روش های حل نابرابری های گویا کسری. روش فاصله: حل ساده ترین نابرابری های دقیق

سطح اول

روش فاصله. راهنمای نهایی (2019)

شما فقط باید این روش را درک کنید و آن را مانند پشت دست خود بدانید! اگر فقط به این دلیل که برای حل نابرابری های منطقی استفاده می شود و به این دلیل که با شناخت صحیح این روش، حل این نابرابری ها به طرز شگفت آوری ساده است. کمی بعد چند راز در مورد چگونگی صرفه جویی در زمان برای حل این نابرابری ها به شما خواهم گفت. خوب، آیا شما کنجکاو هستید؟ پس بیا بریم!

ماهیت روش این است که نابرابری را به فاکتورها تبدیل کنیم (تکرار موضوع) و تعیین ODZ و علامت فاکتورها اکنون همه چیز را توضیح می دهم. بیایید ساده ترین مثال را بزنیم: .

نیازی به نوشتن محدوده مقادیر قابل قبول () در اینجا نیست، زیرا هیچ تقسیم بندی بر روی متغیر وجود ندارد و هیچ رادیکال (ریشه) در اینجا مشاهده نمی شود. همه چیز در اینجا برای ما فاکتورسازی شده است. اما آرام نگیرید، این همه برای یادآوری اصول اولیه و درک اصل است!

فرض کنید روش بازه ای را نمی دانید، چگونه این نابرابری را حل می کنید؟ به طور منطقی نزدیک شوید و بر اساس آنچه از قبل می دانید بسازید. اولاً، اگر هر دو عبارت داخل پرانتز بزرگتر از صفر یا کوچکتر از صفر باشند، سمت چپ بزرگتر از صفر خواهد بود، زیرا «بعلاوه» برای «بعلاوه» «بعلاوه» و «منهای» برای «منهای» «پلاس» می دهد، درست است؟ و اگر علائم عبارات داخل پرانتز متفاوت باشد، در پایان سمت چپ کمتر از صفر خواهد بود. برای یافتن مقادیری که در آن عبارات داخل پرانتز منفی یا مثبت می شوند به چه چیزی نیاز داریم؟

ما باید یک معادله را حل کنیم، دقیقاً همان نابرابری است، فقط به جای علامت یک علامت وجود خواهد داشت، ریشه های این معادله به ما امکان می دهد آن مقادیر مرزی را تعیین کنیم، در هنگام خروج از آن عوامل بیشتر خواهند بود. یا کمتر از صفر

و حالا خود فواصل. فاصله چیست؟ این یک فاصله مشخص از خط اعداد است، یعنی تمام اعداد ممکن بین دو عدد - انتهای فاصله وجود دارد. تصور این فواصل در ذهن شما چندان آسان نیست، بنابراین ترسیم فواصل معمول است، اکنون به شما آموزش خواهم داد.

ما یک محور را رسم می کنیم که کل سری اعداد از و به روی آن قرار دارد. نقاط روی محور رسم می شوند، به اصطلاح صفرهای تابع، مقادیری که در آنها عبارت برابر با صفر است. این نقاط "پین شده" هستند، به این معنی که آنها در بین مقادیری نیستند که در آنها نابرابری درست است. در این صورت سوراخ می شوند زیرا علامت در نابرابری و نه، یعنی به شدت بزرگتر و نه بزرگتر یا مساوی با.

می خواهم بگویم که علامت گذاری صفر ضروری نیست، اینجا بدون دایره است، بلکه فقط برای درک و جهت گیری در امتداد محور است. خوب، ما محور را ترسیم کردیم، نقطه ها را قرار دادیم (به طور دقیق تر، دایره ها)، بعد چه چیزی، چگونه به من در حل کمک می کند؟ - تو پرسیدی. حالا فقط مقدار x را به ترتیب از فواصل بگیرید و آنها را به نامساوی خود جایگزین کنید و ببینید ضرب به چه علامتی می رسد.

به طور خلاصه، ما فقط آن را به عنوان مثال در نظر می گیریم، آن را در اینجا جایگزین می کنیم، درست می شود، به این معنی که نابرابری در کل بازه (در کل بازه) از به، که آن را از آن گرفته ایم، معتبر خواهد بود. به عبارت دیگر، اگر x از تا باشد، نابرابری درست است.

ما همین کار را با فاصله از به، گرفتن یا، به عنوان مثال، جایگزین کردن در، تعیین علامت انجام می دهیم، علامت "منهای" خواهد بود. و همین کار را با فاصله آخر و سوم از تا انجام می دهیم، جایی که علامت "بعلاوه" است. متن بسیار زیادی وجود دارد، اما وضوح کافی وجود ندارد، درست است؟

نگاهی دیگر به نابرابری بیندازید.

حال علائمی که در نتیجه به دست می آید را نیز در همان محور اعمال می کنیم. در مثال من، یک خط شکسته نشان دهنده بخش های مثبت و منفی محور است.

به نابرابری نگاه کنید - به نقاشی، دوباره به نابرابری - و دوباره به نقاشی، آیا چیزی مشخص است؟ حالا سعی کنید بگویید در چه بازه های X، نابرابری درست خواهد بود. درست است، از به نابرابری نیز از به صادق خواهد بود، اما در بازه از تا نابرابری صفر است و این فاصله برای ما چندان جالب نیست، زیرا علامتی در نابرابری داریم.

خوب، حالا که متوجه شدید، تنها کاری که باید انجام دهید این است که پاسخ را یادداشت کنید! در پاسخ، بازه‌هایی را می‌نویسیم که سمت چپ آن‌ها بزرگ‌تر از صفر است، که به عنوان X متعلق به بازه منهای بی‌نهایت تا منهای یک و از دو به مثبت بی‌نهایت است. شایان ذکر است که پرانتزها به این معنی است که مقادیری که فاصله با آنها محدود می شود راه حلی برای نابرابری نیستند، یعنی در پاسخ گنجانده نشده اند، بلکه فقط نشان می دهند که تا، برای مثال، یک عدد نیست. راه حل.

اکنون یک مثال که در آن نه تنها باید فاصله را ترسیم کنید:

به نظر شما قبل از قرار دادن نقاط روی محور چه کاری باید انجام شود؟ بله، آن را در فاکتورها قرار دهید:

فواصل را ترسیم می کنیم و علائم را قرار می دهیم، توجه کنید که نقاط سوراخ شده داریم، زیرا علامت به شدت کمتر از صفر است:

وقت آن است که یک رازی را که در ابتدای این تاپیک قول داده بودم به شما بگویم! اگر به شما بگویم که برای تعیین علامت لازم نیست مقادیر را از هر بازه جایگزین کنید، اما می توانید علامت را در یکی از بازه ها تعیین کنید و به سادگی علائم را در بقیه جاها تغییر دهید!

بنابراین، ما کمی در زمان گذاشتن علائم صرفه جویی کردیم - فکر می کنم این زمان به دست آمده در آزمون یکپارچه دولتی ضرری نخواهد داشت!

پاسخ را می نویسیم:

اکنون یک مثال از یک نابرابری کسری-عقلانی را در نظر بگیرید - یک نابرابری، که هر دو قسمت آن عبارت های عقلانی هستند (نگاه کنید به).

در مورد این نابرابری چه می توانید بگویید؟ و شما به آن به عنوان یک معادله کسری-عقلانی نگاه می کنید، ابتدا چه کار می کنیم؟ بلافاصله می بینیم که هیچ ریشه ای وجود ندارد، به این معنی که قطعاً منطقی است، اما پس از آن یک کسری است، و حتی با یک مجهول در مخرج!

درست است، ما به ODZ نیاز داریم!

بنابراین، بیایید جلوتر برویم، در اینجا همه عوامل به جز یکی دارای متغیر درجه اول هستند، اما عاملی وجود دارد که x درجه دوم دارد. معمولاً بعد از عبور از یکی از نقاطی که سمت چپ نابرابری مقدار صفر می گیرد، علامت ما تغییر می کند، که برای آن تعیین می کنیم که x در هر عامل برابر باشد. اما در اینجا، همیشه مثبت است، زیرا هر عدد مربع > صفر و یک جمله مثبت.

آیا فکر می کنید این بر معنای نابرابری تأثیر می گذارد؟ درست است - تأثیری نخواهد داشت! می‌توانیم با خیال راحت نابرابری را به هر دو قسمت تقسیم کنیم و از این طریق این عامل را حذف کنیم تا چشم درد نباشد.

زمان ترسیم فواصل برای انجام این کار فرا رسیده است، شما باید آن مقادیر مرزی را تعیین کنید که هنگام خروج از آنها، ضریب ها بزرگتر و کمتر از صفر خواهند بود. اما توجه کنید که در اینجا یک علامت وجود دارد، به این معنی است که ما نقطه ای را که سمت چپ نابرابری مقدار صفر می گیرد، انتخاب نمی کنیم، آن را در تعداد راه حل ها قرار نمی دهیم، ما فقط یک نقطه از این قبیل داریم. این نقطه ای است که x برابر با یک است. آیا نقطه ای را که مخرج آن منفی است رنگ کنیم؟ - البته که نه!

مخرج نباید صفر باشد، بنابراین بازه به شکل زیر خواهد بود:

با استفاده از این نمودار، می توانید به راحتی پاسخ را بنویسید، فقط می گویم که اکنون نوع جدیدی از براکت در اختیار دارید - مربع! اینجا یک براکت است [ می گوید که مقدار در فاصله راه حل گنجانده شده است، یعنی. بخشی از پاسخ است، این براکت مربوط به یک نقطه پر شده (نه پین شده) در محور است.

خب، شما هم همین جواب را گرفتید؟

ما آن را در فاکتورها قرار می دهیم و همه چیز را به یک طرف منتقل می کنیم، فقط باید صفر را در سمت راست بگذاریم تا با آن مقایسه کنیم.

توجه شما را به این نکته جلب می کنم که در آخرین تبدیل، برای به دست آوردن هم در صورت و هم در مخرج، هر دو طرف نامساوی را در ضرب می کنم. به یاد داشته باشید که وقتی دو ضلع نابرابری در ضرب شود، علامت نابرابری به عکس تغییر می کند!!!

ما ODZ را می نویسیم:

در غیر این صورت، مخرج به صفر می رسد و همانطور که به یاد دارید، نمی توانید بر صفر تقسیم کنید!

موافقم، نابرابری حاصل وسوسه انگیز برای کاهش صورت و مخرج است! این را نمی توان انجام داد، ممکن است برخی از تصمیمات یا ODZ را از دست بدهید!

حالا سعی کنید خودتان نقاط را روی محور قرار دهید. فقط متذکر می شوم که هنگام ترسیم نقاط باید به این نکته توجه داشته باشید که نقطه ای با مقداری که بر اساس علامت به نظر می رسد روی محور به صورت سایه دار ترسیم شده باشد، سایه نخواهد داشت، بلکه خواهد بود. بیرون کشیده شد! چرا می پرسی؟ و ODZ را به یاد داشته باشید، شما به این ترتیب بر صفر تقسیم نمی کنید؟

به یاد داشته باشید، ODZ اول است! اگر همه نابرابری ها و علائم مساوی یک چیز می گویند و ODZ چیز دیگری می گوید، به ODZ اعتماد کنید، بزرگ و قدرتمند! خوب، شما فواصل زمانی را تعیین کردید، مطمئنم که راهنمایی من در مورد تناوب را گرفته اید و آن را اینگونه دریافت کرده اید (تصویر زیر را ببینید) حالا آن را خط بزنید و دیگر آن اشتباه را نکنید! چه خطایی؟ - تو پرسیدی.

واقعیت این است که در این نابرابری عامل دو بار تکرار شد (یادتان هست که چگونه سعی کردید آن را کاهش دهید؟). بنابراین، اگر یک عامل در نابرابری چند بار تکرار شود، آنگاه هنگام عبور از نقطه ای از محوری که این عامل را به صفر می رساند (در این مورد، یک نقطه)، علامت تغییر نمی کند ، سپس علامت تغییر می کند!

محور زیر با فواصل و علائم صحیح خواهد بود:

و لطفاً توجه داشته باشید که علامت مورد علاقه ما همان علامتی نیست که در ابتدا بود (زمانی که برای اولین بار نابرابری را دیدیم، علامت وجود داشت)، پس از تبدیل ها، علامت به تغییر تبدیل شد، یعنی ما به فواصل علاقه مندیم. با علامت

پاسخ:

همچنین می گویم که شرایطی وجود دارد که ریشه های نابرابری وجود دارد که در هیچ فاصله ای گنجانده نشده است، در پاسخ آنها در کروشه های فرفری نوشته می شوند، مثلاً: . در مورد چنین موقعیت هایی می توانید در سطح میانگین مقاله بیشتر بخوانید.

بیایید نحوه حل نابرابری ها را با استفاده از روش بازه خلاصه کنیم:

ما همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و فقط صفر را در سمت راست باقی می گذاریم.
ما ODZ را پیدا می کنیم.
تمام ریشه های نابرابری را روی محور رسم می کنیم.
یک دلخواه را از یکی از فواصل می گیریم و علامت را در فاصله ای که ریشه به آن تعلق دارد تعیین می کنیم، علائم را متناوب می کنیم و به ریشه هایی که چندین بار در نابرابری تکرار می شوند توجه می کنیم که آیا علامت در هنگام عبور از آنها تغییر می کند بر زوج بودن یا عجیب بودن تعداد دفعات تکرار یا عدم تکرار آنها.
در پاسخ، فواصل را می نویسیم، با مشاهده نقاط سوراخ شده و غیر سوراخ شده (به ODZ مراجعه کنید)، انواع براکت های لازم را بین آنها قرار می دهیم.

و در نهایت، بخش مورد علاقه ما، "آن را خودتان انجام دهید"!

مثال ها:

پاسخ ها:

روش فاصله. سطح متوسط

تابع خطی

تابعی از فرم را خطی می نامند. بیایید یک تابع را به عنوان مثال در نظر بگیریم. در مثبت و در منفی است. نقطه صفر تابع () است. بیایید علائم این تابع را در محور عدد نشان دهیم:

ما می گوییم که "تابع در هنگام عبور از نقطه علامت تغییر می دهد".

مشاهده می شود که علائم تابع با موقعیت نمودار تابع مطابقت دارد: اگر نمودار بالای محور باشد، علامت " "" است، اگر زیر آن " " باشد.

اگر قانون به دست آمده را به یک تابع خطی دلخواه تعمیم دهیم، الگوریتم زیر را بدست می آوریم:

پیدا کردن صفر تابع؛
ما آن را روی محور اعداد علامت گذاری می کنیم.
علامت تابع را در طرف مقابل صفر تعیین می کنیم.

تابع درجه دوم

امیدوارم به یاد داشته باشید که چگونه نابرابری های درجه دوم را حل کنید؟ اگر نه، تاپیک را بخوانید. اجازه دهید شکل کلی یک تابع درجه دوم را به شما یادآوری کنم: .

حالا بیایید به یاد بیاوریم که تابع درجه دوم چه علائمی دارد. نمودار آن یک سهمی است و تابع علامت " " را برای آنهایی که سهمی بالای محور قرار دارد، می گیرد و " " - اگر سهمی زیر محور باشد:

اگر تابعی دارای صفر باشد (مقادی که در آن ها هستند)، سهمی محور را در دو نقطه قطع می کند - ریشه های معادله درجه دوم مربوطه. بنابراین، محور به سه بازه تقسیم می شود و هنگام عبور از هر ریشه، علائم تابع به طور متناوب تغییر می کند.

آیا می توان هر بار بدون ترسیم سهمی علائم را به نحوی تعیین کرد؟

به یاد داشته باشید که یک مثلث مربع را می توان فاکتور گرفت:

مثلا: .

بیایید ریشه ها را روی محور علامت گذاری کنیم:

ما به یاد داریم که علامت یک تابع تنها زمانی می تواند تغییر کند که از ریشه عبور کند. بیایید از این واقعیت استفاده کنیم: برای هر یک از سه بازه ای که محور بر اساس ریشه ها به آنها تقسیم می شود، کافی است علامت تابع را فقط در یک نقطه انتخاب شده خودسرانه تعیین کنیم: در نقاط باقی مانده از فاصله، علامت یکسان خواهد بود. .

در مثال ما: در هر دو عبارت داخل پرانتز مثبت هستند (به عنوان مثال: جایگزین کنید). علامت " " را روی محور قرار می دهیم:

خوب، وقتی (به عنوان مثال جایگزین)، هر دو براکت منفی هستند، به این معنی که محصول مثبت است:

همین است روش فاصله: با دانستن علائم عوامل در هر بازه، علامت کل محصول را تعیین می کنیم.

بیایید مواردی را نیز در نظر بگیریم که تابع صفر یا فقط یک ندارد.

اگر آنها نیستند، پس ریشه ای وجود ندارد. این بدان معنی است که "عبور از ریشه" وجود نخواهد داشت. این بدان معنی است که تابع تنها یک علامت در کل خط اعداد می گیرد. با جایگزین کردن آن در یک تابع به راحتی می توان آن را تعیین کرد.

اگر فقط یک ریشه وجود داشته باشد، سهمی محور را لمس می کند، بنابراین علامت تابع در هنگام عبور از ریشه تغییر نمی کند. برای چنین شرایطی چه قانونی می توانیم در نظر بگیریم؟

اگر چنین تابعی را فاکتور کنید، دو عامل یکسان دریافت خواهید کرد:

و هر عبارت مربعی غیر منفی است! بنابراین علامت تابع تغییر نمی کند. در چنین مواردی، هنگام عبور از ریشه که علامت تغییر نمی کند، آن را با یک مربع دور آن برجسته می کنیم:

ما چنین ریشه ای را مضرب می نامیم.

روش بازه ای در نابرابری ها

اکنون هر نابرابری درجه دوم را می توان بدون ترسیم سهمی حل کرد. فقط کافی است علائم تابع درجه دوم را روی محور قرار دهید و بسته به علامت نابرابری بازه هایی را انتخاب کنید. مثلا:

بیایید ریشه ها را روی محور اندازه گیری کنیم و علائم را قرار دهیم:

ما به بخشی از محور با علامت " " نیاز داریم. از آنجایی که نابرابری سخت نیست، خود ریشه ها نیز در راه حل گنجانده شده اند:

اکنون یک نابرابری عقلانی را در نظر بگیرید - یک نابرابری که هر دو طرف آن عبارات عقلانی هستند (نگاه کنید به).

مثال:

همه عوامل به جز یکی در اینجا "خطی" هستند، یعنی دارای یک متغیر فقط به توان اول هستند. ما به چنین عوامل خطی برای اعمال روش فاصله نیاز داریم - علامت هنگام عبور از ریشه آنها تغییر می کند. اما ضریب اصلاً ریشه ندارد. این بدان معنی است که همیشه مثبت است (این را خودتان بررسی کنید) و بنابراین بر علامت کل نابرابری تأثیر نمی گذارد. این بدان معنی است که می توانیم سمت چپ و راست نابرابری را بر آن تقسیم کنیم و به این ترتیب از شر آن خلاص شویم:

اکنون همه چیز مانند نابرابری های درجه دوم است: ما تعیین می کنیم که در چه نقاطی هر یک از عوامل صفر می شود، این نقاط را روی محور علامت گذاری می کنیم و علائم را مرتب می کنیم. توجه شما را به یک واقعیت بسیار مهم جلب می کنم:

پاسخ: . مثال: .

برای اعمال روش بازه، یکی از قسمت های نابرابری باید داشته باشد. بنابراین، اجازه دهید سمت راست را به سمت چپ حرکت دهیم:

صورت و مخرج فاکتور یکسانی دارند، اما برای کاهش آن عجله نکنید! از این گذشته، ممکن است فراموش کنیم که این نکته را مشخص کنیم. بهتر است این ریشه را به صورت مضرب علامت گذاری کنید، یعنی هنگام عبور از آن علامت تغییر نمی کند:

پاسخ: .

و یک مثال بسیار گویا دیگر:

باز هم، ما همان فاکتورهای صورت و مخرج را لغو نمی کنیم، زیرا اگر این کار را انجام دهیم، باید به طور خاص به یاد داشته باشیم که نقطه را سوراخ کنیم.

: بارهای تکراری;
: بار؛
: بار (در صورت و یک در مخرج).

در مورد عدد زوج نیز مانند قبل عمل می کنیم: نقطه را با مربع دور می زنیم و هنگام عبور از ریشه علامت را تغییر نمی دهیم. اما در مورد یک عدد فرد، این قانون صدق نمی کند: علامت همچنان در هنگام عبور از ریشه تغییر می کند. بنابراین، ما با چنین ریشه ای کار اضافی انجام نمی دهیم، گویی مضرب نیست. قوانین فوق برای تمام توان های زوج و فرد اعمال می شود.

در جواب چه بنویسیم؟

اگر تناوب علائم نقض شد، باید بسیار مراقب باشید، زیرا اگر نابرابری سختگیرانه نباشد، پاسخ باید شامل شود تمام نقاط سایه دار. اما برخی از آنها اغلب جدا می ایستند، یعنی در منطقه سایه دار قرار نمی گیرند. در این صورت آنها را به عنوان نقاط مجزا (در پرانتزهای فرفری) به پاسخ اضافه می کنیم:

مثال ها (خودتان تصمیم بگیرید):

پاسخ ها:

اگر در بین عوامل ساده باشد، ریشه است، زیرا می توان آن را به صورت نشان داد.
.

روش فاصله. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

روش بازه ای برای حل نابرابری های گویا استفاده می شود. این شامل تعیین علامت محصول از علائم عوامل در فواصل مختلف است.

الگوریتم حل نابرابری های گویا با استفاده از روش فاصله.

ما همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و فقط صفر را در سمت راست باقی می گذاریم.
ما ODZ را پیدا می کنیم.
تمام ریشه های نابرابری را روی محور رسم می کنیم.
یک دلخواه را از یکی از فواصل می گیریم و علامت را در فاصله ای که ریشه به آن تعلق دارد تعیین می کنیم، علائم را متناوب می کنیم و به ریشه هایی که چندین بار در نابرابری تکرار می شوند توجه می کنیم که آیا علامت در هنگام عبور از آنها تغییر می کند بر زوج بودن یا عجیب بودن تعداد دفعات تکرار یا عدم تکرار آنها.
در پاسخ، فواصل را می نویسیم، نقاط سوراخ شده و غیر سوراخ شده را مشاهده می کنیم (به ODZ مراجعه کنید)، انواع براکت های لازم را بین آنها قرار می دهیم.

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما درخواست تئوری نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت مشکلات را به موقع حل کنید.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مثل ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید - 299 روبل.
باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - 999 روبل.

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

در مورد دوم ما به شما خواهیم دادشبیه ساز "6000 مسئله با راه حل ها و پاسخ ها، برای هر موضوع، در تمام سطوح پیچیدگی." مطمئناً برای دستیابی به حل مشکلات در هر موضوعی کافی است.

در واقع، این بسیار بیشتر از یک شبیه ساز است - یک برنامه آموزشی کامل. در صورت لزوم، می توانید به صورت رایگان نیز از آن استفاده کنید.

دسترسی به تمام متون و برنامه ها برای کل دوره وجود سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

سطح اول

روش فاصله. راهنمای نهایی (2019)

نگاهی دیگر به نابرابری بیندازید.

اکنون یک مثال که در آن نه تنها باید فاصله را ترسیم کنید:

به نظر شما قبل از قرار دادن نقاط روی محور چه کاری باید انجام شود؟ بله، آن را در فاکتورها قرار دهید:

پاسخ را می نویسیم:

درست است، ما به ODZ نیاز داریم!

مخرج نباید صفر باشد، بنابراین بازه به شکل زیر خواهد بود:

خب، شما هم همین جواب را گرفتید؟

ما ODZ را می نویسیم:

در غیر این صورت، مخرج به صفر می رسد و همانطور که به یاد دارید، نمی توانید بر صفر تقسیم کنید!

محور زیر با فواصل و علائم صحیح خواهد بود:

پاسخ:

بیایید نحوه حل نابرابری ها را با استفاده از روش بازه خلاصه کنیم:

ما همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و فقط صفر را در سمت راست باقی می گذاریم.
ما ODZ را پیدا می کنیم.
تمام ریشه های نابرابری را روی محور رسم می کنیم.
یک دلخواه را از یکی از فواصل می گیریم و علامت را در فاصله ای که ریشه به آن تعلق دارد تعیین می کنیم، علائم را متناوب می کنیم و به ریشه هایی که چندین بار در نابرابری تکرار می شوند توجه می کنیم که آیا علامت در هنگام عبور از آنها تغییر می کند بر زوج بودن یا عجیب بودن تعداد دفعات تکرار یا عدم تکرار آنها.
در پاسخ، فواصل را می نویسیم، با مشاهده نقاط سوراخ شده و غیر سوراخ شده (به ODZ مراجعه کنید)، انواع براکت های لازم را بین آنها قرار می دهیم.

و در نهایت، بخش مورد علاقه ما، "آن را خودتان انجام دهید"!

مثال ها:

پاسخ ها:

روش فاصله. سطح متوسط

تابع خطی

ما می گوییم که "تابع در هنگام عبور از نقطه علامت تغییر می دهد".

اگر قانون به دست آمده را به یک تابع خطی دلخواه تعمیم دهیم، الگوریتم زیر را بدست می آوریم:

پیدا کردن صفر تابع؛
ما آن را روی محور اعداد علامت گذاری می کنیم.
علامت تابع را در طرف مقابل صفر تعیین می کنیم.

تابع درجه دوم

آیا می توان هر بار بدون ترسیم سهمی علائم را به نحوی تعیین کرد؟

به یاد داشته باشید که یک مثلث مربع را می توان فاکتور گرفت:

مثلا: .

بیایید ریشه ها را روی محور علامت گذاری کنیم:

در مثال ما: در هر دو عبارت داخل پرانتز مثبت هستند (به عنوان مثال: جایگزین کنید). علامت " " را روی محور قرار می دهیم:

خوب، وقتی (به عنوان مثال جایگزین)، هر دو براکت منفی هستند، به این معنی که محصول مثبت است:

همین است روش فاصله: با دانستن علائم عوامل در هر بازه، علامت کل محصول را تعیین می کنیم.

بیایید مواردی را نیز در نظر بگیریم که تابع صفر یا فقط یک ندارد.

اگر چنین تابعی را فاکتور کنید، دو عامل یکسان دریافت خواهید کرد:

ما چنین ریشه ای را مضرب می نامیم.

روش بازه ای در نابرابری ها

بیایید ریشه ها را روی محور اندازه گیری کنیم و علائم را قرار دهیم:

اکنون یک نابرابری عقلانی را در نظر بگیرید - یک نابرابری که هر دو طرف آن عبارات عقلانی هستند (نگاه کنید به).

مثال:

پاسخ: . مثال: .

پاسخ: .

و یک مثال بسیار گویا دیگر:

: بارهای تکراری;
: بار؛
: بار (در صورت و یک در مخرج).

در جواب چه بنویسیم؟

مثال ها (خودتان تصمیم بگیرید):

پاسخ ها:

اگر در بین عوامل ساده باشد، ریشه است، زیرا می توان آن را به صورت نشان داد.
.

روش فاصله. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

الگوریتم حل نابرابری های گویا با استفاده از روش فاصله.

ما همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و فقط صفر را در سمت راست باقی می گذاریم.
ما ODZ را پیدا می کنیم.
تمام ریشه های نابرابری را روی محور رسم می کنیم.
یک دلخواه را از یکی از فواصل می گیریم و علامت را در فاصله ای که ریشه به آن تعلق دارد تعیین می کنیم، علائم را متناوب می کنیم و به ریشه هایی که چندین بار در نابرابری تکرار می شوند توجه می کنیم که آیا علامت در هنگام عبور از آنها تغییر می کند بر زوج بودن یا عجیب بودن تعداد دفعات تکرار یا عدم تکرار آنها.
در پاسخ، فواصل را می نویسیم، نقاط سوراخ شده و غیر سوراخ شده را مشاهده می کنیم (به ODZ مراجعه کنید)، انواع براکت های لازم را بین آنها قرار می دهیم.

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

اما این موضوع اصلی نیست.

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما درخواست تئوری نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت مشکلات را به موقع حل کنید.

مثل ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید - 299 روبل.
باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - 999 روبل.

دسترسی به تمام متون و برنامه ها برای کل دوره وجود سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

روش بازه ای برای حل نابرابری ها جهانی در نظر گرفته می شود. گاهی اوقات این روش را روش شکاف نیز می نامند. می توان از آن هم برای حل نابرابری های گویا با یک متغیر و هم برای نابرابری های انواع دیگر استفاده کرد. در مطالب خود سعی کردیم به همه جوانب موضوع توجه کنیم.

در این بخش چه چیزی در انتظار شماست؟ روش بازه‌ای را تحلیل می‌کنیم و الگوریتم‌هایی را برای حل نابرابری‌ها با استفاده از آن در نظر می‌گیریم. اجازه دهید به جنبه‌های نظری که کاربرد روش بر آن استوار است بپردازیم.

ما توجه ویژه ای به نکات ظریف موضوعی داریم که معمولاً در برنامه درسی مدرسه مطرح نمی شود. به عنوان مثال، بیایید قواعد ترتیب علائم در فواصل و خود روش فواصل را به صورت کلی، بدون ارتباط آن با نابرابری های عقلی، در نظر بگیریم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

الگوریتم

چه کسی به یاد دارد که چگونه روش فواصل در یک دوره جبر مدرسه معرفی شد؟ معمولاً همه چیز با حل نابرابری های شکل f (x) شروع می شود.< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >یا ≥). در اینجا f(x) می تواند یک چند جمله ای یا نسبتی از چند جمله ای ها باشد. چند جمله ای به نوبه خود می تواند به صورت زیر نمایش داده شود:

حاصل ضرب دوجمله های خطی با ضریب 1 برای متغیر x.
حاصل ضرب سه جمله های درجه دوم با ضریب پیشرو 1 و ممیز منفی ریشه های آنها.

در اینجا چند نمونه از این نابرابری ها آورده شده است:

(x + 3) · (x 2 - x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0،

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0،

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

اجازه دهید الگوریتمی برای حل نابرابری هایی از این نوع، همانطور که در مثال ها آورده ایم، با استفاده از روش فاصله بنویسیم:

ما صفرهای صورت و مخرج را پیدا می کنیم، برای این کار، صورت و مخرج عبارت سمت چپ نامساوی را با صفر برابر می کنیم و معادلات حاصل را حل می کنیم.
نقاط مربوط به صفرهای یافت شده را تعیین می کنیم و آنها را با خط تیره روی محور مختصات مشخص می کنیم.
علائم بیان را تعریف کنید f(x)از سمت چپ نابرابری که در هر بازه حل می شود و آنها را روی نمودار قرار می دهیم.
ما سایه زنی را بر روی بخش های مورد نیاز نمودار اعمال می کنیم که توسط قانون زیر هدایت می شود: اگر نابرابری دارای علائم باشد.< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >یا ≥، سپس با سایه زدن قسمت هایی که با علامت "+" مشخص شده اند، برجسته می کنیم.

الگویی که با آن کار خواهیم کرد ممکن است نمای شماتیک داشته باشد. جزئیات بیش از حد می تواند نقاشی را بیش از حد بارگذاری کند و حل آن را دشوار کند. ما در مقیاس علاقه چندانی نخواهیم داشت. با افزایش مقادیر مختصات آنها، رعایت مکان صحیح نقاط کافی است.

هنگام کار با نابرابری های شدید، از علامت گذاری یک نقطه به شکل یک دایره با مرکز پر نشده (خالی) استفاده می کنیم. در مورد نابرابری های غیر دقیق، نقاطی را که با صفرهای مخرج مطابقت دارند خالی و بقیه را سیاه معمولی نشان می دهیم.

نقاط علامت گذاری شده خط مختصات را به چندین بازه عددی تقسیم می کنند. این به ما امکان می دهد یک نمایش هندسی از یک مجموعه عددی را بدست آوریم، که در واقع راه حلی برای این نابرابری است.

روش علم شکاف

رویکرد زیربنایی روش بازه بر اساس ویژگی زیر یک تابع پیوسته است: تابع یک علامت ثابت را در بازه (a, b) که در آن این تابع پیوسته است و ناپدید نمی شود حفظ می کند. همین ویژگی برای پرتوهای عددی (-∞، a) و (a, + ∞).

این ویژگی تابع توسط قضیه بولزانو کوشی تأیید می شود که در بسیاری از کتاب های درسی برای آمادگی برای کنکور آمده است.

ثابت بودن علامت در فواصل را نیز می توان بر اساس خصوصیات نابرابری های عددی توجیه کرد. برای مثال، نابرابری x - 5 x + 1 > 0 را در نظر بگیرید. اگر صفرهای صورت و مخرج را پیدا کرده و روی خط اعداد رسم کنیم، یک سری بازه به دست خواهیم آورد: (− ∞ , − 1) , (- 1 , 5) و (5 , + ∞) .

اجازه دهید هر یک از بازه ها را برداریم و روی آن نشان دهیم که در کل بازه عبارت سمت چپ نابرابری یک علامت ثابت خواهد داشت. بگذارید این بازه (- ∞ , - 1) باشد. هر عدد t را از این بازه برداریم. شرایط تی را برآورده خواهد کرد< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

با استفاده از نابرابری های حاصل و خاصیت نامعادله های عددی، می توانیم فرض کنیم که t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения تیدر بازه (- ∞ , - 1) .

با استفاده از قانون تقسیم اعداد منفی می توان بیان کرد که مقدار عبارت t - 5 t + 1 مثبت خواهد بود. این بدان معنی است که مقدار عبارت x - 5 x + 1 برای هر مقداری مثبت خواهد بود ایکساز بین (− ∞ , − 1) . همه اینها به ما امکان می دهد ادعا کنیم که در فاصله زمانی که به عنوان مثال در نظر گرفته شده است، عبارت دارای یک علامت ثابت است. در مورد ما، این علامت "+" است.

یافتن صفرهای صورت و مخرج

الگوریتم برای یافتن صفرها ساده است: عبارات را از صورت و مخرج برابر با صفر می کنیم و معادلات حاصل را حل می کنیم. در صورت داشتن هر گونه مشکل می توانید به مبحث حل معادلات به روش فاکتورگیری مراجعه کنید. در این بخش فقط به یک مثال محدود می شویم.

کسر x · (x - 0، 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 را در نظر بگیرید. برای به دست آوردن صفرهای صورت و مخرج، آنها را با صفر برابر می کنیم تا معادلات x (x − 0, 6) = 0 را به دست آوریم و حل کنیم. x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

در حالت اول می توانیم به مجموعه دو معادله x = 0 و x − 0 برویم، 6 = 0 که دو ریشه 0 و 0، 6 به ما می دهد. اینها صفرهای عدد هستند.

معادله دوم معادل مجموعه سه معادله است x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0، (x + 5) 3 = 0 . ما یک سری تبدیل انجام می دهیم و x = 0، x 2 + 2 · x + 7 = 0، x + 5 = 0 به دست می آوریم. ریشه معادله اول 0 است، معادله دوم ریشه ندارد، چون دارای ممیز منفی است، ریشه معادله سوم 5 است. اینها صفرهای مخرج هستند.

0 در این حالت هم صفر صورت و هم صفر مخرج است.

به طور کلی، هنگامی که سمت چپ یک نامعادله شامل کسری است که لزوماً گویا نیست، برای بدست آوردن معادلات، صورت و مخرج نیز برابر با صفر هستند. حل معادلات به شما امکان می دهد صفرهای صورت و مخرج را پیدا کنید.

تعیین علامت فاصله ساده است. برای انجام این کار، می توانید مقدار عبارت را از سمت چپ نابرابری برای هر نقطه انتخاب شده دلخواه از یک بازه مشخص پیدا کنید. علامت حاصل از مقدار بیان در یک نقطه دلخواه انتخاب شده در بازه با علامت کل بازه منطبق خواهد شد.

بیایید با یک مثال به این بیانیه نگاه کنیم.

بیایید نابرابری x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 را در نظر بگیریم. عبارت سمت چپ نابرابری هیچ صفری در صورتگر ندارد. صفر مخرج عدد - 3 خواهد بود. ما دو بازه در خط اعداد بدست می آوریم (− ∞ , − 3) و (- 3، + ∞).

برای تعیین نشانه های فواصل، مقدار عبارت x 2 - x + 4 x + 3 را برای نقاطی که به طور دلخواه در هر یک از بازه ها گرفته شده است، محاسبه می کنیم.

از همان شکاف اول (− ∞ , − 3) بیایید - 4 را بگیریم. در x = - 4ما (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 داریم. ما یک مقدار منفی دریافت کردیم، به این معنی که کل بازه یک علامت "-" خواهد داشت.

برای شکاف (− 3 , + ∞) بیایید محاسبات را با یک نقطه با مختصات صفر انجام دهیم. در x = 0 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 داریم. ما یک مقدار مثبت دریافت کردیم، به این معنی که کل بازه یک علامت "+" خواهد داشت.

برای تعیین علائم می توانید از روش دیگری استفاده کنید. برای این کار می توانیم علامت یکی از بازه ها را پیدا کنیم و در هنگام عبور از صفر آن را ذخیره کنیم یا تغییر دهیم. برای اینکه همه چیز را به درستی انجام دهیم، باید از این قانون پیروی کنیم: هنگام عبور از صفر، مخرج، اما نه از صورت، و نه مخرج، می توانیم علامت را به علامت مقابل تغییر دهیم، اگر درجه عبارتی که این صفر را می دهد فرد است و اگر درجه زوج باشد نمی توانیم علامت را تغییر دهیم. اگر نقطه ای دریافت کرده باشیم که هم صفر صورت و هم مخرج باشد، تنها در صورتی می توانیم علامت را به نقطه مقابل تغییر دهیم که مجموع توان عباراتی که این صفر را می دهند فرد باشد.

اگر نابرابری را که در ابتدای پاراگراف اول این مطلب بررسی کردیم به یاد بیاوریم، در سمت راست ترین فاصله می توانیم علامت "+" قرار دهیم.

حالا بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

نابرابری (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 را بگیرید و با استفاده از روش بازه حل کنید . برای این کار باید صفرهای صورت و مخرج را پیدا کرده و روی خط مختصات علامت گذاری کنیم. صفرهای صورتگر نقطه خواهند بود 2 , 3 , 4 ، نقطه مخرج 1 , 3 ، 4 . بیایید آنها را روی محور مختصات با خط تیره علامت گذاری کنیم.

صفرهای مخرج را با نقاط خالی مشخص می کنیم.

از آنجایی که با یک نابرابری غیر دقیق روبرو هستیم، خط تیره های باقیمانده را با نقاط معمولی جایگزین می کنیم.

حالا بیایید نقطه ها را روی فواصل قرار دهیم. سمت راست ترین فاصله (4، + ∞) علامت + خواهد بود.

با حرکت از راست به چپ، علائمی را برای فواصل باقی مانده می گذاریم. از نقطه ای با مختصات 4 عبور می کنیم. این هم صفر صورت و هم مخرج است. در مجموع، این صفرها عبارات را می دهند (x − 4) 2و x − 4. بیایید توان آنها را 2 + 1 = 3 جمع کنیم و یک عدد فرد به دست آوریم. این بدان معنی است که علامت در طول انتقال در این مورد به عکس تغییر می کند. فاصله (3، 4) علامت منفی خواهد داشت.

از نقطه ای با مختصات 3 به بازه (2، 3) می گذریم. این هم برای صورت و هم برای مخرج صفر است. ما آن را به لطف دو عبارت (x − 3) 3 و دریافت کردیم (x − 3) 5، که مجموع توان های آن 3 + 5 = 8 است. بدست آوردن عدد زوج به ما اجازه می دهد علامت فاصله را بدون تغییر بگذاریم.

نقطه با مختصات 2 صفر عدد است. قدرت عبارت x - 2 برابر 1 است (فرد). این بدان معنی است که هنگام عبور از این نقطه علامت باید به سمت مخالف تغییر کند.

آخرین بازه باقیمانده (-∞ , 1) را داریم. نقطه با مختصات 1 صفر مخرج است. برگرفته از عبارت بود (x − 1) 4، با مدرک زوج 4 . بنابراین، علامت ثابت می ماند. نقاشی نهایی به این صورت خواهد بود:

روش بازه زمانی به ویژه زمانی مؤثر است که محاسبه مقدار یک عبارت مستلزم کار زیادی باشد. یک مثال می تواند نیاز به محاسبه مقدار یک عبارت باشد

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

در هر نقطه از بازه 3 - 3 4، 3 - 2 4.

حال بیایید شروع به استفاده از دانش و مهارت های کسب شده در عمل کنیم.

مثال 1

حل نابرابری (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.

راه حل

توصیه می شود برای حل نابرابری از روش بازه استفاده کنید. صفرهای صورت و مخرج را پیدا کنید. صفرهای صورت 1 و - 5 و صفرهای مخرج 7 و 1 هستند. بیایید آنها را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم. ما با یک نابرابری غیر دقیق سر و کار داریم، بنابراین صفرهای مخرج را با نقاط خالی علامت گذاری می کنیم و صفر عدد - 5 - با یک نقطه پر منظم مشخص می شود.

بیایید علائم فواصل را با استفاده از قوانین تغییر علامت هنگام عبور از صفر قرار دهیم. بیایید با سمت راست ترین بازه شروع کنیم، که برای آن مقدار عبارت را از سمت چپ نابرابری در نقطه ای که به دلخواه از بازه گرفته شده محاسبه می کنیم. ما علامت "+" را دریافت می کنیم. بیایید به صورت متوالی در تمام نقاط خط مختصات حرکت کنیم و علائم را مرتب کنیم و دریافت می کنیم:

ما با یک نابرابری غیر دقیق با علامت ≤ کار می کنیم. این به این معنی است که باید فضاهای مشخص شده با علامت "-" را با سایه زدن علامت گذاری کنیم.

پاسخ: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

حل نابرابری های منطقی در بیشتر موارد مستلزم تبدیل اولیه آنها به شکل مطلوب است. فقط پس از این امکان استفاده از روش فاصله وجود دارد. الگوریتم‌های انجام چنین تبدیل‌هایی در ماده «حل نابرابری‌های عقلایی» مورد بحث قرار گرفته‌اند.

بیایید به مثالی از تبدیل مثلثی های درجه دوم به نامساوی نگاه کنیم.

مثال 2

راه حل نابرابری (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید ببینیم که آیا ممیز سه جمله های درجه دوم در نماد نامساوی واقعاً منفی هستند یا خیر. این به ما اجازه می دهد تا تعیین کنیم که آیا شکل این نابرابری به ما اجازه می دهد تا از روش فاصله برای حل استفاده کنیم یا خیر.

بیایید تفکیک کننده را برای سه جمله ای محاسبه کنیم x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . حال بیایید تفکیک کننده را برای مثلث x 2 + 2 · x − 8 محاسبه کنیم: D’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . همانطور که می بینید، نابرابری نیاز به یک تبدیل اولیه دارد. برای انجام این کار، سه جمله ای x 2 + 2 x − 8 را به عنوان نشان می دهیم (x + 4) · (x − 2)و سپس روش بازه را برای حل نابرابری (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0 اعمال کنید.

پاسخ: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

از روش بازه تعمیم یافته برای حل نابرابری های شکل f (x) استفاده می شود.< 0 (≤ , >، ≥)، که در آن f (x) یک عبارت دلخواه با یک متغیر است ایکس.

تمام اقدامات طبق یک الگوریتم خاص انجام می شود. در این مورد، الگوریتم حل نابرابری‌ها با استفاده از روش بازه تعمیم‌یافته، کمی با آنچه قبلاً بحث کردیم متفاوت خواهد بود:

دامنه تعریف تابع f و صفرهای این تابع را پیدا می کنیم.
نقاط مرزی را روی محور مختصات علامت بزنید.
صفرهای تابع را روی خط عددی رسم کنید.
تعیین علائم فواصل؛
اعمال سایه زنی؛
پاسخ را یادداشت کنید

در خط اعداد، لازم است، از جمله موارد دیگر، نقاط منفرد حوزه تعریف علامت گذاری شود. به عنوان مثال، دامنه تعریف یک تابع مجموعه است (- 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . این بدان معنی است که ما باید نقاط را با مختصات علامت گذاری کنیم - 5، 1، 3، 4 , 7 و 10 . نکته ها − 5 و 7 خالی نشان داده می شود، بقیه را می توان با یک مداد رنگی برجسته کرد تا سپس آنها را از صفرهای تابع متمایز کرد.

در مورد نابرابری های غیر دقیق، صفرهای تابع به عنوان نقاط معمولی (سایه دار) و در مورد نابرابری های شدید - به عنوان نقاط خالی ترسیم می شوند. اگر صفرها با نقاط مرزی یا نقاط منفرد حوزه تعریف منطبق باشند، می‌توان آن‌ها را دوباره سیاه کرد و بسته به نوع نابرابری، آن‌ها را خالی یا سایه‌دار کرد.

رکورد پاسخ یک مجموعه عددی است که شامل:

فضاهای دارای سایه.
اگر با نابرابری که علامت آن > یا ≥ است یا با علامت منفی، اگر نابرابری دارای علامت باشد، با یک علامت مثبت سروکار داریم، نقاط منفرد حوزه تعریف.< или ≤ .

اکنون مشخص شده است که الگوریتمی که در همان ابتدای مبحث ارائه کردیم، مورد خاصی از الگوریتم برای استفاده از روش بازه تعمیم یافته است.

بیایید مثالی از استفاده از روش بازه تعمیم یافته را در نظر بگیریم.

مثال 3

حل نابرابری x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

راه حل

تابع f را به گونه ای معرفی می کنیم که f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . بیایید دامنه تعریف تابع را پیدا کنیم f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4، 7) ∪ (7، + ∞) .

حالا بیایید صفرهای تابع را پیدا کنیم. برای انجام این کار، معادله غیرمنطقی را حل می کنیم:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

ریشه x = 12 را می گیریم.

برای نشان دادن نقاط مرزی در محور مختصات، از رنگ نارنجی استفاده می کنیم. امتیاز - 6، 4 پر می شود و 7 خالی می ماند. ما گرفتیم:

بیایید صفر تابع را با یک نقطه سیاه خالی علامت گذاری کنیم، زیرا ما با یک نابرابری شدید کار می کنیم.

علائم را در فواصل فردی مشخص می کنیم. برای انجام این کار، از هر بازه یک امتیاز بگیرید، به عنوان مثال، 16 , 8 , 6 و − 8 و مقدار تابع موجود در آنها را محاسبه کنید f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

علائم جدید تعریف شده را قرار می دهیم و با علامت منفی روی فضاها سایه می زنیم:

پاسخ، اتحاد دو بازه با علامت "-" خواهد بود: (- ∞، - 6 ] ∪ (7، 12).

در پاسخ، یک نقطه با مختصات - 6 قرار دادیم. این صفر تابع نیست که در هنگام حل یک نابرابری دقیق آن را در پاسخ نمی‌گیریم، بلکه نقطه مرزی دامنه تعریف است که در دامنه تعریف گنجانده شده است. مقدار تابع در این نقطه منفی است، به این معنی که نابرابری را برآورده می کند.

همانطور که کل بازه را در نظر نگرفتیم، نکته 4 را در پاسخ لحاظ نکردیم [4، 7). در این مرحله، درست مانند کل بازه نشان داده شده، مقدار تابع مثبت است، که نابرابری حل شده را برآورده نمی کند.

بیایید دوباره این را بنویسیم تا درک بهتری داشته باشیم: در موارد زیر باید نقاط رنگی در پاسخ گنجانده شود:

این نقاط بخشی از شکاف هچ شده هستند،
این نقاط نقاط منفرد در حوزه تعریف تابع هستند، مقادیر تابعی که در آن نابرابری حل می شود.

پاسخ: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

روش فاصله یک الگوریتم ویژه است که برای حل نابرابری های پیچیده به شکل f(x) > 0 طراحی شده است. این الگوریتم از 5 مرحله تشکیل شده است:

معادله f(x) = 0 را حل کنید. بنابراین، به جای نابرابری، معادله ای به دست می آید که حل آن بسیار ساده تر است.
تمام ریشه های به دست آمده را روی خط مختصات علامت گذاری کنید. بنابراین، خط مستقیم به چندین فاصله تقسیم می شود.
تعدد ریشه ها را بیابید. اگر ریشه ها چندتایی دارند، یک حلقه بالای ریشه بکشید. (در صورت وجود تعداد زوج از راه حل های یکسان، یک ریشه یک مضرب در نظر گرفته می شود)
علامت (معلوم یا منفی) تابع f(x) را در سمت راست ترین بازه پیدا کنید. برای انجام این کار، کافی است هر عددی را که در سمت راست تمام ریشه های علامت گذاری شده قرار دارد، با f(x) جایگزین کنید.
علائم را در فواصل باقیمانده علامت گذاری کنید و آنها را متناوب کنید.

پس از این، تنها چیزی که باقی می ماند این است که فواصل مورد علاقه خود را یادداشت کنیم. اگر نابرابری به شکل f(x) > 0 بود با علامت "+" یا اگر نابرابری به شکل f(x) بود با علامت "-" مشخص می‌شوند.< 0.

در مورد نابرابری های غیر دقیق (≤ , ≥)، لازم است نقاطی را در فواصل وارد کنیم که راه حل معادله f(x) = 0 هستند.

مثال 1:

حل نابرابری:

(x - 2) (x + 7)< 0

ما با استفاده از روش فاصله کار می کنیم.

مرحله 1: نابرابری را با یک معادله جایگزین کنید و آن را حل کنید:

(x - 2) (x + 7) = 0

حاصل ضرب برابر با صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

ما دو ریشه داشتیم.

گام 2: این ریشه ها را روی خط مختصات علامت گذاری می کنیم. ما داریم:

مرحله 3: علامت تابع را در سمت راست ترین بازه (در سمت راست نقطه علامت گذاری شده x = 2) پیدا می کنیم. برای انجام این کار، باید هر عددی را که بزرگتر از عدد x = 2 باشد، بگیرید. به عنوان مثال، x = 3 را در نظر بگیرید (اما هیچ کس گرفتن x = 4، x = 10 و حتی x = 10000 را منع نمی کند).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

دریافت می کنیم که f(3) = 10 > 0 (10 یک عدد مثبت است)، بنابراین علامت مثبت را در سمت راست ترین بازه قرار می دهیم.

مرحله 4: شما باید علائم را در فواصل باقی مانده یادداشت کنید. به یاد داریم که هنگام عبور از هر ریشه، علامت باید تغییر کند. به عنوان مثال، در سمت راست ریشه x = 2 یک مثبت وجود دارد (ما در مرحله قبل از این موضوع مطمئن شدیم)، بنابراین باید یک منفی در سمت چپ وجود داشته باشد. این منهای به کل بازه گسترش می یابد (-7؛ 2)، بنابراین یک منهای در سمت راست ریشه x = -7 وجود دارد. بنابراین، در سمت چپ ریشه x = −7 یک مثبت وجود دارد. باقی مانده است که این علائم را در محور مختصات علامت گذاری کنیم.

بیایید به نابرابری اصلی بازگردیم که به شکل زیر بود:

(x - 2) (x + 7)< 0

بنابراین تابع باید کمتر از صفر باشد. این بدان معنی است که ما به علامت منفی علاقه مندیم که فقط در یک بازه ظاهر می شود: (-7؛ 2). این پاسخ خواهد بود.

مثال 2:

حل نابرابری:

(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) ≥ 0

راه حل:

ابتدا باید ریشه های معادله را پیدا کنید

(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) = 0

بیایید اولین براکت را جمع کنیم و دریافت کنیم:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

با حل این معادلات بدست می آوریم:

بیایید نقاط روی خط اعداد را رسم کنیم:

زیرا x 2 و x 3 چندین ریشه هستند، سپس یک نقطه روی خط و بالای آن وجود خواهد داشت. یک حلقه”.

بیایید هر عددی را که کمتر از سمت چپ ترین نقطه باشد، در نظر بگیریم و آن را با نامساوی اصلی جایگزین کنیم. بیایید عدد -1 را در نظر بگیریم.

فراموش نکنید که حل معادله (X پیدا شده) را وارد کنید، زیرا نابرابری ما سختگیرانه نیست.

پاسخ: ()U)