গণিত পাঠ "সংখ্যার বিচ্ছুরণ"। কিভাবে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈচিত্র্য গণনা করা যায়

নতুন জ্ঞান, দক্ষতা এবং ক্ষমতা স্থানান্তর এবং আয়ত্ত করার একটি পাঠ।

বিষয়: ভিন্নতা। এর বৈশিষ্ট্য।

পাঠের উদ্দেশ্য:

• জ্ঞানীয়: 1) গাণিতিক জ্ঞান, ক্ষমতা, দক্ষতার একটি নির্দিষ্ট সিস্টেমের শিক্ষার্থীদের কাছে স্থানান্তর; 2) শিক্ষার্থীদের দক্ষতা বিকাশ করা
  সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধরনের সমস্যার সমাধান করুন এবং নির্দিষ্ট বিভিন্ন পরিস্থিতিতে তত্ত্বটি প্রয়োগ করুন; 3) উচ্চতর গণিতের ধারণা এবং পদ্ধতি সম্পর্কে ধারণা গঠন; 4) উচ্চতর গণিতের একাডেমিক বিষয়ের উপাদানের উপর ভিত্তি করে শিক্ষার্থীদের মধ্যে শিক্ষাগত এবং জ্ঞানীয় কার্যকলাপের পদ্ধতি গঠন।
• উন্নয়নমূলক: 1) চিন্তার বিকাশ; 2) স্মৃতি বিকাশ; 3) চিন্তার গুণাবলী হিসাবে সৃজনশীল কার্যকলাপের উপাদানগুলির বিকাশ; 4) বক্তৃতা বিকাশ, যা গাণিতিক পরিভাষা আয়ত্ত করার পাশাপাশি সংজ্ঞা, ধারণা এবং তাদের সাথে পরিচালনা করার কৌশলগুলি নিয়ে গঠিত।
• শিক্ষামূলক: 1) শিক্ষার্থীদের মধ্যে তাদের নির্বাচিত পেশা এবং এই বিষয়ের প্রতি ভালবাসা জাগিয়ে তোলা।

টাস্ক: একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বৈচিত্র্যের বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করা এবং এর গণনার জন্য একটি সূত্র বের করা।

ক্লাস চলাকালীন।

1. আয়োজনের সময়।
2. পুরানো পুনরাবৃত্তি এবং নতুন উপাদান শেখা.
3. নতুন উপাদান একীকরণ.
4. বাড়ির কাজ।

1. পাঠে উপস্থিত শিক্ষার্থীদের পরীক্ষা করা।

2. গণিত সব বিজ্ঞানের রানী!
এটি ছাড়া জাহাজ উড়তে পারে না,
এটি ছাড়া আপনি এক একর জমি ভাগ করতে পারবেন না,
আপনি এমনকি রুটি কিনতে পারবেন না, আপনি একটি রুবেল গণনা করতে পারবেন না,
আপনি যা জানবেন না, এবং একবার আপনি এটি জানলে আপনি বুঝতে পারবেন না!

শিক্ষক: "সুতরাং, গাণিতিক প্রত্যাশা এলোমেলো পরিবর্তনশীলটিকে সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করে না"

স্টুডেন্ট 1: "ওহ, আমি কিভাবে এত ধাক্কা খেয়েছি।"

ছাত্র 2: "হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন, আপনি সত্য বলছেন।"

ছাত্র 1: "কিন্তু যে কেউ হঠাৎ আমাকে প্রতিস্থাপন করবে, কারণ প্রত্যেকেরই আমার সূত্র প্রয়োজন।"

ছাত্র 2: "হ্যাঁ, প্রথমে সবকিছু মনে রাখবেন।"

ছাত্র 1: “কোন সমস্যা নেই, এই সূত্রগুলো সবারই জানা। এবং যদি মানগুলির সেটটি অসীম হয়, তবে প্রত্যাশাটি একটি সিরিজ হিসাবে পাওয়া যায়, বা বরং এর যোগফল:

এবং, যদি পরিমাণটি হঠাৎ অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে আমাদের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রে বিবেচনা করার অধিকার রয়েছে এবং শেষ পর্যন্ত আমরা যা পাই তা হল:

ছাত্র 2: "কিন্তু এটি সব মজার কারণ কোন প্রত্যাশা নেই। সে এখানে নেই!"।

ছাত্র 1: "না, যখন অখণ্ড এবং যোগফল উভয়ই সম্পূর্ণ অভিসারী হয় তখন প্রত্যাশা বিদ্যমান।"

ছাত্র 2: "এবং তবুও আমি একটি জিনিস বলি, আমাদের অপেক্ষা করার দরকার নেই।"

ছাত্র 1: "ওহ, এটা কিভাবে হতে পারে? হ্যাঁ, এটা সহজ।"

শিক্ষকঃ “থাম, থাম, তর্ক শেষ করি। একটি কলম এবং একটি নোটবুক নিন, এবং রাস্তায় আমরা বিবাদের সমাধান করব। তবে আমরা শুরু করার আগে, আসুন শুধু একটি জিনিস মনে রাখি, গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে বিচ্যুতি কি সমান।"

ছাত্র 3: "ওহ, আমি এটা মনে করতে পারি।"

শিক্ষক: "দয়া করে, এখানে চক, ব্ল্যাকবোর্ড।"

ছাত্র 4: “পার্থক্য X – M(X) কে র্যান্ডম চলক X এর গাণিতিক প্রত্যাশা M(X) থেকে বিচ্যুতি বলা হয়। বিচ্যুতি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। যেহেতু একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা একটি ধ্রুবক পরিমাণ এবং একটি ধ্রুবকের গাণিতিক প্রত্যাশা এটির সমান

ধ্রুবক, তারপর M(X – M(X)) = M(X) – M(M(X)) = M (X) – M(X) = 0. t, e, M(X – M(X) ) =0।"

শিক্ষক: "হ্যাঁ, সবকিছুই সঠিক, কিন্তু বন্ধুরা, এটিকে গাণিতিক মান থেকে এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্যুতির পরিমাপ হিসাবে নেওয়া যায় না। এবং এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে মডিউল বা বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতি বিবেচনা করা হয়। এখন সংজ্ঞাটি শুনুন: একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের X - বিচ্ছুরণ বা বিচ্ছুরণ - এটির বিচ্যুতির বর্গের গাণিতিক প্রত্যাশা। এটিকে D(X) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, এবং সূত্রটি এরকম দেখাচ্ছে: D(X) = М((Х – М(Х)) 2)। (1) এখন নির্ধারণ করা যাক আমরা পরিমাণে কোন চিহ্ন নির্ধারণ করব?"

ছাত্র 5: "গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য এবং সংজ্ঞা থেকে, আমরা শুধুমাত্র একটি জিনিস পেতে পারি, যে পরিমাণ হিসাবে, বিচ্ছুরণ হল অ-নেতিবাচক D(X) > 0" (2)।

শিক্ষক: “সমতা এককে বিবেচনায় রেখে, আমরা প্রকরণ খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র পাই: D(X) = M(X 2) – (M(X)) 2। যা হয়তো কেউ প্রমাণ করবে।”

ছাত্র 6: "আমাকে চেষ্টা করতে দাও। D(X)=M((X – M(X)) 2) = M(X 2 - 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2)= М(Х 2) – 2М(ХМ(Х)+ M((M(X)) 2)=M(X 2) – 2M(X)M(X)+(M(X)) 2 =M(X 2) – (M(X)) 2 “( 3 )

শিক্ষক: “আসুন একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা যাক:

1. বিচ্ছুরণ C – একটি ধ্রুবক মান শূন্যের সমান: D(C) - 0 (C - const)। (4)

2. ধ্রুবক ফ্যাক্টরকে বর্গ করে বিচ্ছুরণ চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে: D(CX)=C 2 D(X)। (5)

3. দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের পার্থক্য তাদের প্রকরণের যোগফলের সমান: D(X+Y) = D(X) + D(Y)। (6)

4. দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে পার্থক্যের পার্থক্য তাদের প্রকরণের যোগফলের সমান: D(X – Y) = D(X) + D(Y)। (৭)

আসুন প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনায় নিয়ে এই বৈশিষ্ট্যগুলি প্রমাণ করি:

ড বিক্ষিপ্ত যেহেতু এটি একই অর্থ নেয়।

এখন দ্বিতীয় সম্পত্তি প্রমাণ করা যাক: D(CX) – М((СХ – М(СХ)) 2) = М((СХ)

CM(X)) 2) = M(C 2 (X – M(X)) 2) = C 2 M((X – M(X)) 2) = C 2 D(X)।

তৃতীয় সম্পত্তি প্রমাণ করতে, আমরা সূত্র তিনটি ব্যবহার করি:

D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2) = M(X 2) +2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y) – (M(Y)) 2 = M(X 2) - (M( X)) 2 +M(Y 2) – (M(Y)) 2 = D(X) – D(Y)।

তৃতীয় বৈশিষ্ট্যটি যেকোন সংখ্যক পেয়ারওয়াইজ স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

চতুর্থ সম্পত্তির প্রমাণ সূত্র (5) এবং (6) থেকে অনুসরণ করে।

D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D(– Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D( Y)।

যদি এলোমেলো চলকটি X হয় বিযুক্ত এবং এর বণ্টন আইন দেওয়া হয় P(X=x k) = p k (k= 1,2,3,n)।

এইভাবে, এলোমেলো পরিবর্তনশীল (X - M(X)) 2 এর নিম্নলিখিত বন্টন আইন রয়েছে: (k=1,2,3,n), =l।

গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, আমরা সূত্রটি পাই

একটি ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর বৈচিত্র্য, যার সমস্ত সম্ভাব্য মান সেগমেন্ট [a, b] এর অন্তর্গত, সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx (8)

যেখানে р(х) হল এই পরিমাণের বন্টন ঘনত্ব। সূত্রটি ব্যবহার করে বৈচিত্রটি গণনা করা যেতে পারে:

"4" এবং "5" গ্রেড সহ শিক্ষার্থীদের জন্য, বাড়িতে ফর্মুলা (9) প্রমাণ করা প্রয়োজন।

3. পরীক্ষার কাজ আকারে নতুন উপাদান একত্রীকরণ.

1) "বিচ্ছুরণ এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি" বিষয়ে পরীক্ষামূলক কাজ।

1. সংজ্ঞা চালিয়ে যান: প্রকরণ হল।

2. ভ্যারিয়েন্স গণনা করার জন্য সঠিক সূত্রটি বেছে নিন:

ক) D(X)=D(X) 2 – (D(X)) 2;
খ) D(X)=M(X – D(X 2));
c)D(X)=M((X-M(X)) 2);
ঘ) D(X)=M(X) 2 – (M(X)) 2;

একটি বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতার স্থানে প্রদত্ত এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর গাণিতিক প্রত্যাশা (গড় মান) হল সংখ্যা m =M[X]=∑x i p i যদি সিরিজটি একেবারে একত্রিত হয়।

সেবার উদ্দেশ্য. অনলাইন পরিষেবা ব্যবহার করে গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং প্রমিত বিচ্যুতি গণনা করা হয়(উদাহরণ দেখুন)। উপরন্তু, ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F(X) এর একটি গ্রাফ প্লট করা হয়েছে।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য

1. একটি ধ্রুবক মানের গাণিতিক প্রত্যাশা নিজের সমান: M[C]=C, C – ধ্রুবক;
2. M=C M[X]
3. র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের সমান: M=M[X]+M[Y]
4. স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সমান: M=M[X] M[Y] , যদি X এবং Y স্বাধীন হয়।

বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্য

1. একটি ধ্রুবক মানের প্রকরণ হল শূন্য: D(c)=0।
2. ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি বিচ্ছুরণ চিহ্নের নীচে থেকে বর্গ করে বের করা যেতে পারে: D(k*X) = k 2 D(X)।
3. যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y স্বাধীন হয়, তাহলে যোগফলের প্রকরণটি ভিন্নতার যোগফলের সমান: D(X+Y)=D(X)+D(Y)।
4. যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y নির্ভরশীল হয়: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. নিম্নলিখিত গণনা সূত্র বিচ্ছুরণের জন্য বৈধ:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

উদাহরণ। দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y এর গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্যগুলি পরিচিত: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6। এলোমেলো পরিবর্তনশীল Z=9X-8Y+7-এর গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজুন।
সমাধান। গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23।
বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

গাণিতিক প্রত্যাশা গণনার জন্য অ্যালগরিদম

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্য: তাদের সমস্ত মান প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা পুনঃসংখ্যা করা যেতে পারে; প্রতিটি মান একটি অ-শূন্য সম্ভাবনা বরাদ্দ করুন।

1. আমরা জোড়াগুলোকে এক এক করে গুণ করি: x i দ্বারা p i।
2. প্রতিটি জোড়ার গুণফল যোগ করুন x i p i।
   উদাহরণস্বরূপ, n = 4 এর জন্য: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনধাপে ধাপে, এটি সেই পয়েন্টগুলিতে আকস্মিকভাবে বৃদ্ধি পায় যার সম্ভাবনা ইতিবাচক।

উদাহরণ নং 1।

একাদশ	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

আমরা m = ∑x i p i সূত্র ব্যবহার করে গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজে পাই।
প্রত্যাশা M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
আমরা সূত্রটি d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 ব্যবহার করে পার্থক্য খুঁজে পাই।
ভ্যারিয়েন্স ডি[এক্স].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
আদর্শ বিচ্যুতি σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

উদাহরণ নং 2। একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নিম্নলিখিত বন্টন সিরিজ রয়েছে:

এক্স	-10	-5	0	5	10
আর	ক	0,32	2ক	0,41	0,03

a এর মান, গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এই এলোমেলো চলকের আদর্শ বিচ্যুতি খুঁজুন।

সমাধান। সম্পর্ক থেকে a এর মান পাওয়া যায়: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 বা 0.24=3 a , যেখান থেকে a = 0.08

উদাহরণ নং 3। একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন আইন নির্ধারণ করুন যদি এর প্রকরণ জানা থাকে এবং x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 = x; x 4 =15
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 =0.3
d(x)=12.96

সমাধান।
এখানে আপনাকে ভেরিয়েন্স d(x) খোঁজার জন্য একটি সূত্র তৈরি করতে হবে:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
যেখানে প্রত্যাশা m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
আমাদের ডেটার জন্য
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
অথবা -9/100 (x 2 -20x+96)=0
তদনুসারে, আমাদের সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করতে হবে এবং তাদের মধ্যে দুটি থাকবে।
x 3 =8, x 3 =12
শর্ত x 1 পূরণ করে এমন একটি চয়ন করুন x 3 =12

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 =0.3

এটি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তার প্রত্যাশার বর্গক্ষেত্রের মধ্যে পার্থক্য।

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

বিচ্ছুরণ তার প্রত্যাশিত মানের সাপেক্ষে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের মানের বিচ্ছুরণের মাত্রাকে চিহ্নিত করে। যদি সমস্ত মান তার প্রত্যাশিত মানের চারপাশে ঘনিষ্ঠভাবে কেন্দ্রীভূত হয় এবং প্রত্যাশিত মান থেকে বিচ্যুতি বেশি হয়, তাহলে এই ধরনের একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ছোট বিচ্ছুরণ থাকে এবং যদি এটি বিক্ষিপ্ত হয় এবং M থেকে বড় বিচ্যুতির সম্ভাবনা বেশি হয়, তাহলে র্যান্ডম মান একটি বড় বিচ্ছুরণ আছে.

বৈশিষ্ট্য:

1. পার্থক্য ক্রমাগত 0 D(C)=0 এর সমান

2. একটি ধ্রুবক C দ্বারা একটি এলোমেলো পরিমাণের গুণফলের বিচ্ছুরণ একটি ধ্রুবক D(CX)=C^2D(X) এর বর্গ দ্বারা একটি এলোমেলো পরিমাণ X এর বিচ্ছুরণের গুণফলের সমান

3. যদি X এবং Y মানগুলি স্বতন্ত্র হয়, তাহলে তাদের যোগফলের (পার্থক্য) বৈচিত্র্যের যোগফলের সমান হবে

D(X Y)=D(X)+D(Y)

4. একটি ধ্রুবক যোগ করা হলে কেস মানগুলির বিচ্ছুরণ পরিবর্তন হবে না

উপপাদ্য:

n স্বাধীন ট্রায়ালে ঘটনার সংঘটনের সংখ্যার পার্থক্য যার প্রতিটিতে ঘটনার সংঘটনের সম্ভাবনা ধ্রুবক এবং p এর সমান ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা এবং অ-সম্ভাব্যতা দ্বারা বিচারের সংখ্যার গুণফলের সমান -এক বিচারে ইভেন্টের উপস্থিতি

আদর্শ চ্যুতি।

একটি এলোমেলো চলক X এর গড় বর্গ বিচ্যুতি হল প্রকরণের গাণিতিক মূল

ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল। সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন এবং এর বৈশিষ্ট্য।

একটি এলোমেলো চলক যার মান একটি নির্দিষ্ট ব্যবধান পূরণ করে তাকে বলা হয় একটানা.

ব্যবধান সসীম, আধা-অসীম বা অসীম হতে পারে।

বিতরণ ফাংশন সেন্ট.

DSV নির্দিষ্ট করার পদ্ধতিগুলি ক্রমাগত জন্য প্রযোজ্য নয়। এই বিষয়ে, একটি সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন ধারণা চালু করা হয়।

ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হল একটি ফাংশন F(x) যা প্রতিটি মানের জন্য x সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে যে X মানের ক্ষেত্রে x এর চেয়ে কম একটি মান লাগবে, যেমন

সম্ভাব্যতা (p1,p2,p3) সহ মান (x1,x2,x3) গ্রহণ করে DSV-এর বিতরণ ফাংশন নির্ধারণ করা হয়

সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, দ্বিপদ বন্টনের বন্টন ফাংশন সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে অবিচ্ছিন্ন বলা হয় যদি এর বন্টন ফাংশন একটি ক্রমাগত ডেরিভেটিভ সহ একটি অবিচ্ছিন্ন, আংশিকভাবে পার্থক্যযোগ্য ফাংশন হয়।

বৈশিষ্ট্য:

1. ফাংশন মান অন্তর্গত

2. ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন হল একটি অ-হ্রাসকারী ফাংশন F(x2)

3. সম্ভাব্যতা যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল X ব্যবধান (α,β) এর মধ্যে থাকা একটি মান গ্রহণ করবে এই ব্যবধান P(α) এর বন্টন ফাংশনের বৃদ্ধির সমান

পরিণতি। একটি কেস একটি মান গ্রহণ করার সম্ভাবনা 0।

4. যদি X মানের সমস্ত সম্ভাব্য মান (a,b) এর অন্তর্গত তাহলে x a এর জন্য F(x)=0 এবং x b এর জন্য F(x)=1

5. X মানের ক্ষেত্রে x এর চেয়ে বড় একটি মান নেওয়ার সম্ভাবনা একতা এবং বন্টন ফাংশনের মধ্যে পার্থক্যের সমান

ভিন্নতাএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গ বিচ্যুতির গাণিতিক প্রত্যাশা (যদি পরবর্তীটি বিদ্যমান থাকে):

D(x) = M((x-M(x)) 2)।

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য:

যদি একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল অসীম সংখ্যক মান গ্রহণ করতে পারে, ডান পাশের যোগফলটি একটি সিরিজ হবে।

প্রকরণ কেন গণনা করা হয়? গাণিতিক প্রত্যাশা নিজেই আমাদের অধ্যয়নের অধীনে ঘটনার প্রকৃতি সম্পর্কে বা কীভাবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করতে পারে তার সঠিক ধারণা দেয় না। আমরা শুধুমাত্র বিপুল সংখ্যক পরীক্ষা-নিরীক্ষা থেকে এর গড় মান জানি, তবে এই সংখ্যার চারপাশে এর মানগুলির গড় বিস্তার কত তা আমরা বিচার করতে পারি না। বিচ্ছুরণ আমাদের এই বিচার করতে পারবেন. এটি গণনা করার সময়, বিচ্যুতিগুলিকে একটি বর্গ হিসাবে নেওয়া হয়, কারণ অন্যথায় বিভিন্ন দিকের বিচ্যুতিগুলি (মানগুলি গড়ের চেয়ে বড় এবং কম) একে অপরকে ক্ষতিপূরণ দেবে। চিহ্ন থেকে পরিত্রাণ পেতে বর্গক্ষেত্রের পছন্দ এবং অন্য কোনো ক্রিয়া নয় (উদাহরণস্বরূপ, মডুলো) এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে গাণিতিক পরিসংখ্যান দ্বারা অধ্যয়ন করা বিচ্ছুরণের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ এই সত্যের উপর ভিত্তি করে।

বিচ্ছুরণের জন্য উপরের অভিব্যক্তিটি ব্যবহারিক গণনার জন্য অসুবিধাজনক, তাই আমরা অন্য একটি বের করব।

আমরা প্রমাণ ছাড়াই বিচ্ছুরণের কিছু বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন করি:

1) পার্থক্যটি অ-নেতিবাচক (সংজ্ঞা অনুসারে):

2) ধ্রুবকের প্রকরণ শূন্য:

с – const D(c) = 0

উদাহরণস্বরূপ, যদি একজন কর্মচারী একটি ধ্রুবক বেতন x = 30 (হাজার রুবেল) পান, তবে তার বিচ্ছুরণ শূন্যের সমান হবে (আসলে, বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্যটি শূন্য)।

3) ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি বর্গ করে বিচ্ছুরণ চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:

с – const D(cx) = c 2 D(x)

উদাহরণস্বরূপ, কর্মচারীর মজুরি বিচ্ছুরণ 4 (x – মজুরি, D(x) = 4) এর সমান হতে দিন। অন্য কর্মচারী সর্বদা প্রথমের চেয়ে 20% বেশি পায়, যেমন দ্বিতীয় কর্মীর বেতন হল 1.2*x। তারপর দ্বিতীয় কর্মচারীর মজুরির বিচ্ছুরণ হল D(1.2*x) =
= 1.2 2 *D(x) = 1.44*4 = 5.76।

4) স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, তাদের যোগফলের প্রকরণটি প্রকরণের যোগফলের সমান:

D(x + y) = D(x) + D(y) (স্বতন্ত্র x এবং y এর জন্য)

উদাহরণস্বরূপ, একজন শ্রমিকের মজুরির বিচ্ছুরণ 4 (x হল তার মজুরি, D(x) = 4), এবং অন্য - 5 (y হল তার মজুরি, D(y) = 5)। তাহলে মোট মজুরির বিচ্ছুরণ হবে D(x +
+ y) = D(x) + D(y) = 4 + 5 = 9. যাইহোক, এইভাবে গণনা করা যেতে পারে শুধুমাত্র যদি এই শ্রমিকদের মজুরি একে অপরের উপর নির্ভর না করে। তারা নির্ভরশীল হলে, সূত্র ব্যবহার করা যাবে না।

এটি লক্ষ করা উচিত যে দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে পার্থক্যের প্রকরণটিও ভিন্নতার সমষ্টির সমান হবে (এবং পার্থক্য নয়)। এটি বৈশিষ্ট্য (3) এবং (4) থেকে অনুসরণ করে, যেহেতু গুণনীয়ক (-1) এর বর্গ করলে ফলাফল 1 হয়।

প্রপার্টি (4) শুধুমাত্র দুটির জন্য নয়, যেকোনো সীমাবদ্ধ সংখ্যক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সত্য হবে।

5) যখন একটি ধ্রুবক দ্বারা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত মান বৃদ্ধি (হ্রাস) হয়, তখন এর বিচ্ছুরণ পরিবর্তন হবে না (এটি বৈশিষ্ট্য (2) এবং (4) থেকে অনুসরণ করে:

с – const D(x - с) = D(x)

উদাহরণস্বরূপ, যদি গড় মাসিক বেতনের পার্থক্য 4 হয় এবং প্রতি মাসে বেতন থেকে 800 রুবেল কাটা হয়। একটি ভ্রমণ টিকিটের জন্য অর্থ প্রদান করতে, তারপর বেতন বিয়োগ ভ্রমণ কার্ডের জন্য অর্থপ্রদান এখনও 4 এর সমান হবে।

উদাহরণস্বরূপ, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল x বিবেচনা করুন - প্রতিদিন বিক্রি হওয়া গাড়ির সংখ্যা। এই মানটি 100 দিনের বেশি পরিমাপ করা হয়েছিল, এবং এই সময়ের মধ্যে এটি যথাক্রমে (0; 1; 2; 3; 4) 18, 15, 28, 15 এবং 24 বার মান নিয়েছে। সম্ভাব্যতা বণ্টন x এর প্রকরণ নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

আমরা ধরে নেব যে পরীক্ষার সংখ্যা - 100 - যথেষ্ট বড় যে আমরা আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিটিকে সম্ভাব্যতার একটি অভিজ্ঞতামূলক অনুমান হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। অতএব, সম্ভাব্যতা নির্ণয় করার জন্য, আমরা প্রতিটি ফ্রিকোয়েন্সিকে 100 দ্বারা ভাগ করি। আসুন সম্ভাব্যতা বন্টনটি সারণি 2 আকারে উপস্থাপন করি, সহায়ক গণনার জন্য এতে দুটি লাইন যোগ করি।

টেবিল ২

6,46-2,12 2 1,97.

প্রাপ্ত অনুমান ব্যবহার করা এখনও কঠিন বলে মনে হচ্ছে। এটিকে গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে তুলনা করা যায় না, যেহেতু এর পরিমাপের একক অর্থনৈতিক অর্থবোধ করে না ("কার বর্গ")। অতএব, 2.12 মানের চারপাশে বিক্রয় সংখ্যার বিচ্ছুরণ সত্যিই এত বড় কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য, আমরা বিচ্ছুরণের মূলটি গ্রহণ করি . প্রাপ্ত ফলাফলে বিবেচনাধীন এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে পরিমাপের একই একক রয়েছে (এই ক্ষেত্রে এটি গাড়ির সংখ্যায় পরিমাপ করা হয়, যেমন টুকরোতে)।

এই পরিমাণ বলা হয় আদর্শ চ্যুতি(RMS) এবং বোঝান .

RMS = 1.4 (pcs.) - এটা কি অনেক বা সামান্য? সম্ভবত, যদি বিক্রয় পরিমাণ গড় হয়, উদাহরণস্বরূপ, প্রতিদিন 10টি গাড়ি, তবে এই মানটি একটি ছোট স্প্রেডকে চিহ্নিত করবে। এক্ষেত্রে
M = 2.12 (টুকরা)। প্রাপ্ত ফলাফলের মূল্যায়ন করার জন্য, একটি আপেক্ষিক সূচক গণনা করা প্রয়োজন যা আপনাকে গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে মানক বিচ্যুতি তুলনা করার অনুমতি দেবে।

একটি এলোমেলো চলকের গাণিতিক প্রত্যাশার মান বিচ্যুতির অনুপাতকে বলা হয় প্রকরণ সহগ: . এটি একটি মাত্রাবিহীন পরিমাণ (আপনি এটিকে 100% দ্বারা গুণ করে শতাংশে রূপান্তর করতে পারেন)।

বিবেচিত উদাহরণের জন্য, প্রকরণের সহগ হল 1.4/2.12 =
= 0.66 বা 66%।

উপরে আলোচনা করা গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ, মান বিচ্যুতি এবং প্রকরণের সহগ হল সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যআমার স্নাতকের। এগুলি ছাড়াও, অন্যান্য সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা আমরা এখন বিবেচনা করব না।

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব গণিতের একটি বিশেষ শাখা যা শুধুমাত্র উচ্চ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীরা অধ্যয়ন করে। আপনি গণনা এবং সূত্র পছন্দ করেন? আপনি কি সাধারণ বন্টন, এনট্রপি, গাণিতিক প্রত্যাশা এবং একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণের সাথে পরিচিত হওয়ার সম্ভাবনা দেখে ভয় পাচ্ছেন না? তাহলে এই বিষয়টা আপনার কাছে খুবই আকর্ষণীয় হবে। আসুন বিজ্ঞানের এই শাখার বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক ধারণার সাথে পরিচিত হই।

এর মূল কথা মনে রাখা যাক

এমনকি যদি আপনি সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সহজতম ধারণাগুলি মনে রাখেন তবে নিবন্ধের প্রথম অনুচ্ছেদগুলিকে অবহেলা করবেন না। মোদ্দা কথা হল যে বেসিকগুলি সম্পর্কে পরিষ্কার বোঝা ছাড়া, আপনি নীচে আলোচনা করা সূত্রগুলির সাথে কাজ করতে সক্ষম হবেন না।

সুতরাং, কিছু এলোমেলো ঘটনা ঘটে, কিছু পরীক্ষা। আমরা যে ক্রিয়াকলাপগুলি গ্রহণ করি তার ফলস্বরূপ, আমরা বেশ কয়েকটি ফলাফল পেতে পারি - তাদের মধ্যে কিছু প্রায়শই ঘটে, অন্যগুলি কম প্রায়ই। একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা হল একটি প্রকারের প্রকৃত প্রাপ্ত ফলাফলের সংখ্যা এবং সম্ভাব্যগুলির মোট সংখ্যার অনুপাত। শুধুমাত্র এই ধারণার ধ্রুপদী সংজ্ঞা জেনে আপনি ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণ অধ্যয়ন শুরু করতে পারেন।

গড়

স্কুলে ফিরে, গণিত পাঠের সময়, আপনি পাটিগণিত গড় নিয়ে কাজ শুরু করেছিলেন। এই ধারণাটি সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, এবং তাই উপেক্ষা করা যায় না। এই মুহুর্তে আমাদের জন্য প্রধান জিনিস হল যে আমরা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণের সূত্রগুলিতে এটির মুখোমুখি হব।

আমাদের সংখ্যার একটি ক্রম আছে এবং আমরা পাটিগণিতের গড় বের করতে চাই। আমাদের জন্য যা প্রয়োজন তা হল উপলব্ধ সমস্ত কিছুর যোগফল এবং অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা। আমাদের 1 থেকে 9 পর্যন্ত সংখ্যা আছে। উপাদানগুলির যোগফল 45 এর সমান হবে, এবং আমরা এই মানটিকে 9 দ্বারা ভাগ করব। উত্তর:- 5।

বিচ্ছুরণ

বৈজ্ঞানিক পরিভাষায়, বিচ্ছুরণ হল পাটিগণিত গড় থেকে একটি বৈশিষ্ট্যের প্রাপ্ত মানগুলির বিচ্যুতির গড় বর্গ। এটি একটি বড় ল্যাটিন অক্ষর D দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি গণনা করার জন্য কী প্রয়োজন? অনুক্রমের প্রতিটি উপাদানের জন্য, আমরা বিদ্যমান সংখ্যা এবং গাণিতিক গড়ের মধ্যে পার্থক্য গণনা করি এবং এটিকে বর্গ করি। আমরা যে ইভেন্টটি বিবেচনা করছি তার জন্য যতগুলি ফলাফল হতে পারে ঠিক ততগুলি মান থাকবে। এর পরে, আমরা প্রাপ্ত সমস্ত কিছু যোগ করি এবং অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যা দ্বারা ভাগ করি। আমাদের যদি পাঁচটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে, তাহলে পাঁচ দিয়ে ভাগ করুন।

বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্যগুলিও রয়েছে যা সমস্যার সমাধান করার সময় ব্যবহার করার জন্য মনে রাখা দরকার। উদাহরণস্বরূপ, যখন একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলকে X গুন বাড়ানো হয়, তখন ভ্যারিয়েন্সটি X বর্গ গুণ বৃদ্ধি পায় (যেমন X*X)। এটি কখনই শূন্যের কম নয় এবং সমান পরিমাণে মান উপরে বা নীচে স্থানান্তরের উপর নির্ভর করে না। উপরন্তু, স্বাধীন ট্রায়ালের জন্য, যোগফলের প্রকরণটি বৈচিত্র্যের যোগফলের সমান।

এখন আমাদের অবশ্যই একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ভিন্নতার উদাহরণ এবং গাণিতিক প্রত্যাশা বিবেচনা করতে হবে।

ধরা যাক আমরা 21টি পরীক্ষা চালিয়েছি এবং 7টি ভিন্ন ফলাফল পেয়েছি। আমরা তাদের প্রত্যেককে যথাক্রমে 1, 2, 2, 3, 4, 4 এবং 5 বার পর্যবেক্ষণ করেছি। প্রকরণটি কিসের সমান হবে?

প্রথমে, পাটিগণিত গড় গণনা করা যাক: উপাদানগুলির যোগফল, অবশ্যই, 21। এটিকে 7 দ্বারা ভাগ করুন, 3 পাবেন। এখন মূল অনুক্রমের প্রতিটি সংখ্যা থেকে 3 বিয়োগ করুন, প্রতিটি মানকে বর্গ করুন এবং ফলাফলগুলি একসাথে যোগ করুন। ফলাফল হল 12. এখন আমাদের যা করতে হবে তা হল সংখ্যাটিকে উপাদানের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা, এবং মনে হবে, এটিই সব। কিন্তু একটা ধরা আছে! এর আলোচনা করা যাক.

পরীক্ষার সংখ্যার উপর নির্ভরশীলতা

দেখা যাচ্ছে যে প্রকরণ গণনা করার সময়, হর দুটি সংখ্যার একটি ধারণ করতে পারে: হয় N বা N-1। এখানে N হল সঞ্চালিত পরীক্ষার সংখ্যা বা অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যা (যা মূলত একই জিনিস)। এই কি উপর নির্ভর করে?

যদি পরীক্ষার সংখ্যা শতভাগে পরিমাপ করা হয়, তাহলে আমাদের অবশ্যই N-কে হর-এ রাখতে হবে, তাহলে N-1। বিজ্ঞানীরা সীমানাটি বেশ প্রতীকীভাবে আঁকার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন: আজ এটি 30 নম্বরের মধ্য দিয়ে যায়। যদি আমরা 30 টিরও কম পরীক্ষা পরিচালনা করি, তাহলে আমরা পরিমাণটি N-1 দ্বারা ভাগ করব, এবং বেশি হলে N দ্বারা।

টাস্ক

চলুন বৈচিত্র্য এবং গাণিতিক প্রত্যাশার সমস্যা সমাধানের আমাদের উদাহরণে ফিরে আসি। আমরা একটি মধ্যবর্তী সংখ্যা 12 পেয়েছি, যাকে N বা N-1 দ্বারা ভাগ করা দরকার। যেহেতু আমরা 21টি পরীক্ষা চালিয়েছি, যা 30টির কম, আমরা দ্বিতীয় বিকল্পটি বেছে নেব। সুতরাং উত্তর হল: প্রকরণ হল 12/2 = 2।

প্রত্যাশিত মান

আসুন দ্বিতীয় ধারণার দিকে এগিয়ে যাই, যা আমাদের এই নিবন্ধে বিবেচনা করতে হবে। গাণিতিক প্রত্যাশা হল সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা দ্বারা গুণিত সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফল যোগ করার ফলাফল। এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে প্রাপ্ত মান, সেইসাথে বৈকল্পিক গণনা করার ফলাফল, সমগ্র সমস্যার জন্য শুধুমাত্র একবার প্রাপ্ত হয়, এতে কতগুলি ফলাফল বিবেচনা করা হয় না কেন।

গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্রটি বেশ সহজ: আমরা ফলাফলটি গ্রহণ করি, এটির সম্ভাব্যতা দ্বারা গুণ করি, দ্বিতীয়, তৃতীয় ফলাফলের জন্য একই যোগ করি, ইত্যাদি। এই ধারণার সাথে সম্পর্কিত সবকিছু গণনা করা কঠিন নয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রত্যাশিত মানের যোগফল যোগফলের প্রত্যাশিত মানের সমান। কাজের ক্ষেত্রেও একই কথা। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের প্রতিটি পরিমাণ আপনাকে এই ধরনের সহজ অপারেশন করার অনুমতি দেয় না। আসুন সমস্যাটি নেওয়া যাক এবং আমরা একবারে অধ্যয়ন করা দুটি ধারণার অর্থ গণনা করি। এছাড়াও, আমরা তত্ত্ব দ্বারা বিভ্রান্ত ছিলাম - এটি অনুশীলন করার সময়।

আরও একটি উদাহরণ

আমরা 50টি ট্রায়াল চালিয়েছি এবং 10 ধরনের ফলাফল পেয়েছি - 0 থেকে 9 পর্যন্ত সংখ্যা - বিভিন্ন শতাংশে উপস্থিত। এগুলি যথাক্রমে: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%। মনে রাখবেন যে সম্ভাব্যতাগুলি পেতে, আপনাকে শতাংশের মানগুলিকে 100 দ্বারা ভাগ করতে হবে। এইভাবে, আমরা 0.02 পাই; 0.1, ইত্যাদি চলুন একটি এলোমেলো চলকের পরিবর্তন এবং গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ উপস্থাপন করা যাক।

প্রাথমিক বিদ্যালয় থেকে আমরা যে সূত্রটি মনে রাখি তা ব্যবহার করে আমরা পাটিগণিত গড় গণনা করি: 50/10 = 5।

এখন গণনা করা সহজ করার জন্য সম্ভাব্যতাগুলিকে "টুকরো টুকরো" ফলাফলের সংখ্যায় রূপান্তর করা যাক। আমরা 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 এবং 9 পাই। প্রাপ্ত প্রতিটি মান থেকে, আমরা গাণিতিক গড় বিয়োগ করি, যার পরে আমরা প্রাপ্ত ফলাফলগুলির প্রতিটি বর্গ করি। একটি উদাহরণ হিসাবে প্রথম উপাদান ব্যবহার করে কিভাবে এটি করতে দেখুন: 1 - 5 = (-4)। পরবর্তী: (-4) * (-4) = 16. অন্যান্য মানের জন্য, এই অপারেশনগুলি নিজে করুন। আপনি যদি সবকিছু সঠিকভাবে করেন তবে সেগুলি যোগ করার পরে আপনি 90 পাবেন।

আসুন 90 কে N দ্বারা ভাগ করে প্রকরণ এবং প্রত্যাশিত মান গণনা করা চালিয়ে যাই। কেন আমরা N-1 এর পরিবর্তে N বেছে নেব? সঠিক, কারণ সম্পাদিত পরীক্ষার সংখ্যা 30 ছাড়িয়ে গেছে। তাই: 90/10 = 9। আমরা ভিন্নতা পেয়েছি। আপনি যদি একটি ভিন্ন নম্বর পান, হতাশ হবেন না। সম্ভবত, আপনি গণনায় একটি সাধারণ ভুল করেছেন। আপনি যা লিখেছেন তা দুবার চেক করুন, এবং সম্ভবত সবকিছু ঠিক হয়ে যাবে।

অবশেষে, গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্রটি মনে রাখবেন। আমরা সমস্ত গণনা দেব না, আমরা শুধুমাত্র একটি উত্তর লিখব যা আপনি সমস্ত প্রয়োজনীয় প্রক্রিয়া সম্পন্ন করার পরে চেক করতে পারেন। প্রত্যাশিত মান 5.48 হবে। আসুন আমরা শুধু মনে করি কিভাবে অপারেশন করা যায়, উদাহরণ হিসাবে প্রথম উপাদানগুলি ব্যবহার করে: 0*0.02 + 1*0.1... এবং আরও অনেক কিছু। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমরা কেবল ফলাফলের মানটিকে তার সম্ভাব্যতা দ্বারা গুণ করি।

বিচ্যুতি

বিচ্ছুরণ এবং গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত আরেকটি ধারণা হল আদর্শ বিচ্যুতি। এটি ল্যাটিন অক্ষর sd দ্বারা বা গ্রীক ছোট হাতের "সিগমা" দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই ধারণাটি দেখায় যে মানগুলি কেন্দ্রীয় বৈশিষ্ট্য থেকে গড়ে কতটা বিচ্যুত হয়। এর মান খুঁজে পেতে, আপনাকে প্রকরণের বর্গমূল গণনা করতে হবে।

আপনি যদি একটি সাধারণ বন্টন গ্রাফ প্লট করেন এবং এটিতে সরাসরি বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতি দেখতে চান তবে এটি বেশ কয়েকটি পর্যায়ে করা যেতে পারে। চিত্রের অর্ধেকটি মোডের বাম বা ডানে নিন (কেন্দ্রীয় মান), অনুভূমিক অক্ষে একটি লম্ব আঁকুন যাতে ফলস্বরূপ পরিসংখ্যানগুলির ক্ষেত্রগুলি সমান হয়। ডিস্ট্রিবিউশনের মাঝামাঝি এবং অনুভূমিক অক্ষের উপর ফলস্বরূপ অভিক্ষেপের মধ্যবর্তী অংশের আকার আদর্শ বিচ্যুতির প্রতিনিধিত্ব করবে।

সফটওয়্যার

সূত্রের বর্ণনা এবং উপস্থাপিত উদাহরণগুলি থেকে দেখা যায়, বৈচিত্র্য এবং গাণিতিক প্রত্যাশা গণনা করা একটি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি নয়। সময় নষ্ট না করার জন্য, উচ্চ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে ব্যবহৃত প্রোগ্রামটি ব্যবহার করা বোধগম্য - এটিকে "আর" বলা হয়। এটিতে ফাংশন রয়েছে যা আপনাকে পরিসংখ্যান এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্ব থেকে অনেক ধারণার জন্য মান গণনা করতে দেয়।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি মানগুলির একটি ভেক্টর নির্দিষ্ট করুন। এটি নিম্নরূপ করা হয়: ভেক্টর<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

অবশেষে

বিচ্ছুরণ এবং গাণিতিক প্রত্যাশা যা ছাড়া ভবিষ্যতে কিছু গণনা করা কঠিন। বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে বক্তৃতাগুলির মূল কোর্সে, তারা ইতিমধ্যেই বিষয় অধ্যয়নের প্রথম মাসগুলিতে আলোচনা করা হয়। এই সহজ ধারণাগুলির বোঝার অভাব এবং তাদের গণনা করার অক্ষমতার কারণেই অনেক শিক্ষার্থী অবিলম্বে প্রোগ্রামে পিছিয়ে পড়তে শুরু করে এবং পরে সেশনের শেষে খারাপ গ্রেড পায়, যা তাদের বৃত্তি থেকে বঞ্চিত করে।

অন্তত এক সপ্তাহ, দিনে আধা ঘণ্টা অনুশীলন করুন, এই নিবন্ধে উপস্থাপিত কাজের মতো কাজগুলি সমাধান করুন। তারপরে, সম্ভাব্যতা তত্ত্বের যে কোনও পরীক্ষায়, আপনি বহিরাগত টিপস এবং চিট শীট ছাড়াই উদাহরণগুলির সাথে মোকাবিলা করতে সক্ষম হবেন।