Сложно твърдение е това, което съдържа логически връзки и се състои от няколко прости предложения.
В бъдеще ще разглеждаме простите твърдения като определени неделими атоми, като елементи, от комбинацията на които възникват сложни структури. Простите съждения ще обозначаваме с отделни латински букви: a, b, c, d, ... Всяка такава буква представлява определена проста пропозиция. Къде можете да видите това? Отвличайки се от сложната вътрешна структура на простото съждение, от неговото количество и качество, забравяйки, че то съдържа субект и предикат, ние запазваме само едно свойство на съждението - че то може да бъде вярно или невярно. Тук всичко останало не ни интересува. И когато казваме, че буквата „а“ представлява предложение, а не понятие, не число, не функция, имаме предвид само едно нещо: че „а“ представлява истина или лъжа. Ако под „а“ имаме предвид твърдението „Кенгуруто живеят в Австралия“, имаме предвид истината; ако под „а“ имаме предвид предложението „Кенгуруто живеят в Сибир“, имаме предвид лъжа. Така нашите букви "a", "b", "c" и т.н. – това са променливи, които могат да бъдат заменени с true или false.
Логическите връзки са формални аналози на съюзите в нашия роден естествен език. Както сложните изречения се изграждат от прости с помощта на съюзи „обаче“, „тъй като“, „или“ и т.н., така и сложните предложения се образуват от прости с помощта на логически съединители. Тук има много по-голяма връзка между мисълта и езика, така че в това, което следва, вместо думата „преценка“, която обозначава чистата мисъл, често ще използваме думата „изявление“, която обозначава мисълта в нейния езиков израз. И така, нека се запознаем с най-често използваните логически връзки.
Отрицание. На естествения език отговаря на израза „Не е вярно, че...“. Отрицанието обикновено се обозначава със знака „¬“, поставен преди буквата, представляваща някакво предложение: „¬a“ се чете „Не е вярно, че a“. Пример: „Не е вярно, че Земята е сфера“.
Трябва да обърнете внимание на едно тънко обстоятелство. По-горе говорихме за прости отрицателни преценки. Как да ги различим от сложните съждения с отрицание? Логиката разграничава два вида отрицание - вътрешно и външно. Когато отрицанието се появява вътре в просто предложение преди свързващото „е“, тогава в този случай имаме работа с просто отрицателно предложение, например: „Земята не е сфера“. Ако отрицанието е външно прикрепено към преценка, например: „Не е вярно, че Земята е топка“, тогава такова отрицание се счита за логическа връзка, която трансформира проста преценка в сложна.
Съчетание. В естествения език тази връзка съответства на съюзите „и“, „а“, „но“, „обаче“ и др. Най-често връзката се обозначава със символа „&“. Сега тази икона често се среща в имената на различни компании и предприятия. Предложение с такъв свързващ елемент се нарича конюнктив или просто съюз и изглежда така:
а&б. Пример: „Кошницата на дядо съдържаше манатарки и манатарки.“ Тази сложна преценка е комбинация от две прости твърдения: „В кошницата на дядо ми имаше манатарки“ и „В кошницата на дядо ми имаше манатарки“.
Дизюнкция. В естествения език тази връзка съответства на връзката „или“. Обикновено се обозначава с "v". Съждение с такъв свързващ елемент се нарича дизюнктивно или просто дизюнктивно и изглежда така: a v b.
Съюзът „или“ в естествения език се използва в два различни смисъла: свободно „или“ – когато членовете на дизюнкцията не се изключват взаимно, т.е. може да бъде едновременно вярно и строго „или“ (често заменено от двойка съюзи „или... или...“) - когато членовете на дизюнкцията се изключват взаимно. В съответствие с това се разграничават два вида дизюнкция - строга и нестрога.
Внушение. В естествения език съответства на съюза “ако... то”. Обозначава се със знака “->”. Предложение с такъв свързващ елемент се нарича импликативно или просто импликативно и изглежда така: a -> b. Пример: „Ако електрически ток преминава през проводник, той се нагрява.“ Първият член на импликацията се нарича антецедент или основа; второто е следствие или следствие. В ежедневния език съюзът „ако... то“ обикновено свързва изречения, които изразяват причинно-следствената връзка на явленията, като първото изречение фиксира причината, а второто – следствието. Оттук и имената на членовете на импликацията.
Представянето на изявления на естествен език в символна форма с помощта на горните означения означава тяхната формализация, което в много случаи се оказва полезно.
4) Красив остров лежеше в топлия океан. И всичко щеше да е наред, но непознати имаха навика да се заселват на този остров. Те идват и идват от цял свят и местното население е започнало да бъде притискано. За да предотврати нахлуването на чужденци, владетелят на острова издал указ: „Всеки посетител, който иска да се засели на нашия благословен остров, е длъжен да направи някаква преценка. Ако присъдата се окаже вярна, непознатият трябва да бъде разстрелян; ако присъдата се окаже невярна, той трябва да бъде обесен. Ако те е страх, тогава млъкни и се върни назад!
Въпросът е: каква преценка трябва да бъде направена, за да останеш жив и все пак да се заселиш на острова?
| |
Отрицание (знак). Ако A е твърдение, тогава (четете: не A) също е твърдение; то е вярно или невярно в зависимост от това дали твърдение А е невярно или вярно. Виждаме, че операцията в теорията на твърденията напълно съответства на концепцията за отрицание в обикновения смисъл на думата. Операцията на отрицание може да бъде описана от таблицата
Съчетание.Знакът l се използва като знак за връзка, както и & (с други думи, връзката и- И).
Ако АИ IN- изявления, тогава А ˄ IN(чете се: АИ IN) - ново изявление. Вярно е тогава и само ако Авярно и INвярно.
За разлика от операцията на отрицание, която зависи от едно елементарно твърдение, връзката, както всички следващи свързващи връзки, които даваме, зависи от две елементарни твърдения, поради което се наричат двуместни съединители, докато отрицанието е едноместна връзка.
За да посочите двойни съединители, е удобно да напишете матрици на истината под формата на таблици с два входа: редовете съответстват на стойностите на истината на едно елементарно твърдение, колоните съответстват на стойностите на друго елементарно твърдение и клетката в пресечната точка на колоната и реда съдържа истинската стойност на съответното сложно твърдение.
Истинната стойност на сложно твърдение А˄ INсе дава от матрицата:
Както можете да видите, дефиницията на операцията на връзката напълно съответства на обикновеното значение на връзката "u". Например, проблемът за защита на автоматизираните линии от авария значително зависи от надеждността на EA. Влиянието на вибрациите, възникващи при затваряне на контактите, върху устойчивостта на износване при превключване на EA се регулира от съотношението на механичните и тяговите характеристики на електромагнитното задвижване.
Дизюнкция.Ще използваме знака ˅ като знак за дизюнкция. Ако A и B са изявления, тогава A v B (да се чете: A или B) е ново изявление. Невярно е, ако А и В са неверни; във всички останали случаи A v INвярно. Така матрицата на истината за операцията на дизюнкция изглежда така:
Операцията дизюнкция съответства на обичайното значение на конюнкция "или".Например, износването на контактите се следи чрез избиране на потапяне или чрез претегляне на контактите на кантар преди и след работа.
Внушение.Ще използваме знака като знак за импликация. Ако A и B са две твърдения, тогава A IN(да се чете: A предполага B) - ново твърдение. Винаги е вярно, освен когато Авярно, но INневярно.
Матрицата на истината на операцията за импликация е следната:
В подразбиране А INпърви семестър Анаречен антецедент, вторият термин IN-последствени.
Импликацията описва до известна степен това, което се изразява в обикновената реч с думите „ако А, Че IN“, „от АТрябва IN», « А- достатъчно условие за ВЪВ".
Ако увеличаването на съпротивлението в междуконтактната междина след преминаване на тока през нулата е по-интензивно от увеличаването на напрежението, тогава няма да настъпи повторно запалване на дъгата. Ако токът на късо съединение значително надвишава тока на топене на предпазителя, предпазителят изгаря и предпазителят изключва електрическата верига.
Еквивалентност.За тази операция се използва знакът ⇔. Операцията се дефинира по следния начин: ако А и Б- твърдения, след това A ⇔ IN(чете се: Аеквивалентен IN) е ново твърдение, което е вярно, ако или двете твърдения са верни, или и двете са неверни.
Използвайки въведените съединители, можете да конструирате сложни твърдения, които зависят не само от две, но и от произволен брой елементарни твърдения.
В режими на номинален ток 25...600 Ачифт контакти могат да изпълняват двойна роля: дългосрочно предаване на ток във включено положение и изключване, придружено от възникване на дъга. В първия случай контактите трябва да имат ниско контактно съпротивление; във втория се налагат изискванията за висока контактна устойчивост. И в двата случая се използва една и съща едностъпална контактна система. И двата процеса влияят на контактното износване.
Забележка.Нестрогото неравенство е дизюнкция А<В ˅ (А = В).Оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из входящих в него простых высказываний. Примерами сложных высказываний, встречающихся в практике, являются так называемые двойные неравенства А< В < С(А < В) ˄ (В < С), а, например, означает сложное высказывание (А< В) ˄ ((В Имайки стойността на истината на прости твърдения, е лесно да се изчисли стойността на истината на сложно твърдение въз основа на дефиницията на свързващите елементи. Нека е дадено сложно твърдение ((B ˅ C) ⇔ (B ˄ A)) и елементарните твърдения, включени в него, имат следните истинностни стойности: A = L, B = I, C =
I. Тогава B ˅ C = I, B ˄ A = L, така че въпросното твърдение ((B ˅ C) ⇔ (B ˄ A)) е невярно. Нека формулираме основните правила за образуване на нови изречения от оригиналните, като използваме основните връзки и съюзи на обикновения говорим език. Само правилата на руския език не са достатъчни, тъй като понякога ние влагаме различни значения в едно и също изречение, формулирано на руски. Например, помислете за обръщането на фразата „Ако, тогава“, с която формулираме две изречения: Въпрос: Тези изречения казват ли едно и също нещо или има ситуация, в която едно от изреченията е вярно, а другото е невярно? С други думи, въпросът е дали тези изречения са еквивалентни. Докато не дефинираме ясно правилата за конструиране на фрази от този вид, е невъзможно да се отговори недвусмислено на въпроса. От една страна, когато формулираме първото изречение, често имаме предвид второто изречение. Нека обаче погледнем тези предложения от друга гледна точка. Първо, нека напишем диаграмите на изреченията. За да направите това, ние обозначаваме изречението „Миша ще издържи изпита с отличие“ с буквата А, а изречението „Миша ще отиде на дискотека“ - с буквата IN.Тогава тези предложения могат да бъдат схематично записани, както следва: I) „Ако А, Че IN", 2) „Ако не А, тогава не ВЪВ". Сега нека заместим вместо това АИ INдруги прогнози. Вместо Авземете: „Масата е от дъб“, вместо IN— Масата е дървена. Тогава получаваме друга двойка изречения: Тъй като тези изречения са изградени по същите схеми като първите две, това означава, че еквивалентността на първата двойка изречения трябва да означава еквивалентност на втората двойка. Въпреки това, първото изречение в обикновената реч очевидно е вярно твърдение, тъй като дъбът е дърво, а второто изречение е, според здравия разум, невярно, тъй като масата може да бъде направена от друго дърво, като бор. Така в общия случай изреченията, построени според „Ако А, Че В"и „Ако не а,тогава не IN“ не могат да се считат за логически идентични. Така че, за да елиминираме неяснотата в конструкцията на изреченията, имаме нужда от ясни правила, които ни позволяват да определим истинността или неистинността на полученото изречение в зависимост от истинността или неистинността на оригиналните изречения АИ IN. Нека придадем на съюзите „и“, „или“, както и на схемите „ако, тогава“, „тогава и само тогава“, „не е вярно, че“ еднозначно логическо значение. Нека буквите А и Бозначава произволни изречения. Да започнем с прости ситуации. 1. Знак за отрицание~| (-i) или. Изразяване ~ли(-L, А) гласи: "не А"или „Не е вярно, че А.“ Значения на изреченията ~Аопределят чрез таблица, от която става ясно, че предложението ~лвярно точно когато оригиналното изречение Аневярно: Когато формулирате изречения, които са прости по структура, частицата „не“ понякога може да бъде „пренесена вътре“ в изречението. Например изречение „Не е вярно, че числото V6 е цяло число“ може да се формулира по следния начин: „Числото l/6 не е цяло число“. Също така изречението „Не е вярно, че направо АИ bпресичат" формулират: "Преки АИ bНяма да питаме.” Често обект, който няма някакво свойство, се нарича термин с частицата „не“. Например, цяло число, което не е четно, се нарича нечетно. Следователно е еднакво правилно да се каже „Цялото число е нечетно“ и „Цялото число не е четно“. Но без уговорката, че числото е цяло число, имаме изречения с различно значение. Например „Числото 0,2 не е четно“ е вярно, но изречението „Числото 0,2 е нечетно“ е невярно. Помислете за израза „странна функция“. Тук имаме самостоятелен термин и думата „нечетно” не може да се пише и произнася отделно, тоест изречението „Функцията е нечетно” не е отрицание на изречението „Функцията е четно”. Наистина има пример за функция, в която и двете изречения са неверни. Например функцията )t=x+не е нито четен, нито нечетен (опитайте се да обясните това). 2. Знак за връзкал. Изразяване LlWгласи: "А и Б".Понякога връзката се означава с &. Значения на изреченията AlVв зависимост от предложенията, които го съставят А и Бопределени от таблицата: Така че предложението AlVвярно само в един случай, когато и двете изречения АИ INса верни. В други случаи това изречение е невярно. При формулиране на предложение AlVВместо връзката „и“ можете да използвате други връзки, които имат същото логическо значение за едновременно изпълнение на всяко от изреченията: „а“, „но“. Пример 1.3.1.Изречение "Число" 111
не се дели на 2, но се дели на 3" - символично можете да напишете 1 AlV,Където А= "111 се дели на 2", B = " 111 се дели на 3." 3. Знак за дизюнкция v. Изрази AvBгласи: "А или Б." Значения на изреченията AvBопределени от таблицата: От таблицата става ясно, че офертата „Аили В"вярно в тези случаи, когато поне едно от изреченията Аили INвярно, и в случая, когато и двете изречения АИ INневярно, изречение AvBприема фалшива стойност. Понякога от съдържанието на изреченията АИ INследва, че изреченията не могат да бъдат едновременно истинни. В този случай изречението се формулира с помощта на съюза „или“. Например изречението „Числото е или положително, или отрицателно“ също има формата „Аили IN”, но в същото време има такова значение, че едно число не може да бъде едновременно положително и отрицателно. Правилата, формулирани по-горе, очевидно не повдигат никакви въпроси. Нека да преминем към диаграмата, обсъдена в началото на параграфа „Ако а,Че ВЪВ". 4. Знак за подразбиране- Изразяване А->Бгласи: „Ако А, тогава Б.“Понякога се използва друг символ със стрелка => за обозначаване на тази връзка, както и знак z>. Наред с фразата „Ако А, Че В"други подобни на него използват: „Б, когато А», „А само когато Б.“ Мотивираме дефинирането на значенията на изречението А->Б.Основната трудност, която възниква тук, е да се придаде значение на изречението L-»# за онези случаи, когато Аневярно. За да определите интелигентно значенията, запомнете правилното изречение, обсъдено по-горе: „Ако масата е дъбова, значи е дървена“. Тук А= „Дъбова маса“, B ="Дървена маса." Нека масата е от чам. Тогава Аневярно, INвярно. Нека масата е желязна. Тогава Аневярно и INневярно. И в двата случая офертата Ае невярно и полученото изречение „Ако А, Че В"вярно. Освен това и двата случая са наистина възможни. Разбира се, тогава е възможно да имаме дъбова маса Ау Бедновременно вярно. Ето пример за истинско изречение A->B,Кога A=u>B=l, не съществува. Така случаите, когато A=u, B=i,или A=l y B=i, или A=l, V=l,трябва да определи вярно изречение И само един случай, когато който A=u, V-l,означава, че офертата А->Бневярно. И така, в математическата логика стойностите на T-изречението са дадени от таблицата по-долу: В това, което следва, в цялата фраза „Ако А, Че В"ще се разбира по този начин. Ето едно предложение АНаречен с колет, или състояние, А В заключение. Пример 13.2. Родителите обещали на сина си Петя: ако завърши успешно университета, ще му купят кола. Известно е, че синът не е завършил университет, но родителите му все пак са му купили кола. Може ли да се каже, че казаното от родителите е лъжа? За да отговорите на въпроса, разгледайте предложенията: А= „Синът ми завършва университет“, B =— Купуват му кола. При което A=l, B=i.Обещанието на родителите изглежда така A^>B.По дефиниция това е изречение за дадени стойности АИ INвярно (трети ред от таблицата). Следователно от логическа гледна точка думите на родителите са верни. Но ако синът им е завършил колеж, но не са му купили кола, в този случай (и в никой друг) обещанието няма да бъде изпълнено. Сега нека да разгледаме друга логическа връзка, която често се има предвид, когато се казват думите „ако, тогава“. Например, ако в условията на пример 1.3.2 родителите са предположили, че ако синът им Петя не е завършил колеж, те няма да му купят кола, би било правилно да се каже: „Колата ще бъде купена тогава и само ако Петя завърши институт." 5. Знак за еквивалентностили. Изразяване И гласи: „И ако и само ако Б.“Възможни са и други формулировки: „И ако и само ако Б», „А точно когато Б“и така нататък. Значения на изреченията ABса дадени от таблицата: В случаите, когато АИ INприемат същите стойности, изречение ABвярно, в противен случай изречението е невярно. Лесно се вижда, че фразата „Атогава и само когато В"се състои от две фрази: „Атогава когато В"И „Асамо когато ВЪВ".Първото изречение е написано B->A,и второто A^>B.Тези две изречения са верни едновременно в два случая: A=u, B=u, и A=l, B=l. И така, дефинирахме пет знака: l (конюнкция), v (дизюнкция), ->
(импликация), (еквивалентност), 1 (отрицание), които се наричат логически сеялки.Тези знаци позволяват от тези изречения АИ INполучават нови оферти. В този случай значението (вярно или невярно) на новото изречение се определя еднозначно от значенията на изреченията АИ IN.Нарича се правилото за получаване на ново изречение от оригиналните изречения логическа операция.Така всяка от логическите връзки дефинира логическа операция, която има същото име като съответната връзка. Разглежданите операции могат да се използват както за изрази, така и за предикати. Например, чрез комбиниране на два едноместни предиката „Число, m по-голямо от 3“ и „Число хотрицателен" със знак за дизюнкция, получаваме едноместен предикат: "Число хповече от 3 или отрицателен." Единственото нещо е, че за да се свържат два предиката с логическа връзка, е необходимо да се посочи някаква обща област двалидни обекти, които могат да бъдат заместени в тези предикати вместо променливи. Нека дефинираме още две логически връзки, т.нар kwaitora.mi,които ни позволяват да получаваме изявления от унарни предикати. Терминът „квантор” в превод от латински означава „колко”. Следователно тези знаци се използват, за да се отговори на въпроса колко обекта отговарят на предложението И- всички или поне един. Нека вземем произволен предикат и изберем променлива, от която зависи неговата стойност. Нека го обозначим О). 6. Общ квантификатор V. Този знак идва от английската дума АНи е съкращение от следните думи: „тегло“, „всеки“, „всеки“, „всеки“. Изразът Vj&4(y) означава, че предикатът О)се изпълнява за всички валидни обекти Х.Той гласи: „За всички X и от X.“ 7. Екзистенциален квантор 3.Този знак идва от английската дума Съществувати е съкращение на следните думи: „съществува“, „ще има“, „поне един“, „някои“. Изразът 3x4(*) означава, че предикатът О)се изпълнява за поне един от валидните обекти.v. Той гласи: "Има x и от x." Пример 1.3.3. Нека променливата хобозначава студент в университета. Нека разгледаме предложението О)= „Студент l: има кола.“ Тогава VxA(x)означава, че всички студенти имат кола. Това е невярно твърдение. Оферта EhA(x)означава, че някои студенти имат кола, което е вярно твърдение. Така първоначално имахме предикат, чиято стойност зависи от стойността на променливата dg. След извършване на операциите бяха получени отчети, чиито стойности вече не зависят от променливата Х. Нека има формула L(x),съдържащ свободна променлива Х.Тогава твърдението, че формулата О)е идентично вярно, можем да го запишем накратко като Vj&4(jc). Операцията за получаване на изречение с помощта на квантори се нарича количествено определяне.При използване на изрази UhA(x)и 3 xA(x)също кажете: „Към променливата x е добавен квантификатор“или „Променливата x е свързана с квантор.“ Обърнете внимание, че операциите с квантори са приложими не само към едноместни предикати. Ако е даден предикат от две места А(ху),тогава можете да свържете променливата l - квантор и да образувате изречение /xA(xy),чиято истинност ще зависи само от една променлива y,и ще имаме предикат от едно място. В този запис променливата хНаречен свързано с квантори променливата y - безплатно.В общия случай, прилагайки кванторна операция към която и да е от променливите на /7-местен предикат, завършваме с (n-1)-местен предикат. Кванторите могат да се използват за свързване на произволен брой променливи. Ако имаме двуместен предикат А(ху),тогава формално можете да получите 8 твърдения. свързване на всяка променлива с някакъв квантор: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3uА(xy), 3yVxA(xy), 3xVyA(xy), /уЭхА(xy), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху).Някои изречения имат едно и също значение, например първото и второто (предикат Атрябва да е вярно за всички стойности на * и y), както и седмата и осмата. Останалите изрази обикновено дават твърдения с различна истина. Пример 1.3.4.Нека в класа има само две момчета - Петя и Коля. За независимо решение бяха дадени три задачи, ние ги обозначаваме с номера 1, 2, 3. Петя реши задачи 1 и 2, а Коля реши една задача с номер 3. Нека въведем предикат А(ху),което означава, че момчето * е решило проблема u.Ето променливата хобозначава името на момчето и променливата при- номер на задачата. Обмислете следните твърдения. Vx3yA(xy)= „Всяко момче реши поне една задача“ е вярно твърдение, тъй като Петя реши две задачи, а Коля реши поне една задача. V_yEx,4(;c,y) = „Всяка задача е решена от поне един ученик“ - вярно, така че задача номер 1 е решена от Петя, задача номер 2 също е решена от Петя, а задача 3 е решена от Коля. От разгледания пример можем да заключим: редът, в който са написани квантори, влияе върху логическото значение на изречението. Следователно ясната формулировка на изречението трябва недвусмислено да предпоставя реда, в който се появяват кванторите на общост и съществуване. Упражнение.Анализирайте сами значенията на твърденията от пример 1.3.4, като приемете, че Петя е решила задачи с номера 2 и 3. Общо взето от сказуемото О)можете да получите две твърдения - /xA(x)и 3x4(x). Въпреки това, много често написаната формула О)се разбира точно като твърдението Vx4(.x), въпреки че общият квантификатор се пропуска, когато е написан или формулиран. Например, като пишат d- 2 >0, те означават, че квадратът на всяко реално число е неотрицателен. Пълният запис на изказването е: Ulg(dg?0). Записвайте (4x + 6y): 2,Където*, y -цели числа, предполага, че указаната сума винаги се дели на 2, т.е. четна. За да подчертаем това, трябва да напишем V*Vy((4.x + 6jy):2). Математическите знаци и знаци на логическите връзки, определени в последните два параграфа, съставляват азбуката на математическия език. В мисленето ние оперираме не само с прости, но и със сложни съждения, образувани от прости чрез логически връзки (или операции) - конюнкция, дизюнкция, импликация, еквивалентност, отрицание, които се наричат още логически константи, или логически константи. Нека анализираме как изброените логически връзки се изразяват на естествен (руски) език. Съюзът (знак “^”) се изразява със съюзи: “и”, “а”, “но”, “да”, “въпреки че”, “които”, “но”, “обаче”, “не само... , но и” и т.н. В пропозиционалната логика знакът “Ù” свързва прости твърдения, образувайки от тях сложни. В естествения език връзката „и“ и други думи, съответстващи на връзката, могат да свързват съществителни, глаголи, наречия, прилагателни и други части на речта. Например: „Децата пееха и се смееха“ (А^б) ;„Интересна и красиво оформена книга лежи на масата.“ Последното твърдение не може да бъде разделено на две прости, свързани чрез връзка: „На масата лежи интересна книга“ и „На масата лежи книга с красив дизайн“, тъй като изглежда, че на масата има две книги, а не една. В пропозиционалната логика има закон за комутативната връзка (a^b) = (b^a).В естествения руски език няма такъв закон, тъй като действа факторът време. Когато се взема предвид последователността във времето, използването на съюза „и“ е некомутативно. Следователно, например, следните две твърдения няма да бъдат еквивалентни: 1) „Джейн се омъжи и роди дете“ и 2) „Джейн роди дете и се омъжи“. В естествения език връзката може да бъде изразена не само с думи, но и с препинателни знаци: запетая, точка и запетая, тире. Например: „Блесна светкавица, изрева гръм и започна да вали“. S. Kleene пише за изразяване на връзка с помощта на естествен език в книгата си „Математическа логика“. В раздела „Анализ на разсъжденията“ той предоставя (неизчерпателен) списък с изрази на естествен език, които могат да бъдат заменени символи “^” (или “&”). Формула A^Bна естествен език може да се изрази така: „Не само А, но и Б. И А, и Б. Б, въпреки че А.А заедно с Б .
B, въпреки A A, докато B.” Оставяме на читателя да измисли примери за всички тези структури. В естествен (руски) език дизюнкция (означ А bИ А ύ б)изразени със съюзи: “или”, “или”, “или..., или” и др. Например: “Вечерта ще отида на кино или в библиотека”; „Това животно принадлежи към гръбначни или безгръбначни“; „Есето ще бъде базирано на произведенията на Л. Н. Толстой или на произведенията на Ф. М. Достоевски.“ В логиката на изявленията се разграничава свободна дизюнкция, например: „Ще й дам цветя или книги“ (А б)и строга дизюнкция, например: „Този студент е в института или у дома“ ( А ύ б).При нестрогата дизюнкция членовете на дизюнкцията не се изключват взаимно, но при строгата дизюнкция го правят. И за двата вида дизюнкция важи законът за комутативността. Съединително съждение. Съединително съждение- съждение, което е вярно тогава и само ако всички съждения, включени в него, са верни. Образува се чрез логически съюз на съюза, изразен с граматическите съюзи „и”, „да”, „но”, „обаче”. Например, „Свети, но не топли.“ Символично се обозначава по следния начин: A?B, където A, B са променливи, означаващи прости преценки, ? е символичен израз на логическата връзка на връзката. Дефиницията на връзка съответства на таблицата на истината: Разделителни съждения. Има два вида дизюнктивни предложения: строга (изключваща) дизюнкция и нестрога (неизключителна) дизюнкция. Строга (изключителна) дизюнкция- сложно съждение, което приема логическото значение на истина, ако и само ако само едно от твърденията, включени в него, е вярно или „което е невярно, когато и двете твърдения са неверни“. Например, „Дадено число е кратно или некратно на пет.“ Логическият съюз дизюнкция се изразява чрез граматическия съюз „или...или“. Символично изписано A?B. Логическата стойност на стриктна дизюнкция съответства на таблицата на истината: Нестрога (неизключителна) дизюнкция- сложно съждение, което придобива логическото значение на истината тогава и само ако поне едно (но може да има повече) от простите съждения, включени в комплекса, е вярно. Например, „Писателите могат да бъдат или поети, или прозаици (или и двете)“. Свободната дизюнкция се изразява чрез граматическия съюз „или...или“ в разделително-съединително значение. Символично написано А ?
B. Нестрогата дизюнкция съответства на таблица на истината: Импликативни (условни) предложения. Внушение- сложно съждение, което приема логическата стойност на неистинност, ако и само ако предишното съждение ( антецедент) е вярно и следното ( последователно) е невярно. В естествения език импликацията се изразява чрез съюза „ако..., тогава“ в смисъл на „вероятно е А, а не Б“. Например, „Ако едно число се дели на 9, то се дели на 3.“ Символично импликацията се изписва A>B (ако A, тогава B). Булева стойност е представена в таблица на истината: Анализът на свойствата на импликацията показва, че истинността на антецедента е достатъчно условиеистината на следствието, но не и обратното. За достатъчно условие за определено явление се счита такова условие, наличието на което със сигурност причинява това явление. Например, "да бъда бреза"достатъчно условие, за да го включим в класа на дърветата, тъй като всички брези са дървета и нито една бреза не е дърво. В същото време истината за следствието е необходимо условиеистинността на предходното, но не достатъчно. Условие, необходимо за дадено явление, се счита за такова, без което то (явлението) не възниква. Например класът на брезите е включен в класа на дърветата, но не е равен на него. Има дървета, които не са брези. Състоянието обаче "да бъда дърво"за бреза е задължително, тъй като всички брези са дървета. Парадокси на материалното значение. Това означава семантичното несъответствие между операцията на материалната импликация и нейната символична формула: A>B. Според материалната импликация на истинността на A, за истинността на формулата A>B е необходимо B също да е вярно. В този случай говорим за смислено разбиране на неистинността и истинността на едно твърдение. Формулата A>B обаче е вярна не само в посочения случай, но и когато A е невярно и B е вярно и когато и двете са неверни. От този факт следва парадоксът на материалното внушение: всяко твърдение следва от невярно твърдение, всичко следва и вярно твърдение следва от всяко твърдение. Съждения за еквивалентност. Еквивалентност- сложно съждение, което придобива логическото значение на истината, ако и само ако съжденията, включени в него, имат едно и също логическо значение, т.е. те са едновременно верни или неверни. Логическият съюз на еквивалентността се изразява с граматическите съюзи “ако и само ако”, “ако и само ако”. Например, „Ако и само ако един триъгълник е равностранен, тогава той е равноъгълен.“ Символично, еквивалентността е написана ABили AB("ако и само ако А, след това B"). Стойността на логическата еквивалентност съответства на таблицата на истината: Еквивалентно съждение със свързани по съдържание термини изразява едновременно достатъчно и необходимо условие: (A>B)? (B>A). Еквивалентността на изразите (AB) и (A>B)?(B>A) може да се докаже с помощта на таблица на истината. Отрицание. Отрицаниее логическа операция, с помощта на която от едно твърдение се получава ново, докато простото съждение P се трансформира в сложно, и ако първоначалното просто съждение е вярно, то новото сложно съждение е невярно - „това е не е вярно, че P” или „изявление A е невярно, когато твърдението A е вярно.” Изразяване на едни логически връзки чрез други. Логическите връзки, обсъдени по-горе, са взаимозаменяеми и изразими чрез други. Например: A>B = A?B - импликация чрез дизюнкция; A>B = B>A - импликация чрез импликация; A> B = A? Б - импликация чрез съюз; A?B = A? Б - връзка чрез дизюнкция; A?B = A? B - дизюнкция чрез конюнкция; A?B = A? B - връзка чрез дизюнкция.