এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিস্টেমের অভিন্ন এবং স্বাভাবিক বন্টনের আইন। দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের সাধারণ বন্টন আইন

আসুন দুটি এলোমেলো ক্রমাগত চলকের একটি সিস্টেম বিবেচনা করি। এই সিস্টেমের বন্টন আইন হল স্বাভাবিক বন্টন আইন যদি এই সিস্টেমের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের ফর্ম থাকে

. (1.18.35)

এটা দেখানো যেতে পারে যে এখানে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা, তাদের মানক বিচ্যুতি এবং ভেরিয়েবলের পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ। সূত্র ব্যবহার করে গণনা (1.18.31) এবং (1.18.35) দেয়

. (1.18.36)

এটা সহজে দেখা যায় যে যদি স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী বন্টিত এলোমেলো ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কযুক্ত না হয়, তাহলে তারাও স্বাধীন

সুতরাং, স্বাভাবিক বন্টন আইনের জন্য, অ-সম্পর্ক এবং স্বাধীনতা সমতুল্য ধারণা।

যদি , তাহলে র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি নির্ভরশীল। শর্তাধীন বন্টন আইন সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয় (1.18.20)

. (1.18.37)

উভয় আইন (1.18.37) স্বাভাবিক বন্টন প্রতিনিধিত্ব করে। আসলে, আসুন, উদাহরণস্বরূপ, সম্পর্কের দ্বিতীয়টি (1.18.37) ফর্মে রূপান্তর করি

এটি সত্যিই একটি স্বাভাবিক বন্টন আইন, যা আছে শর্তযুক্ত গাণিতিক প্রত্যাশা সমান

, (1.18.38)

ক শর্তাধীন মান বিচ্যুতি সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

. (1.18.39)

লক্ষ্য করুন যে একটি নির্দিষ্ট মানের একটি পরিমাণের বন্টনের শর্তাধীন আইনে, শুধুমাত্র শর্তযুক্ত গাণিতিক প্রত্যাশা এই মানের উপর নির্ভর করে, কিন্তু নয় শর্তাধীন বৈচিত্র – .

স্থানাঙ্ক সমতলে, নির্ভরতা (1.18.38) একটি সরল রেখা

, (1.18.40)

চমগ্মজগচ প্রত্যাগতি সীমা চালু ।

একটি সম্পূর্ণ অনুরূপ পদ্ধতিতে, এটি প্রতিষ্ঠিত হয় যে একটি নির্দিষ্ট মানের একটি পরিমাণের শর্তসাপেক্ষ বন্টন

, (1.18.41)

শর্তসাপেক্ষ গাণিতিক প্রত্যাশা সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন আছে

, (1.18.42)

শর্তাধীন মান বিচ্যুতি

. (1.18.43)

এই ক্ষেত্রে, রিগ্রেশন লাইন মত দেখায়

. (1.18.44)

রিগ্রেশন লাইন (1.18.40) এবং (1.18.44) শুধুমাত্র তখনই মিলে যায় যখন রাশির মধ্যে সম্পর্ক এবং রৈখিক হয়। যদি পরিমাণ এবং স্বাধীন হয়, রিগ্রেশন রেখাগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির সমান্তরাল হয়।

কাজের শেষ -

এই বিষয়টি বিভাগের অন্তর্গত:

গণিত সম্ভাব্যতা তত্ত্ব গাণিতিক পরিসংখ্যান বক্তৃতা নোট

উচ্চতর গণিত এবং কম্পিউটার বিজ্ঞান বিভাগ.. লেকচার নোট.. গণিতে..

আপনার যদি এই বিষয়ে অতিরিক্ত উপাদানের প্রয়োজন হয়, বা আপনি যা খুঁজছিলেন তা খুঁজে না পান, আমরা আমাদের কাজের ডাটাবেসে অনুসন্ধান ব্যবহার করার পরামর্শ দিই:

প্রাপ্ত উপাদান দিয়ে আমরা কী করব:

যদি এই উপাদানটি আপনার জন্য উপযোগী হয়, আপনি সামাজিক নেটওয়ার্কগুলিতে আপনার পৃষ্ঠায় এটি সংরক্ষণ করতে পারেন:

এই বিভাগে সমস্ত বিষয়:

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব হল গণিতের একটি শাখা যেখানে এলোমেলো ভরের ঘটনাগুলির নিদর্শনগুলি অধ্যয়ন করা হয়। এলোমেলো একটি ঘটনা বলা হয়

সম্ভাব্যতার পরিসংখ্যানগত সংজ্ঞা
একটি ঘটনা একটি এলোমেলো ঘটনা যা অভিজ্ঞতার ফলস্বরূপ প্রদর্শিত হতে পারে বা নাও হতে পারে (অস্পষ্ট ঘটনা)। বড় লাতিন অক্ষরে ইভেন্টগুলি নির্দেশ করুন

প্রাথমিক ইভেন্টের স্থান
কিছু অভিজ্ঞতার সাথে যুক্ত অনেক ঘটনা থাকতে দিন, এবং: 1) অভিজ্ঞতার ফলস্বরূপ একটি এবং শুধুমাত্র একটি জিনিস উপস্থিত হয়

ইভেন্টের উপর কর্ম
দুটি ঘটনার যোগফল এবং

পুনর্বিন্যাস
উপাদানের বিভিন্ন স্থানান্তরের সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

প্লেসমেন্ট
অনুযায়ী উপাদান স্থাপন করে

কম্বিনেশন
উপাদানের সংমিশ্রণ

বেমানান ইভেন্টের জন্য সম্ভাব্যতা যোগ করার জন্য সূত্র
উপপাদ্য। দুটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ ঘটনার যোগফলের সম্ভাবনা এই ঘটনার সম্ভাব্যতার সমষ্টির সমান। (১

নির্বিচারে ইভেন্টের জন্য সম্ভাব্যতা যোগ করার সূত্র
উপপাদ্য। দুটি ইভেন্টের যোগফলের সম্ভাবনা তাদের গুণফলের সম্ভাব্যতা ছাড়াই এই ঘটনার সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান।

সম্ভাবনা গুণন সূত্র
দুটি ঘটনা এবং দেওয়া যাক. ঘটনাটি বিবেচনা করুন

মোট সম্ভাব্যতা সূত্র
বেমানান ইভেন্টগুলির একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী হোক তাদের অনুমান বলা হয়। কিছু ঘটনা বিবেচনা করুন

হাইপোথিসিস সম্ভাব্যতা সূত্র (বায়েসিয়ান)
এর আবার বিবেচনা করা যাক - বেমানান অনুমান এবং ঘটনা সম্পূর্ণ গ্রুপ

অ্যাসিম্পটোটিক পয়সন সূত্র
এমন ক্ষেত্রে যেখানে পরীক্ষার সংখ্যা বেশি এবং একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা

এলোমেলো বিযুক্ত পরিমাণ
একটি এলোমেলো পরিমাণ এমন একটি পরিমাণ যা, যখন পরীক্ষাটি পুনরাবৃত্তি করা হয়, তখন অসম সংখ্যাসূচক মান গ্রহণ করতে পারে। এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে বলা হয় বিযুক্ত,

এলোমেলো একটানা চলক
যদি, পরীক্ষার ফলস্বরূপ, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি নির্দিষ্ট সেগমেন্ট বা সম্পূর্ণ বাস্তব অক্ষ থেকে যে কোনও মান গ্রহণ করতে পারে, তবে একে অবিচ্ছিন্ন বলা হয়। আইন

একটি এলোমেলো অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীলের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন
হতে দিন। আসুন একটি বিন্দু বিবেচনা করুন এবং এটি বৃদ্ধি দিন

এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য
এলোমেলো বিযুক্ত বা অবিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবলগুলিকে সম্পূর্ণরূপে নির্দিষ্ট বলে বিবেচনা করা হয় যদি তাদের বন্টন আইন জানা থাকে। আসলে, বন্টন আইন জেনে, আপনি সর্বদা আঘাতের সম্ভাবনা গণনা করতে পারেন

এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিমাণ
একটি এলোমেলো অবিচ্ছিন্ন চলকের ক্রম এর কোয়ান্টাইল

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা তার গড় মানকে চিহ্নিত করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত মান এই মানের চারপাশে গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়। আসুন প্রথমে র্যান্ডম ডিসক্রিট ভ্যারিয়েবল বিবেচনা করি

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি এবং বিচ্ছুরণ
আসুন প্রথমে একটি এলোমেলো বিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীল বিবেচনা করি। সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য মোড, মধ্যমা, কোয়ান্টাইল এবং গাণিতিক প্রত্যাশা

এলোমেলো ভেরিয়েবলের মুহূর্ত
গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণ ছাড়াও, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব উচ্চ ক্রমগুলির সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, যেগুলিকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহূর্ত বলা হয়।

এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যের উপর উপপাদ্য
উপপাদ্য 1. একটি নন-এলোমেলো মানের গাণিতিক প্রত্যাশা এই মানেরই সমান। প্রমাণ: যাক

দ্বিপদী বন্টন আইন

বিষ বিতরণ আইন
একটি র্যান্ডম বিযুক্ত চলক মান নিতে দিন

অভিন্ন বন্টন আইন
একটি এলোমেলো ক্রমাগত চলকের বণ্টনের অভিন্ন আইন হল সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের নিয়ম, যা

সাধারণ বন্টন আইন
এলোমেলো একটানা চলকের স্বাভাবিক বন্টন আইন হল ঘনত্ব ফাংশন আইন

সূচকীয় বন্টন আইন
র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের সূচকীয় বা সূচকীয় বণ্টন সারিবদ্ধ তত্ত্ব, নির্ভরযোগ্যতা তত্ত্বের মতো সম্ভাব্যতা তত্ত্বের প্রয়োগে ব্যবহৃত হয়

এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিস্টেম
অনুশীলনে, সম্ভাব্যতা তত্ত্বের প্রয়োগে, একজন প্রায়শই এমন সমস্যার সম্মুখীন হয় যেখানে একটি পরীক্ষার ফলাফল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল দ্বারা নয়, একই সাথে একাধিক র্যান্ডম দ্বারা বর্ণনা করা হয়।

দুটি এলোমেলো বিযুক্ত ভেরিয়েবলের সিস্টেম
দুটি র্যান্ডম বিযুক্ত চলক একটি সিস্টেম গঠন করা যাক. এলোমেলো মান

দুটি এলোমেলো একটানা চলকের সিস্টেম
এখন সিস্টেমটিকে দুটি র্যান্ডম অবিচ্ছিন্ন চলক দ্বারা গঠিত করা যাক। এই সিস্টেমের বন্টন আইন সম্ভবত বলা হয়

বন্টন শর্তাধীন আইন
নির্ভরশীল র্যান্ডম ক্রমাগত পরিমাণ যাক

দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য
এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের অর্ডারের প্রাথমিক মুহূর্ত

বেশ কয়েকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিস্টেম
দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের জন্য প্রাপ্ত ফলাফলগুলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নির্বিচারে গঠিত সিস্টেমের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। সিস্টেম একটি সেট দ্বারা গঠিত করা যাক

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সীমাবদ্ধ উপপাদ্য
সম্ভাব্যতার শৃঙ্খলা তত্ত্বের মূল লক্ষ্য হল এলোমেলো ভরের ঘটনাগুলির নিদর্শনগুলি অধ্যয়ন করা। অনুশীলন দেখায় যে সমজাতীয় এলোমেলো ঘটনাগুলির একটি ভরের পর্যবেক্ষণ প্রকাশ করে

চেবিশেভের অসমতা
গাণিতিক প্রত্যাশা সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন

চেবিশেভের উপপাদ্য
যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি যুগলভাবে স্বাধীন হয় এবং সসীম, সমষ্টিগতভাবে আবদ্ধ বৈচিত্র্য থাকে

বার্নোলির উপপাদ্য
পরীক্ষার সংখ্যা সীমাহীন বৃদ্ধির সাথে, একটি ঘটনার সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি সম্ভাব্যতার সাথে ইভেন্টের সম্ভাব্যতার সাথে মিলিত হয়

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য
কোনো বন্টন আইনের সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবল যোগ করার সময়, কিন্তু যৌথভাবে সীমিত ভিন্নতার সাথে, বন্টন আইন

গাণিতিক পরিসংখ্যানের প্রধান সমস্যা
উপরে আলোচিত সম্ভাব্যতা তত্ত্বের নিয়মগুলি বাস্তব নিদর্শনগুলির একটি গাণিতিক অভিব্যক্তিকে উপস্থাপন করে যা আসলে বিভিন্ন এলোমেলো ভরের ঘটনাতে বিদ্যমান। অধ্যয়নরত

একটি সাধারণ পরিসংখ্যান জনসংখ্যা। পরিসংখ্যান বন্টন ফাংশন
আসুন কিছু এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করি যার বন্টন আইন অজানা। অভিজ্ঞতার ভিত্তিতে প্রয়োজন

পরিসংখ্যান সিরিজ। বার চার্ট
বিপুল সংখ্যক পর্যবেক্ষণের সাথে (শত শতের ক্রমানুসারে), পরিসংখ্যানগত উপাদান রেকর্ড করার জন্য জনসংখ্যা অসুবিধাজনক এবং কষ্টকর হয়ে ওঠে। স্বচ্ছতা এবং সংক্ষিপ্ততার জন্য, পরিসংখ্যানগত উপাদান

পরিসংখ্যানগত বন্টনের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিভিন্ন সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা হয়েছিল: গাণিতিক প্রত্যাশা, বিচ্ছুরণ, বিভিন্ন আদেশের প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয় মুহূর্ত। অনুরূপ সংখ্যা

মুহূর্তের পদ্ধতি ব্যবহার করে তাত্ত্বিক বন্টন নির্বাচন
যেকোনো পরিসংখ্যানগত বন্টন অনিবার্যভাবে সীমিত সংখ্যক পর্যবেক্ষণের সাথে যুক্ত এলোমেলোতার উপাদান ধারণ করে। বিপুল সংখ্যক পর্যবেক্ষণের সাথে, এলোমেলোতার এই উপাদানগুলিকে মসৃণ করা হয়,

বন্টন আইনের ফর্ম সম্পর্কে অনুমানের যুক্তিসঙ্গততা পরীক্ষা করা
একটি প্রদত্ত পরিসংখ্যানগত বন্টন কিছু তাত্ত্বিক বক্ররেখা দ্বারা অনুমান করা যাক বা

সম্মতির মানদণ্ড
চলুন সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত একটি ভালতা-অফ-ফিট মানদণ্ড বিবেচনা করা যাক - তথাকথিত পিয়ারসন মানদণ্ড। অনুমান করুন

অজানা ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটারের জন্য পয়েন্ট অনুমান
পিপিতে। 2.1। - 2.7 আমরা বিস্তারিতভাবে পরীক্ষা করেছি কিভাবে গাণিতিক পরিসংখ্যানের প্রথম এবং দ্বিতীয় প্রধান সমস্যাগুলি সমাধান করা যায়। এগুলি হল পরীক্ষামূলক তথ্যের উপর ভিত্তি করে এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টনের আইন নির্ধারণের সমস্যা

প্রত্যাশা এবং ভিন্নতার জন্য অনুমান
অজানা গাণিতিক প্রত্যাশা সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে ছেড়ে দিন

আস্থা ব্যবধান। আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা
অনুশীলনে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উপর অল্প সংখ্যক পরীক্ষা-নিরীক্ষার সাথে, অজানা প্যারামিটারের একটি আনুমানিক প্রতিস্থাপন

স্বাভাবিক সম্ভাবনা বন্টন আইন

অতিরঞ্জন ছাড়া একে দার্শনিক আইন বলা যেতে পারে। আমাদের চারপাশের বিশ্বের বিভিন্ন বস্তু এবং প্রক্রিয়াগুলি পর্যবেক্ষণ করে, আমরা প্রায়শই এই সত্যটি দেখতে পাই যে কিছু যথেষ্ট নয় এবং একটি আদর্শ রয়েছে:

এখানে একটি মৌলিক দৃশ্য আছে ঘনত্ব ফাংশনস্বাভাবিক সম্ভাবনা বন্টন, এবং আমি আপনাকে এই আকর্ষণীয় পাঠে স্বাগত জানাই।

আপনি কি উদাহরণ দিতে পারেন? তাদের মধ্যে কেবল অন্ধকার। এটি, উদাহরণস্বরূপ, মানুষের উচ্চতা, ওজন (এবং শুধুমাত্র নয়), তাদের শারীরিক শক্তি, মানসিক ক্ষমতা ইত্যাদি। একটি "প্রধান ভর" আছে (একটি কারণে বা অন্য কারণে)এবং উভয় দিকেই বিচ্যুতি আছে।

এগুলি জড় বস্তুর বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য (একই আকার, ওজন)। এটি প্রক্রিয়াগুলির একটি এলোমেলো সময়কাল..., আবার একটি দুঃখজনক উদাহরণ মনে এসেছিল, এবং সেইজন্য আমি আলোর বাল্বের "জীবনকাল" বলব :) পদার্থবিদ্যা থেকে, আমি বায়ুর অণুগুলি মনে রেখেছিলাম: তাদের মধ্যে ধীরগতি রয়েছে, রয়েছে দ্রুত, কিন্তু বেশিরভাগই "মান" গতিতে চলে।

এর পরে, আমরা কেন্দ্র থেকে আরও একটি আদর্শ বিচ্যুতি দ্বারা বিচ্যুত হই এবং উচ্চতা গণনা করি:

অঙ্কন পয়েন্ট চিহ্নিত করা (সবুজ রং)এবং আমরা দেখতে পাই যে এটি যথেষ্ট।

চূড়ান্ত পর্যায়ে, আমরা সাবধানে একটি গ্রাফ আঁকা, এবং বিশেষ করে সাবধানেএটা প্রতিফলিত উত্তল অবতল! আচ্ছা, আপনি সম্ভবত অনেক আগেই বুঝতে পেরেছেন যে x-অক্ষ হল অনুভূমিক উপসর্গ, এবং এটির পিছনে "আরোহণ" করা একেবারেই নিষিদ্ধ!

বৈদ্যুতিনভাবে একটি সমাধান ফাইল করার সময়, Excel এ একটি গ্রাফ তৈরি করা সহজ এবং অপ্রত্যাশিতভাবে নিজের জন্য, আমি এই বিষয়ে একটি ছোট ভিডিও রেকর্ড করেছি। তবে প্রথমে এবং এর মানগুলির উপর নির্ভর করে কীভাবে স্বাভাবিক বক্ররেখার আকৃতি পরিবর্তিত হয় সে সম্পর্কে কথা বলা যাক।

যখন "a" বৃদ্ধি বা হ্রাস (ধ্রুব "সিগমা" সহ)গ্রাফটি তার আকৃতি ধরে রাখে এবং ডানে/বামে চলেযথাক্রমে সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যখন ফাংশন ফর্ম নেয় এবং আমাদের গ্রাফ 3 ইউনিট বাম দিকে "সরানো" - ঠিক স্থানাঙ্কের উত্সে:

শূন্য গাণিতিক প্রত্যাশা সহ একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা পরিমাণ একটি সম্পূর্ণ প্রাকৃতিক নাম পেয়েছে - কেন্দ্রীভূত; এর ঘনত্ব ফাংশন – এমন কি, এবং গ্রাফটি অর্ডিনেট সম্পর্কে প্রতিসম।

"সিগমা" পরিবর্তনের ক্ষেত্রে (ধ্রুবক "a" সহ), গ্রাফটি "একই থাকে" কিন্তু আকৃতি পরিবর্তন করে। প্রসারিত হলে, এটি নিচু এবং লম্বা হয়, যেমন একটি অক্টোপাস তার তাঁবুকে প্রসারিত করে। এবং, বিপরীতভাবে, গ্রাফ হ্রাস করার সময় সংকীর্ণ এবং লম্বা হয়- এটি একটি "বিস্মিত অক্টোপাস" হতে দেখা যাচ্ছে। হ্যাঁ, কখন হ্রাস"সিগমা" দুবার: আগের গ্রাফটি সরু এবং দুবার প্রসারিত হয়:

সবকিছুর সাথে সম্পূর্ণ মিল রয়েছে গ্রাফের জ্যামিতিক রূপান্তর.

একক সিগমা মান সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন বলা হয় স্বাভাবিক করা, এবং যদি এটিও হয় কেন্দ্রীভূত(আমাদের ক্ষেত্রে), তারপর যেমন একটি বিতরণ বলা হয় মান. এটির আরও সহজ ঘনত্ব ফাংশন রয়েছে, যা ইতিমধ্যেই পাওয়া গেছে ল্যাপ্লেসের স্থানীয় উপপাদ্য: . স্ট্যান্ডার্ড ডিস্ট্রিবিউশনটি অনুশীলনে ব্যাপক প্রয়োগ পেয়েছে এবং খুব শীঘ্রই আমরা অবশেষে এর উদ্দেশ্য বুঝতে পারব।

আচ্ছা, এখন চলুন মুভিটা দেখি:

হ্যাঁ, একেবারে ঠিক - একরকম অযাচিতভাবে এটি ছায়ায় রয়ে গেছে সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন. আসুন তার কথা মনে করি সংজ্ঞা:
– সম্ভাব্যতা যে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল ভেরিয়েবলের চেয়ে কম মান নেবে যেটি সমস্ত বাস্তব মানকে "প্লাস" ইনফিনিটি পর্যন্ত "চলবে"।

অখণ্ডের ভিতরে, একটি ভিন্ন অক্ষর সাধারণত ব্যবহার করা হয় যাতে স্বরলিপির সাথে কোন "ওভারল্যাপ" না থাকে, কারণ এখানে প্রতিটি মান এর সাথে যুক্ত থাকে অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্য , যা কিছুর সমান সংখ্যাব্যবধান থেকে

প্রায় সমস্ত মান সঠিকভাবে গণনা করা যায় না, তবে আমরা যেমনটি দেখেছি, আধুনিক কম্পিউটিং শক্তির সাথে এটি কঠিন নয়। সুতরাং, ফাংশন জন্য স্ট্যান্ডার্ড ডিস্ট্রিবিউশন, সংশ্লিষ্ট এক্সেল ফাংশনে সাধারণত একটি আর্গুমেন্ট থাকে:

=NORMSDIST(জেড)

এক, দুই - এবং আপনি সম্পন্ন করেছেন:

অঙ্কন স্পষ্টভাবে সব বাস্তবায়ন দেখায় বন্টন ফাংশন বৈশিষ্ট্য, এবং এখানে প্রযুক্তিগত সূক্ষ্মতা থেকে আপনার মনোযোগ দেওয়া উচিত অনুভূমিক উপসর্গএবং ইনফ্লেকশন পয়েন্ট।

এখন বিষয়ের একটি মূল কাজ মনে রাখা যাক, যথা, একটি সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা খুঁজে বের করা। ব্যবধান থেকে মান নেবে. জ্যামিতিকভাবে, এই সম্ভাবনা সমান এলাকাসংশ্লিষ্ট বিভাগে স্বাভাবিক বক্ররেখা এবং x-অক্ষের মধ্যে:

কিন্তু প্রতিবার আমি একটি আনুমানিক মান পেতে চেষ্টা করি অযৌক্তিক, এবং তাই এটি ব্যবহার করা আরও যুক্তিসঙ্গত "আলো" সূত্র:
.

! এছাড়াও মনে পড়ে , কি

এখানে আপনি আবার এক্সেল ব্যবহার করতে পারেন, তবে কয়েকটি উল্লেখযোগ্য "কিন্তু" রয়েছে: প্রথমত, এটি সর্বদা হাতে থাকে না এবং দ্বিতীয়ত, "রেডিমেড" মানগুলি সম্ভবত শিক্ষকের কাছ থেকে প্রশ্ন উত্থাপন করবে। কেন?

আমি এর আগে অনেকবার এই সম্পর্কে কথা বলেছি: এক সময়ে (এবং খুব বেশি আগে নয়) একটি নিয়মিত ক্যালকুলেটর একটি বিলাসিতা ছিল এবং প্রশ্নে সমস্যা সমাধানের "ম্যানুয়াল" পদ্ধতিটি এখনও শিক্ষাগত সাহিত্যে সংরক্ষিত আছে। এর সারমর্ম হল প্রমিতকরণমান "আলফা" এবং "বিটা", অর্থাৎ, স্ট্যান্ডার্ড ডিস্ট্রিবিউশনের সমাধান হ্রাস করুন:

বিঃদ্রঃ : সাধারণ কেস থেকে ফাংশনটি পাওয়া সহজলিনিয়ার ব্যবহার করে প্রতিস্থাপন. তারপরেও:

এবং প্রতিস্থাপন থেকে সূত্র নিম্নলিখিত বাহিত হয়: একটি নির্বিচারে বণ্টনের মান থেকে একটি মানক বিতরণের সংশ্লিষ্ট মানগুলিতে রূপান্তর।

কেন এই প্রয়োজন? আসল বিষয়টি হ'ল মানগুলি আমাদের পূর্বপুরুষদের দ্বারা সাবধানতার সাথে গণনা করা হয়েছিল এবং একটি বিশেষ টেবিলে সংকলিত হয়েছিল, যা টারওয়ারের অনেক বইতে রয়েছে। তবে আরও প্রায়শই মানগুলির একটি সারণী রয়েছে, যা আমরা ইতিমধ্যেই মোকাবিলা করেছি ল্যাপ্লেসের অবিচ্ছেদ্য উপপাদ্য:

যদি আমাদের কাছে ল্যাপ্লেস ফাংশনের মানগুলির একটি টেবিল থাকে , তারপর আমরা এর মাধ্যমে সমাধান করি:

ভগ্নাংশের মানগুলি ঐতিহ্যগতভাবে 4 দশমিক স্থানে বৃত্তাকার হয়, যেমনটি স্ট্যান্ডার্ড টেবিলে করা হয়। এবং নিয়ন্ত্রণের জন্য আছে পয়েন্ট 5 বিন্যাস.

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি এবং বিভ্রান্তি এড়াতে সর্বদা নিয়ন্ত্রণ, আপনার চোখের সামনে কি ফাংশন একটি টেবিল.

উত্তরএকটি শতাংশ হিসাবে দেওয়া প্রয়োজন, তাই গণনা করা সম্ভাব্যতা অবশ্যই 100 দ্বারা গুণ করতে হবে এবং একটি অর্থপূর্ণ মন্তব্য সহ ফলাফল প্রদান করা হবে:

- 5 থেকে 70 মিটার ফ্লাইটের সাথে, প্রায় 15.87% শেল পড়ে যাবে

আমরা আমাদের নিজস্ব প্রশিক্ষণ:

উদাহরণ 3

কারখানায় তৈরি বিয়ারিংগুলির ব্যাস হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, যা সাধারণত 1.5 সেমি এবং 0.04 সেন্টিমিটারের একটি আদর্শ বিচ্যুতির সাথে বিতরণ করা হয় যে একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত বিয়ারিংয়ের আকার 1.4 থেকে 1.6 সেমি পর্যন্ত হয়৷

নমুনা সমাধান এবং নীচে, আমি সবচেয়ে সাধারণ বিকল্প হিসাবে ল্যাপ্লেস ফাংশন ব্যবহার করব। যাইহোক, মনে রাখবেন যে শব্দানুসারে, ব্যবধানের শেষগুলি এখানে বিবেচনায় অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে। যাইহোক, এটি সমালোচনামূলক নয়।

এবং ইতিমধ্যে এই উদাহরণে আমরা একটি বিশেষ ক্ষেত্রে সম্মুখীন হয়েছি - যখন ব্যবধানটি গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে প্রতিসম হয়। এই ধরনের পরিস্থিতিতে, এটি ফর্মে লেখা যেতে পারে এবং, ল্যাপ্লেস ফাংশনের অদ্ভুততা ব্যবহার করে, কাজের সূত্রটি সরল করুন:

ডেল্টা প্যারামিটার বলা হয় বিচ্যুতিগাণিতিক প্রত্যাশা থেকে, এবং দ্বিগুণ অসমতা ব্যবহার করে "প্যাকেজ" হতে পারে মডিউল:

– সম্ভাব্যতা যে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে কম করে বিচ্যুত হবে।

এটা ভাল যে সমাধানটি এক লাইনে ফিট করে :)
- এলোমেলোভাবে নেওয়া বিয়ারিংয়ের ব্যাস 1.5 সেমি থেকে 0.1 সেন্টিমিটারের বেশি না হওয়ার সম্ভাবনা।

এই কাজের ফলাফলটি ঐক্যের কাছাকাছি পরিণত হয়েছে, তবে আমি আরও বেশি নির্ভরযোগ্যতা চাই - যথা, ব্যাসটি যে সীমানার মধ্যে রয়েছে তা খুঁজে বের করতে প্রায় সবাইবিয়ারিং এই জন্য কোন মাপকাঠি আছে? বিদ্যমান! উত্থাপিত প্রশ্ন তথাকথিত দ্বারা উত্তর দেওয়া হয়

তিনটি সিগমা নিয়ম

এর সারমর্ম হলো কার্যত নির্ভরযোগ্য সত্য যে একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল ব্যবধান থেকে একটি মান নেবে .

প্রকৃতপক্ষে, প্রত্যাশিত মান থেকে বিচ্যুতির সম্ভাবনা কম:
বা 99.73%

বিয়ারিংয়ের পরিপ্রেক্ষিতে, এগুলি হল 1.38 থেকে 1.62 সেমি ব্যাস সহ 9973 টুকরা এবং মাত্র 27টি "অবমানের" কপি।

ব্যবহারিক গবেষণায়, তিনটি সিগমা নিয়ম সাধারণত বিপরীত দিকে প্রয়োগ করা হয়: যদি পরিসংখ্যানগতভাবেদেখা গেল প্রায় সব মান অধ্যয়ন অধীনে র্যান্ডম পরিবর্তনশীল 6 স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির একটি ব্যবধানের মধ্যে পড়ে, তারপরে বিশ্বাস করার বাধ্যতামূলক কারণ রয়েছে যে এই মানটি একটি সাধারণ আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়েছে। তত্ত্ব ব্যবহার করে যাচাই করা হয় পরিসংখ্যানগত অনুমান, যা আমি শীঘ্রই বা পরে পেতে আশা করি :)

ইতিমধ্যে, আমরা কঠোর সোভিয়েত সমস্যাগুলি সমাধান করতে থাকি:

উদাহরণ 4

ওজনের ত্রুটির এলোমেলো মান শূন্য গাণিতিক প্রত্যাশা এবং 3 গ্রামের একটি আদর্শ বিচ্যুতি সহ সাধারণ আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়। সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে পরবর্তী ওজন পরম মান 5 গ্রাম অতিক্রম না একটি ত্রুটি সঙ্গে বাহিত হবে.

সমাধানখুব সহজ। শর্ত অনুসারে, আমরা অবিলম্বে নোট করি যে পরবর্তী ওজনে (কিছু বা কেউ)আমরা 9 গ্রামের নির্ভুলতার সাথে প্রায় 100% ফলাফল পাব। কিন্তু সমস্যা একটি সংকীর্ণ বিচ্যুতি জড়িত এবং সূত্র অনুযায়ী :

- সম্ভাব্যতা যে পরবর্তী ওজন 5 গ্রামের বেশি না হওয়া ত্রুটির সাথে করা হবে।

উত্তর:

সমাধানকৃত সমস্যাটি আপাতদৃষ্টিতে অনুরূপ একটি থেকে মৌলিকভাবে ভিন্ন। উদাহরণ 3সম্পর্কে পাঠ সমবন্টন. সেখানে একটা ভুল ছিল বৃত্তাকারপরিমাপের ফলাফল, এখানে আমরা পরিমাপের র্যান্ডম ত্রুটি সম্পর্কে কথা বলছি। ডিভাইসের প্রযুক্তিগত বৈশিষ্ট্যগুলির কারণে এই ধরনের ত্রুটিগুলি দেখা দেয়। (গ্রহণযোগ্য ত্রুটির পরিসীমা সাধারণত তার পাসপোর্টে নির্দেশিত হয়), এবং পরীক্ষাকারীর দোষের মাধ্যমে - যখন আমরা, উদাহরণস্বরূপ, "চোখ দ্বারা" একই দাঁড়িপাল্লার সুই থেকে রিডিং নিই।

অন্যদের মধ্যে, এছাড়াও তথাকথিত আছে পদ্ধতিগতপরিমাপ ত্রুটি এটা ইতিমধ্যে অ র্যান্ডমত্রুটিগুলি যা ডিভাইসের ভুল সেটআপ বা অপারেশনের কারণে ঘটে। উদাহরণস্বরূপ, অনিয়ন্ত্রিত মেঝে স্কেলগুলি অবিচ্ছিন্নভাবে কিলোগ্রাম "যোগ" করতে পারে এবং বিক্রেতা পদ্ধতিগতভাবে গ্রাহকদের ওজন কমিয়ে দেয়। অথবা এটি পদ্ধতিগতভাবে গণনা করা যেতে পারে না। যাইহোক, যে কোনও ক্ষেত্রে, এই জাতীয় ত্রুটি র্যান্ডম হবে না এবং এর প্রত্যাশা শূন্য থেকে আলাদা।

…আমি জরুরীভাবে একটি বিক্রয় প্রশিক্ষণ কোর্স তৈরি করছি =)

আসুন বিপরীত সমস্যাটি নিজেরাই সমাধান করি:

উদাহরণ 5

রোলারের ব্যাস একটি এলোমেলোভাবে সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল, এর মানক বিচ্যুতি মিমি এর সমান। ব্যবধানের দৈর্ঘ্য খুঁজুন, গাণিতিক প্রত্যাশার সাপেক্ষে প্রতিসম, যার মধ্যে রোলারের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হ্রাস পাওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে।

পয়েন্ট 5* নকশা বিন্যাসসাহায্য করতে অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে গাণিতিক প্রত্যাশা এখানে পরিচিত নয়, তবে এটি আমাদের সমস্যা সমাধানে অন্তত বাধা দেয় না।

এবং একটি পরীক্ষার কাজ যা আমি উপাদানটিকে শক্তিশালী করার জন্য অত্যন্ত সুপারিশ করছি:

উদাহরণ 6

একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল তার পরামিতি (গাণিতিক প্রত্যাশা) এবং (মান বিচ্যুতি) দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়। প্রয়োজনীয়:

ক) সম্ভাব্যতার ঘনত্ব লিখুন এবং এর গ্রাফটি পরিকল্পিতভাবে চিত্রিত করুন;
b) সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে এটি ব্যবধান থেকে একটি মান নেবে ;
গ) সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে পরম মানটি থেকে বিচ্যুত হবে এর বেশি নয়;
ঘ) "তিন সিগমা" নিয়ম ব্যবহার করে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলি খুঁজুন।

এই ধরনের সমস্যাগুলি সর্বত্র দেওয়া হয়, এবং বছরের পর বছর ধরে আমি তাদের শত শত এবং শত শত সমাধান করেছি। হাতে এবং কাগজ টেবিল ব্যবহার করে একটি অঙ্কন আঁকা অনুশীলন করতে ভুলবেন না;)

ঠিক আছে, আমি বর্ধিত জটিলতার একটি উদাহরণ দেখব:

উদাহরণ 7

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন ঘনত্বের ফর্ম আছে . খুঁজুন, গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ, বিতরণ ফাংশন, ঘনত্ব গ্রাফ এবং বিতরণ ফাংশন তৈরি করুন, খুঁজুন।

সমাধান: প্রথমত, আমরা লক্ষ্য করি যে শর্তটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকৃতি সম্পর্কে কিছু বলে না। নিজের মধ্যে একটি সূচকের উপস্থিতি কিছু বোঝায় না: এটি পরিণত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, নির্দেশকঅথবা এমনকি নির্বিচারে ক্রমাগত বিতরণ. এবং তাই বিতরণের "স্বাভাবিকতা" এখনও ন্যায়সঙ্গত হওয়া দরকার:

ফাংশন থেকে এ নির্ধারিত যেকোনোপ্রকৃত মান, এবং এটি আকারে হ্রাস করা যেতে পারে , তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী বিতরণ করা হয়।

এই আমরা যাই. এই জন্য একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুনএবং সংগঠিত করা তিনতলা ভগ্নাংশ:

সূচকটিকে তার আসল ফর্মে ফিরিয়ে দিয়ে একটি চেক করতে ভুলবেন না:

, যা আমরা দেখতে চেয়েছিলাম.

এইভাবে:
- দ্বারা ক্ষমতা সহ অপারেশনের নিয়ম"চিমটি কাটা" এবং এখানে আপনি অবিলম্বে সুস্পষ্ট সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য লিখতে পারেন:

এখন প্যারামিটারের মান বের করা যাক। যেহেতু স্বাভাবিক বন্টন গুণকের ফর্ম আছে এবং তারপরে:
, যেখান থেকে আমরা প্রকাশ করি এবং আমাদের ফাংশনে প্রতিস্থাপন করি:
, তারপরে আমরা আবার আমাদের চোখ দিয়ে রেকর্ডিংয়ের মধ্য দিয়ে যাব এবং নিশ্চিত করব যে ফলস্বরূপ ফাংশনের ফর্ম আছে .

আসুন একটি ঘনত্ব গ্রাফ তৈরি করি:

এবং বিতরণ ফাংশন গ্রাফ :

যদি আপনার হাতে এক্সেল বা এমনকি একটি নিয়মিত ক্যালকুলেটর না থাকে, তাহলে শেষ গ্রাফটি সহজেই ম্যানুয়ালি তৈরি করা যেতে পারে! বিন্দুতে বিতরণ ফাংশন মান নেয় এবং এখানে এটা

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগগুলিতে, দ্বি-মাত্রিক স্বাভাবিক বন্টন একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। একটি দ্বি-মাত্রিক স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের (X,Y) ঘনত্বের ফর্ম আছে

এখানে X এবং Y মানগুলির গাণিতিক প্রত্যাশা রয়েছে; - X এবং Y মানের আদর্শ বিচ্যুতি; r – X এবং Y মানের পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ।

ধরা যাক যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y পরস্পর সম্পর্কযুক্ত নয়, অর্থাৎ r=0। তারপর আমাদের আছে:

(53)

আমরা দেখতে পেলাম যে দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের (X,Y) একটি সিস্টেমের বন্টন ঘনত্ব X এবং Y উপাদানগুলির বন্টন ঘনত্বের গুণফলের সমান, যার মানে হল X এবং Y স্বাধীন র্যান্ডম চলক।

সুতরাং, নিম্নলিখিত প্রমাণিত হয়েছে উপপাদ্য: সাধারণত বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অ-সম্পর্ক থেকে এটি অনুসরণ করে যে তারা স্বাধীন . যেহেতু যেকোন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্বাধীনতা বোঝায় যে তারা সম্পর্কহীন, তাই আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে "অসংলগ্ন" এবং "স্বাধীন" ভেরিয়েবলগুলি একটি সাধারণ বন্টনের ক্ষেত্রে সমতুল্য।

সমতলে বিভিন্ন অঞ্চলে পতিত একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতার সূত্র উপস্থাপন করা যাক।

একটি এলোমেলো ভেক্টর (X,Y), যার উপাদানগুলি স্বাধীন, স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী বিতরণ করা হোক (53)। তারপর একটি এলোমেলো বিন্দু (X,Y) আয়তক্ষেত্রে পড়ার সম্ভাবনা আর,যার বাহুগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল সমান

y R d c x a b

(54)

কোথায় - ল্যাপ্লেস ফাংশন। এই ফাংশন সারণী করা হয়.

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিস্টেমের স্বাভাবিক নিয়মের বন্টন ঘনত্ব (X,Y) ফর্মে দেওয়া যাক (52)। এটা স্পষ্ট যে এই ঘনত্ব উপবৃত্তে স্থির থাকে:

যেখানে C একটি ধ্রুবক; এই ভিত্তিতে যেমন উপবৃত্ত বলা হয় সমান সম্ভাবনার উপবৃত্ত. এটি দেখানো যেতে পারে যে সমান সম্ভাবনার একটি উপবৃত্তের ভিতরে একটি বিন্দু (X,Y) পড়ার সম্ভাবনা সমান

(56)

উদাহরণ 10. এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y স্বাধীন এবং সাধারণত বিতরণ করা হয় একটি র্যান্ডম বিন্দু (X,Y) রিংয়ে পড়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন

সমাধান:যেহেতু এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y স্বাধীন, সেগুলি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত নয় এবং তাই, r = 0। (C) এর প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই

অর্থাৎ, সমান সম্ভাবনার উপবৃত্তটি সমান সম্ভাবনার বৃত্তে পরিণত হয়েছে। তারপর

উত্তর: 0,1242.

3.2। n-মাত্রিক স্বাভাবিক বন্টনের সাধারণ কেস

সিস্টেমের স্বাভাবিক বন্টন ঘনত্ব n র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফর্ম আছে:

ম্যাট্রিক্স সি-এর নির্ধারক কোথায় - কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের বিপরীত; - এলোমেলো পরিবর্তনশীল X i - i-th উপাদানের গাণিতিক প্রত্যাশা n -মাত্রিক স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেক্টর।

যেকোন সংখ্যক মাত্রার জন্য এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে যেকোন ধরনের নির্ভরতার জন্য স্বাভাবিক নিয়মের সমস্ত রূপ সাধারণ অভিব্যক্তি থেকে অনুসরণ করে। বিশেষ করে, যখন n = 2 কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের ফর্ম আছে:

(58)

এর নির্ধারক ; ম্যাট্রিক্স সি, কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের বিপরীত, ফর্ম আছে

. (59)

ম্যাট্রিক্স সি এর উপাদানগুলিকে সাধারণ সূত্রে (57) প্রতিস্থাপন করে, আমরা সমতলে স্বাভাবিক বন্টনের জন্য সূত্রটি পাই (52)।

র্যান্ডম ভেরিয়েবল হলে স্বাধীন, তারপর সিস্টেমের বন্টন ঘনত্ব সমান

n = 2 এর জন্য, এই সূত্রটি রূপ নেয় (53)।

3.2। সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফাংশন। চি-স্কয়ার, স্টুডেন্ট এবং ফিশার-স্নেডেকর ডিস্ট্রিবিউশন

আসুন সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক: সাধারণত বিতরণ করা আর্গুমেন্টের একটি রৈখিক ফাংশন। একটি n-মাত্রিক সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেক্টর দেওয়া যাক , র্যান্ডম ভেরিয়েবল Y এই পরিমাণের একটি রৈখিক ফাংশন:

(61)

এটি দেখানো যেতে পারে যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল Yও সাধারণত প্যারামিটারের সাথে বিতরণ করা হয়

(62)

(63)

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা কোথায় - র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ - এবং এর মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ।

উদাহরণ 11।এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টন ঘনত্ব লিখ , যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং প্যারামিটার সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন থাকে , , , তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ হয়।

সমাধান. সমস্যার শর্ত অনুযায়ী আমাদের আছে: n=2; . সূত্র (62) ব্যবহার করে, আমরা পাই:। সূত্র (63) ব্যবহার করে, আমরা পাই:।

তারপরে র্যান্ডম ভেরিয়েবল Y এর প্রয়োজনীয় বন্টন ফাংশনটির ফর্ম রয়েছে:

দিন - স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা শূন্য গাণিতিক প্রত্যাশা এবং একক বৈচিত্র সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন মেনে চলে, অর্থাৎ একটি আদর্শ স্বাভাবিক বন্টন। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন যা এই মানের বর্গের সমষ্টি

. (64)

বলা হয় " CI বিতরণ - স্বাধীনতার n ডিগ্রী সহ বর্গক্ষেত্র ”.

CI এর বন্টন ঘনত্ব – n=2 ডিগ্রী স্বাধীনতা সহ একটি বর্গ সমান

(65)

CI ঘনত্ব – স্বাধীনতার n ডিগ্রি সহ বর্গক্ষেত্র বন্টনের ফর্ম রয়েছে:

(66)

কোথায় - অয়লারের গামা ফাংশন। স্বাধীনতার ডিগ্রীর সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে বন্টন স্বাভাবিক বন্টন আইনের কাছে আসে (সহ n >30 বিতরণ কার্যত স্বাভাবিক থেকে আলাদা নয়)। স্বাধীনতার n ডিগ্রী সহ একটি বিতরণের গাণিতিক প্রত্যাশা n , এবং পার্থক্য হল 2 n .

স্বাধীনতার n ডিগ্রি সহ ছাত্র বন্টন St(n)একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

যেখানে Z হল একটি আদর্শ স্বাভাবিক মান যা বন্টন থেকে স্বাধীন।

স্বাধীনতার n ডিগ্রি সহ ছাত্র বন্টন ঘনত্বের ফর্ম রয়েছে:

(68)

তে গাণিতিক প্রত্যাশা 0 এর সমান, বৈচিত্র্যটি At-এর সমান, শিক্ষার্থী বন্টন স্বাভাবিকের কাছে পৌঁছেছে (ইতিমধ্যে n >30 প্রায় স্বাভাবিক বিতরণের সাথে মিলে যায়)।

ফিশার-স্নেডেকার ডিস্ট্রিবিউশন (বা F-ডিস্ট্রিবিউশন)স্বাধীনতার সাথে এবং ডিগ্রীগুলিকে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বন্টন বলা হয়

(69)

যেখানে এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন এবং স্বাধীনতার ডিগ্রী আছে, যথাক্রমে।

4. লিখিত D.T. সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং গাণিতিক পরিসংখ্যানের উপর লেকচার নোট। – এম.: আইরিস-প্রেস, 2004।

1. এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিস্টেম এবং তাদের নির্দিষ্ট করার পদ্ধতি সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য। . 3

1.1। এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের ধারণা। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2। একটি দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন এবং এর

বৈশিষ্ট্য . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3। একটি পৃথক দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টনের নিয়ম। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4। একটি অবিচ্ছিন্ন দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন ঘনত্ব এবং এর বৈশিষ্ট্য। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5। n এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিস্টেম। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. এলোমেলো ভেরিয়েবলের নির্ভরতা এবং স্বাধীনতা। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1। স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2। বন্টন শর্তাধীন আইন. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3। নির্ভরতার সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের স্বাভাবিক বন্টন। . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1। বিভেরিয়েট স্বাভাবিক বন্টন। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2। n-মাত্রিক স্বাভাবিক বন্টনের সাধারণ কেস। . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3। সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফাংশন। বিতরণ: CI - বর্গক্ষেত্র, ছাত্র, ফিশার - Snedecor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

গ্রন্থপঞ্জি। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ভেরা আলেকজান্দ্রোভনা ববকোভা দ্বারা সংকলিত

এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিস্টেম

ছাত্রদের স্বাধীন কাজের জন্য নির্দেশিকা

সম্পাদক জিভি কুলিকোভা

03/02/2010 তারিখে প্রকাশনার জন্য স্বাক্ষরিত। বিন্যাস 60x84। লেখার কাগজ। বেকিং এর শর্তাবলী l.1.63.

Uch.-ed. l.1.81. প্রচলন 50 কপি।

রাসায়নিক প্রযুক্তির ইভানোভো স্টেট ইউনিভার্সিটি উচ্চতর পেশাগত শিক্ষার রাষ্ট্রীয় শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

উচ্চতর পেশাগত শিক্ষা "আইজিএইচটিইউ" এর রাজ্য শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের অর্থনীতি ও অর্থ বিভাগের মুদ্রণ সরঞ্জামগুলিতে মুদ্রিত

153000, Ivanovo, F. Engels Ave., 7

এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য

ডিস্ট্রিবিউশন আইন সম্পূর্ণরূপে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমকে চিহ্নিত করে, কিন্তু বাস্তবে এটি ব্যবহার করা তার জটিলতার কারণে সবসময় সুবিধাজনক নয়। সিস্টেমটি তৈরি করে এমন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি জানার জন্য প্রায়শই যথেষ্ট, যার মধ্যে রয়েছে: গাণিতিক প্রত্যাশা M[X], M[Y], ভিন্নতা D[X], D[Y] এবং মানক বিচ্যুতি। তারা নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়.

সংক্ষিপ্ত সূত্র ব্যবহার করে উপাদানগুলির বৈচিত্রগুলিও গণনা করা যেতে পারে

দ্বি-মাত্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের তত্ত্বে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করা হয় পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্ত (কোভেরিয়েন্স), যা সিস্টেমের উপাদানগুলির মধ্যে রৈখিক সম্পর্ককে চিহ্নিত করে

পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্ত নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়.

এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিচ্ছিন্ন সিস্টেমের জন্য

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমাগত সিস্টেমের জন্য

পারস্পরিক সম্পর্কের মুহুর্তের সাথে, পারস্পরিক সংযোগের একটি মাত্রাহীন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয় - পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যেকোনো সিস্টেমের জন্য

এলোমেলো চলক X এবং Y কে বলা হয় অসম্পর্কিত যদি

স্বাধীন পরিমাণ সবসময় অসম্পর্কিত হয়.

সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের শর্তসাপেক্ষ আইন হল তার বন্টনের আইন, এই শর্তে গণনা করা হয় যে অন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি নির্দিষ্ট মান নিয়েছে। অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিস্টেমের জন্য, শর্তাধীন আইনগুলি উপাদানগুলির শর্তসাপেক্ষ বন্টন ঘনত্ব দ্বারা প্রকাশ করা হয়

তাছাড়া, (6.9)

যার মধ্যে

এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিস্টেমের অভিন্ন এবং স্বাভাবিক বন্টনের আইন

অভিন্ন আইন। যদি সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত মান D অঞ্চলের ভিতরে থাকে এবং সিস্টেমের সম্ভাব্য ঘনত্বের নিম্নলিখিত ফর্ম থাকে

তারপর (X,Y) একটি অভিন্ন বন্টন আইনের অধীন।

স্বাভাবিক আইন। যদি সিস্টেমের বন্টন ঘনত্বের (X,Y) ফর্ম থাকে

গাণিতিক প্রত্যাশা কোথায়; - স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি, এবং - পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ, তারপর সিস্টেমটি স্বাভাবিক বন্টন আইনের সাপেক্ষে।

সম্পর্কহীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, স্বাভাবিক বন্টন ঘনত্ব

উদাহরণ 6.2। 3টি উদ্যোগের কার্যক্রম পরবর্তী বছরের জন্য পরিকল্পনা করা হয়েছে। সিস্টেম (X,Y)

কোম্পানির নম্বর কোথায়

বিনিয়োগের পরিমাণ (হাজার প্রচলিত আর্থিক ইউনিটে),

একটি টেবিল দ্বারা সংজ্ঞায়িত

কম্পোনেন্ট X-এর বন্টন আইনের অর্থ হল, বিনিয়োগের পরিমাণ নির্বিশেষে, প্রথম এন্টারপ্রাইজের 0.3 সম্ভাবনা, দ্বিতীয়টিতে 0.2 এবং তৃতীয়টির 0.5 সম্ভাবনার সাথে বিনিয়োগ থাকবে। Y উপাদানটি বন্টন আইনের সাথে মিলে যায়

এবং এর মানে হল যে, এন্টারপ্রাইজ সংখ্যা নির্বিশেষে, বিনিয়োগের পরিমাণ 3 হাজার প্রচলিত ইউনিটের সমান হতে পারে। ডেন ইউনিট 0.5 বা 4 হাজার প্রচলিত আর্থিক ইউনিটের সম্ভাবনা সহ। সম্ভাবনা 0.5 সহ।

উপাদানগুলির সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করতে, আমরা X এবং Y-এর প্রাপ্ত বন্টন আইন এবং পৃথক সিস্টেমের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য নির্ধারণের জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করব।

গড় বিনিয়োগের পরিমাণ;

গড় বিনিয়োগের পরিমাণ থেকে বিচ্যুতি

এন্টারপ্রাইজ সংখ্যা এবং বিনিয়োগের পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক

উদাহরণ 6.3। একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে, উত্পাদন দুই ধরনের কাঁচামাল ব্যবহার করে। এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y হল যথাক্রমে কাঁচামালের আয়তন, যা প্রচলিত এককে প্রকাশ করা হয়। সিস্টেমের সম্ভাব্যতা বন্টন ঘনত্ব ফর্ম আছে

ভূমিকা

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব গণিতের শাস্ত্রীয় শাখাগুলির মধ্যে একটি। এর একটি দীর্ঘ ইতিহাস রয়েছে। বিজ্ঞানের এই শাখার ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন মহান গণিতবিদরা। আমি নাম দেব, উদাহরণস্বরূপ, Fermat, Bernoulli, Pascal. পরবর্তীকালে, সম্ভাবনা তত্ত্বের বিকাশ অনেক বিজ্ঞানীর কাজে নির্ধারিত হয়েছিল। আমাদের দেশের বিজ্ঞানীরা সম্ভাবনার তত্ত্বে একটি বড় অবদান রেখেছেন: পি.এল. লায়াপুনভ, এ. সম্ভাব্য এবং পরিসংখ্যানগত পদ্ধতিগুলি এখন অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে গভীরভাবে প্রবেশ করেছে। এগুলি পদার্থবিদ্যা, প্রযুক্তি, অর্থনীতি, জীববিজ্ঞান এবং ওষুধে ব্যবহৃত হয়। কম্পিউটার প্রযুক্তির বিকাশের সাথে তাদের ভূমিকা বিশেষত বৃদ্ধি পেয়েছে।

উদাহরণস্বরূপ, শারীরিক ঘটনা অধ্যয়ন করার জন্য, পর্যবেক্ষণ বা পরীক্ষা করা হয়। তাদের ফলাফলগুলি সাধারণত কিছু পর্যবেক্ষণযোগ্য পরিমাণের মানের আকারে রেকর্ড করা হয়। পরীক্ষার পুনরাবৃত্তি করার সময়, আমরা তাদের ফলাফলের বিক্ষিপ্ততা আবিষ্কার করি। উদাহরণস্বরূপ, নির্দিষ্ট অবস্থা (তাপমাত্রা, আর্দ্রতা, ইত্যাদি) বজায় রাখার সময় একই ডিভাইসের সাথে একই পরিমাণের পরিমাপ পুনরাবৃত্তি করে, আমরা এমন ফলাফল পাই যা একে অপরের থেকে অন্তত কিছুটা আলাদা। এমনকি বারবার পরিমাপ করলেও পরবর্তী পরিমাপের ফলাফল সঠিকভাবে অনুমান করা সম্ভব হয় না। এই অর্থে, তারা বলে যে একটি পরিমাপের ফলাফল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি আরও স্পষ্ট উদাহরণ হল লটারিতে বিজয়ী টিকিটের সংখ্যা। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আরও অনেক উদাহরণ দেওয়া যেতে পারে। তবুও, সুযোগের জগতে, নির্দিষ্ট নিদর্শন প্রকাশিত হয়। এই ধরনের নিদর্শন অধ্যয়নের জন্য গাণিতিক যন্ত্রপাতি সম্ভাব্যতা তত্ত্ব দ্বারা উপলব্ধ করা হয়. এইভাবে, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এলোমেলো ঘটনা এবং সংশ্লিষ্ট র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক বিশ্লেষণ নিয়ে কাজ করে।

1. এলোমেলো ভেরিয়েবল

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ধারণাটি সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগগুলিতে মৌলিক। র্যান্ডম ভেরিয়েবল, উদাহরণস্বরূপ, একটি পাশা নিক্ষেপের সময় প্রাপ্ত পয়েন্টের সংখ্যা, নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে ক্ষয়প্রাপ্ত রেডিয়াম পরমাণুর সংখ্যা, একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে একটি টেলিফোন এক্সচেঞ্জে কলের সংখ্যা, বিচ্যুতি সঠিকভাবে সামঞ্জস্য করা প্রযুক্তিগত প্রক্রিয়া, ইত্যাদি সহ একটি অংশের একটি নির্দিষ্ট আকারের নামমাত্র মূল্য থেকে।

এইভাবে, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হল একটি পরিমাণ যা পরীক্ষার ফলস্বরূপ, একটি বা অন্য মান গ্রহণ করতে পারে এবং কোনটি আগে থেকেই পরিচিত।

র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলকে দুই ভাগে ভাগ করা যায়।

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল এমন একটি পরিমাণ যা পরীক্ষার ফলস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে নির্দিষ্ট মানগুলি গ্রহণ করতে পারে, একটি গণনাযোগ্য সেট গঠন করে (একটি সেট যার উপাদানগুলিকে সংখ্যা করা যেতে পারে)।

এই সেটটি সসীম বা অসীম হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, লক্ষ্যে প্রথম আঘাতের আগে শটের সংখ্যা একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল, কারণ এই পরিমাণ একটি অসীম গ্রহণ করতে পারে, যদিও গণনাযোগ্য, মানের সংখ্যা।

একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক হল একটি পরিমাণ যা কিছু সসীম বা অসীম ব্যবধান থেকে যেকোনো মান নিতে পারে।

স্পষ্টতই, একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানের সংখ্যা অসীম।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল নির্দিষ্ট করার জন্য, এটি শুধুমাত্র তার মান নির্দেশ করা যথেষ্ট নয়;

2. অভিন্ন বন্টন

অক্স অক্ষের সেগমেন্টটি কিছু ডিভাইসের স্কেল হতে দিন। আসুন আমরা ধরে নিই যে পয়েন্টারটি স্কেলের একটি নির্দিষ্ট অংশে আঘাত করার সম্ভাবনা এই সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক এবং স্কেলে সেগমেন্টের অবস্থানের উপর নির্ভর করে না। ইন্সট্রুমেন্ট পয়েন্টার মার্ক একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল

সেগমেন্ট থেকে যেকোনো মান নিতে পারে। এই জন্য

এবং (<) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и, а разность, - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем

, তারপর যেখানে ।

এভাবে