертежей деталей машин приходится нередко применять наклонные сечения.
При решении таких задач необходимо прежде всего уяснить: как должна быть расположена секущая плоскость и какие поверхности участвуют в сечении для того, чтобы деталь читалась лучше. Рассмотрим примеры.
Дана четырехгранная пирамида, которая рассекается наклонной фронтально-проецирующей плоскостью А-А (рис.11.1). Сечением будет четырехугольник.
Сначала строим проекции его на П 1 и на П 2 . Фронтальная проекция совпадает с проекцией плоскости, а горизонтальную проекцию четырехугольника строим по принадлежности пирамиде.
Затем строим натуральную величину сечения. Для этого вводится дополнительная плоскость проекций П 4 , параллельная заданной секущей плоскости А-А , на нее проецируем четырехугольник, а затем совмещаем его с плоскостью чертежа.
Эта четвертая основная задача преобразования комплексного чертежа (модуль №4, стр.15 или задача №117 из рабочей тетради по начертательной геометрии).
Построения выполняются в следующей последовательности (рис.11.2):
1. 1.На свободном месте чертежа проводим осевую линию, параллельную плоскости А-А .
2. 2.Из точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью проводим проецирующие лучи, перпендикулярно секущей плоскости. Точки 1 и 3 будут лежать на линии, расположенной перпендикулярно осевой.
3. 3.Расстояние между точками 2 и 4 переносится с горизонтальной проекции.
4. Аналогично строится истинная величина сечения поверхности вращения - эллипс.
Расстояние между точками 1 и 5 -большая ось эллипса. Малую ось эллипса надо строить путем деления большой оси пополам (3-3 ).
Расстояние между точками 2-2, 3-3, 4-4 переносятся с горизонтальной проекции.
Рассмотрим более сложный пример, включающий многогранные поверхности и поверхности вращения (рис.11.3)
Задана четырехгранная призма. В ней расположены два отверстия: призматическое, расположенное горизонтально и цилиндрическое, ось которого совпадает с высотой призмы.
Секущая плоскость фронтально-проецирующая, поэтому фронтальная проекция сечения совпадает с проекцией этой плоскости.
Четырехугольная призма проецирующая к горизонтальной плоскости проекций, а значит и горизонтальная проекция сечения тоже есть на чертеже, она совпадает с горизонтальной проекцией призмы.
Натуральная величина сечения, в которое попадают обе призмы и цилиндр, строим на плоскости, параллельной секущей плоскости А-А (рис.11.3).
Последовательность выполнения наклонного сечения:
1. Проводится ось сечения, параллельно секущей плоскости, на свободном поле чертежа.
2. Строится сечение наружной призмы: длина его переносится с фронтальной проекции, а расстояние между точками с горизонтальной.
Для трёхмерных объектов и панорам.
Ограничения аксонометрической проекции
Изометрическая проекция в компьютерных играх и пиксельной графике
Рисунок телевизора в почти-изометрической пиксельной графике. У пиксельного узора видна пропорция 2:1
Примечания
- По ГОСТ 2 .317-69 - Единая система конструкторской документации. Аксонометрические проекции.
- Здесь горизонтальной называется плоскость, перпендикулярная оси Z (которая является прообразом оси Z").
- Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR) : журнал. - ACM , декабрь 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300 . - DOI :10.1145/356744.356750
- Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.) . GameSpot (29 февраля 2000).(недоступная ссылка - история ) Проверено 29 сентября 2008.
- Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.) . IGN (9 сентября 2003). Архивировано
- GDC 2004: The History of Zelda (англ.) . IGN (25 марта 2004). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 29 сентября 2008.
- Dave Greely, Ben Sawyer.
В противоположность ортографическим и аксонометрическим проекциям, для которых проекторы перпендикулярны плоскости проекции, косоугольная проекция формируется параллельными проекторами с центром, лежащим в бесконечности, и расположенными под косым углом к плоскости проекции. Общая схема проекции изображена на рис. 3-20.
Косоугольные проекции показывают общую трехмерную форму объекта. Однако истинные размер и форма изображаются только для граней объекта, распложенных параллельно плоскости проекции, т.е. углы и длины сохраняются только для таких граней. В самом деле, косоугольная проекция этих граней эквивалентна ортографическому виду спереди. Грани, не параллельные плоскости проекции, подвергаются искажению.
Особый интерес представляют две косоугольные проекции - кавалье и кабине. Проекция кавалье получается, когда угол между проекторами и плоскостью проекции составляет . В этой проекции коэффициенты искажения для всех трех главных направлений одинаковы. Результат этой проекции выглядит неестественно утолщенным. Для «коррекции» этого недостатка используется проекция кабине.
Проекцией кабине называется такая косоугольная проекция, у которой коэффициент искажения для ребер, перпендикулярных плоскости проекции, равен 1/2. Как будет показано ниже, для проекции кабине угол между проекторами и плоскостью проекции составляет .
Рис. 3-20 Косоугольная проекция.
Рис. 3-21 Построение косоугольной проекции.
Чтобы построить матрицу преобразования для косоугольной проекции, рассмотрим единичный вектор вдоль оси , показанный на рис. 3-21. Для ортографической или аксонометрической проекции на плоскость вектор задает направление проекции. При косоугольной проекции проекторы составляют угол с плоскостью проекции. На рис. 3-21 показаны типичные косоугольные проекторы и . Проекторы и образуют угол с плоскостью проекции . Заметим, что все возможные проекторы, проходящие через точку или и образующие угол с плоскостью , лежат на поверхности конуса с вершиной в или . Таким образом, для заданного угла существует бесконечное количество косоугольных проекций.
Проектор можно получить из с помощью переноса на точки в точку . В двумерной плоскости, проходящей через перпендикулярно оси , -матрица преобразования равна
.
В трехмерном пространстве это двумерное преобразование эквивалентно сдвигу вектора в направлениях и . Для этого необходимо преобразование
.
Проецирование на плоскость дает
.
Из рис. 3-21 получаем, что
где - длина спроецированного единичного вектора на оси , т.е. коэффициент искажения, а - угол между горизонталью и спроецированной осью . Из рис. 3-21 также ясно, что - угол между косыми проекторами и плоскостью проекции равен
Таким образом, преобразование для косоугольной проекции имеет вид:
. (3-44)
При , получаем ортографическую проекцию. Если , то не подвергаются искажению ребра, перпендикулярные плоскости проекции. А это является условием проекции кавалье. Из равенства (3-43) имеем:
.
Заметим, что в проекции кавалье является все еще свободным параметром. На рис. 3-22 показаны проекции кавалье для некоторых значений . Наиболее часто используются значения , равные и . Также применяется значение .
Проекцию кабине можно получить при коэффициенте искажения . Отсюда
В этом случае снова угол является переменной величиной, как это показано на рис. 3.23. Наиболее часто встречаются значения и , применяется также значение .
Рис. 3-22 Проекции кавалье. Сверху вниз угол изменяется от до с интервалом , угол .
Рис. 3-23 Проекции кабине. Сверху вниз угол изменяется от до с интервалом , коэффициент искажения .
Рис. 3-24 Косоугольные проекции. Слева направо при .
Рис. 3-25 Искажение, возникающее в косоугольных проекциях, , . (а) Круглая грань параллельна плоскости проекции; (b) круглая грань перпендикулярна плоскости проекции; (с) длинная сторона перпендикулярна плоскости проекции; (d) длинная сторона параллельна плоскости проекции.
На рис. 3-24 изображены косоугольные проекции для коэффициентов искажения с углом .
Поскольку изображается истинная форма одной грани, косоугольные проекции особенно подходят для иллюстрации объектов с круглыми или иными искривленными гранями. Такие грани должны быть параллельны плоскости проекции, чтобы избежать нежелательных искажений. Так же, как и в случае параллельных проекций, объекты с одним измерением, существенно превосходящим другие, подвергаются значительному искажению, если только это измерение не параллельно плоскости проекции. Такие эффекты показаны на рис. 3-25.