یکی از مهم ترین علومی که کاربرد آن را در رشته هایی مانند شیمی، فیزیک و حتی زیست شناسی می توان دید، ریاضیات است. مطالعه این علم به شما این امکان را می دهد که برخی از ویژگی های ذهنی خود را توسعه دهید و توانایی تمرکز خود را بهبود بخشید. یکی از مباحثی که در درس ریاضی جای توجه ویژه دارد، جمع و تفریق کسرها است. بسیاری از دانش‌آموزان درس خواندن را دشوار می‌دانند. شاید مقاله ما به شما در درک بهتر این موضوع کمک کند.
نحوه تفریق کسری که مخرج آنها یکسان است
کسرها همان اعدادی هستند که با آنها می توانید عملیات مختلفی را انجام دهید. تفاوت آنها با اعداد کامل در حضور یک مخرج است. به همین دلیل است که هنگام انجام عملیات با کسرها، باید برخی از ویژگی ها و قوانین آنها را مطالعه کنید. ساده ترین حالت تفریق کسری معمولی است که مخرج آنها به صورت یک عدد نمایش داده می شود. اگر یک قانون ساده را بدانید، انجام این عمل دشوار نخواهد بود:
- برای تفریق یک ثانیه از یک کسر، لازم است که کسر کسر را از کسر در حال کاهش کم کنیم. این عدد را در صورت‌دهنده تفاضل می‌نویسیم و مخرج را یکسان می‌گذاریم: k/m - b/m = (k-b)/m.
نمونه هایی از تفریق کسری که مخرج آنها یکسان است
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
از صورت‌دهنده کسری «7»، صورتگر کسری «3» را کم می‌کنیم، «4» به دست می‌آید. ما این عدد را در صورتگر پاسخ می نویسیم و در مخرج همان عددی را که در مخرج کسرهای اول و دوم بود - "19" قرار می دهیم.
تصویر زیر چندین نمونه مشابه دیگر را نشان می دهد.
بیایید مثال پیچیده‌تری را در نظر بگیریم که در آن کسری با مخرج مشابه کم می‌شود:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
از شمار کسر "29" که با تفریق به نوبه خود اعداد کسرهای بعدی - "3"، "8"، "2"، "7" کاهش می یابد. در نتیجه ، نتیجه "9" را به دست می آوریم که در صورتگر پاسخ می نویسیم و در مخرج عددی را که در مخرج همه این کسرها است - "47" می نویسیم.
جمع کسری که مخرج یکسان دارند
جمع و تفریق کسرهای معمولی از همین اصل پیروی می کند.
- برای اضافه کردن کسرهایی که مخرج آنها یکسان است، باید اعداد را جمع کنید. عدد حاصل، صورتگر مجموع است و مخرج ثابت خواهد ماند: k/m + b/m = (k + b)/m.
بیایید با استفاده از یک مثال ببینیم که این چگونه به نظر می رسد:
1/4 + 2/4 = 3/4.
به شماره‌گذار اولین جمله کسری - "1" - شمارنده جمله دوم کسری - "2" را اضافه کنید. نتیجه - "3" - در صورت مجموع نوشته می شود و مخرج همان چیزی است که در کسرها - "4" وجود دارد.
کسری با مخرج های مختلف و تفریق آنها
ما قبلاً عملیات را با کسری که مخرج یکسانی دارند در نظر گرفته ایم. همانطور که می بینید، دانستن قوانین ساده، حل چنین مثال هایی بسیار آسان است. اما اگر لازم باشد عملیاتی را با کسری انجام دهید که مخرج متفاوتی دارد؟ بسیاری از دانش آموزان دبیرستانی با چنین مثال هایی گیج می شوند. اما حتی در اینجا، اگر اصل راه حل را بدانید، دیگر مثال ها برای شما دشوار نخواهد بود. در اینجا قانونی نیز وجود دارد که بدون آن حل چنین کسری به سادگی غیرممکن است.
- 2/3 - یک سه و یک دو در مخرج وجود ندارد:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 یا 7/(3 x 3) - مخرج یک دو را از دست داده است:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 یا 5/(2 x 3) - مخرج سه مورد را ندارد:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - عدد 18 از 3*2*3 تشکیل شده است.
- عدد 15 از 5*3 ساخته شده است.
- مضرب مشترک عوامل زیر خواهد بود: 5 x 3 x 2 = 90.
- 90 تقسیم بر 15. عدد حاصل "6" ضریب 3/15 خواهد بود.
- 90 تقسیم بر 18. عدد حاصل "5" ضریب 4/18 خواهد بود.
- تمام کسری که دارای یک جزء صحیح است را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. به عبارت ساده، یک قسمت کامل را بردارید. برای این کار، عدد عدد صحیح را در مخرج کسر ضرب کرده و حاصل ضرب را به صورتگر اضافه کنید. عددی که بعد از این اعمال بیرون می آید، عدد کسر نامناسب است. مخرج بدون تغییر باقی می ماند.
- اگر کسرها مخرج های متفاوتی داشته باشند، باید به یک مخرج تقلیل داده شوند.
- جمع یا تفریق را با مخرج های یکسان انجام دهید.
- هنگام دریافت کسر نامناسب، کل قسمت را انتخاب کنید.
برای تفریق کسری با مخرج متفاوت، باید آنها را به کوچکترین مخرج یکسان تقلیل داد.
در مورد نحوه انجام این کار با جزئیات بیشتری صحبت خواهیم کرد.
خاصیت کسری
برای اینکه چند کسر را به یک مخرج بیاورید، باید از ویژگی اصلی یک کسر در حل استفاده کنید: پس از تقسیم یا ضرب صورت و مخرج در یک عدد، کسری برابر با عدد داده شده به دست می آید.
به عنوان مثال، کسر 2/3 می تواند دارای مخرج هایی مانند "6"، "9"، "12" و غیره باشد، یعنی می تواند شکل هر عددی را داشته باشد که مضرب "3" باشد. پس از ضرب کردن صورت و مخرج در "2"، کسری 4/6 را بدست می آوریم. بعد از ضرب کردن صورت و مخرج کسر اصلی در "3" به 9/6 می رسد و اگر عمل مشابهی را با عدد "4" انجام دهیم، 8/12 به دست می آید. یک برابری را می توان به صورت زیر نوشت:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
نحوه تبدیل کسرهای متعدد به مخرج یکسان
بیایید ببینیم چگونه کسرهای متعدد را به مخرج یکسان کاهش دهیم. به عنوان مثال، کسری که در تصویر زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید. ابتدا باید تعیین کنید که کدام عدد می تواند مخرج همه آنها شود. برای آسان‌تر کردن کار، بیایید مخرج‌های موجود را فاکتورسازی کنیم.
مخرج کسری 1/2 و کسری 2/3 را نمی توان فاکتور گرفت. مخرج 7/9 دارای دو عامل 7/9 = 7/(3 x 3)، مخرج کسری 5/6 = 5/(2 x 3) است. اکنون باید تعیین کنیم که کدام فاکتور برای هر چهار کسر کوچکترین خواهد بود. از آنجایی که کسر اول در مخرج عدد 2 را دارد، به این معنی است که باید در همه مخرج وجود داشته باشد؛ در کسر 7/9 دو ثلاث وجود دارد، یعنی هر دو باید در مخرج نیز باشند. با در نظر گرفتن موارد فوق، تعیین می کنیم که مخرج از سه عامل 3، 2، 3 تشکیل شده و برابر با 3 x 2 x 3 = 18 است.
بیایید کسر اول را در نظر بگیریم - 1/2. در مخرج آن یک "2" وجود دارد، اما یک رقم "3" وجود ندارد، بلکه باید دو رقم باشد. برای این کار، مخرج را در دو ثلاث ضرب می کنیم، اما با توجه به خاصیت کسری، باید صورت را در دو سه برابر ضرب کنیم:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
ما همان عملیات را با کسرهای باقی مانده انجام می دهیم.
همه با هم به این شکل است:
نحوه تفریق و جمع کسری که مخرج متفاوتی دارند
همانطور که در بالا ذکر شد، برای جمع یا تفریق کسری که مخرج متفاوتی دارند، باید آنها را به یک مخرج تقلیل داد و سپس از قوانین تفریق کسرهایی که مخرج یکسان دارند استفاده کرد که قبلاً در مورد آن صحبت شد.
بیایید به عنوان مثال به این نگاه کنیم: 4/18 - 3/15.
پیدا کردن مضرب اعداد 18 و 15:
پس از یافتن مخرج، لازم است عاملی را محاسبه کنیم که برای هر کسری متفاوت است، یعنی عددی که در آن لازم است نه تنها مخرج، بلکه صورت نیز ضرب شود. برای انجام این کار، عددی را که یافتیم (مضرب مشترک) بر مخرج کسری که باید فاکتورهای اضافی برای آن تعیین شود، تقسیم کنیم.
مرحله بعدی حل ما این است که هر کسری را به مخرج "90" کاهش دهیم.
قبلاً در مورد نحوه انجام این کار صحبت کرده ایم. بیایید ببینیم که چگونه این در یک مثال نوشته شده است:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
اگر کسرها دارای اعداد کوچک هستند، می توانید مخرج مشترک را تعیین کنید، همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است.
همین امر در مورد کسانی که مخرج های متفاوتی دارند نیز صادق است.
تفریق و داشتن اجزای صحیح
قبلاً در مورد تفریق کسرها و جمع آنها به تفصیل بحث کرده ایم. اما اگر کسری دارای یک جزء صحیح باشد چگونه می توان آن را کم کرد؟ باز هم از چند قانون استفاده می کنیم:
راه دیگری وجود دارد که در آن می توانید کسری را با اجزای کامل جمع و تفریق کنید. برای انجام این کار، اقدامات به طور جداگانه با قطعات کامل و اقدامات با کسرها به طور جداگانه انجام می شود و نتایج با هم ثبت می شوند.
مثال ارائه شده شامل کسری است که مخرج یکسانی دارند. در مواردی که مخرج ها متفاوت هستند، باید آنها را به یک مقدار رساند و سپس اقدامات را همانطور که در مثال نشان داده شده است انجام داد.
کم کردن کسرها از اعداد صحیح
نوع دیگری از عملیات با کسری، حالتی است که باید کسری را از آن کم کرد، در نگاه اول، حل چنین مثالی دشوار به نظر می رسد. با این حال، همه چیز در اینجا بسیار ساده است. برای حل آن باید عدد صحیح را به کسری و با مخرجی که در کسر تفریق شده است تبدیل کنید. بعد، ما یک تفریق مشابه تفریق با مخرج های یکسان انجام می دهیم. در یک مثال به این صورت است:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
تفریق کسری (درجه 6) ارائه شده در این مقاله مبنایی برای حل مثال های پیچیده تری است که در نمرات بعدی پوشش داده می شوند. دانش این موضوع متعاقباً برای حل توابع، مشتقات و غیره استفاده می شود. بنابراین، درک و درک عملیات با کسری که در بالا مورد بحث قرار گرفت بسیار مهم است.
کسری $\frac63$ را در نظر بگیرید. مقدار آن 2 است، زیرا $\frac63 = 6:3 = 2 $. اگر صورت و مخرج در 2 ضرب شوند چه اتفاقی می افتد؟ $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. بدیهی است که مقدار کسر تغییر نکرده است، بنابراین $\frac(12)(6)$ به عنوان y نیز برابر با 2 است. ضرب در صورت و مخرجبا 3 و دریافت $\frac(18)(9)$، یا با 27 و دریافت $\frac(162)(81)$، یا با 101 و دریافت $\frac(606)(303)$. در هر یک از این موارد، مقدار کسری که با تقسیم صورت بر مخرج بدست می آوریم 2 است. یعنی تغییری نکرده است.
همین الگو در مورد سایر کسری ها نیز مشاهده می شود. اگر صورت و مخرج کسری $\frac(120)(60)$ (برابر 2) بر 2 تقسیم شود (نتیجه $\frac(60)(30)$) یا بر 3 (نتیجه $\frac(40)(20) $)، یا با 4 (نتیجه $\frac(30)(15)$) و غیره، سپس در هر مورد مقدار کسری بدون تغییر و برابر با 2 باقی می ماند.
این قانون در مورد کسرهایی که مساوی نیستند نیز صدق می کند عدد کامل.
اگر صورت و مخرج کسری $\frac(1)(3)$ در 2 ضرب شود، $\frac(2)(6)$ به دست می آید، یعنی مقدار کسر تغییر نکرده است. و در واقع اگر پای را به 3 قسمت تقسیم کنید و یکی از آنها را بردارید یا آن را به 6 قسمت تقسیم کنید و 2 قسمت بگیرید، در هر دو حالت به یک اندازه پای خواهید داشت. بنابراین، اعداد $\frac(1)(3)$ و $\frac(2)(6)$ یکسان هستند. اجازه دهید یک قانون کلی را تدوین کنیم.
صورت و مخرج هر کسری را می توان در همان عدد ضرب یا تقسیم کرد بدون اینکه مقدار کسر تغییر کند.
این قانون بسیار مفید است. به عنوان مثال، در برخی موارد، اما نه همیشه، اجازه می دهد تا از عملیات با اعداد زیاد اجتناب کنید.
برای مثال، می‌توانیم صورت و مخرج کسر $\frac(126)(189)$ را بر 63 تقسیم کنیم و کسری $\frac(2)(3)$ را بدست آوریم که محاسبه با آن بسیار ساده‌تر است. یک مثال دیگر می توانیم صورت و مخرج کسری $\frac(155)(31)$ را بر 31 تقسیم کنیم و کسر $\frac(5)(1)$ یا 5 را بدست آوریم، زیرا 5:1=5 است.
در این مثال ابتدا با آن مواجه شدیم کسری که مخرج آن 1 است. چنین کسرهایی نقش مهمی در محاسبات دارند. لازم به یادآوری است که هر عددی را می توان بر 1 تقسیم کرد و مقدار آن تغییر نخواهد کرد. یعنی $\frac(273)(1)$ برابر با 273 است. $\frac(509993)(1)$ برابر با 509993 و غیره است. بنابراین، ما مجبور نیستیم اعداد را بر تقسیم کنیم، زیرا هر عدد صحیح را می توان به صورت کسری با مخرج 1 نشان داد.
با چنین کسرهایی که مخرج آنها 1 است، می توانید همان عملیات حسابی را مانند سایر کسرها انجام دهید: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
ممکن است بپرسید چه فایده ای دارد اگر یک عدد صحیح را به صورت کسری با یک واحد زیر خط نشان دهیم، زیرا کار با یک عدد صحیح راحت تر است. اما نکته اینجاست که نشان دادن یک عدد صحیح به صورت کسری به ما این فرصت را می دهد تا زمانی که همزمان با اعداد صحیح و کسری سر و کار داریم عملیات های مختلف را با کارایی بیشتری انجام دهیم. مثلا یاد گرفتن کسری با مخرج های مختلف اضافه کنید. فرض کنید باید $\frac(1)(3)$ و $\frac(1)(5)$ را اضافه کنیم.
می دانیم که فقط می توانیم کسری را اضافه کنیم که مخرج آنها مساوی باشد. این بدان معنی است که ما باید یاد بگیریم که چگونه کسرها را به شکلی کاهش دهیم که مخرج آنها برابر باشد. در این مورد، ما دوباره به این واقعیت نیاز خواهیم داشت که می توانیم صورت و مخرج یک کسری را بدون تغییر مقدار آن در همان عدد ضرب کنیم.
ابتدا صورت و مخرج کسر $\frac(1)(3)$ را در 5 ضرب کنید. $\frac(5)(15)$ بدست می آید، مقدار کسر تغییر نکرده است. سپس صورت و مخرج کسری $\frac(1)(5)$ را در 3 ضرب می کنیم. $\frac(3)(15)$ به دست می آید، باز هم مقدار کسر تغییر نکرده است. بنابراین، $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
حال بیایید سعی کنیم این سیستم را برای جمع کردن اعدادی که شامل هر دو قسمت اعداد صحیح و کسری هستند اعمال کنیم.
باید $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ اضافه کنیم. ابتدا، بیایید همه عبارت ها را به کسر تبدیل کنیم و دریافت کنیم: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. اکنون باید همه کسرها را به یک مخرج مشترک بیاوریم، برای این کار، صورت و مخرج کسر اول را در 12، دومی را در 4 و سومی را در 3 ضرب می کنیم. در نتیجه، $\frac (36) به دست می آید. )(12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$ که برابر است با $\frac(55)(12)$. اگر می خواهید خلاص شوید کسر نامناسب، می توان آن را به عددی متشکل از یک عدد صحیح و یک کسری تبدیل کرد: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ یا $4\frac(7 ) (12) دلار.
تمام قوانینی که اجازه می دهد عملیات با کسریدر مورد اعداد منفی نیز معتبر است. بنابراین، -1: 3 را می توان به صورت $\frac(-1)(3)$، و 1: (-3) را به صورت $\frac(1)(-3)$ نوشت.
از آنجایی که هم تقسیم یک عدد منفی بر یک عدد مثبت و هم تقسیم یک عدد مثبت بر منفی در اعداد منفی، در هر دو حالت جواب یک عدد منفی خواهد بود. به این معنا که
$(-1): 3 = \frac(1)(3)$ یا $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. علامت منفی وقتی به این صورت نوشته می شود به کل کسری اشاره دارد و نه به صورت جداگانه به صورت یا مخرج.
از طرف دیگر، (-1): (-3) را می توان به صورت $\frac(-1)(-3)$ نوشت و از آنجایی که تقسیم یک عدد منفی بر یک عدد منفی یک عدد مثبت به دست می آید، پس $\frac (-1 )(-3)$ را می توان به صورت $+\frac(1)(3)$ نوشت.
جمع و تفریق کسرهای منفی طبق طرحی مشابه جمع و تفریق کسرهای مثبت انجام می شود. مثلاً $1-1\frac13$ چیست؟ بیایید هر دو عدد را به صورت کسری نشان دهیم و $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ را بدست آوریم. بیایید کسرها را به مخرج مشترک بیاوریم و $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$ را بدست آوریم، یعنی $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ یا $-\frac(1)(3)$.
اعداد کسری معمولی ابتدا با دانش آموزان کلاس پنجم ملاقات می کنند و در طول زندگی آنها را همراهی می کنند، زیرا در زندگی روزمره اغلب لازم است یک شی را نه به عنوان یک کل، بلکه در قطعات جداگانه در نظر بگیریم یا از آن استفاده کنیم. مطالعه این موضوع را شروع کنید - به اشتراک بگذارید. سهام قسمت های مساوی هستند، که این یا آن شی به آن تقسیم می شود. به هر حال، همیشه نمی توان مثلاً طول یا قیمت یک محصول را به عنوان یک عدد کامل بیان کرد، باید قطعات یا کسری از برخی معیارها را در نظر گرفت. خود کلمه "کسری" که از فعل "تقسیم کردن" - تقسیم به قطعات و ریشه عربی تشکیل شده است در قرن هشتم در زبان روسی بوجود آمد.
عبارات کسری از دیرباز سخت ترین شاخه ریاضیات در نظر گرفته شده است. در قرن هفدهم، زمانی که اولین کتاب‌های درسی ریاضیات پدیدار شد، آنها را «اعداد شکسته» می‌نامیدند که درک آن برای مردم بسیار دشوار بود.
شکل مدرن باقیمانده های کسری ساده، که قسمت های آن با یک خط افقی از هم جدا شده اند، برای اولین بار توسط فیبوناچی - لئوناردو از پیزا ترویج شد. تاریخ آثار او به سال 1202 می رسد. اما هدف این مقاله این است که به سادگی و به وضوح برای خواننده توضیح دهد که چگونه کسرهای مختلط با مخرج های مختلف ضرب می شوند.
ضرب کسری با مخرج های مختلف
در ابتدا ارزش تعیین کردن را دارد انواع کسری:
- درست؛
- غلط؛
- مختلط
در مرحله بعد، باید به یاد داشته باشید که چگونه اعداد کسری با مخرج یکسان ضرب می شوند. قاعده این فرآیند به طور مستقل دشوار نیست: نتیجه ضرب کسرهای ساده با مخرج های یکسان یک عبارت کسری است که صورت آن حاصل ضرب اعداد است و مخرج حاصل ضرب مخرج این کسرها است. . یعنی در واقع مخرج جدید مربع یکی از مخرج های اولیه است.
هنگام ضرب کسرهای ساده با مخرج های مختلفبرای دو یا چند عامل این قانون تغییر نمی کند:
آ/ب * ج/د = a*c / ب*د.
تنها تفاوت این است که عدد تشکیل شده در زیر خط کسری حاصل ضرب اعداد مختلف خواهد بود و طبیعتاً نمی توان آن را مربع یک عبارت عددی نامید.
شایان ذکر است که ضرب کسری با مخرج های مختلف را با استفاده از مثال ها در نظر بگیرید:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
مثال‌ها از روش‌هایی برای کاهش عبارات کسری استفاده می‌کنند. شما فقط می توانید اعداد صورت را با اعداد مخرج کاهش دهید؛ عوامل مجاور در بالا یا پایین خط کسر را نمی توان کاهش داد.
در کنار کسرهای ساده، مفهوم کسرهای مختلط نیز وجود دارد. یک عدد مختلط از یک عدد صحیح و یک جزء کسری تشکیل شده است، یعنی مجموع این اعداد است:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
ضرب چگونه کار می کند؟
چندین مثال برای بررسی ارائه شده است.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
مثال از ضرب یک عدد در استفاده می کند بخش کسری معمولی، قانون این عمل را می توان به صورت زیر نوشت:
آ* ب/ج = a*b /ج
در واقع چنین حاصل ضربی مجموع باقی مانده های کسری یکسان است و تعداد عبارت ها نشان دهنده این عدد طبیعی است. مورد خاص:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
راه حل دیگری برای ضرب یک عدد در باقیمانده کسری وجود دارد. فقط باید مخرج را بر این عدد تقسیم کنید:
د* e/f = e/f: د.
این تکنیک برای استفاده زمانی مفید است که مخرج بر یک عدد طبیعی بدون باقیمانده یا به قول آنها بر یک عدد کامل تقسیم شود.
اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و حاصل ضرب را به روشی که قبلا توضیح داده شد به دست آورید:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
این مثال شامل راهی برای نمایش یک کسر مختلط به عنوان یک کسر نامناسب است، و همچنین می تواند به عنوان یک فرمول کلی نشان داده شود:
آ بج = a*b+ج / ج، که در آن مخرج کسر جدید با ضرب کل جزء با مخرج و جمع آن با صورت باقی مانده کسری اصلی تشکیل می شود و مخرج ثابت می ماند.
این فرآیند نیز در جهت مخالف عمل می کند. برای جدا کردن کل قسمت و باقیمانده کسری، باید صورت کسر نامناسب را با استفاده از یک "گوشه" بر مخرج آن تقسیم کنید.
ضرب کسرهای نامناسببه روشی پذیرفته شده تولید می شود. هنگام نوشتن زیر یک خط کسری، باید کسرها را در صورت لزوم کاهش دهید تا با استفاده از این روش، اعداد را کاهش دهید و محاسبه نتیجه را آسان‌تر کنید.
راهنماهای زیادی در اینترنت برای حل مسائل پیچیده ریاضی در انواع مختلف برنامه ها وجود دارد. تعداد کافی از این خدمات کمک خود را در محاسبه ضرب کسری با اعداد مختلف در مخرج ارائه می دهند - به اصطلاح ماشین حساب آنلاین برای محاسبه کسر. آنها نه تنها می توانند ضرب کنند، بلکه می توانند سایر عملیات های ساده حسابی را با کسرهای معمولی و اعداد مختلط انجام دهند. کار با آن دشوار نیست؛ شما فیلدهای مناسب را در صفحه وب سایت پر می کنید، علامت عملیات ریاضی را انتخاب می کنید و روی «محاسبه» کلیک می کنید. برنامه به طور خودکار محاسبه می کند.
مبحث عملیات حسابی با کسرها در سراسر تحصیل دانش آموزان راهنمایی و دبیرستان مرتبط است. در دبیرستان دیگر ساده ترین گونه ها را در نظر نمی گیرند، اما عبارات کسری عدد صحیح، اما دانش قوانین تبدیل و محاسبات که قبلاً به دست آمده است به شکل اصلی خود اعمال می شود. تسلط کامل بر دانش پایه اعتماد به نفس کامل را در حل موفقیت آمیز پیچیده ترین مسائل می دهد.
در پایان، منطقی است که سخنان لو نیکولایویچ تولستوی را نقل کنیم که نوشت: "انسان یک کسری است. در اختیار آدمی نیست که صورتش را - شایستگی هایش - را زیاد کند، اما هرکسی می تواند مخرج خود را - نظرش را درباره خودش کم کند و با این کاهش به کمالش نزدیک شود.
شما می توانید عملیات مختلفی را با کسر انجام دهید، به عنوان مثال، جمع کردن کسرها. جمع کسرها را می توان به چند نوع تقسیم کرد. هر نوع جمع کسر قوانین و الگوریتم اعمال خاص خود را دارد. بیایید هر نوع افزودنی را با جزئیات بررسی کنیم.
جمع کردن کسری با مخرج مشابه.
بیایید به مثالی از نحوه جمع کردن کسرهای با مخرج مشترک نگاه کنیم.
گردشگران از نقطه A به نقطه E پیاده روی کردند. در روز اول آنها از نقطه A به B یا \(\frac(1)(5)\) کل مسیر را پیاده روی کردند. در روز دوم آنها از نقطه B به D یا \(\frac(2)(5)\) کل راه را پیاده روی کردند. از ابتدای سفر تا نقطه D چقدر مسافت را طی کردند؟
برای پیدا کردن فاصله از نقطه A تا نقطه D، باید کسرهای \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\ را اضافه کنید.
افزودن کسری با مخرج مشابه به این معنی است که باید صورت‌دهنده این کسرها را اضافه کنید، اما مخرج ثابت باقی می‌ماند.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
در شکل تحت اللفظی، مجموع کسری با مخرج یکسان به صورت زیر خواهد بود:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
پاسخ: گردشگران کل مسیر \(\frac(3)(5)\) را پیاده روی کردند.
جمع کسری با مخرج های مختلف.
بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
باید دو کسر \(\frac(3)(4)\) و \(\frac(2)(7)\) اضافه کنید.
برای اضافه کردن کسری با مخرج های مختلف، ابتدا باید پیدا کنیدو سپس از قانون جمع کردن کسرهایی با مخرج مشابه استفاده کنید.
برای مخرج 4 و 7، مخرج مشترک عدد 28 خواهد بود. کسر اول \(\frac(3)(4)\) باید در 7 ضرب شود. کسر دوم \(\frac(2)(7)\ ) باید در 4 ضرب شود.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(قرمز) (7) + 2 \times \color(قرمز) (4))(4 \ بار \color(قرمز) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
به صورت تحت اللفظی فرمول زیر را بدست می آوریم:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
اضافه کردن اعداد مختلط یا کسرهای مختلط.
جمع طبق قانون جمع اتفاق می افتد.
برای کسرهای مختلط کل قسمت ها را با کل و قسمت های کسری را با کسرها اضافه می کنیم.
اگر اجزای کسری اعداد مختلط مخرج یکسانی داشته باشند، صورت ها را جمع می کنیم، اما مخرج ثابت می ماند.
بیایید اعداد ترکیبی \(3\frac(6)(11)\) و \(1\frac(3)(11)\) را اضافه کنیم.
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(قرمز) (3) + \color(آبی) (\frac(6)(11))) + ( \color(قرمز) (1) + \color(آبی) (\frac(3)(11))) = (\color(قرمز) (3) + \color(قرمز) (1)) + (\color( آبی) (\frac(6)(11)) + \color(آبی) (\frac(3)(11))) = \color(قرمز)(4) + (\color(آبی) (\frac(6) + 3) (11))) = \color(قرمز)(4) + \color(آبی) (\frac(9)(11)) = \color(قرمز)(4) \color(آبی) (\frac (9) (11))\)
اگر قسمت های کسری اعداد مختلط مخرج های مختلفی داشته باشند، مخرج مشترک را پیدا می کنیم.
بیایید جمع اعداد مختلط \(7\frac(1)(8)\) و \(2\frac(1)(6)\) را انجام دهیم.
مخرج متفاوت است، بنابراین باید مخرج مشترک را پیدا کنیم، برابر 24. کسر اول \(7\frac(1)(8)\) را در ضریب اضافی 3 و کسر دوم \( ضرب کنید. 2\frac(1)(6)\) در 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(قرمز) (3))(8 \times \color(قرمز) (3) ) = 2\frac(1\times \color(قرمز) (4))(6\times \color(قرمز) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
سوالات مرتبط:
چگونه کسرها را جمع کنیم؟
پاسخ: ابتدا باید تصمیم بگیرید که چه نوع عبارتی است: کسرها مخرج یکسان، مخرج های متفاوت یا کسرهای مختلط دارند. بسته به نوع عبارت به سراغ الگوریتم حل می رویم.
چگونه کسری را با مخرج های مختلف حل کنیم؟
پاسخ: شما باید مخرج مشترک را پیدا کنید و سپس از قانون جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان پیروی کنید.
چگونه کسرهای مختلط را حل کنیم؟
پاسخ: اجزای صحیح را با اعداد صحیح و کسری را با کسر اضافه می کنیم.
مثال شماره 1:
آیا از مجموع دو می توان به کسری مناسب منجر شد؟ کسری نامناسب؟ مثال بزن.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
کسری \(\frac(5)(7)\) یک کسری مناسب است که حاصل مجموع دو کسر مناسب \(\frac(2)(7)\) و \(\frac(3) است. (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
کسری \(\frac(58)(45)\) کسری نامناسب است، حاصل مجموع کسرهای مناسب \(\frac(2)(5)\) و \(\frac(8) است. (9)\).
پاسخ: پاسخ هر دو سوال مثبت است.
مثال شماره 2:
کسرها را اضافه کنید: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
ب) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(قرمز) (3))(3 \times \color(قرمز) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
مثال شماره 3:
کسر مختلط را به صورت مجموع یک عدد طبیعی و یک کسر مناسب بنویسید: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
ب) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
مثال شماره 4:
مجموع را محاسبه کنید: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) ج) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
ب) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
ج) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
وظیفه شماره 1:
در ناهار \(\frac(8)(11)\) از کیک خوردیم و عصر هنگام شام \(\frac(3)(11)\) را خوردیم. به نظر شما کیک کاملا خورده شده یا نه؟
راه حل:
مخرج کسری 11 است، نشان می دهد که کیک به چند قسمت تقسیم شده است. ناهار از 11 عدد 8 عدد کیک خوردیم. در شام از 11 عدد کیک 3 عدد خوردیم. بیایید 8 + 3 = 11 را اضافه کنیم، از 11 عدد کیک، یعنی کل کیک را خوردیم.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
پاسخ: کل کیک خورده شد.
صورت، و آنچه بر آن تقسیم می شود، مخرج است.
برای نوشتن کسری ابتدا صورت را بنویسید سپس یک خط افقی زیر عدد بکشید و مخرج را زیر خط بنویسید. خط افقی که صورت و مخرج را از هم جدا می کند، خط کسری نامیده می شود. گاهی اوقات به صورت "/" یا "∕" مایل به تصویر کشیده می شود. در این حالت، صورت در سمت چپ خط و مخرج در سمت راست نوشته می شود. بنابراین، به عنوان مثال، کسری "دو سوم" به عنوان 2/3 نوشته می شود. برای وضوح، صورت معمولاً در بالای خط نوشته می شود و مخرج در پایین، یعنی به جای 2/3 می توانید پیدا کنید: ⅔.
برای محاسبه حاصل ضرب کسرها ابتدا عدد یک را ضرب کنید کسرینسبت به شمارش متفاوت است. نتیجه را در صورت حساب جدید بنویسید کسری. پس از این، مخرج ها را ضرب کنید. مقدار کل را در جدید وارد کنید کسری. مثلا 1/3؟ 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1؛ 3 × 5 = 15).
برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر ابتدا عدد اولی را در مخرج دوم ضرب کنید. همین کار را با کسر دوم (مقسوم کننده) انجام دهید. یا، قبل از انجام تمام اقدامات، اگر برای شما راحت تر است، ابتدا مقسوم علیه را "برگردانید": مخرج باید به جای صورتگر ظاهر شود. سپس مخرج تقسیم را در مخرج جدید مقسوم علیه ضرب کنید و اعداد را ضرب کنید. به عنوان مثال، 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
منابع:
- مسائل کسری اساسی
اعداد کسری به شما امکان می دهند مقدار دقیق یک کمیت را به اشکال مختلف بیان کنید. شما می توانید همان عملیات ریاضی را با کسری که می توانید با اعداد کامل انجام دهید: تفریق، جمع، ضرب و تقسیم. تا تصمیم گیری را یاد بگیریم کسری، باید برخی از ویژگی های آنها را به خاطر بسپاریم. آنها به نوع آنها بستگی دارد کسری، وجود یک جزء صحیح، یک مخرج مشترک. برخی از عملیات حسابی نیاز دارند که قسمت کسری نتیجه پس از اجرا کاهش یابد.
شما نیاز خواهید داشت
- - ماشین حساب
دستورالعمل ها
با دقت به اعداد نگاه کنید. اگر در بین کسری ها اعشاری و نامنظم وجود داشته باشد، گاهی اوقات راحت تر است که ابتدا عملیات را با اعشار انجام دهیم و سپس آنها را به شکل نامنظم تبدیل کنیم. میتونی ترجمه کنی کسریدر این شکل ابتدا مقدار را بعد از اعشار در صورت می نویسید و 10 را در مخرج قرار می دهید. در صورت لزوم، با تقسیم اعداد بالا و پایین بر یک مقسوم علیه کسر را کاهش دهید. کسری که در آنها کل جزء جدا شده است باید با ضرب آن در مخرج و جمع کردن صورت به نتیجه به شکل اشتباه تبدیل شوند. این مقدار تبدیل به شماره‌گر جدید می‌شود کسری. برای انتخاب یک قسمت کامل از یک قسمت اولیه نادرست کسری، باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید. کل نتیجه را بنویسید کسری. و باقیمانده تقسیم تبدیل به صورت جدید، مخرج می شود کسریتغییر نمی کند. برای کسرهای دارای جزء صحیح، می توان اعمال را به طور جداگانه انجام داد، ابتدا برای عدد صحیح و سپس برای قطعات کسری. به عنوان مثال، مجموع 1 2/3 و 2 ¾ را می توان محاسبه کرد:
- تبدیل کسرها به شکل اشتباه:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- مجموع اجزای اعداد صحیح و کسری به صورت جداگانه:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
آنها را با استفاده از جداکننده ":" بازنویسی کنید و با تقسیم عادی ادامه دهید.
برای به دست آوردن نتیجه نهایی، کسر حاصل را با تقسیم صورت و مخرج بر یک عدد کامل که در این حالت بزرگ‌ترین عدد ممکن است، کاهش دهید. در این حالت باید اعداد صحیح در بالا و پایین خط وجود داشته باشد.
توجه داشته باشید
با کسری که مخرج آنها متفاوت است، حساب را انجام ندهید. عددی را طوری انتخاب کنید که وقتی صورت و مخرج هر کسر را در آن ضرب کردید، مخرج هر دو کسر برابر باشد.
مشاوره مفید
هنگام نوشتن اعداد کسری، سود سهام در بالای خط نوشته می شود. این کمیت به عنوان شمارنده کسر تعیین می شود. مقسوم علیه یا مخرج کسر زیر خط نوشته می شود. به عنوان مثال، یک و نیم کیلوگرم برنج به صورت کسری به صورت زیر نوشته می شود: 1 ½ کیلوگرم برنج. اگر مخرج کسری 10 باشد، کسر را اعشار می نامند. در این حالت، در سمت راست تمام قسمت، با کاما از هم جدا می شود: 1.5 کیلوگرم برنج. برای سهولت محاسبه، چنین کسری همیشه می تواند به شکل اشتباه نوشته شود: 1 2/10 کیلوگرم سیب زمینی. برای ساده‌تر شدن، می‌توانید با تقسیم آنها بر یک عدد صحیح، مقادیر صورت‌دهنده و مخرج را کاهش دهید. در این مثال می توانید تقسیم بر 2 کنید. نتیجه 1/5 کیلوگرم سیب زمینی خواهد بود. اطمینان حاصل کنید که اعدادی که قرار است با آنها محاسبات انجام دهید به همین شکل ارائه شوند.