Атом водорода. Радиус и энергия электронных орбит в атоме водорода. Серии атома водорода. Постоянная Ритберга.
Теория Бора водородоподобных атомов.
Нильс Бор создал теорию строения атома, способную объяснить опыты Резерфорда и спектр излучения паров водорода.
Спектр характеризует распределение интенсивности излучения по шкале частот (или по шкале длин волн).
Постулаты Бора.
1-й постулат:
электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, находясь на которых, он не излучает и не поглощает энергию. Момент импульса электрона на этих орбитах кратен постоянной Планка:
m e – масса электрона, - скорость электрона на орбите с номеромn , r n – радиус орбиты с номером n , n =1,2,3,….
Дж·с – постоянная Планка.
2-й постулат:
при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается фотон, энергия которого
E n1 иE n2 - энергия электрона в состоянии 1 и 2 (т.е. на орбитах 1 и 2), - частота электромагнитных волн, - постоянная Планка.
Радиус орбиты электрона в атоме водорода .
1-й постулат Бора, .
Выразим скорость электрона:
Рассмотрим круговые электронные орбиты. На электрон с зарядом -e со стороны ядра с зарядом +e действует сила Кулона F , сообщая электрону нормальное ускорение,
По 2-му закону Ньютона,
. (4)
Сократим и подставим скорость из (3):
.
.
Радиус первой орбиты электрона (n = 1), называется радиусом Бора ,
= 0.53·10 -10 м.
Радиус орбиты электрона в атоме водорода
, n =1,2,3,…. – номер орбиты.
Энергия электрона в атоме водорода.
Энергия электрона представляет собой сумму кинетической энергии и потенциальной .
И 
.
Потенциальная энергия – это энергия электрона с зарядом в электрическом поле ядра. Из уравнения (4) видно, что
Тогда на n –ой орбите энергия электрона равна
Т.е. кинетическая энергия электрона равна полной энергии, взятой со знаком «-».
Также полную энергию можно записать через потенциальную:
= 
, или
.
Подставим . Тогда
Энергия на первой орбите (на первом энергетическом уровне) равна
13,6 эВ.
Величину = 13,6 эВ = 2,18∙10 -18 Дж называютэнергией ионизации (эта энергия необходима, чтобы перевести электрон, находящийся на первом уровне, в свободное состояние, т.е. чтобы ионизовать атом). Окончательно, энергия электрона на n –ом энергетическом уровне (на n –ой орбите) записывается как
Спектр излучения водорода.
Энергия излучаемого или поглощаемого кванта:
Частота , длина волны, - скорость света в вакууме.
= + = ,
Формула Бальмера,
определяет длины волн в спектре атома водорода.
1,1∙10 7 м -1 - постоянная Ридберга.
И - номера энергетических состояний (номера орбит) электрона.
Переходы электрона с возбужденных энергетических состояний на основной энергетический уровень ( = 1) сопровождаются излучением вУФ области спектра (серия линий Лаймана),
переходы на уровень с = 2 приводят к линиямв видимой области (серия Бальмера),
переходы на уровень с = 3, 4, 5, … приводят излучению вИК области.
Теория Бора не смогла объяснить строение сложных атомов. Для объяснения поведения микрочастиц была развита квантовая механика.
Она основана на том, что любая микрочастица, наряду с корпускулярными, обладает также волновыми свойствами (гипотеза де Бройля).
Для фотона, импульс
По аналогии с фотоном, любую микрочастицу можно рассматривать как волну с длиной волны
Длина волны де Бройля.
Гипотеза де Бройля подтверждена экспериментально наблюдением дифракции электронов, а затем и протонов.
Принцип неопределенностей.
Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальных данных модели атома принадлежит Дж. Дж. Томсону (1903). Согласно этой модели, атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом порядка 10 -10 м, внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны; суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду шара, поэтому атом в целом нейтрален. Через несколько лет было доказано, что представление о непрерывно распределенном внутри атома положительном заряде ошибочно.
В развитии представлений о строении атома велико значение опытов английского физика Э. Резерфорда (1871 -1937) по рассеянию a-частиц в веществе. Альфа-частицы возникают при радиоактивных превращениях; они являются положительно заряженными частицами с зарядом 2е и массой, примерно в 7300 раз большей массы электрона. Резерфорд, исследуя прохождение a-частиц в веществе, показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые a-частицы (примерно одна из 20 000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180°). Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение a-частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы, которая сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.
На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z - порядковый номер элемента в системе Менделеева, е - элементарный заряд), размер 10 -15 - 10 -14 м и массу, практически равную массе атома, в области с линейными размерами порядка 10 -10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов.
Однако электрон, движущийся ускоренно по окружности под действием кулоновской силы, согласно электродинамике, должен излучать электромагнитные волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. В результате электрон будет приближаться к ядру и в конце концов упадет на него. Атом Резерфорда, с точки зрения классической физики, оказывается неустойчивой системой, что противоречит действительности.
Первая попытка построить качественно новую - квантовую - теорию атома была предпринята в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором. Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света.
Чтобы объяснить устойчивость атома датский физик Нильс Бор постулировал основные положения (постулаты Бора ), которые явили собой первую квантовую модель атома.
Постулаты Бора
:
1. Электроны в атоме движутся по некоторым стационарным орбитам. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.
2. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию квантования момента импульса электрона
n = 1,2,3…– главное квантовое число (номер орбиты-уровня), m e - масса элетрона, v - его скорость на n -ой орбите радиуса r n , , h = 6,62·10 -34 Дж·с – постоянная Планка;
3. При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией:
(3.5.2)
равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (Е n и Е m - соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). При Е n >Е m происходит излучение фотона (переход атома из состояния с большей энергией в состояние меньшей энергией, т. е. переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близлежащую), при Е n <Е m - его поглощение (переход атома в состояние большей энергией, т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот
(3.5.3)
квантовых переходов определяет линейчатый спектр атома. Излучение атома представляет не непрерывный спектр, а спектр, состоящий из отдельных линий, соответствующих определенным частотам.
Используя постулаты Бора, закон Кулона и вращение электрона по круговой орбите, можно рассчитать величину радиуса орбиты r n и скорость электрона на ней v n:
n=1,2,3…
(3.5.4)
где m – масса электрона;
ε 0 – электрическая постоянная:
z – порядковый номер элемента;
е – заряд ядра.
Полная энергия Е орбитального электрона равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:
Е n = Е кинn + Е потn
(3.5.6)
Для атома водорода (Z=1 ) радиус первой орбиты электрона при n=1 , называемый первым боровским радиусом, равен r 1 = 0,528 10 -10 м. Энергия электрона в водородоподобном атоме может принимать следующие дискретные значения:
n=1,2,3…
(3.5.7)
Полная энергия электрона в атоме – величина отрицательная (Е n <0), т.е. электроны в атоме движутся как в потенциальной яме.
Электроны, находясь на стационарных орбитах, обладают потенциальной энергией, максимальная величина которой будет ¥, то есть будет соответствовать ионизованному атому. Там она будет равна нулю, следовательно, потенциальная энергия электрона в атоме отрицательна.
Целое число n в выражении, определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом. Энергетический уровень с n = 1 является основным (нормальным); состояния с n>1 являются возбужденными.
Из представленных выше формул можно получить выражение для частоты излучения при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой
(3.5.8)
R – постоянная Ридберга, для атома водорода R=3.29 10 15 c -1 .
При переходе электрона с произвольного возбужденного уровня на уровень с фиксированным значением m получим набор частот (группу линий в спектре атома) который называется серией. Так в атоме водорода переход на основной уровень (m=1) c произвольного возбужденного уровня (n=2,3,4…) определяет серию Лаймана; переход на уровень с m=2 c уровня n=3,4,5… определяет серию Бальмера; переход на уровень с m=3 c уровня n=4,5,6… определяет серию Пашена и т.д.
Переход с более удаленной орбиты на более близкую связан с испусканием одного фотона – такова причина возникновения линейчатого спектра испускания , а переход электрона на более дальнюю орбиту при поглощении фотона соответствует возникновению линейчатогоспектра поглощения .
Атомные спектры обладают ярко выраженной индивидуальностью, причем их вид определяется не только атомом данного элемента, но и его строением, внешними факторами: температурой, давлением, электрическими и магнитными полями и др.
Получение и анализ спектров играют огромную роль в теоретической и прикладной физике и технике. Изучение спектров испускания и поглощения веществ позволяет установить энергетические уровни и тончайшие детали строения атомов. Знание же спектров атомов и молекул различных химических соединений позволяет проводить спектральный анализ , т.е. устанавливать состав исследуемых тел.
План решения задач по теме «Теория атома водорода по Бору»
1. Следует обратить внимание, что созданная Бором теория атома водорода – первая квантовая теория атома , согласно которой электрон в атоме может находиться только в определенных стационарных состояниях. Параметры электрона в атоме: радиус круговой орбиты, скорость и его момент импульса, период обращения, энергия электрона, – имеют в этих состояниях дискретные значения, которые определяются главным квантовым числом (номер орбиты). Эта зависимость отражается индексом величин: .
2. По мере увеличения номера орбиты ее радиус увеличивается , а скорость электрона уменьшается ; в результате период обращения растет , возрастает момент импульса электрона и увеличивается его энергия 
.
3. Порядок величин параметров электрона в атоме водорода можно оценить по указанным зависимостям и значениям величин для основного состояния . В этом состоянии радиус орбиты 
, скорость электрона 
, период обращения 
, момент импульса 
, и полная энергия электрона 
Задача 30. Для электрона, находящегося на первой орбите () атома водорода, определите радиус орбиты , момент импульса электрона и его скорость .
Здесь – масса и скорость электрона; – заряд электрона и ядра (); 
– коэффициент пропорциональности в законе Кулона.
В уравнении (1) две неизвестные величины: . Другое уравнение, которое также содержит эти величины, – первый постулат Бора, определяющий условие квантования момента импульса электрона:
Здесь – радиус -ой стационарной орбиты; – главное квантовое число; – постоянная Планка.
Выразим из уравнения (2) скорость электрона:
Подставим это значение скорости в уравнение (1) и определим из него радиус -ой орбиты электрона:
Полученную формулу представим в следующем виде:
где 
– первый боровский радиус.
Вычисляем величину радиуса первой орбиты электрона в атоме водорода:
Момент импульса электрона вычисляем по уравнению (2) первого постулата Бора:
Скорость электрона на первой орбите в атоме водорода определим по величине момента импульса электрона (согласно уравнению (3)):
Вычисляем скорость электрона на первой орбите в атоме водорода:
Задача 31. Для электрона, находящегося на третьей орбите () атома водорода, определите радиус орбиты , скорость электрона на этой орбите и период его обращения .
Дано Электрон в атоме : .  | Решение Запишем второй закон Ньютона для движения электрона по окружности радиусом вокруг ядра атома водорода, заряд которого (рис. 51). Сила Кулона направлена по радиусу окружности к ее центру и является центростремительной, поэтому уравнение закона Ньютона запишем в проекции на нормаль к траектории: |
Здесь – масса и скорость электрона; – заряд электрона и ядра; – кулоновская постоянная в системе единиц СИ.
| Формулу (3) представим в следующем виде: Здесь – первый боровский радиус (согласно формуле (4) ). Вычисляем радиус третьей боровской орбиты электрона в атоме водорода: Вычисляем скорость электрона на третьей орбите, используя первый постулат Бора, по формуле (3): Период обращения электрона на -ной орбите: время одного оборота, – определим по формуле пути для равномерного движения электрона со скорость : Формулу (5) представим в следующем виде: , – период обращения электрона на первой орбите. Вычисляем период обращения электрона на третьей боровской орбите атома водорода по формуле (6): Полученная величина периода обращения показывает, что число оборотов в одну секунду, которое совершает электрон при движении в поле ядра атома водорода: Задача 32. Для атома водорода определите 1) полную энергию электрона на орбитах с главным квантовым числом и 2) длину волны λ фотона, излучаемого при переходе электрона с шестого энергетического уровня на первый – в серии Лаймана (ультрафиолетовой).
Здесь – масса электрона и его скорость на -ной орбите; Скорость электрона определим из закона динамики движения по круговой орбите (из второго закона Ньютона, записанного в проекции на нормаль): Подставим найденное значение в формулу энергии электрона (1):
Сравнивая уравнения (1) и (3), отметим соотношение энергий электрона, движущегося в атоме водорода: 1) потенциальная энергия ; 2) кинетическая энергия . Полная энергия электрона в атоме отрицательна; это означает, что электрон находится в связанном состоянии благодаря электростатическому взаимодействию с заряженным ядром атома. Для получения расчетной формулы полной энергии электрона в формулу (3) подставим значение радиуса орбиты ; при этом энергия электрона в состоянии с главным квантовым числом где – энергия электрона в состоянии с квантовым числом (одна из искомых величин). Величина Вычислим по формуле (4) энергию атома в возбужденном состоянии, соответствующем движению электрона по шестой стационарной орбите: Чтобы определить длину волны фотона, испускаемого при переходе электрона с 6-го энергетического уровня на 1-й, используем второй постулат Бора: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается фотон с энергией, равной разности энергий электрона на этих орбитах : Уравнение (5) дает следующую расчетную формулу длины волны излучаемого фотона: Вычисляем по этой формуле длину волны спектральной линии, соответствующей переходу электрона в атоме водорода с 6-й стационарной орбиты на 1-ю (в основное состояние): Это длина волны ультрафиолетового (УФ) излучения, так как величина . План решения задач по теме «Элементы квантовой механики» 1. Длина волны де Бройля для частиц вычисляется по формуле , где импульс частицы . Если известна кинетическая энергия частицы Если заряженная частица (электрон, протон, -частица) ускорена электрическим полем, совершившим работу 2. Длину волны де Бройля можно определить из дифракционного эксперимента, используя для параллельного пучка частиц такие же условия максимумов и минимумов дифракции, как и для потока фотонов видимого или рентгеновского излучения. Приведем эти формулы: 1) для дифракции на щели: а) условие – ; б) условие – 2) для дифракции на кристалле – формула Вульфа – Брэггов:
3. Для микрочастиц, находящихся в ограниченной области пространства (в атоме, в ядре, в узкой потенциальной яме), характерна ненулевая минимальная кинетическая энергия: и ненулевое значение минимального импульса: Задача 33.
Электрон движется со скоростью
масса частиц зависит от их скорости. Увеличение массы частицы в зависимости от ее скорости описывается формулой специальной теории относительности: где – масса покоя электрона; Подстановкой выражения (2) для массы электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны де Бройля релятивистского электрона: Вычисляем величину : Задача 34. Электрон прошел в электростатическом поле (ЭСП) ускоряющую разность потенциалов: 1) ; 2) . Определите длины волн де Бройля электрона при . Пройдя в ЭСП ускоряющую разность потенциалов , электрон приобрел кинетическую энергию , равную работе электрического поля: Величина работы, совершенной полем, Приравнивая две последние формулы, определяем кинетическую энергию: Вычисляем кинетическую энергию электрона для обоих случаев: Сравним найденные величины энергии с энергией покоя электрона Отмечаем, что . Следовательно, электрон не является релятивистским и для его импульса и кинетической энергии справедливы формулы классической механики: Проверим, что это так, вычислив скорость электрона при из равенства . Релятивистская поправка (множитель) в этом случае равна Используя для кинетической энергии формулу (2), определяем по формуле (3) импульс электрона: Подстановкой полученной величины импульса электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны электрона: Вычисляем по формуле (5): Вычислим величину следующим путем: согласно формуле (5) Задача 35. Параллельный пучок атомов водорода, падающий под углом скольжения к поверхности монокристалла, дает дифракционный максимум 1-го порядк |
.
. Таким образом, величина полной энергии атома водорода в состоянии с главным квантовым числом
– кулоновская постоянная в системе единиц СИ; – заряд электрона и ядра ; – радиус орбиты с номером .
(3)
является минимальной энергией, которой обладает атом водорода в основном состоянии (). Максимальная энергия (согласно формуле (4) ) соответствует ионизации атома путем отрыва электрона от ядра.
, то импульс выражают через энергию: 
, то кинетическая энергия определяется величиной ускоряющей разности потенциалов . Привычную формулу классической механики можно использовать для частиц, кинетическая энергия которых мала по сравнению с их энергией покоя : . Приведем значения энергии покоя некоторых частиц: для электрона 
; для протона 
; для -частицы .
;
.
, так как такая частица, согласно соотношению неопределенностей, не может иметь точные нулевые значения. Поскольку неопределенность координаты частицы , – определяется характерным размером области, то, используя соотношение , можно получить формулу, связывающую минимальную кинетическую энергию частицы с размером области: .
. Определите длину волны де Бройля электрона, учитывая зависимость его массы от скорости.
, (1) где – постоянная Планка; – импульс частицы; – ее масса и скорость. При скоростях, сравнимых со скоростью света ,
– скорость света в вакууме.
.
.Пример 1. Вычислить для атома водорода радиус первой боровской орбиты и скорости электрона на ней.
Решение. Радиус n–й боровской орбиты r n и скорость u n электрона на ней связаны между собой уравнением первого постулата Бора:
mu n r n = ћn . (3.1)
Чтобы иметь еще одно уравнение, связывающие величины u n и r n , запишем второй закон Ньютона для электрона, движущегося под действием кулоновской силы притяжения ядра по круговой орбите. Учитывая, что ядром атома водорода является протон, заряд которого равен по модулю заряду электрона, запишем:
где m – масса электрона, – нормальное ускорение. Решив совместно (3.1) и (3.2) получим:
Положив здесь n = 1 , произведем вычисления:
; 
.
Пример 2. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона и его длину волны.
Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:
, (3.3)
где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n 1 – номер орбиты, на которую перешел электрон; n 2 – номер орбиты, с которой перешел электрон (n 1 и n 2 – главные квантовые числа).
Энергия фотона Е выражается формулой
Поэтому, умножив обе части равенства (13.3) на hc , получим выражение для энергии фотона:
.
Т.к. Rhc есть энергия ионизации E i атома водорода, то
.
Из равенства (3.4) выразим длину волны фотона
Вычисления выполним во внесистемных единицах: E i = 13,6 эВ; Z = 1; n 1 = 2; n 2 = 4:
эВ =
2,55 эВ.
м
.
Пример 3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U . Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U 1 = 51 В; 2) U 2 = 510 кВ.
Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой
где h – постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т . Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
где m 0 – масса покоя частицы.
В релятивистском случае
, (3.7)
где E 0 = m 0 с 2 – энергия покоя частицы.
Формула (3.5) с учетом соотношений (3.6) и (3.7) запишется:
В нерелятивистском случае
В релятивистском случае
. (3.9)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U 1 = 51 В и U 2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (3.8) или (3.9) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U ,
T = eU .
В первом случае T 1 = еU 1 = 51 эВ= 0,51 10 -4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е 0 = m 0 с 2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (3.8). Для упрощения расчетов заметим, что T 1 = 10 -4 m 0 c 2 . Подставив это выражение в формулу (3.8), перепишем ее в виде
.
Учитывая, что есть комптоновская длина волны λ , получаем
Т.к. λ = 2,43пм, то
Во втором случае кинетическая энергия T 2 = eU 2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (3.9). Учитывая, что Т 2 = 0,51МэВ = m 0 с 2 , по формуле (3.9) находим
,
Подставим значение λи произведем вычисления:
Пример 4. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Т = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.
Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид
где Dх – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); Dр х – неопределенность импульса частицы (электрона); – постоянная Планка.
Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью
А́том (от др.-греч. ἄτομος - неделимый) - наименьшая химически неделимая часть химического элемента, являющаяся носителем его свойств. Атом состоит из атомного ядра и электронов. Ядро атома состоит из положительно заряженных протонов и незаряженных нейтронов. Если число протонов в ядре совпадает с числом электронов, то атом в целом оказывается электрически нейтральным. В противном случае он обладает некоторым положительным или отрицательным зарядом и называется ионом. Атомы классифицируются по количеству протонов и нейтронов в ядре: количество протонов определяет принадлежность атома некоторому химическому элементу, а число нейтронов - изотопу этого элемента.
Хотя слово атом в первоначальном значении обозначало частицу, которая не делится на меньшие части, согласно научным представлениям он состоит из более мелких частиц, называемых субатомными частицами. Атом состоит из электронов, протонов, все атомы, кроме водорода-1, содержат также нейтроны.
Электрон является самой лёгкой из составляющих атом частиц с массой 9,11·10−31 кг, отрицательным зарядом и размером, слишком малым для измерения современными методами. Протоны обладают положительным зарядом и в 1836 раз тяжелее электрона (1,6726·10−27 кг). Нейтроны не обладают электрическим зарядом и в 1839 раз тяжелее электрона (1,6929·10−27 кг). При этом масса ядра меньше суммы масс составляющих его протонов и нейтронов из-за эффекта дефекта массы. Нейтроны и протоны имеют сравнимый размер, около 2,5·10−15 м, хотя размеры этих частиц определены плохо.
Постулаты Бора - основные допущения, сформулированные Нильсом Бором в 1913 году для объяснения закономерности линейчатого спектра атома водорода и водородоподобных ионов (формула Бальмера-Ридберга) и квантового характера испускания и поглощения света. Бор исходил из планетарной модели атома Резерфорда.
Атом может находиться только в особенных стационарных, или квантовых, состояниях, каждому из которых отвечает определенная энергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн.
Электрон в атоме, не теряя энергии, двигается по определённым дискретным круговым орбитам, для которых момент импульса квантуется: , где - натуральные числа, а - постоянная Планка. Пребывание электрона на орбите определяет энергию этих стационарных состояний.
При переходе электрона с орбиты (энергетический уровень) на орбиту излучается или поглощается квант энергии, где - энергетические уровни, между которыми осуществляется переход. При переходе с верхнего уровня на нижний энергия излучается, при переходе с нижнего на верхний - поглощается.
Используя данные постулаты и законы классической механики, Бор предложил модель атома, ныне именуемую Боровской моделью атома. В дальнейшем Зоммерфельд расширил теорию Бора на случай эллиптических орбит. Её называют моделью Бора-Зоммерфельда.
Атом водорода - физическая система, состоящая из атомного ядра, несущего элементарный положительный электрический заряд, и электрона, несущего элементарный отрицательный электрический заряд. В состав атомного ядра может входить протон или протон с одним или несколькими нейтронами, образуя изотопы водорода. Электрон преимущественно находится в тонком концентрическом шаровом слое вокруг атомного ядра, образуя электронную оболочку атома. Наиболее вероятный радиус электронной оболочки атома водорода в стабильном состоянии равен боровскому радиусу a0 = 0,529 Å.
Атом водорода имеет специальное значение в квантовой механике и релятивистской квантовой механике, поскольку для него проблема двух тел имеет точное или приближенное аналитическое решения. Эти решения применимы для разных изотопов водорода, с соответствующей коррекцией.
В квантовой механике атом водорода описывается двухчастичной матрицей плотности или двухчастичной волновой функцией. Также упрощенно рассматривается как электрон в электростатическом поле бесконечно тяжёлого атомного ядра, не участвующего в движении (или просто в кулоновском электростатическом потенциале вида 1/r). В этом случае атом водорода описывается редуцированной одночастичной матрицей плотности или волновой функцией.
В 1913 году Нильс Бор предложил модель атома водорода, имеющую множество предположений и упрощений, и вывел из неё спектр излучения водорода. Предположения модели не были полностью правильны, но тем не менее приводили к верным значениям энергетических уровней атома.
Результаты расчётов Бора были подтверждены в 1925-1926 годах строгим квантово-механическим анализом, основанном на уравнении Шрёдингера. Решение уравнения Шрёдингера для электрона в электростатическом поле атомного ядра выводится в аналитической форме. Оно описывает не только уровни энергии электрона и спектр излучения,
Квантование энергии электрона в атоме Некоторые физические величины, относящиеся к микрообъектам, изменяются не непрерывно, а скачкообразно. О величинах, которые могут принимать только вполне определенные, то есть дискретные значения (латинское "дискретус" означает разделенный, прерывистый), говорят, что они квантуются.
В 1900 г. немецкий физик М. Планк, изучавший тепловое излучение твердых тел, пришел к выводу, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций - квантов - энергии. Значение одного кванта энергии равно ΔE = hν,
где ΔE - энергия кванта, Дж; ν - частота, с-1; h - постоянная Планка (одна из фундаментальных постоянных природы), равная 6,626·10−34 Дж·с.
Кванты энергии впоследствии назвали фотонами.
Идея о квантовании энергии позволила объяснить происхождение линейчатых атомных спектров, состоящих из набора линий, объединенных в серии.
Теория основана на хорошо известном факте «превращения» фотона с энергий 1 МэВ в пару электрон – позитрон. Необходимо предупредить, что имеется замечательное совпадение: энергия фотона почти точно соответствует существующему определению классического радиуса электрона:
R e = ξ (e 0 2 / m e c 2) = 2,81794334·10 –15 [m ],
а энергия m e c 2 ≈ 0,5MeV . Совпадение порождает естественное подозрение на использование автором тавтологии, не имеющей физического смысла. Но это не так в силу опытного факта превращения фотона в пару электрон – позитрон. В статье получена электрическая безмассовая структура физического вакуума с дипольным расстоянием r e = 1,3987632·10 –15 [m ] и предельно возможная деформация диполя Δr rb = 1,02072687·10 –17 [m ], удвоенная сумма которых точно равна классическому радиусу электрона. Причина в том, что энергия фотона «красной границы» для вакуума в 2 раза больше энергии масс электрона и позитрона.
Другим важным обстоятельством гипотезы о природе гравитации есть то, что причиной притяжения всех тел друг к другу является слабая разность элементарных зарядов (+) и (–) в диполе. По законам индукции Фарадея и сил Кулона все тела притягиваются друг к другу поляризуемым зарядом дипольной структуры среды, а свойства инерции заключается в свойстве среды сопротивляться любым ускорениям материальных тел.
Эта исключительно важная среда существования вещества в природе позволила опубликовать статью , которую можно принять как частную программу развития физических знаний об устройстве природы.
Модель атома водорода по Н. Бору
Обратимся к истокам начал квантовой механики, положенным Н. Бором (1885...1962) в форме модели атома водорода, которая получила блестящее подтверждение в спектральных исследованиях излучения водорода. Кратко напомним основные положения работы Н. Бора.
Энергия Е электрона в атоме, исходя из классической физики, складывается из кинетической энергии Т и потенциальной электрической энергии U : Е = Т + U . Отметим, что в область микромира вторглась классическая физика, которой в настоящее время приписывается множество «грехов». Потенциальная энергия U = (–e 0)V ; заряд ядра Ze 0 ; Для кругового движения:
Полная энергия отрицательна. Разрешенные радиусы:
Отметим интересное обстоятельство появления отрицательной энергии электронов в атомах. Это понятие возникло исключительно из-за отрицательного знака заряда электрона, который носит условный характер, определенный человеком. Указанные формулы написаны в системе СГС. Перевод формул в менее запутанную систему СИ дает следующее написание:
где r 1 – радиус первой орбиты в атоме водорода, n = 1, 2, 3, ... – квантовые числа, соответствующие номерам стационарных орбит у водорода.
Везде в формулах оказалась электрическая константа
ξ = 8,98755179·10 9 [m 3 kg ·a –2 s –4 ],
которая есть обратная величина привычной электрической проницаемости вакуума.
Итак, модель атома Бора пришла в противоречие с существовавшей тогда классической физикой.
- Согласно классике, электрон, двигающийся с центростремительным ускорением, обязан излучать электромагнитную энергию.
- В атоме существуют стационарные круговые орбиты, на которых не происходит излучение электронов, и они не падают на ядро в результате расхода энергии.
Сделан вывод, что рожденная таким образом квантовая механика противоречит классической физике в микро мире. Сложилась странная ситуация, в результате которой появился барьер в физике, изучающей единую и неделимую природу. Квантовая механика находит правила устройства микромира и не отвечает на такие вопросы, – что мешает излучению электронов, находящихся на стационарных орбитах? Излучение или поглощение электромагнитных волн электронами в атомах происходит только при их переходах между стационарными орбитами.
Посмотрим, что дает среда существования вещества классической физике и квантовой механике – физический вакуум, имеющий электрическую структуру, погруженную в магнитный (массовый) континуум. В основных чертах эта среда отвечает механической модели, использованной гениальным Максвеллом при выводе своих формул, безотказно работающих до сего времени. Важным элементом понимания сущности инерции является ее возникновение как сопротивление дипольной среды ускоренному движению:
f = b Δr a ~ ma ,
где b = ξ (e 0 2 / Δr rb r e 2) = 1,155406·10 19 [kg ·s –2 ] – электрическая упругость диполя структуры вакуума, r a – деформация диполя структуры под действием силы инерции тела массы m и ускорения а . Знак пропорциональности «~» использован из понимания того, что тело взаимодействует не с одним диполем структуры, а с некоторым кластером или доменом структуры вакуума. Для того, чтобы устранить кажущееся противоречие между классической физиков и КМ, необходим логический вывод: на стационарных орбитах электроны движутся без инерции . Нет центробежной и нет центростремительной сил, создающих классическое ускорение. Существуют такие орбиты или пути движения частиц (электронов) в структуре вакуума, которые не обладают сопротивлением ускоренному движению. В этом отношении круговое движение электронов, обладающих зарядом (электрической напряженностью) и собственным магнитным моментом, а также магнитным моментом вращательного движения, подобно вращению генератора Рощина – Година , в котором все указанные элементы существуют. На опыте генератора происходило уменьшение инерции и веса ротора.
Перейдем к параметрам вакуума. Наиболее важным является то, что константа Планка полностью определяется основными параметрами структуры среды:
h = 2π e 0 2 α –1 √(ξ / η) [J ·s ].
Здесь появилась магнитная константа вакуума
η = 1·10 7 [m –1 kg ·a 2 s 2 ]
как обратная величина магнитной проницаемости и постоянная тонкой структуры
α –1 = 137,035999.
Подстановка h в формулу для первой орбиты водорода дает:
r 1 = (1/η)·(e 0 2 α –2 / m e ).
Орбита зависит от элементарного заряда структуры среды, ее магнитной константы и наиболее фундаментальной величины нашей Вселенной – постоянной тонкой структуры. Массу электрона можно заменить на другие параметры среды:
m e = (1/η)·[e 0 2 / 2(r e + Δr rb )];
в результате получим, что:
r 1 = 2α –2 (r e + Δr rb ) = 5,29177245·10 –11 [m ].
Радиус первой орбиты определяется только величиной постоянной тонкой структуры и основными метрическими характеристиками среды. Очевидно, совпадение R e = 2(r e + Δr rb ), однако могут быть отклонения величины Δr от Δr rb , так как их полная идентичность не установлена. Выше было дано замечание о совпадении классического радиуса с выводами из равенства энергий фотона и электрона – позитрона.
При каких условиях сопротивление среды ускорению равно нулю? Возможно только одно: в условии инерции f = b Δr a ~ ma отсутствует ускорение и Δr a = 0. Это означает, что движение частиц вообще и электрона в частности может происходить так, что частица не взаимодействует с решеткой вакуума, двигаясь строго по существующему точному кругу или сфере зарядов одного знака (для электрона «–»). При этом нет ни гравитации, ни инерции. Гравитация и инерция возникают только при движении частиц и макро тел с пересечением электронной структуры вакуума. Для частиц, двигающихся от заряда к заряду одинакового знака, в общем случае характерна криволинейная траектория в отличие от движения частиц по избранным круговым траекториям. Круговые траектории располагаются на сфере, проходящей через заряды диполей одного знака. Задача нахождения сфер в решетке вакуума разрешима на основе обычной геометрии в пространстве. Криволинейные пути частиц ассоциируются с волнами Де Бройля λ = h / mV и наиболее простой формой траектории будет винтообразное движение с малой амплитудой.
13.7. Атом водорода (водородоподобный атом) по теории Бора
13.7.3. Орбиты электрона в атоме
Согласно правилу квантования орбит ( принципу Зоммерфельда ) связь между энергией стационарных состояний электрона в атоме, радиусом его орбиты и скоростью на этой орбите задается формулой
mvr = n ℏ,
где m - масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10 −31 кг; v - скорость электрона; r - радиус орбиты электрона; ℏ - приведенная постоянная Планка, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h - постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n - главное квантовое число.
Из правила квантования орбит следует, что стационарным состояниям электрона в атоме соответствуют только такие орбиты электронов, для которых выполняется условие
mv n r n = n ℏ,
где r n - радиус электрона на орбите с номером n ; v n - скорость электрона на орбите с номером n ; m - масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10 −31 кг; ℏ - приведенная постоянная Планка, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h - постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n - главное квантовое число.
Радиус стационарной орбиты электрона
r n = ℏ 2 n 2 k Z e 2 m ,
где k = 1/4πε 0 ≈ 9 ⋅ 10 9 Н ⋅ м 2 /Кл 2 ; ε 0 - электрическая постоянная, ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 Ф/м; Z - порядковый номер элемента; e - заряд электрона, e = −1,6 ⋅ 10 −19 Кл; m - масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10 −31 кг; ℏ - приведенная постоянная Планка, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h - постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n - главное квантовое число.
Радиус первой орбиты электрона в атоме водорода (Z = 1 и n = 1) равен
r 1 = ℏ 2 k e 2 m = 0,53 ⋅ 10 − 10 м
и называется первым боровским радиусом .
Для упрощения вычислений радиуса n-й орбиты электрона в водородоподобном атоме применяют формулу
r (Å) = 0,53 ⋅ n 2 Z ,
где r (Å) - радиус в ангстремах (1 Å = 1,0 ⋅ 10 −10 м); Z - порядковый номер химического элемента в Периодической системе элементов Д.И. Менделеева; n = 1, 2, 3, … - главное квантовое число.
Скорость электрона на стационарной орбите в водородоподобном атоме определяется формулой
v n = k Z e 2 n ℏ ,
где k = 1/4πε 0 ≈ 9 ⋅ 10 9 Н ⋅ м 2 /Кл 2 ; ε 0 - электрическая постоянная, ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 Ф/м; Z - порядковый номер элемента; e - заряд электрона, e = −1,6 ⋅ 10 −19 Кл; ℏ - приведенная постоянная Планка, ℏ = = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h - постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n - главное квантовое число.
Скорость электрона на первой орбите в атоме водорода (Z = 1 и n = 1) равна
v n = k e 2 ℏ = 2,2 ⋅ 10 6 м/с.
Для упрощения вычислений величины скорости электрона на n-й орбите в водородоподобном атоме применяют формулу
v (м/с) = 2,2 ⋅ 10 6 ⋅ Z n ,
где v (м/с) - модуль скорости в м/с; Z - порядковый номер химического элемента в Периодической системе элементов Д.И. Менделеева; n = 1, 2, 3, … - главное квантовое число.
Пример 21. Электрон в атоме гелия переходит с первой орбиты на орбиту, радиус которой в 9 раз больше. Найти энергию, поглощенную атомом.
Решение . Энергия, поглощенная атомом гелия, равна разности энергий:
∆E = E 2 − E 1 ,
где E 1 - энергия электрона, соответствующая радиусу орбиты r 1 ; E 2 - энергия электрона, соответствующая радиусу орбиты r 2 .
Энергии электрона в атоме гелия (Z = 2) определяются следующими формулами:
- в состоянии с главным квантовым числом n 1 = 1 -
E 1 (эВ) = − 13,6 Z 2 n 1 2 = − 54,4 эВ;
- состоянии с главным квантовым числом n 2 -
E 2 (эВ) = − 54,4 n 2 2 .
Для определения энергии E 2 воспользуемся выражением для радиусов соответствующих орбит:
- для орбиты с главным квантовым числом n 1 = 1 -
r 1 (Å) ≈ 0,53 n 1 2 Z = 0,265 Å ;
- орбиты с главным квантовым числом n 2 -
r 2 (Å) ≈ 0,265 n 2 2 .
Отношение радиусов
r 2 (Å) r 1 (Å) = 0,265 n 2 2 0,265 = n 2 2
позволяет определить главное квантовое число второго состояния:
n 2 = r 2 (Å) r 1 (Å) = 9 = 3 ,
где r 2 /r 1 - заданное в условии отношение радиусов орбит, r 2 /r 1 = 9.
Из отношения энергий
E 2 E 1 = 1 n 2 2
следует, что энергия электрона в атоме гелия во втором состоянии
E 2 = E 1 n 2 2 = − 54,4 эВ 3 2 = − 6,04 эВ.
Энергия, поглощенная атомом при указанном переходе, является разностью
∆E = E 2 − E 1 = −6,04 − (−54,4) = 48,4 эВ.
Следовательно, при указанном переходе атом поглотил энергию, равную 48,4 эВ.