روش گاوسی برای آدمک ها: حل آسان لجن. روش گاوسی (حذف متوالی مجهولات). نمونه هایی از راه حل برای آدمک ها

بنابراین، روش گاوس برای هر سیستم معادلات خطی قابل استفاده است، این روش برای حل سیستم هایی که بیش از سه معادله خطی دارند، ایده آل است. به دلیل سادگی و یکنواختی عملیات انجام شده، روش گاوس برای حل SLAE با ضرایب عددی برای محاسبه بر روی کامپیوترهای الکترونیکی مناسب است.

مزایای روش:

الف) در مقایسه با روش های دیگر کار فشرده کمتری دارد.

ب)به شما امکان می دهد بدون ابهام تعیین کنید که آیا سیستم سازگار است یا خیر، و اگر سازگار است، راه حل آن را پیدا کنید.

ج) به شما امکان می دهد حداکثر تعداد معادلات مستقل خطی - رتبه ماتریس سیستم را پیدا کنید.

نقطه ضعف قابل توجه این روش عدم توانایی در فرمول بندی شرایط برای سازگاری و قطعیت سیستم بسته به مقادیر ضرایب و شرایط آزاد است. از سوی دیگر، حتی در مورد یک سیستم خاص، این روش اجازه نمی دهد تا فرمول های کلی برای بیان حل سیستم از طریق ضرایب و اصطلاحات آزاد آن، که برای مطالعات نظری ضروری است، پیدا شود.

علاوه بر حل تحلیلی SLAE، از روش گاوسی نیز برای موارد زیر استفاده می شود:

الف) یافتن ماتریس معکوس به داده شده (یک ماتریس واحد به اندازه ماتریس اصلی به ماتریس سمت راست اختصاص داده می شود: ، پس از آن با استفاده از روش گاوس-جردن به شکل یک ماتریس واحد کاهش می یابد. در نتیجه، به جای ماتریس واحد اصلی در سمت راست، ماتریس معکوس با ماتریس اصلی است:) ;

ب) تعیین رتبه ماتریس (طبق نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی، رتبه ماتریس برابر با تعداد متغیرهای اصلی آن است).

ج) حل عددی SLAE در فناوری کامپیوتر (به دلیل خطای محاسباتی، از روش گاوس برای انتخاب عنصر اصلی استفاده می‌شود که ماهیت آن این است که در هر مرحله متغیری را که در آن از بین باقی مانده سطرها و ستون ها پس از حذف، حداکثر ضریب مدول وجود دارد).

روش های دیگری برای حل و مطالعه سیستم های معادلات خطی وجود دارد که معایب ذکر شده را ندارند. این روش ها بر اساس تئوری ماتریس ها و تعیین کننده ها هستند.

ترکیبیات.

سه پسر - الماس، بولات، صابیر - به چند صورت می توانند در یک ردیف بایستند؟ - سخت نیست، بیایید همه موارد ممکن (ترکیب) را بنویسیم: ABS، ASB، BAS، BSA، SAB، SBA. در مجموع شش ترکیب وجود دارد.

فرض کنید پسر دیگری، دائورن به آنها پیوست. روش های چیدمان در این صورت چگونه خواهد بود؟ در شش مورد ممکن، Dauren می تواند اول، دوم، سوم و آخر باشد:

DABS، DASB، DBAS، DBSA، DSAB، DSBA؛
ADBS، ADSB، BDAS، BDSA، SDAB، SDBA؛
ABDS، ASDB، BADS، BSDA، SADB، SBDA؛
ABSD، ASBD، BASD، BSAD، SABD، SBAD.

در کل 24 راه مختلف وجود دارد. اگر تعداد بچه ها را زیاد کنیم چه؟ نوشتن و نمایش تعداد کل هر بار دشوار است. ما باید تعداد راه ها را تعریف کنیم نه انواع راه ها. آیا روش های دیگری برای تعیین این عدد وجود دارد؟ - بخور و در تئوری احتمال ما بیشتر به تعداد راه های ترتیب علاقه مندیم تا به انواع چیدمان. شاخه ای از ریاضیات به نام ترکیبیات امکان تعیین فوری تعداد چنین راه هایی را فراهم می کند. بیایید با مفاهیم اساسی ترکیبات لازم برای حل مسائل در نظریه احتمال آشنا شویم. اینها جایگشت، قرارگیری و ترکیب هستند. بیایید هر کدام را جداگانه بررسی کنیم.

1. بازآرایی. تعداد موارد مشکل قبلی را در نظر بگیرید. حروف A، B، C را دوباره مرتب کردیم و تعداد ترکیب های ممکن را شمردیم، 6 شد. و وقتی تعداد پسرها یک عدد افزایش یافت، حروف A، B، C، D را دوباره مرتب کردیم، تعداد ترکیب های ممکن را پیدا کردیم. 24 بود

تعریف. جایگشت n عنصر مختلف ترکیبی است که از n عنصر تشکیل شده است و تنها در ترتیب چینش آنها با یکدیگر تفاوت دارند.

تعداد جایگشت های n عنصر مختلف با P n نشان داده می شود و با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

اینجا n! (بخوانید "en Factorial") به معنای حاصل ضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n است:

واضح است که یک فاکتوریل برابر است با یک، 1! = 1، در عین حال، در ریاضیات به طور کلی پذیرفته شده است که فاکتوریل صفر برابر با یک است. و بنابراین 0! = 1.

بیایید به مثال برگردیم. در اینجا n=3. بنابراین، می توانید تعداد جایگشت های مورد نیاز را با استفاده از فرمول (1) پیدا کنید: P 3 =3!=1 2 3=6. به همین ترتیب، تعداد جایگشت های چهار حرف است: P 4 = 4! = 1 2 3 4 = 24

مثال 7. بیایید مقدار عبارت را با فاکتوریل 8!/6 پیدا کنیم! 2

ابتدا 8 را تبدیل می کنیم!=1 2 3 4 5 6 7 8=6! 7 8

بیایید این تبدیل را به یک عبارت جایگزین کنیم و آن را ساده کنیم. 8!/6 2=6 7 8/6! 2=7 8/2=28

2. قرار دادن. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. چند عدد دو رقمی (ارقام تکرار نمی شوند) را می توان با استفاده از اعداد 7، 8، 9 نوشت. این کار در دو مرحله قابل انجام است: مرحله اول تعیین تعداد انتخاب ده ها مکان از عدد است. برابر با 3 (هر یک از این 3 رقم می تواند مکان ده ها را اشغال کند) ; مرحله دوم تعیین تعداد انتخاب واحدهای ارقام عدد است که برابر با 2 است (هر رقمی از دو عدد باقی مانده می تواند رقم واحد را اشغال کند). طبق قانون ضرب، از سه عدد می توانید در مجموع 3 2 = 6 عدد دو رقمی مختلف بسازید. در واقع، شما می توانید این را با نوشتن مستقیم این اعداد 78، 79، 87، 89، 97، 98 تأیید کنید. هنگام حل مسئله، ما دو عنصر از سه عنصر را مرتب کردیم، و این ترکیب ها یا در ترکیب (78، 98) یا متفاوت هستند. به ترتیب ترتیب آنها (78، 87).

تعریف. چیدمان n عنصر توسط m عنصر (m n) ترکیبی است متشکل از m عنصر برگرفته از n عنصر مختلف که با یکدیگر یا در خود عناصر و یا در ترتیب چینش آنها متفاوت هستند.

تعداد قرارگیری n عنصر با m عنصر نشان داده می شود و به صورت زیر خوانده می شود: "A از en تا em." برای پیدا کردن از فرمول استفاده کنید:

(15)

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. در کلاس پنجم 10 درس می خوانند. اگر در آن روز 4 درس مختلف وجود داشته باشد، از چند طریق می توان برنامه ریزی کرد؟

برای یافتن تعداد روش‌های مرتب کردن 10 آیتم از هر کدام از چهار آیتم، از فرمول (15) برای یافتن تعداد ترتیب 10 مورد از هر کدام از 4 آیتم استفاده می‌کنیم:

بنابراین، 10 مورد از 4 مورد را می توان به 5040 روش مختلف مرتب کرد.

3. ترکیبات. مثال. شما باید از سه عدد داده شده 7، 8، 9 حاصل دو عدد متفاوت بسازید.

با احتساب خاصیت جابجایی ضرب، داریم: 7 8=56، 7 9=63، 8 9=72. هنگام حل مشکل، ما دو عنصر از سه عنصر را انتخاب کردیم، و این ترکیبات فقط در ترکیب متفاوت هستند (78، 98)، و مکان آنها بر محصول تأثیر نمی گذارد.

تعریف. ترکیبی از n عنصر از m عنصر (m n) ترکیباتی متشکل از m عنصر برگرفته از n عنصر مختلف است که فقط از نظر ترکیب با یکدیگر متفاوت هستند.

تعداد ترکیبات n عنصر را با m عنصر نشان می دهیم و به صورت زیر می خوانیم: "tse from en to em." برای پیدا کردن از فرمول استفاده کنید:

(16)

در مثال ما n=3 و m=2. سپس

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. در کلاس 25 دانش آموز وجود دارد که 12 نفر از آنها پسر هستند. الف) تشكيل وظيفه دو نفره الزامي است و جفتها شامل پسر يا دختر باشند. ب) چند گروه می توان برای وظیفه ایجاد کرد که شامل دو پسر و یک دختر باشد؟

راه حل. الف) هنگام حل این مشکل از قانون جمع و فرمول ترکیب استفاده می کنیم. ابتدا، بیایید بشماریم که از پسران (m 1) و دختران (m 2) چند جفت می توان ایجاد کرد، سپس مجموع آنها را پیدا کرد (m=m 1 +m 2).

برای تعیین اینکه از 12 پسر چند جفت می توان ایجاد کرد، از فرمول شمارش تعداد ترکیب های 12 عنصر از 2 عنصر استفاده می کنیم.

شما می توانید 78 جفت مختلف دختر ایجاد کنید. سپس، دو پسر و دو دختر، در مجموع m=66+78=144 جفت مختلف ایجاد می شود.

ب) هنگام حل این مسئله از قانون ضرب و فرمول ترکیب استفاده می کنیم. دو پسر و یک دختر در گروه هستند. ابتدا، بیایید شمارش کنیم که به چند روش می‌توانیم دو پسر از 12 پسر (m 1) و یک دختر از 13 دختر (m2) انتخاب کنیم، سپس نتایج به‌دست‌آمده را ضرب کنیم (m=m 1 m2).
از بین 12 پسر، 2 پسر را می توان به 66 روش مختلف انتخاب کرد. و از بین 13 دختر، 1 دختر به شرح زیر انتخاب می شود:

سپس یک گروه از دو پسر و یک دختر را می توان به روش های مختلف m=66 13=856 ایجاد کرد.

تعریف ماتریس تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم، ویژگی های اصلی آنها. جزئی ها و اضافات جبری، بسط تعیین کننده در یک ردیف (ستون). روش های محاسبه عوامل تعیین کننده مفهوم تعیین کننده مرتبه n.

تعریف 1.1. ماتریسجدول اعداد مستطیلی نامیده می شود.

عناوین: A - ماتریس، - عنصر ماتریس، تعداد ردیفی که این عنصر در آن قرار دارد، تعداد ستون مربوطه. m تعداد سطرهای ماتریس و n تعداد ستون های آن است.

تعریف 1.2. اعداد m و n نامیده می شوند ابعادماتریس ها

تعریف 1.3.ماتریس نامیده می شود مربع، اگر m = n باشد. عدد n در این حالت نامیده می شود به ترتیبماتریس مربع

هر ماتریس مربع را می توان با عددی مرتبط کرد که با استفاده از تمام عناصر ماتریس به طور منحصر به فرد تعیین می شود. این عدد را دترمینان می نامند.

تعریف 1.4 . تعیین کننده مرتبه دومعددی است که با استفاده از عناصر یک ماتریس مربع مرتبه دوم به صورت زیر به دست می آید:

.

در این حالت، از حاصل ضرب عناصر واقع در به اصطلاح مورب اصلی ماتریس (از سمت چپ بالا به گوشه پایین سمت راست) حاصل ضرب عناصر واقع در مورب دوم یا ثانویه کم می شود. .

1. 2.

تعریف 1.5. تعیین کننده مرتبه سومعددی است که با استفاده از عناصر یک ماتریس مربع مرتبه 3 به شرح زیر تعیین می شود:

الف، نامیده شد جابجا شدنسبت به ماتریس آ، که عناصر آن به عناصر متصل است آنسبت a` ij = a ji .

اجازه دهید سیستم معادلات (1.1) را به شکل نمایش دهیم

تعداد زیادی از طرح های روش حذف وجود دارد که برای محاسبه دستی یا ماشینی ماتریس های انواع عمومی یا خاص سازگار شده اند.

روش گاوسی را می توان به عنوان روشی تفسیر کرد که در آن ماتریس ابتدا به شکل مثلثی بالایی (حرکت رو به جلو) و سپس به یک فرم واحد (حرکت معکوس) کاهش می یابد. بدیهی است که اگر ماتریس هویت باشد، پس x t = b r

بنابراین، اجازه دهید ماتریس سیستم (1.3) مثلثی بالایی باشد یک tj= 0 در i>j،یعنی تمام عناصر زیر قطر اصلی صفر هستند. سپس از آخرین معادله بلافاصله تعیین می کنیم x p.جایگزین کردن x nدر معادله ماقبل آخر، پیدا می کنیم x a_ x و غیره فرمول های کلی فرم دارند

در k > منشانس مانند = 0.

اجازه دهید ماتریس سیستم (1.3) را به مثلث بالایی کاهش دهیم. اجازه دهید از معادله دوم سیستم (1.3) عدد اول را در عددی ضرب کنیم که ضریب در x xبه صفر خواهد رفت بیایید همین کار را با تمام معادلات دیگر انجام دهیم. در نتیجه، تمام ضرایب ستون اول که در زیر مورب اصلی قرار دارد به صفر خواهند رسید. سپس با استفاده از معادله دوم ضرایب مربوطه ستون دوم را صفر می کنیم. با ادامه این روند، ماتریس سیستم را به شکل مثلثی بالا کاهش می دهیم.

اجازه دهید فرمول های کلی روش گاوس را بنویسیم. بگذارید ضرایب از ستون (A - 1) حذف شوند. سپس معادلاتی با عناصر غیر صفر در زیر قطر اصلی وجود خواهد داشت:

بیایید ضرب کنیم kthخط به شماره با tk = t > kو تفریق کنید

از خط mth اولین عنصر غیر صفر این خط صفر می شود و بقیه طبق فرمول ها تغییر می کند

پس از انجام محاسبات با استفاده از این فرمول ها برای همه شاخص های نشان داده شده، عناصر را به صفر کاهش می دهیم k-roستون های زیر مورب اصلی یک روش مشابه ماتریس سیستم را به شکل مثلثی بالا کاهش می دهد و کل فرآیند کاهش را فرآیند مستقیم روش گاوسی می نامند. محاسبه مجهولات با استفاده از فرمول (1.4) روش REVERSE نامیده می شود.

اگر تمام ضرایب بالای مورب اصلی به صفر تبدیل شوند، حرکت معکوس می تواند متفاوت باشد. به عنوان مثال، عناصر پاگر ej^| از ستون ام صفر شود ضرب در (-a^V ax t = b | 2l)، که در آن b^n)- ضرایب سمت راست معادله i پس از تبدیل های نشان داده شده.

در یک مرحله رو به جلو، ممکن است معلوم شود که ضریب aj*" * 0، اما در مقایسه با سایر عناصر ماتریس سیستم کوچک و به ویژه در مقایسه با عناصر ستون اول کوچک است. تقسیم ضرایب سیستم بر یک مقدار کوچک می تواند منجر به خطاهای گرد کردن قابل توجهی شود.

برای کاهش خطاهای گرد کردن به صورت زیر عمل کنید. از جمله عناصر ستون اول آ^ از هر ماتریس میانی، بزرگترین عنصر مدول (اصلی) را انتخاب کنید و با تنظیم مجدد ردیف i با ردیف حاوی عنصر اصلی، اطمینان حاصل کنید که عنصر اصلی به عنصر اصلی تبدیل می شود. این اصلاح روش حذف گاوسی روش گاوسی با انتخاب عنصر اصلی نامیده می شود. مورد ظاهر عناصر صفر به خودی خود اجتناب می شود.

برای پیاده سازی روش، تقریباً طول می کشد پ 3/3 عملیات مانند ضرب و پ 3/3 عملیات مانند اضافه کردن. یادآوری این نکته مفید است که تخمین تعداد عملیات عمدتاً توسط عملیات صرف شده در انجام حرکت رو به جلو روش گاوسی تعیین می شود. معکوس روش گاوسی تقریباً نیاز دارد n 2عملیات بنابراین، اگر شما نیاز به حل چندین سیستم معادلات جبری خطی از فرم دارید تبر = ببا ماتریس یکسان و سمت راست متفاوت، سپس تعداد کل عملیات هنگام حل اسسیستم ها مورد ارزیابی قرار خواهند گرفت اندازه(2/3)n 3 + Sn 2 .در این حالت، توصیه می‌شود الگوریتم روش گاوس را در قالب دو زیرروال پیاده‌سازی کنید: زیرروال اول باید پیشروی الگوریتم را پیاده‌سازی کند و یک ماتریس مثلثی بالایی را به عنوان خروجی به دست آورد و زیرروال دوم باید با استفاده از ماتریس حاصل. ، جواب سیستم را برای یک سمت راست دلخواه محاسبه کنید.

2. اصلاحات روش گاوس

روش گاوسی با انتخاب عنصر اصلی. محدودیت اصلی روش گاوس این فرض است که تمام عناصری که در هر گام رو به جلو تقسیم به آنها انجام می شود برابر با صفر نیستند. این عناصر را عناصر اصلی می نامند و روی قطر اصلی ماتریس A قرار دارند.

اگر در مرحله ای از حرکت رو به جلو عنصر اصلی = 0 باشد، حل بیشتر سیستم غیرممکن است. اگر عنصر اصلی مقدار کوچکی نزدیک به صفر داشته باشد، به دلیل افزایش شدید مقدار مطلق ضرایب به دست آمده در نتیجه تقسیم، افزایش شدید خطا ممکن است. در چنین شرایطی روش گاوسی ناپایدار می شود.

روش گاوس با انتخاب عنصر اصلی به ما امکان می دهد تا وقوع چنین مواردی را حذف کنیم.

ایده این روش به شرح زیر است. در مرحله k ام حرکت رو به جلو، این متغیر عددی بعدی x k نیست که از معادلات حذف می شود، بلکه متغیری است که ضریب آن از نظر مقدار مطلق بزرگترین است. این تضمین می کند که تقسیم بر صفر وجود ندارد و روش ثابت می ماند.

اگر در مرحله k ام ¹ به عنوان عنصر اصلی انتخاب شود، در ماتریس A¢ ردیف هایی با اعداد k و p و ستون هایی با اعداد k و q باید تعویض شوند.

ترتیب مجدد سطرها بر راه حل تأثیر نمی گذارد، زیرا مربوط به معکوس کردن معادلات در سیستم است، اما ترتیب مجدد ستون ها به معنای تغییر شماره گذاری متغیرها است. بنابراین، اطلاعات مربوط به تمام ستون های بازآرایی شده باید حفظ شود تا پس از تکمیل حرکت معکوس، شماره گذاری اولیه متغیرها بازیابی شود.

دو اصلاح ساده تر از روش گاوس وجود دارد:

با انتخاب عنصر اصلی توسط ستون.

با انتخاب عنصر اصلی به خط.

در حالت اول، بزرگترین عنصر در مقدار مطلق ردیف k (از بین عناصر، i = ) به عنوان عنصر اصلی انتخاب می شود. در دوم - بزرگترین عنصر در مقدار مطلق ستون k (در بین عناصر، i =). روش اول بسیار گسترده است، زیرا شماره گذاری متغیرها در اینجا تغییر نمی کند.

لازم به ذکر است که این تغییرات فقط برای حرکت رو به جلو روش گاوسی اعمال می شود. حرکت معکوس بدون تغییر انجام می شود، اما پس از به دست آوردن یک راه حل، ممکن است نیاز به بازیابی شماره گذاری اولیه متغیرها باشد.

تجزیه LU. در نرم افزارهای کامپیوتری مدرن، روش گاوس با استفاده از تجزیه LU پیاده سازی می شود، که به عنوان نشان دهنده ماتریس ضریب A به عنوان حاصلضرب A = LU از دو ماتریس L و U درک می شود، که در آن L ماتریس مثلثی پایین، U ماتریس مثلثی بالایی است.

اگر بسط LU بدست آید، حل سیستم اصلی معادلات (2) به حل متوالی دو سیستم معادلات زیر با ماتریس های ضریب مثلثی کاهش می یابد.

معادله جبری خطی عددی

که در آن Y = بردار متغیرهای کمکی است.

این رویکرد به شما اجازه می‌دهد تا به طور مکرر سیستم‌های معادلات خطی را با ضلع‌های مختلف سمت راست B حل کنید. در این مورد، پر زحمت‌ترین بخش (تجزیه LU ماتریس A) فقط یک بار انجام می‌شود. این روش مربوط به اجرای رو به جلو روش گاوسی است و دارای تخمین پیچیدگی O(n3) است. حل بیشتر سیستم های معادلات (6) و (7) را می توان چندین بار (برای B مختلف) انجام داد و حل هر یک از آنها با معکوس روش گاوسی مطابقت دارد و دارای تخمین پیچیدگی محاسباتی O(n 2) است. ).

برای بدست آوردن تجزیه LU می توانید از الگوریتم زیر استفاده کنید.

1. برای سیستم اصلی (1)، پیشروی رو به جلو روش گاوسی را انجام دهید و یک سیستم از معادلات مثلثی (5) به دست آورید.

2. عناصر ماتریس U را طبق قانون تعیین کنید

u ij = C ij (i = ; j = )

3. عناصر ماتریس L را طبق قوانین محاسبه کنید

فرمول های محاسبه برای حل سیستم (6) به شکل زیر است:

y 1 = b 1 / l 11 ;

فرمول های محاسبه برای حل سیستم (7)

(i = n - 1، n - 2، ...، 1).

در عین حال، در واقع یافتن ماتریس معکوس یک فرآیند نسبتاً کار فشرده است و برنامه ریزی آن را به سختی می توان یک کار ابتدایی نامید. بنابراین در عمل از روش های عددی برای حل سیستم های معادلات خطی بیشتر استفاده می شود. روش های عددی برای حل سیستم های معادلات خطی عبارتند از: روش گاوس، روش کرامر، روش های تکراری. مثلا در روش گاوس روی ...

35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.3545 متفاوت و یکپارچه 5.1 روشهای تمایز عددی 5.1 .1 روش توصیف فرض کنیم در همسایگی نقطه xi تابع F (x) به تعداد کافی بارها قابل تفکیک است. ...

در Turbo Pascal 7.0 برای حل سیستم های معادلات جبری خطی با استفاده از روش تکرار ساده. 1.2 فرمول بندی ریاضی مسئله اگر A یک ماتریس غیر مفرد باشد و باید سیستمی را حل کنیم که عناصر مورب ماتریس A غیر صفر باشند. 1.3 بررسی روش های عددی موجود برای حل مسئله روش گاوسی در روش گاوسی، ماتریس SLAE با استفاده از معادل...

شماره). سپس با استفاده از فرمول های (2)، xn-1، xn-2،...، x1 به ترتیب برای i=n-1، n-2،...،1 یافت می شوند. بنابراین، حل معادلات نوع (1) با روشی به نام روش جابجایی توصیف می‌شود که با استفاده از سه فرمول ساده به محاسبات کاهش می‌یابد: یافتن ضرایب sweep δi، λi با استفاده از فرمول (3) برای i=1. ,2,…,n (جاروی مستقیم) و سپس xi مجهول توسط...

روش گاوسمناسب برای حل سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE). در مقایسه با روش های دیگر مزایای زیادی دارد:

• اولاً، نیازی به بررسی سیستم معادلات برای سازگاری نیست.
• ثانیاً، روش گاوس نه تنها می‌تواند SLAEهایی را که در آنها تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و ماتریس اصلی سیستم غیرمفرد است را حل کند، بلکه سیستم‌هایی از معادلات را نیز می‌تواند حل کند که در آنها تعداد معادلات منطبق با آنها نیست. تعداد متغیرهای مجهول یا تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر است.
• ثالثاً، روش گاوسی به نتایجی با تعداد نسبتاً کمی از عملیات محاسباتی منجر می شود.

مروری کوتاه بر مقاله.

ابتدا تعاریف لازم را ارائه می کنیم و نمادها را معرفی می کنیم.

در ادامه، الگوریتم روش گاوس را برای ساده ترین حالت توصیف می کنیم، یعنی برای سیستم های معادلات جبری خطی، تعداد معادلاتی که در آنها با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر است. برابر با صفر نیست هنگام حل چنین سیستم های معادلات، ماهیت روش گاوس به وضوح قابل مشاهده است، که حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است. بنابراین روش گاوسی را روش حذف متوالی مجهولات نیز می نامند. ما راه حل های مفصل چند نمونه را نشان خواهیم داد.

در خاتمه، حل را با روش گاوس سیستم های معادلات جبری خطی، که ماتریس اصلی آن مستطیل یا منفرد است، در نظر خواهیم گرفت. راه حل چنین سیستم هایی دارای ویژگی هایی است که با استفاده از مثال هایی به بررسی دقیق آنها می پردازیم.

پیمایش صفحه.

تعاریف و نمادهای اساسی

سیستمی از p معادلات خطی با n مجهول را در نظر بگیرید (p می تواند برابر با n باشد):

که در آن متغیرهای مجهول هستند، اعداد (واقعی یا مختلط) و عبارت‌های آزاد هستند.

اگر ، سپس سیستم معادلات جبری خطی نامیده می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول که تمام معادلات سیستم برای آنها هویت می شوند نامیده می شود تصمیم SLAU.

اگر حداقل یک راه حل برای یک سیستم معادلات جبری خطی وجود داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل، در غیر این صورت - ناسازگار.

اگر یک SLAE راه حل منحصر به فردی داشته باشد، آنگاه نامیده می شود مسلم - قطعی. اگر بیش از یک راه حل وجود داشته باشد، سیستم فراخوانی می شود نا معلوم.

آنها می گویند که سیستم در نوشته شده است فرم مختصات، اگر فرم را داشته باشد
.

این سیستم در فرم ماتریسیرکورد دارای فرم Where - ماتریس اصلی SLAE، - ماتریس ستون متغیرهای مجهول، - ماتریس عبارت‌های آزاد.

اگر ماتریس-ستون از عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n+1) به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس توسعه یافتهسیستم های معادلات خطی به طور معمول، یک ماتریس توسعه یافته با حرف T نشان داده می شود و ستون عبارت های آزاد با یک خط عمودی از ستون های باقی مانده جدا می شود، یعنی:

ماتریس مربع A نامیده می شود منحط، اگر تعیین کننده آن صفر باشد. اگر، ماتریس A فراخوانی می شود غیر منحط.

نکته زیر باید مورد توجه قرار گیرد.

اگر اعمال زیر را با سیستم معادلات جبری خطی انجام دهید

• مبادله دو معادله،
• دو طرف هر معادله ای را در یک عدد واقعی (یا مختلط) دلخواه و غیر صفر ضرب کنید،
• به هر دو طرف هر معادله، قسمت های مربوط به معادله دیگر را با عدد دلخواه k ضرب می کنیم.

سپس یک سیستم معادل دریافت می‌کنید که راه‌حل‌های یکسانی دارد (یا درست مانند نمونه اصلی، هیچ راه‌حلی ندارد).

برای یک ماتریس توسعه یافته از یک سیستم معادلات جبری خطی، این اقدامات به معنای انجام تبدیل های اولیه با ردیف های زیر است:

• تعویض دو خط
• ضرب تمام عناصر هر ردیف از ماتریس T در عدد غیر صفر k،
• به عناصر هر ردیف از ماتریس، عناصر مربوط به سطر دیگر را که در عدد دلخواه k ضرب می شود، اضافه می کنیم.

حال می توانیم به توضیح روش گاوس برویم.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات و ماتریس اصلی سیستم غیر مفرد است به روش گاوسی.

اگر به ما وظیفه یافتن راه حلی برای یک سیستم معادلات داده شود، در مدرسه چه می کنیم؟ .

برخی این کار را انجام می دهند.

توجه داشته باشید که با اضافه کردن سمت چپ اولی به سمت چپ معادله دوم و سمت راست به سمت راست، می توانید از شر متغیرهای مجهول x 2 و x 3 خلاص شوید و بلافاصله x 1 را پیدا کنید:

مقدار پیدا شده x 1 = 1 را در معادلات اول و سوم سیستم جایگزین می کنیم:

اگر هر دو طرف معادله سوم سیستم را در -1 ضرب کنیم و به قسمت های مربوط به معادله اول اضافه کنیم، از متغیر مجهول x 3 خلاص می شویم و می توانیم x 2 را پیدا کنیم:

مقدار x 2 = 2 حاصل را در معادله سوم جایگزین می کنیم و متغیر مجهول باقیمانده x 3 را پیدا می کنیم:

دیگران جور دیگری عمل می کردند.

اجازه دهید معادله اول سیستم را با توجه به متغیر مجهول x 1 حل کنیم و عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم سیستم کنیم تا این متغیر از آنها حذف شود:

حالا بیایید معادله دوم سیستم را برای x 2 حل کنیم و نتیجه حاصل را با معادله سوم جایگزین کنیم تا متغیر مجهول x 2 را از آن حذف کنیم:

از معادله سوم سیستم مشخص است که x 3 = 3. از معادله دوم پیدا می کنیم ، و از معادله اول بدست می آوریم.

راه حل های آشنا، درست است؟

جالب ترین چیز در اینجا این است که روش حل دوم اساساً روش حذف متوالی مجهولات است، یعنی روش گاوسی. هنگامی که متغیرهای مجهول را بیان کردیم (اول x 1، در مرحله بعدی x 2) و آنها را در معادلات باقیمانده سیستم جایگزین کردیم، در نتیجه آنها را حذف کردیم. حذف را تا زمانی انجام دادیم که تنها یک متغیر مجهول در آخرین معادله باقی بماند. فرآیند حذف متوالی مجهولات نامیده می شود روش گاوسی مستقیم. پس از تکمیل حرکت رو به جلو، ما این فرصت را داریم که متغیر مجهول موجود در آخرین معادله را محاسبه کنیم. با کمک آن، متغیر مجهول بعدی را از معادله ماقبل آخر پیدا می کنیم و به همین ترتیب. فرآیند یافتن متوالی متغیرهای مجهول در حین حرکت از آخرین معادله به معادله اول نامیده می شود معکوس روش گاوسی.

لازم به ذکر است که وقتی x 1 را بر حسب x 2 و x 3 در معادله اول بیان می کنیم و سپس عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم می کنیم، اقدامات زیر به همین نتیجه منجر می شود:

در واقع، چنین رویه ای حذف متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم ممکن می سازد:

تفاوت های ظریف با حذف متغیرهای ناشناخته با استفاده از روش گاوسی زمانی به وجود می آیند که معادلات سیستم شامل برخی از متغیرها نباشد.

به عنوان مثال، در SLAU در معادله اول هیچ متغیر مجهولی x 1 وجود ندارد (به عبارت دیگر ضریب مقابل آن صفر است). بنابراین، نمی توانیم معادله اول سیستم را برای x 1 حل کنیم تا این متغیر مجهول را از معادلات باقی مانده حذف کنیم. راه برون رفت از این وضعیت، تعویض معادلات سیستم است. از آنجایی که ما سیستم‌هایی از معادلات خطی را در نظر می‌گیریم که تعیین‌کننده‌های ماتریس‌های اصلی با صفر متفاوت هستند، همیشه معادله‌ای وجود دارد که متغیر مورد نیاز ما در آن وجود دارد و می‌توانیم این معادله را به موقعیتی که نیاز داریم بازآرایی کنیم. برای مثال ما کافی است معادلات اول و دوم سیستم را مبادله کنیم ، سپس می توانید معادله اول را برای x 1 حل کنید و آن را از معادلات باقیمانده سیستم حذف کنید (اگرچه x 1 دیگر در معادله دوم وجود ندارد).

امیدواریم به اصل مطلب پی ببرید.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش گاوسی

فرض کنید باید یک سیستم از n معادله جبری خطی را با n متغیر مجهول شکل حل کنیم. و اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت باشد.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با مبادله معادلات سیستم به این امر دست یابیم. بیایید متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف کنیم و از دومی شروع کنیم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، اولین را با ضرب در، به معادله سوم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان می کردیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر می کردیم، به همان نتیجه می رسیدیم. بنابراین، متغیر x 1 از تمام معادلات، با شروع از دوم، حذف می شود.

در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است، به طور مشابه عمل می کنیم.

بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار x n به دست آمده، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول می یابیم. .

بیایید با استفاده از یک مثال به الگوریتم نگاه کنیم.

مثال.

روش گاوس

راه حل.

ضریب a 11 غیر صفر است، بنابراین اجازه دهید به پیشرفت مستقیم روش گاوسی ادامه دهیم، یعنی به حذف متغیر مجهول x 1 از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول. برای انجام این کار، به سمت چپ و راست معادله دوم، سوم و چهارم، به ترتیب سمت چپ و راست معادله اول را ضرب کنید. و:

متغیر مجهول x 1 حذف شده است، اجازه دهید به حذف x 2 برویم. به سمت چپ و راست معادلات سوم و چهارم سیستم، سمت چپ و راست معادله دوم را به ترتیب در ضرب می کنیم. و :

برای تکمیل پیشرفت رو به جلو روش گاوسی، باید متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. اجازه دهید به ترتیب به سمت چپ و راست معادله چهارم، سمت چپ و راست معادله سوم را ضرب کنیم. :

می توانید برعکس روش گاوسی را شروع کنید.

از آخرین معادله ای که داریم ,
از معادله سوم بدست می آوریم،
از دومی،
از اولی

برای بررسی، می توانید مقادیر به دست آمده از متغیرهای مجهول را در سیستم اصلی معادلات جایگزین کنید. همه معادلات به هویت تبدیل می شوند که نشان می دهد راه حل با استفاده از روش گاوس به درستی پیدا شده است.

پاسخ:

حال بیایید با استفاده از روش گاوسی در نمادگذاری ماتریسی، برای همان مثال راه حلی ارائه دهیم.

مثال.

جواب سیستم معادلات را پیدا کنید روش گاوس

راه حل.

ماتریس توسعه یافته سیستم دارای فرم است . در بالای هر ستون، متغیرهای ناشناخته ای قرار دارند که با عناصر ماتریس مطابقت دارند.

رویکرد مستقیم روش گاوسی در اینجا شامل کاهش ماتریس توسعه‌یافته سیستم به شکل ذوزنقه‌ای با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی است. این فرآیند مشابه حذف متغیرهای ناشناخته است که با سیستم به صورت مختصات انجام دادیم. حالا شما این را خواهید دید.

اجازه دهید ماتریس را طوری تبدیل کنیم که تمام عناصر ستون اول، از ستون دوم، صفر شوند. برای انجام این کار، به عناصر خط دوم، سوم و چهارم، عناصر مربوط به خط اول را ضرب در و بر این اساس:

در مرحله بعد، ماتریس به دست آمده را به گونه ای تبدیل می کنیم که در ستون دوم همه عناصر، که از ستون سوم شروع می شوند، صفر شوند. این با حذف متغیر مجهول x 2 مطابقت دارد. برای انجام این کار، به عناصر ردیف سوم و چهارم، عناصر مربوط به ردیف اول ماتریس را اضافه می کنیم که به ترتیب ضرب می شوند. و :

باقی مانده است که متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به عناصر آخرین ردیف از ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ردیف ماقبل آخر را اضافه می کنیم، ضرب در :

لازم به ذکر است که این ماتریس مربوط به سیستم معادلات خطی است

که زودتر پس از حرکت رو به جلو به دست آمد.

وقت آن است که به عقب برگردیم. در نمادگذاری ماتریسی، معکوس روش گاوسی شامل تبدیل ماتریس به دست آمده به گونه ای است که ماتریس مشخص شده در شکل

مورب شد، یعنی شکل گرفت

چند عدد کجا هستند

این تبدیل ها مشابه تبدیل های رو به جلو روش گاوسی است، اما نه از خط اول به آخر، بلکه از آخرین به اول انجام می شود.

به عناصر سطر سوم، دوم و اول، عناصر مربوط به سطر آخر را ضرب کنید ، در و در به ترتیب:

اکنون به عناصر خط دوم و اول عناصر مربوط به خط سوم را که به ترتیب در و در ضرب می شوند اضافه کنید:

در آخرین مرحله از روش گاوسی معکوس، به عناصر ردیف اول، عناصر مربوط به ردیف دوم را ضرب می کنیم:

ماتریس حاصل با سیستم معادلات مطابقت دارد ، از جایی که متغیرهای مجهول را پیدا می کنیم.

پاسخ:

توجه داشته باشید.

هنگام استفاده از روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، باید از محاسبات تقریبی خودداری شود، زیرا این امر می تواند منجر به نتایج کاملاً نادرست شود. توصیه می کنیم اعشار را گرد نکنید. بهتر است از کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی حرکت کنیم.

مثال.

یک سیستم سه معادله را با استفاده از روش گاوس حل کنید .

راه حل.

توجه داشته باشید که در این مثال، متغیرهای مجهول دارای نام متفاوتی هستند (نه x 1، x 2، x 3، بلکه x، y، z). بیایید به کسرهای معمولی برویم:

اجازه دهید x مجهول را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم:

در سیستم حاصل، متغیر مجهول y در معادله دوم وجود ندارد، اما y در معادله سوم وجود دارد، بنابراین، اجازه دهید معادله دوم و سوم را با هم عوض کنیم:

این پیشرفت مستقیم روش گاوس را تکمیل می کند (نیازی به حذف y از معادله سوم نیست، زیرا این متغیر مجهول دیگر وجود ندارد).

بیایید حرکت معکوس را شروع کنیم.

از آخرین معادله ای که پیدا می کنیم ,
از ماقبل آخر


از اولین معادله ای که داریم

پاسخ:

X = 10، y = 5، z = -20.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که تعداد معادلات آنها با تعداد مجهولات منطبق نیست یا ماتریس اصلی سیستم منفرد است با استفاده از روش گاوس.

سیستم های معادله ای که ماتریس اصلی آنها مستطیل یا مربع مفرد است، ممکن است هیچ جوابی نداشته باشند، ممکن است یک جواب واحد داشته باشند یا ممکن است بی نهایت جواب داشته باشند.

اکنون خواهیم فهمید که چگونه روش گاوس به ما اجازه می دهد تا سازگاری یا ناسازگاری یک سیستم معادلات خطی را تعیین کنیم و در صورت سازگاری آن، همه راه حل ها (یا یک راه حل واحد) را تعیین کنیم.

در اصل، روند حذف متغیرهای ناشناخته در مورد چنین SLAE ها یکسان است. با این حال، ارزش آن را دارد که در مورد برخی از موقعیت‌هایی که ممکن است پیش بیاید، به جزئیات بپردازیم.

بیایید به مهمترین مرحله برویم.

بنابراین، فرض کنید که سیستم معادلات جبری خطی، پس از تکمیل پیشروی رو به جلو روش گاوس، به شکل و حتی یک معادله به کاهش نیافت (در این مورد نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است). یک سوال منطقی مطرح می شود: "بعد چه باید کرد"؟

اجازه دهید متغیرهای مجهولی را که در همه معادلات سیستم به دست آمده اول هستند، بنویسیم:

در مثال ما اینها x 1، x 4 و x 5 هستند. در سمت چپ معادلات سیستم فقط عبارت هایی را می گذاریم که حاوی متغیرهای مجهول مکتوب x 1، x 4 و x 5 هستند، بقیه عبارت ها با علامت مخالف به سمت راست معادلات منتقل می شوند:

اجازه دهید به متغیرهای مجهول که در سمت راست معادلات هستند مقادیر دلخواه بدهیم، جایی که - اعداد دلخواه:

پس از این، سمت راست تمام معادلات SLAE ما حاوی اعداد است و می‌توانیم به سمت معکوس روش گاوسی برویم.

از آخرین معادله سیستمی که داریم، از معادله ماقبل آخری که پیدا می کنیم، از معادله اول به دست می آوریم

راه حل یک سیستم معادلات مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول است

دادن اعداد مقادیر مختلف، راه حل های متفاوتی برای سیستم معادلات به دست خواهیم آورد. یعنی سیستم معادلات ما بی نهایت راه حل دارد.

پاسخ:

جایی که - اعداد دلخواه

برای ادغام مطالب، راه حل های چندین مثال دیگر را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

حل یک سیستم همگن معادلات جبری خطی روش گاوس

راه حل.

اجازه دهید متغیر مجهول x را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای این کار به سمت چپ و راست معادله دوم به ترتیب سمت چپ و راست معادله اول را ضرب در و به سمت چپ و راست معادله سوم اضافه می کنیم. سمت راست معادله اول ضربدر:

حال بیایید y را از معادله سوم سیستم معادلات حاصل حذف کنیم:

SLAE حاصل معادل سیستم است .

در سمت چپ معادلات سیستم فقط عبارت‌های حاوی متغیرهای مجهول x و y را رها می‌کنیم و عبارت‌های دارای متغیر مجهول z را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

روش گاوس - روشی برای حذف متوالی مجهولات - شامل این واقعیت است که با کمک تبدیلات اولیه، سیستم اصلی به یک سیستم معادل یک پله یا مثلثی کاهش می یابد که از آن همه مجهولات دیگر به ترتیب یافت می شوند. شروع با آخرین (براساس تعداد)، مجهولات. سیستم داده شده (1)

شروع به اجرا می کنیم سکته مغزی مستقیم. ما معتقدیم که ضریب آ 11 ≠ 0; اگر اینطور نیست، معادلات را عوض می کنیم.

اولین قدم حذف ناشناخته است ایکس 1 از تمام معادلات به جز اولین. برای این کار، معادله اول را ضرب در عدد به معادله دوم اضافه کنید
، به معادله سوم اولین معادله را ضرب در عدد اضافه می کنیم
، و به همین ترتیب تا آخرین معادله. پس از اولین مرحله، سیستم را دریافت می کنیم:

سیستم حاصل معادل سیستم اصلی است.

مرحله دوم حذف مجهول از تمام معادلات به جز اول و دوم است. برای انجام این کار، تمام اقدامات مرحله اول را برای معادلات دوم و بعدی تکرار می کنیم، یعنی: فرض می کنیم که ضریب
≠ 0 و غیره. اگر در نتیجه تبدیل ها یک معادله صفر به دست آید، آن را حذف می کنیم، اما اگر یک معادله ناسازگار به دست آید، حل سیستم کامل می شود - ناسازگار است. ما تا زمانی که ممکن است روند حذف مجهولات را ادامه می دهیم. اجازه دهید تعداد معادلات باقی مانده پس از حرکت رو به جلو را نشان دهیم r. این عدد برابر با رتبه ماتریس اصلی سیستم است و می تواند کمتر یا مساوی باشد n. بیایید هر دو مورد را در نظر بگیریم.

1) اگر r = n

جایی که با 11 ≠ 0, با 22 ≠ 0, …, با nn ≠ 0.

معکوس، با شروع از آخرین معادله، به ترتیب مقادیر را پیدا می کنیم ایکس n، (جایی که ایکس n = ), ایکس n – 1 , ..., ایکس 1 . در این حالت، سیستم معادلات خطی یک راه حل منحصر به فرد دارد، یعنی قطعی است.

2) اگر r < n، سپس سیستم پس از حرکت رو به جلو به شکل زیر در می آید:

جایی که با 11 ≠ 0, با 22 ≠ 0, …, با rr≠ 0. ناشناخته ایکس 1 , ایکس 2 , …, ایکس r، که معادلات با آن شروع می شوند، نامیده می شوند مجهولات عمده، و بقیه ایکس r + 1 , ایکس r + 2 , …, ایکس n – رایگان. در این حالت، برعکس، با شروع از آخرین معادله، مجهولات اصلی از طریق مجهولات آزاد بیان می شوند. برابری های زیر را بدست می آوریم:

ایکس 1 = ک 1, r + 1 ایکس r + 1 + … + ک 1, n ایکس n + تی 1 ,

ایکس 2 = ک 2, r + 1 ایکس r + 1 + … + ک 2, n ایکس n + تی 2 ,

……………………………………..

ایکس r = ک r , r + 1 ایکس r + 1 + … + ک r , n ایکس n + تی r .

تعریف6.10. راه حل کلی سیستمبیان مجهولات اصلی از طریق مجهولات نامیده می شود.

اگر مقداری عددی را به مجهولات آزاد اختصاص دهیم، از راه حل کلی مقادیر مجهولات اصلی را بدست می آوریم. بنابراین، یکی می شود راه حل خصوصیسیستم های. از روش به دست آوردن آن نتیجه می شود که سیستم بیش از یک راه حل دارد، یعنی نامشخص است.

مثال 6.3.حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس:

راه حل. انجام تبدیل ها با سیستم معادلات خطی نه با خود معادلات، بلکه با ماتریس ضرایب آنها راحت تر است. ماتریس توسعه یافته این سیستم به شکل زیر است: آ|ب) =
.

ما یک حرکت مستقیم انجام می دهیم. اولین قدم حذف ناشناخته است. ایکس 1 از تمام معادلات به جز اولین. زیرا آ 11 = 1 ≠ 0، پس نیازی به تنظیم مجدد معادلات نیست. اجازه دهید معادله اول ضرب در (-1) را به معادله دوم سیستم و معادله اول ضرب در (-3) را به معادله سوم اضافه کنیم. پس از تبدیل، ماتریس زیر را بدست می آوریم:
، که در آن عنصر آ 22 = 1. تنظیم مجدد معادلات (معادله اول نباید لمس شود) کمکی نمی کند، بنابراین به سراغ مجهول بعدی می رویم. ایکس 3 و آن را از تمام معادلات به جز اول و دوم حذف کنید. برای انجام این کار، معادله دوم را به معادله سوم، ضرب در (2) اضافه کنید و معادله صفر حاصل را خط بزنید. پس از یک حرکت رو به جلو، سیستم زیر را دریافت می کنیم:
. سکته مغزی به جلو کامل شده است. در این مورد n = 4, r = 2, r < n، و بنابراین سیستم نامشخص است. مجهولات اصلی مجهولاتی هستند که معادلات از آنها شروع می شود، در مورد ما اینها هستند ایکس 1 و ایکس 3. ناشناخته ایکس 2 و ایکس 4- رایگان

برعکس، باید مجهولات اصلی را بر حسب مجهولات آزاد بیان کنیم. برای انجام این کار، ستون های حاوی عناصر ردیف اول باید صفر شوند. در اینجا یک عنصر است آ 13 . بیایید دومی را به معادله اول ضرب در 2 اضافه کنیم و ماتریس حاصل از ضرایب را بنویسیم:
و سپس خود معادلات:
از این معادلات جواب کلی را بدست می آوریم:

بیایید راه حل خاصی پیدا کنیم. اجازه دهید ایکس 2 = 3, ایکس 4 = 1، سپس از راه حل کلی مقادیر را بدست می آوریم ایکس 1 = ، و ایکس 1 = -2. بنابراین، راه حل خاص بردار است آ = (, 3, –2, 1).

پاسخ: تصمیم مشترک ((
, ایکس 2 ,
, ایکس 4)) کجا ایکس 2 , ایکس 4  R;

راه حل خصوصی اگر ایکس 2 = 3, ایکس 4 = 1، سپس ( , 3, –2, 1).