Значението на уравненията на Максуел
Уравнения на Дж. Максуелсъздават основата за предложената от него теория за електромагнитните явления, която обяснява всички емпирични факти, известни по това време, и предсказва някои ефекти. Основният извод от теорията на Максуел е съществуването на електромагнитни вълни, които се разпространяват със скоростта на светлината.
Коментирайте
Уравненията, предложени от Максуел, играят роля в електромагнетизма, подобна на ролята на законите на Нютон в класическата механика. Те бяха обобщение на експериментални закони и продължение на идеите на учени (Кулон, Ампер, Фарадей и др.), които изучаваха електромагнетизма преди Максуел.
Бележка 1
Самият Максуел предлага двадесет уравнения в диференциална форма с двадесет неизвестни величини. В съвременния й вид имаме системата от уравнения на Максуел благодарение на немския физик Г. Херци англичанина О. Хевисайд. С помощта на тези уравнения могат да се опишат всички електромагнитни явления.
Система от уравнения на Максуел
Определение 1
Системата от уравнения на Максуел се състои от:
\ \ \ \
Изразите (1)-(4) се наричат полеви уравнения, те са приложими за описание на всички макроскопични електромагнитни явления. Понякога уравненията на системата на Максуел се групират в двойки, като първата двойка се състои от второто и третото уравнения, втората двойка от първото и четвъртото уравнения. В този случай те казват, че първата двойка уравнения включва само основните характеристики на полето ($\overrightarrow(E)\ и\\overrightarrow(B)$), а втората двойка включва спомагателни ($\overrightarrow( D)\ и\\стрелка надясно (H)$).
Всяко от векторните уравнения (1) и (2) е еквивалентно на три скаларни уравнения. Тези уравнения свързват компонентите на векторите, които са от лявата и дясната страна на изразите. Така в скаларна форма уравнение (1) е представено като:
В скаларна форма записваме уравнение (2) като:
Третото уравнение от системата Максуел в скаларна форма:
Четвъртото уравнение в скаларна форма ще приеме следната форма:
За да се разгледа конкретна ситуация, системата от уравнения (1)-(4) се допълва със следните материални уравнения, които отчитат електромагнитните свойства на средата:
Бележка 2
Трябва да се отбележи, че има редица явления, при които материалните уравнения са значително различни от уравненията (5), например, когато говорим за нелинейни явления. В такива случаи получаването на материални уравнения представлява отделна научна задача.
Физически смисъл на уравненията на Максуел
Уравнение (1) на системата показва, че двата възможни източника на магнитното поле са токове на проводимост ($\overrightarrow(j)$) и токове на изместване ($\frac(\partial \overrightarrow(D))(\partial t) $).
Уравнение (2) е законът за електромагнитната индукция и отразява факта, че променливото магнитно поле е един от източниците на възникване на електрическо поле.
Следващият източник на електрическо поле са електрическите заряди, което се отразява от уравнение (4), което всъщност е законът на Кулон.
Уравнение (3) означава, че линиите на магнитната индукция нямат източници (или са затворени, или отиват в безкрайност), което води до заключението, че няма магнитни заряди, които да създават магнитно поле.
Материалните уравнения (5) са връзки между векторите на полето и токовете. Диелектричните свойства на средата се съдържат в диелектричната константа ($\varepsilon $). Магнитните свойства, които намагнитването описва, се вземат предвид в магнитната проницаемост ($\mu $). Проводимите свойства на средата са концентрирани в специфичната проводимост ($\sigma$).
Уравненията на полето са линейни и отчитат принципа на суперпозицията.
Граници на приложимост на уравненията на Максуел
Системата от уравнения на Максуел е ограничена от следните условия:
Материалните тела трябва да са неподвижни в полето.
Константите $\varepsilon ,\ \mu ,\sigma $ могат да зависят от координатите, но не трябва да зависят от времето и векторите на полето.
В полето не трябва да има постоянни магнити или феромагнитни тела.
Ако има нужда да се вземе предвид движението на средата, тогава уравненията на системата на Максуел се оставят непроменени и движението се взема предвид в материалните уравнения, които стават зависими от скоростта на средата и стават значително по-сложно. Освен всичко друго, материалните уравнения престават да бъдат отношения между двойки величини, както в (5). Например плътността на проводимия ток става зависима от индукцията на магнитното поле, а не само от силата на електрическото поле.
Бележка 3
Магнитното поле на постоянните магнити, например, може да се опише с помощта на системата на Максуел, ако намагнитването е известно. Но ако са дадени токове, тогава в присъствието на феромагнетици няма да е възможно да се опише полето с тези уравнения.
Пример 1
Упражнение:Докажете, че законът за запазване на заряда следва от уравненията на Максуел.
Решение:
Като основа за решаване на задачата използваме уравнението от системата на Максуел:
Нека извършим операцията на дивергенция от двете страни на израз (1.1):
За израз (1.2), в съответствие с теоремата, че дивергенцията на ротора е равна на нула, имаме:
Следователно получаваме:
Нека разгледаме втория член от дясната страна. Можем да променим реда на диференциация, тъй като времето и пространствените координати са независими, тоест напишете:
В съответствие със системата на Максуел знаем, че източниците на електрически полета са заряди или:
Което ни позволява да напишем уравнение (1.4) във формата:
Какво ни дава законът за запазване на заряда, който се записва като:
Това уравнение се нарича уравнение за непрекъснатост на тока; то съдържа закона за запазване на заряда, който е съвсем очевиден, ако изразът (1.8) се запише в интегрална форма:
\[\oint\limits_S(\overrightarrow(j))d\overrightarrow(S)=-\frac(\partial )(\partial t)\int(\rho dV)(1.9).\]
тогава, ако зоните са затворени и изолирани, получаваме:
\[\oint\limits_S(\overrightarrow(j))d\overrightarrow(S)=0\to \int(\rho dV)=const.\]
Това, което трябваше да се докаже.
Пример 2
Упражнение:Покажете, че уравненията $rot\overrightarrow(E)=-\frac(\partial \overrightarrow(B))(\partial t)$ и $div\overrightarrow(B)=0$, включени в системата на Максуел, не си противоречат друго
Решение:
Нека вземем следното уравнение като основа за решението:
Нека вземем разликата от двете страни на уравнението:
В съответствие с теоремата, че дивергенцията на ротора е равна на нула, имаме:
Съответно получаваме това
Изразът $div\overrightarrow(B)=const$ не противоречи на факта, че $div\overrightarrow(B)=0$.
Установихме, че уравненията $rot\overrightarrow(E)=-\frac(\partial \overrightarrow(B))(\partial t)$ и $div\overrightarrow(B)=0$ са последователни, което трябваше да бъде показано.
Извикват се четирите уравнения, съответстващи на нашите (модифицирани) твърдения Уравнения на Максуел в интегрална форма.
Нека ги напишем всички един до друг отново:
За да се получат уравненията на Максуел в среда, е необходимо да се направи следното заместване:
т.е. посочете връзката (така наречените „материални“ уравнения) между напрежения и индукции: и допълнете системата с уравнението на закона на Ом
Имайте предвид, че най-простите отношения, дадени по-горе, не винаги могат да бъдат използвани. Ситуацията е значително по-сложна при наличието на такива вещества като фероелектрици, пиезоелектрици, феромагнетици, анизотропни вещества и други подобни. Тук нашата цел е да покажем как се формира пълна система от уравнения, позволяваща (като се вземат предвид началните и граничните условия, разбира се) да се изчисли електромагнитното поле.
От уравнения в интегрална форма, използвайки теореми за векторен анализ, може да се премине към уравнения в диференциална форма, свързващи стойностите на полетата и техните пространствени и времеви производни със стойностите на заряда и плътността на тока. Няма да използваме тези уравнения, но все пак ще ги представим поне като част от шега, публикувана в едно от списанията по време на годишнината на Максуел:
„И Бог каза:
И стана светлина."
Объркващи икони див(чете се " разминаване") И гниене(чете се " ротор") са специални операции за диференциране, извършвани върху векторни полета. Дивергенцията е латински за „разминаване“. Тази операция описва конфигурацията на силови линии тип "таралеж", отклоняващи се от точки, където има електрически заряди. Думата "ротор" не се нуждае от превод; тя е ясно свързана с въртене. Тази операция описва вихрови полета (пръстенообразни - затворени силови линии) около техните източници - течения или други полета, които се променят с времето.
Четири интегрални уравнения и четири диференциални уравнения са еквивалентни. Максуел показа, че всички явления на електромагнетизма могат да бъдат напълно описани с тези четири уравнения, които са обобщение на експериментални факти.
Вицът по-горе спомена светлина. Всъщност светлината е електромагнитно излъчване с определен честотен диапазон. Предсказанието на електромагнитните вълни е едно от най-големите постижения на теорията на Максуел. Да си представим, че няма заряди и токове. Нека да разгледаме уравненията на Максуел в диференциална форма. Вижда се, че ако полетата не са статични, а зависят от времето, тогава има вихрови електрически и магнитни полета (съответните ротори са ненулеви). Разпространението на полета без заряди и токове е електромагнитни вълни. И можете да видите в уравненията намек за скоростта на тяхното разпространение: тя включва комбинацията e 0 m 0, чрез която може да се изрази скоростта на светлината във вакуум(виж (6.3))
Но повече за това по-късно, в следващата част от нашия курс.
В заключение на тази част нека цитираме думите на Г. Херц за уравненията на Максуел:
„Трудно е да избягаме от усещането, че тези математически формули имат независим живот и собствена интелигентност, че са по-мъдри от нас самите, по-мъдри дори от своите откриватели, и че извличаме повече от тях, отколкото първоначално е било вложено в тях .”
Пример за използване на уравненията на Максуел
Определете големината на магнитното поле в празнината на кондензатора като функция на разстоянието r от оста на симетрия (фиг. 9.13)
|
|
Ориз. 9.13. Кондензатор с кръгла пластина по време на зареждане
Решение
Нека напишем уравнение (9.13) за контура, показан на фиг. 9.3 с пунктирана линия. Интегрирайки, получаваме
Очевидно магнитното поле не е нула само поради наличието на електрическо поле, което се променя с времето. От своя страна, промяната в електрическото поле се дължи на увеличаване на заряда на кондензаторните пластини. Ние получаваме тази връзка от отношенията
Най-накрая намираме
Теорията на Максуел се основава на четирите уравнения, обсъдени по-горе:
1. Електрическото поле може да бъде потенциално ( дQ), и вихър ( дб), следователно общата сила на полето д=дQ +дб. Тъй като циркулацията на вектора дQе равно на нула (виж (137.3)), а циркулацията на вектора дбсе определя от израза (137.2), тогава циркулацията на вектора на общата напрегнатост на полето
Това уравнение показва, че източници на електрическо поле могат да бъдат не само електрически заряди, но и променящи се във времето магнитни полета.
2. Теорема за обобщена векторна циркулация н(виж (138.4)):
Това уравнение показва, че магнитните полета могат да бъдат възбудени или от движещи се заряди (електрически токове), или от променливи електрически полета.
3. Теорема на Гаус за полето д(виж (89.3)):
Ако зарядът се разпределя вътре в затворена повърхност непрекъснато с обемната плътност r,тогава формула (139.1) ще бъде записана във формата
4. Теорема на Гаус за полето IN(виж (120.3)):
Така, пълната система от уравнения на Максуел в интегрална форма:
Величините, включени в уравненията на Максуел, не са независими и между тях съществува следната връзка (изотропна нефероелектрична и неферомагнитна среда):
Където д 0 и м 0 - съответно електрически и магнитни константи, дИ м-съответно диелектрична и магнитна пропускливост, ж- специфична проводимост на веществото.
От уравненията на Максуел следва, че източниците на електрическо поле могат да бъдат или електрически заряди, или променливи във времето магнитни полета, а магнитните полета могат да бъдат възбудени или от движещи се електрически заряди (електрически токове), или от променливи електрически полета. Уравненията на Максуел не са симетрични по отношение на електрическите и магнитните полета. Това се дължи на факта, че в природата има електрически заряди, но няма магнитни заряди.
За стационарни полета (E= const и B=конст ) Уравнения на Максуелще приеме формата
тези. В този случай източниците на електрическото поле са само електрически заряди, източниците на магнитното поле са само токове на проводимост. В този случай електрическото и магнитното поле са независими едно от друго, което прави възможно изучаването им поотделно постояненелектрически и магнитни полета.
Използване на теоремите на Стокс и Гаус, известни от векторния анализ
човек може да си представи пълна система от уравнения на Максуел в диференциална форма(характеризиращо полето във всяка точка в пространството):
Ако зарядите и токовете се разпределят непрекъснато в пространството, тогава и двете форми на уравненията на Максуел - интегрална и диференциална - са еквивалентни. Ако обаче има повърхности на прекъсване - повърхности, върху които свойствата на средата или полетата се променят рязко, тогава интегралната форма на уравненията е по-обща.
Уравненията на Максуел в диференциална форма приемат, че всички количества в пространството и времето се променят непрекъснато. За да се постигне математическа еквивалентност на двете форми на уравненията на Максуел, диференциалната форма се допълва гранични условия,на които трябва да отговаря електромагнитното поле на границата между две среди. Интегралната форма на уравненията на Максуел съдържа тези условия. Те са били обсъждани преди:
(първото и последното уравнения съответстват на случаите, когато на границата няма нито свободни заряди, нито токове на проводимост).
Уравненията на Максуел са най-общите уравнения за електрически и магнитни полета в спокойни среди.Те играят същата роля в доктрината на електромагнетизма като законите на Нютон в механиката. От уравненията на Максуел следва, че променливото магнитно поле винаги е свързано с генерираното от него електрическо поле, а променливото електрическо поле винаги е свързано с генерираното от него магнитно поле, т.е. електрическото и магнитното поле са неразривно свързани едно с друго - образуват едно цяло електромагнитно поле.
Ток на отклонениеили абсорбционен ток- стойност, право пропорционална на скоростта на промяна на електрическата индукция. Тази концепция се използва в класическата електродинамика
Въведено от J.C. Maxwell при изграждането на теорията на електромагнитното поле.
Въвеждането на ток на изместване направи възможно премахването на противоречието във формулата на Ампер за циркулацията на магнитното поле, което след добавяне на тока на изместване стана последователно и съставлява последното уравнение, което направи възможно правилното затваряне на системата на уравненията на (класическата) електродинамика.
Строго погледнато, токът на изместване не е електрически ток, но се измерва в същите единици като електрическия ток.
коефициент) се нарича поток на вектора на бързината на промяна на електрическото поле през определена повърхност:
(SI)
Системата от уравнения на Максуел е обобщение на основните закони за електрическите и електромагнитните явления. Тя описва всичкоелектромагнитни явления. Като основа на теорията на електромагнитното поле, тази система от уравнения позволява да се решават проблеми, свързани с намирането на електрически и магнитни полета, създадени от дадено разпределение на електрически заряди и токове. Уравненията на Максуел бяха отправната точка за общата теория на относителността на Айнщайн. Теорията на Максуел разкрива електромагнитната природа на светлината. Уравненията са формулирани от Дж. Максуел през 60-те години на 19 век въз основа на обобщение на емпирични закони и развитие на идеите на учените, изучавали електромагнитните явления преди него (законите на Кулон, Био-Савар, законите на Ампер и в по-специално изследванията на Фарадей). Самият Максуел записва 20 уравнения с 20 неизвестни в диференциална форма, които по-късно са трансформирани. Съвременната форма на Максуел е дадена от немския физик Г. Херц и английския физик О. Хевисайд. Нека напишем уравненията, като използваме системата от единици на Гаус.
Система от уравнения на Максуел
Системата от уравнения на Максуел включва четири уравнения.
Първо уравнение:
Това е Законът на Фарадей (Законът за електромагнитната индукция).
където е напрегнатостта на електрическото поле, е векторът на магнитната индукция, c е скоростта на светлината във вакуум.
Това уравнение казва, че силата на ротора на електрическото поле е равна на потока (т.е. скоростта на промяна във времето) на вектора на магнитната индукция през тази верига. Уравнение (1.1) е първото уравнение на Максуел в диференциална форма.
Същото уравнение може да бъде написано в интегрална форма, тогава то ще приеме следната форма:
където е проекцията върху нормалата към областта dS на вектора на магнитната индукция,
– магнитен поток.
ориз. 2.
Циркулацията на вектора на напрегнатост на електрическото поле по затворен контур L (индуцирана ЕДС) се определя от скоростта на промяна на потока на вектора на магнитната индукция през повърхността, ограничена от този контур. Знакът минус според правилото на Ленц показва посоката на индукционния ток.
Според Максуел законът за електромагнитната индукция (а това е точно това) е валиден за всяка затворена верига, произволно избрана в променливо магнитно поле.
Значението на това уравнение: Променливото магнитно поле във всяка точка на пространството създава вихрово електрическо поле.
където е векторът на магнитния интензитет, е плътността на електрическия ток, е векторът на електрическото изместване.
Това уравнение на Максуел е обобщение на емпиричния закон на Био-Савар, че магнитните полета се възбуждат от електрически токове. Значението на второто уравнение е, че източникът на вихровото магнитно поле също е променливо електрическо поле, чийто магнитен ефект се характеризира с ток на изместване. (-плътност на тока на отклонение).
В интегрална форма второто уравнение на Максуел (теорема за циркулацията на магнитното поле) е представено, както следва:
Циркулацията на вектора на силата на магнитното поле по произволна верига е равна на алгебричната сума на токовете на проводимост и тока на изместване, свързан с веригата.
Когато Максуел въведе уравненията (преди повече от сто години!), природата на електромагнитното поле не беше ясна. В момента естеството на полето е изяснено и стана ясно, че то може да се нарече „актуално“ само формално. Поради редица конструктивни съображения е препоръчително да се запази това име, без да му се придава пряко физическо значение, което се прави в електротехниката. По същата причина векторът D, включен в израза за тока на изместване, се нарича вектор на електрическо изместване.
В допълнение към първите две уравнения, системата от уравнения на Максуел включва теоремата на Гаус-Остроградски за електрически и магнитни полета:
където е плътността на електрическия заряд.
Което в интегрална форма е следното:
където - потокът на електрическо изместване е потокът на магнитна индукция през затворена повърхност, обхващаща свободен заряд q.
Значението на уравнение 3.2. Електрическият заряд е източник на електрическа индукция.
Уравнение 4.2 изразява факта на липсата на свободни магнитни заряди.
Пълната система от уравнения на Максуел в диференциална форма (характеризира полето във всяка точка в пространството):
Пълната система от уравнения на Максуел в интегрална форма
Пълната система от уравнения на Максуел в интегрална форма (интегралната форма на записване на уравненията улеснява тяхната физическа интерпретация, тъй като ги прави визуално по-близки до известните емпирични закони):
Системата от уравнения на Максуел е допълнена с „материални уравнения“, които свързват вектори с величини, описващи електрическите и магнитните свойства на средата.
където е относителната диелектрична константа, е относителната магнитна проницаемост, е електрическата проводимост, е електрическата константа, е магнитната константа. Приема се, че средата е изотропна, неферомагнитна и нефероелектрична.
На границата между две среди са изпълнени следните гранични условия:
където е повърхностната плътност на свободните заряди, n е единичният нормален вектор към интерфейса, начертан от средата 2 към 1, единичният вектор, допирателна към границата, е проекцията на вектора на плътността на повърхностните проводими токове върху единичния вектор.
Тези уравнения изразяват непрекъснатостта на нормалните компоненти на вектора на магнитната индукция и скока в нормалните компоненти на вектора на изместване. Непрекъснатост на тангенциалните компоненти на вектора на напрегнатост на електрическото поле на границата и скок в тези компоненти за напрегнатостта на магнитното поле.
Примери за решаване на проблеми
ПРИМЕР 1
| Упражнение | От системата от уравнения на Максуел получете уравненията за непрекъснатост на тока и закона за запазване на заряда. |
| Решение | Използваме уравнението: Нека изпълним операцията за разминаване ( или ) за него. Получаваме: от системата от уравнения на Максуел знаем, че , (c) Замествайки (c) в (b), получаваме: това предполага или в интегрална форма: Съответно за затворени изолирани зони получаваме: Това е уравнение за непрекъснатост на тока, съдържащо закона за запазване на заряда - един от основните принципи, който се потвърждава от експеримента. |
Въвеждането на концепцията за ток на изместване от Максуел доведе до завършване на създадената от него макроскопична теория на електромагнитното поле, което прави възможно от единна гледна точка да се обяснят не само електрически и магнитни явления, но и да се предскажат нови, чието съществуване беше потвърдено впоследствие.
Теорията на Максуел се основава на 4 уравнения:
1. Електрическото поле може да бъде потенциално или вихрово, така че силата на полученото поле е равна на:
Това уравнение показва че магнитните полета могат да бъдат възбудени или от движещи се заряди (електрически токове), или от променливи електрически полета.
3. Теорема на Гаус за полето:
Получаваме
И така, пълната система от уравнения на Максуел в интегрална форма:
| 1) | ||
| 2) | ||
Величините, включени в уравненията на Максуел, не са независими и между тях има връзка.
За изотропни, нефероелектрични и неферомагнитни среди пишем формулите за свързване:
| б) , | ||
| V), |
където е електрическата константа, е магнитната константа,
Диелектрична константа на средата, m - магнитна проницаемост на средата,
r - специфично електрическо съпротивление, - специфична електрическа проводимост.
От уравненията на Максуел следва, че Какво:
Източникът на електрическото поле може да бъде или електрически заряди, или променящи се във времето магнитни полета, които могат да бъдат възбудени или от движещи се електрически заряди (токове) или от променливи електрически полета.
Уравненията на Максуел не са симетрични по отношение на електрическите и магнитните полета. Това се дължи на факта, че в природата не съществуват магнитни заряди.
Ако и (стационарни полета), тогава уравненията на Максуел приемат следната форма:
Източниците на стационарно електрическо поле са само електрически заряди, източниците на стационарно магнитно поле са само токове на проводимост .
Електрическите и магнитните полета в този случай са независими едно от друго, което дава възможност да се изучават отделно постоянните електрически и магнитни полета.
Диференциална форма на запис на уравненията на Максуел:
| 3) | ||
,Интегралната форма на записване на уравненията на Максуел е по-обща, ако има повърхности на прекъсване. Диференциалната форма на записване на уравнението на Максуел предполага, че всички количества в пространството и времето се променят непрекъснато.
Уравненията на Максуел са най-общите уравнения за електрически и магнитни полета в среди в покой. Те играят същата важна роля в доктрината на електромагнетизма, както законите на Нютон в механиката. От уравненията на Максуел следва, че променливото магнитно поле винаги е свързано с променливо електрическо поле, а променливото електрическо поле винаги е свързано с генерираното от него магнитно поле, т.е. Електрическото и магнитното поле са неразривно свързани помежду си - те образуват едно електромагнитно поле.
Свойства на уравненията на Максуел
Уравненията на Максуел са линейни. Те съдържат само първите производни на полетата E и B по времеви и пространствени координати и първите степени на плътността на електрическите заряди и токовете j. Свойството за линейност на уравненията на Максуел е свързано с принципа на суперпозицията; ако всеки две полета удовлетворяват уравненията на Максуел, това се отнася и за сумата от тези полета.
Уравненията на Максуел съдържат уравнения за непрекъснатост, изразяващи закона за запазване на електрическия заряд. За да се получи уравнението за непрекъснатост, е необходимо да се вземе дивергенцията от двете страни на първото от уравненията на Максуел в диференциална форма:
Уравненията на Максуел са изпълнени във всички инерциални отправни системи. Те са релативистично инвариантни. Това е следствие от принципа на относителността, според който всички инерциални отправни системи са физически еквивалентни една на друга. Формата на уравненията на Максуел не се променя при преминаване от една инерциална отправна система към друга, но количествата, включени в тях, се трансформират по определени правила. Тези. Уравненията на Максуел са правилни релативистични уравнения, за разлика например от механичните уравнения на Нютон.
Уравненията на Максуел са асиметрични по отношение на електрическите и магнитните полета. Това се дължи на факта, че в природата съществуват електрически заряди, но не и магнитни.
От уравненията на Максуел следва важен извод за съществуването на принципно ново явление: електромагнитното поле е способно да съществува независимо - без електрически заряди и токове. Освен това нейното изменение задължително има вълнов характер. Полета от този вид се наричат електромагнитни вълни. Във вакуум те винаги се движат със скорост, равна на скоростта на светлината. Теорията на Максуел предсказа съществуването на електромагнитни вълни и направи възможно установяването на всичките им основни свойства.