هندسه به عنوان یک علم در مصر باستان شکل گرفت و به سطح بالایی از پیشرفت رسید. فیلسوف معروف افلاطون آکادمی را تأسیس کرد، جایی که توجه زیادی به نظام‌بندی دانش موجود معطوف شد. مخروط به عنوان یکی از اشکال هندسی اولین بار در رساله معروف اقلیدس «عناصر» ذکر شد. اقلیدس با آثار افلاطون آشنا بود. امروزه، تعداد کمی از مردم می دانند که کلمه "مخروط" ترجمه شده از یونانی به معنای "مخروط کاج" است. ریاضیدان یونانی اقلیدس، که در اسکندریه زندگی می کرد، به حق بنیانگذار جبر هندسی در نظر گرفته می شود. یونانیان باستان نه تنها جانشین دانش مصریان شدند، بلکه به طور قابل توجهی این نظریه را گسترش دادند.

تاریخچه تعریف مخروط

هندسه به عنوان یک علم از الزامات عملی ساخت و ساز و مشاهدات طبیعت پدید آمده است. به تدریج دانش تجربی تعمیم یافت و خواص برخی اجسام از طریق برخی دیگر به اثبات رسید. یونانیان باستان مفهوم بدیهیات و برهان را معرفی کردند. بدیهیات گزاره ای است که از راه های عملی به دست می آید و نیازی به اثبات ندارد.

اقلیدس در کتاب خود تعریفی از مخروط به عنوان شکلی ارائه داد که با چرخاندن مثلث قائم الزاویه به دور یکی از پایه های آن به دست می آید. او همچنین صاحب قضیه اصلی است که حجم مخروط را تعیین می کند. این قضیه توسط ریاضیدان یونان باستان Eudoxus of Cnidus اثبات شد.

یکی دیگر از ریاضیدانان یونان باستان، آپولونیوس پرگا، که شاگرد اقلیدس بود، نظریه سطوح مخروطی را در کتاب های خود توسعه داد و توضیح داد. او صاحب تعریف سطح مخروطی و سکانسی به آن است. دانش‌آموزان امروزی هندسه اقلیدسی را مطالعه می‌کنند که قضایای اساسی و تعاریف را از دوران باستان حفظ کرده است.

تعاریف اساسی

یک مخروط دایره ای راست با چرخاندن مثلث قائم الزاویه به دور یک پا تشکیل می شود. همانطور که می بینید، مفهوم مخروط از زمان اقلیدس تغییر نکرده است.

هیپوتنوز AS مثلث قائم الزاویه AOS، هنگامی که به دور OS ساق می چرخد، سطح جانبی مخروط را تشکیل می دهد، بنابراین به آن مولد می گویند. سیستم عامل پایه مثلث به طور همزمان به ارتفاع مخروط و محور آن تبدیل می شود. نقطه S تبدیل به راس مخروط می شود. پا AO، با توصیف یک دایره (پایه)، به شعاع یک مخروط تبدیل شد.

اگر صفحه ای را از بالا از میان راس و محور مخروط رسم کنید، می بینید که قسمت محوری به دست آمده یک مثلث متساوی الساقین است که در آن محور ارتفاع مثلث است.

جایی که سی- محیط پایه، ل- طول ژنراتیکس مخروط، آر- شعاع پایه

فرمول محاسبه حجم مخروط

برای محاسبه حجم مخروط از فرمول زیر استفاده کنید:

که در آن S مساحت قاعده مخروط است. از آنجایی که پایه دایره است، مساحت آن به صورت زیر محاسبه می شود:

این دلالت می کنه که:

که در آن V حجم مخروط است.

n عددی برابر با 3.14 است.

R شعاع پایه مربوط به قطعه AO در شکل 1 است.

H ارتفاع برابر با بخش OS است.

مخروط کوتاه، حجم

یک مخروط دایره ای مستقیم وجود دارد. اگر قسمت بالایی را با یک صفحه عمود بر ارتفاع قطع کنید، یک مخروط بریده به دست می آید. دو پایه آن به شکل دایره با شعاع R1 و R2 است.

اگر با چرخش یک مثلث قائم الزاویه یک مخروط راست تشکیل شود، با چرخاندن یک ذوزنقه مستطیلی به دور یک ضلع مستقیم، یک مخروط ناقص تشکیل می‌شود.

حجم مخروط کوتاه شده با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

V=n*(R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H/3.

مخروط و بخش آن با هواپیما

ریاضیدان یونان باستان آپولونیوس پرگا کار نظری بخشهای مخروطی را نوشت. به لطف کار او در هندسه، تعاریف منحنی ظاهر شد: سهمی، بیضی، هذلولی. بیایید ببینیم که مخروط چه ربطی به آن دارد.

بیایید یک مخروط دایره ای مستقیم بگیریم. اگر صفحه آن را عمود بر محور قطع کند، یک دایره در مقطع تشکیل می شود. هنگامی که یک سکنت مخروطی را با زاویه ای نسبت به محور قطع می کند، یک بیضی در مقطع به دست می آید.

یک صفحه برش عمود بر قاعده و موازی با محور مخروط، هذلولی را روی سطح تشکیل می دهد. صفحه ای که مخروط را با زاویه به قاعده و موازی با مماس بر مخروط برش می دهد منحنی روی سطح ایجاد می کند که به آن سهمی می گویند.

راه حل مشکل

حتی کار ساده ساخت یک سطل با اندازه معین نیز نیاز به دانش دارد. مثلاً باید ابعاد یک سطل را طوری محاسبه کنید که حجم آن 10 لیتر باشد.

V=10 l=10 dm 3 ;

توسعه مخروط شکلی دارد که به صورت شماتیک در شکل 3 نشان داده شده است.

L ژنراتیکس مخروط است.

برای پیدا کردن سطح سطل که با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

S=n*(R 1 +R 2)*L،

محاسبه ژنراتور ضروری است. آن را از مقدار حجم V=n*(R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2)*H/3 پیدا می کنیم.

از این رو H=3V/n*(R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2).

یک مخروط بریده با چرخش ذوزنقه مستطیلی شکل می‌گیرد که در آن ضلع ژنراتیکس مخروط است.

L 2 = (R 2- R 1 ) 2 + H 2.

اکنون ما تمام داده ها را برای ساختن نقشه یک سطل در اختیار داریم.

چرا سطل های آتش نشانی مخروطی شکل هستند؟

چه کسی تا به حال فکر کرده است که چرا سطل های آتش نشانی شکل مخروطی به ظاهر عجیبی دارند؟ و این فقط اینطور نیست. به نظر می رسد که یک سطل مخروطی هنگام خاموش کردن آتش مزایای زیادی نسبت به یک سطل معمولی دارد که به شکل مخروط کوتاه است.

اولاً همانطور که مشخص است سطل آتش نشانی سریعتر از آب پر می شود و هنگام حمل نمی ریزد. یک مخروط با حجم بیشتر از یک سطل معمولی به شما امکان می دهد آب بیشتری را در یک زمان انتقال دهید.

ثانیا، آب از آن را می توان در فاصله بیشتری نسبت به یک سطل معمولی پرتاب کرد.

ثالثاً اگر سطل مخروطی از دست شما بیفتد و در آتش بیفتد، تمام آب روی منبع آتش ریخته می شود.

همه این عوامل باعث صرفه جویی در زمان می شود - عامل اصلی هنگام خاموش کردن آتش.

استفاده عملی

دانش‌آموزان معمولاً سؤالاتی در مورد اینکه چرا باید نحوه محاسبه حجم اجسام هندسی مختلف، از جمله مخروط را بیاموزند، دارند.

و مهندسان طراح دائماً با نیاز به محاسبه حجم قطعات مخروطی قطعات ماشین روبرو هستند. اینها نوک مته، قطعات ماشین تراش و فرز هستند. شکل مخروطی به مته ها اجازه می دهد تا به راحتی بدون نیاز به علامت گذاری اولیه با ابزار خاصی وارد مواد شوند.

حجم یک مخروط، توده ای از ماسه یا خاک است که روی زمین ریخته می شود. در صورت لزوم با اندازه گیری های ساده می توانید حجم آن را محاسبه کنید. برخی ممکن است با این سوال که چگونه شعاع و ارتفاع یک توده ماسه را بفهمند گیج شوند. با استفاده از یک متر، محیط تپه C را اندازه می‌گیریم. با استفاده از فرمول R=C/2n شعاع را می‌یابیم. با پرتاب یک طناب (میزان اندازه گیری نوار) ​​روی راس، طول ژنراتیکس را پیدا می کنیم. و محاسبه ارتفاع با استفاده از قضیه فیثاغورث و حجم کار سختی نیست. البته، این محاسبه تقریبی است، اما به شما اجازه می دهد تا مشخص کنید که آیا با آوردن یک تن شن به جای یک مکعب، فریب خورده اید یا خیر.

برخی از ساختمان ها به شکل یک مخروط کوتاه هستند. به عنوان مثال، برج تلویزیون Ostankino به شکل یک مخروط نزدیک می شود. می توان آن را متشکل از دو مخروط که روی هم قرار گرفته اند تصور کرد. گنبدهای قلعه ها و کلیساهای باستانی نمایانگر مخروطی هستند که معماران باستانی حجم آن را با دقت شگفت انگیزی محاسبه کرده اند.

اگر از نزدیک به اجسام اطراف نگاه کنید، بسیاری از آنها مخروط هستند:

• قیف برای ریختن مایعات؛
• بوق-بلندگو؛
• مخروط پارکینگ؛
• آباژور برای لامپ کف؛
• درخت کریسمس معمولی؛
• آلات موسیقی بادی

همانطور که از مثال های ارائه شده مشخص است، توانایی محاسبه حجم مخروط و سطح آن در زندگی حرفه ای و روزمره ضروری است. امیدواریم مقاله به کمک شما بیاید.

1. محاسبه حجم مکعب

آ- سمت مکعب

فرمول حجم یک مکعب ( V ):

2. با فرمول حجم یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل را بیابید

الف، ب، ج- اضلاع یک متوازی الاضلاع

گاهی به ضلع موازی پایه لبه می گویند.

فرمول حجم یک متوازی الاضلاع، ( V):

3. فرمول محاسبه حجم یک توپ، کره

آر — شعاع توپ

با استفاده از فرمول، اگر شعاع داده شود، می توانید حجم توپ را پیدا کنید، ( V):

4. چگونه حجم سیلندر را محاسبه کنیم؟

ساعت- ارتفاع سیلندر

r- شعاع پایه

با استفاده از فرمول، حجم یک استوانه را در صورتی که شعاع و ارتفاع پایه آن مشخص باشد، بیابید. V):

5. چگونه می توان حجم یک مخروط را پیدا کرد؟

R-شعاع پایه

H-ارتفاع مخروط

فرمول حجم یک مخروط در صورتی که شعاع و ارتفاع مشخص باشد ( V):

7. فرمول حجم یک مخروط کوتاه

r -شعاع پایه بالا

R-شعاع پایین

h -ارتفاع مخروط

فرمول حجم یک مخروط کوتاه، در صورت شناخته شدن - شعاع پایه پایین، شعاع پایه بالایی و ارتفاع مخروط ( V):

8. حجم یک چهار وجهی منظم

چهار وجهی منظم هرمی است که تمام وجوه آن مثلث متساوی الاضلاع است.

آ- لبه چهار وجهی

فرمول محاسبه حجم چهار وجهی منظم ( V):

9. حجم هرم چهار گوش منتظم

هرم با قاعده مربع و اضلاع مثلث متساوی الساقین را هرم چهار گوش منتظم می نامند.

آ- سمت پایه

ساعت- ارتفاع هرم

فرمول محاسبه حجم هرم چهار گوش منتظم ( V):

10. حجم هرم مثلثی منظم

هرمی که قاعده آن مثلث متساوی الاضلاع و اضلاع آن مساوی است، مثلث متساوی الساقین را هرم مثلثی منتظم می گویند.

آ- سمت پایه

ساعت- ارتفاع هرم

فرمول حجم یک هرم مثلثی منظم با توجه به ارتفاع و ضلع پایه ( V):

11. حجم یک هرم منظم را بیابید

هرمی با چند ضلعی منتظم و مثلث های مساوی در قاعده آن منظم نامیده می شود.

ساعت- ارتفاع هرم

آ- سمت قاعده هرم

n- تعداد اضلاع چند ضلعی در قاعده

فرمول حجم یک هرم منظم با دانستن ارتفاع، ضلع قاعده و تعداد این اضلاع ( V):

تمام فرمول های حجم اجسام هندسی
هندسه، جبر، فیزیک

فرمول های حجمی

حجم یک شکل هندسی- مشخصه کمی فضای اشغال شده توسط یک جسم یا ماده. در ساده ترین موارد، حجم با تعداد واحدهای مکعبی که در بدنه قرار می گیرند، اندازه گیری می شود، یعنی مکعب هایی با لبه ای برابر با طول واحد. حجم بدنه یا ظرفیت ظرف بر اساس شکل و ابعاد خطی آن تعیین می شود.

فرمول حجم یک مکعب

1) حجم یک مکعب برابر با مکعب لبه آن است.

V- حجم مکعب

اچ- ارتفاع لبه مکعب

فرمول حجم یک هرم

1) حجم هرم برابر با یک سوم حاصلضرب سطح پایه S (ABCD) و ارتفاع h (OS) است.

V- حجم هرم

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

فرمول های حجم یک مخروط

1) حجم مخروط برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع است.

2) حجم مخروط برابر است با یک سوم حاصلضرب پی (1415/3) در مجذور شعاع قاعده و ارتفاع.

V- حجم مخروط

اس- مساحت پایه مخروط

ساعت- ارتفاع مخروط

π - عدد پی (3.1415)

r- شعاع مخروط

فرمول حجم سیلندر

1) حجم یک استوانه برابر است با حاصل ضرب مساحت پایه و ارتفاع.

2) حجم استوانه برابر است با حاصلضرب پی (1415/3) در مجذور شعاع پایه و ارتفاع.

V- حجم سیلندر

اس- مساحت پایه سیلندر

ساعت- ارتفاع سیلندر

π - عدد پی (3.1415)

r- شعاع سیلندر

فرمول حجم یک توپ

1) حجم توپ با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود.

V- حجم توپ

π - عدد پی (3.1415)

آر- شعاع توپ

فرمول حجم چهار وجهی

1) حجم چهار وجهی برابر کسری است که در صورت آن جذر دو در مکعب طول لبه چهار وجهی و در مخرج دوازده ضرب می شود.

فرمول های حجمی
فرمول های حجم و برنامه های آنلاین برای محاسبه حجم

فرمول حجم.

فرمول حجمبرای محاسبه پارامترها و ویژگی های یک شکل هندسی ضروری است.

حجم شکلمشخصه کمی فضای اشغال شده توسط یک جسم یا ماده است. در ساده ترین موارد، حجم با تعداد واحدهای مکعبی که در بدنه قرار می گیرند، اندازه گیری می شود، یعنی مکعب هایی با لبه ای برابر با طول واحد. حجم بدنه یا ظرفیت ظرف بر اساس شکل و ابعاد خطی آن تعیین می شود.

متوازیالسطوح.

حجم یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل برابر است با حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

سیلندر.

حجم یک استوانه برابر است با حاصل ضرب مساحت پایه و ارتفاع.

حجم استوانه برابر است با حاصلضرب پی (1415/3) در مجذور شعاع قاعده و ارتفاع.

هرم.

حجم هرم برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت پایه S (ABCDE) و ارتفاع h (OS) است.

هرم درست- این هرمی است که در قاعده آن یک چند ضلعی منتظم قرار دارد و ارتفاع از مرکز دایره محاط شده در پایه می گذرد.

هرم مثلثی منظمهرمی است که قاعده آن مثلث متساوی الاضلاع و اضلاع آن مثلث متساوی الساقین است.

هرم چهار گوش منظمهرمی است که قاعده آن مربع و اضلاع آن مثلث متساوی الساقین است.

چهار وجهیهرمی است که تمام وجوه آن مثلث متساوی الاضلاع است.

هرم کوتاه شده.

حجم هرم کوتاه شده برابر با یک سوم حاصلضرب ارتفاع h (OS) با مجموع مساحت های قاعده فوقانی S 1 (abcde)، قاعده پایینی هرم کوتاه S 2 (ABCDE) و میانگین تناسب بین آنها

محاسبه حجم یک مکعب آسان است - باید طول، عرض و ارتفاع را ضرب کنید. از آنجایی که طول یک مکعب برابر با عرض و برابر با ارتفاع آن است، حجم مکعب برابر با s 3 است.

مخروطجسمی در فضای اقلیدسی است که از ترکیب تمام پرتوهای ساطع شده از یک نقطه (راس مخروط) و عبور از یک سطح صاف به دست می آید.

فروستوماگر قسمتی را در مخروط به موازات پایه بکشید کار می کند.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

حجم کره یک و نیم برابر کمتر از حجم استوانه ای است که دور آن احاطه شده است.

منشور.

حجم یک منشور برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده منشور و ارتفاع آن.

بخش توپ.

حجم یک بخش کروی برابر با حجم یک هرم است که سطح قاعده آن به اندازه قسمتی از سطح کروی بریده شده توسط بخش است و ارتفاع آن برابر با شعاع توپ است.

لایه توپ- این بخشی از توپ است که بین دو صفحه موازی متقاطع محصور شده است.

بخش توپ- به این قسمت از توپ که با صفحه ای از آن جدا شده است، بخش کروی یا کروی می گویند

فرمول حجم
فرمول حجم مکعب، کره، هرم، متوازی الاضلاع، استوانه، چهار وجهی، مخروط، منشور و حجم سایر اشکال هندسی.

در درس استریومتری، یکی از سوالات اصلی نحوه محاسبه حجم یک جسم هندسی خاص است. همه چیز با یک متوازی الاضلاع ساده شروع می شود و با یک توپ به پایان می رسد.

در زندگی نیز اغلب باید با مشکلات مشابهی روبرو شوید. به عنوان مثال، برای محاسبه حجم آبی که در یک سطل یا بشکه قرار می گیرد.

خواص معتبر برای حجم هر بدن

1. این مقدار همیشه یک عدد مثبت است.
2. اگر بتوان بدن را به قطعات تقسیم کرد تا هیچ تقاطعی وجود نداشته باشد، حجم کل برابر با مجموع حجم قطعات است.
3. اجسام مساوی دارای حجم مساوی هستند.
4. اگر یک جسم کوچکتر به طور کامل در یک جسم بزرگتر گنجانده شود، پس حجم اولی کمتر از دومی است.

نام‌گذاری‌های عمومی برای همه بدنه‌ها

هر کدام دارای لبه ها و پایه هایی هستند و ارتفاعاتی در آنها تعبیه شده است. بنابراین، چنین عناصری به طور مساوی برای آنها تعیین می شود. در فرمول ها دقیقاً به این صورت نوشته شده اند. ما بیشتر یاد خواهیم گرفت که چگونه حجم هر بدن را محاسبه کنیم و مهارت های جدید را در عمل به کار ببریم.

برخی از فرمول ها مقادیر دیگری دارند. در صورت بروز چنین نیازی، تعیین آنها مورد بحث قرار خواهد گرفت.

منشور، موازی (مستقیم و مایل) و مکعب

این اجسام ترکیب شده اند زیرا بسیار شبیه به هم هستند و فرمول های نحوه محاسبه حجم یکسان است:

V = S * h.

فقط S متفاوت خواهد بود. در مورد متوازی الاضلاع، برای یک مستطیل یا مربع محاسبه می شود. در یک منشور، پایه می تواند مثلث، متوازی الاضلاع، چهار ضلعی دلخواه یا چند ضلعی دیگر باشد.

برای یک مکعب، فرمول به طور قابل توجهی ساده شده است زیرا تمام ابعاد آن برابر است:

V = a 3.

هرم، چهار وجهی، هرم بریده

برای اولین مورد از این اجسام، فرمولی برای محاسبه حجم وجود دارد:

V = 1/3 * S * n.

چهار وجهی یک مورد خاص از یک هرم مثلثی است. تمام لبه های آن برابر است. بنابراین، دوباره یک فرمول ساده به دست می آوریم:

V = (a 3 * √2) / 12، یا V = 1/3 Sh

یک هرم زمانی که قسمت بالایی آن بریده می شود، کوتاه می شود. بنابراین، حجم آن برابر است با تفاوت بین دو هرم: هرم که دست نخورده است و بالای آن. اگر بتوان هر دو پایه چنین هرمی را (S 1 - بزرگتر و S 2 - کوچکتر) پیدا کرد، پس استفاده از این فرمول برای محاسبه حجم راحت است:

سیلندر، مخروط و مخروط کوتاه

V =π * r 2 * h.

وضعیت مخروط تا حدودی پیچیده تر است. یک فرمول برای آن وجود دارد:

V = 1/3 π * r 2 * h.این بسیار شبیه به چیزی است که برای سیلندر نشان داده شده است، فقط مقدار آن سه برابر کاهش می یابد.

درست مانند یک هرم کوتاه، در مورد مخروط که دو پایه دارد، وضعیت آسان نیست. فرمول محاسبه حجم مخروط کوتاه شده به صورت زیر است:

V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2).در اینجا r 1 شعاع پایه پایین است، r 2 شعاع قسمت بالایی (کوچکتر) است.

توپ، بخش توپ و بخش

اینها سخت ترین فرمول ها برای به خاطر سپردن هستند. برای حجم توپ به صورت زیر است:

V = 4/3 π *r 3 .

در مسائل اغلب این سوال وجود دارد که چگونه حجم یک بخش کروی را محاسبه کنیم - بخشی از یک کره که به طور موازی با قطر بریده شده است. در این مورد، فرمول زیر به کمک خواهد آمد:

V = π h 2 * (r - h/3).در آن، ارتفاع قطعه به عنوان h در نظر گرفته می شود، یعنی بخشی که در امتداد شعاع توپ می رود.

بخش به دو بخش تقسیم می شود: یک بخش مخروطی و یک بخش کروی. بنابراین حجم آن به عنوان مجموع این اجسام تعریف می شود. فرمول بعد از تبدیل به این صورت است:

V = 2/3 πr 2 * h.در اینجا h نیز ارتفاع قطعه است.

نمونه مشکلات

در مورد حجم یک استوانه، کره و مخروط

وضعیت:قطر استوانه (بدنه اول) برابر است با ارتفاع آن، قطر توپ (بدن دوم) و ارتفاع مخروط (بدنه سوم)، تناسب حجم ها را بررسی کنید V 1: V 2: V 3 = 3: 2: 1

راه حل.ابتدا باید سه فرمول برای حجم ها بنویسید. سپس در نظر بگیرید که شعاع نصف قطر است. یعنی ارتفاع برابر با دو شعاع خواهد بود: h = 2r. با انجام یک جایگزینی ساده، معلوم می شود که فرمول های حجم ها به شکل زیر خواهد بود:

V 1 = 2 π r 3، V 3 = 2/3 π r 3. فرمول حجم یک توپ تغییر نمی کند زیرا ارتفاع در آن ظاهر نمی شود.

اکنون باقی مانده است که نسبت های حجم را یادداشت کرده و کاهش 2π و r 3 را انجام دهیم. به نظر می رسد که V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. این اعداد را می توان به راحتی 3:2:1 نوشت.

در مورد حجم توپ

وضعیت:دو هندوانه با شعاع های 15 و 20 سانتی متری وجود دارد که خوردن آنها سود بیشتری دارد: اولی با چهار نفر یا دومی با هشت نفر؟

راه حل.برای پاسخ به این سوال، باید نسبت حجم قطعاتی که از هر هندوانه می آید را بیابید. با توجه به اینکه آنها کره هستند، باید دو فرمول برای حجم ها بنویسیم. سپس در نظر بگیرید که از اولی همه فقط یک قسمت چهارم و از دوم - یک هشتم دریافت می کنند.

باقی مانده است که نسبت حجم قطعات را یادداشت کنیم. شبیه این خواهد شد:

(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). پس از تبدیل، فقط کسری باقی می ماند: (2 r 1 3) / r 2 3. پس از جایگزینی مقادیر و محاسبه، کسری 6750/8000 به دست می آید. از آن مشخص است که سهم هندوانه اول کمتر از هندوانه دوم خواهد بود.

پاسخ.خوردن یک هشتم هندوانه با شعاع 20 سانتی متر سود بیشتری دارد.

درباره احجام هرم و مکعب

وضعیت:یک هرمی از خاک رس با قاعده مستطیل شکل 8×9 سانتی متر و ارتفاع 9 سانتی متر وجود دارد، یک مکعب از همان تکه خاک رس ساخته شده است، لبه آن چیست؟

راه حل.اگر اضلاع مستطیل را با حروف b و c مشخص کنیم، مساحت قاعده هرم به عنوان حاصلضرب آنها محاسبه می شود. سپس فرمول حجم آن به صورت زیر است:

فرمول حجم یک مکعب در مقاله بالا نوشته شده است. این دو مقدار برابر هستند: V 1 = V 2 . تنها چیزی که باقی می ماند این است که سمت راست فرمول ها را معادل سازی کنیم و محاسبات لازم را انجام دهیم. به نظر می رسد که لبه مکعب برابر با 6 سانتی متر خواهد بود.

در مورد حجم یک متوازی الاضلاع

وضعیت:شما باید جعبه ای با ظرفیت 0.96 متر مکعب بسازید، عرض و طول آن مشخص است - 1.2 و 0.8 متر، ارتفاع آن چقدر باید باشد؟

راه حل.از آنجایی که پایه یک متوازی الاضلاع مستطیل است، مساحت آن به عنوان حاصلضرب طول (a) و عرض (b) تعریف می شود. بنابراین، فرمول حجم به صورت زیر است:

از آن به راحتی می توان ارتفاع را با تقسیم حجم بر مساحت تعیین کرد. به نظر می رسد که ارتفاع باید 1 متر باشد.

پاسخ.ارتفاع جعبه یک متر است.

چگونه حجم اجسام هندسی مختلف را محاسبه کنیم؟
در درس استریومتری، یکی از وظایف اصلی نحوه محاسبه حجم یک جسم هندسی خاص است. همه چیز با یک متوازی الاضلاع ساده شروع می شود و با یک توپ به پایان می رسد.

بدنه های چرخشی که در مدرسه مورد مطالعه قرار می گیرند، استوانه، مخروط و توپ هستند.

اگر در یک مشکل در امتحان دولتی واحد در ریاضیات باید حجم یک مخروط یا مساحت یک کره را محاسبه کنید، خود را خوش شانس بدانید.

فرمول های حجم و سطح استوانه، مخروط و کره را اعمال کنید. همه آنها در جدول ما هستند. با جان و دل یاد گرفتن. اینجاست که دانش استریومتری آغاز می شود.

گاهی اوقات خوب است که منظره را از بالا بکشیم. یا، مانند این مشکل، از پایین.

2. حجم مخروطی که در اطراف یک هرم چهار گوش منتظم قرار دارد چند برابر حجم مخروطی محاط شده در این هرم بیشتر است؟

ساده است - نمای زیر را بکشید. می بینیم که شعاع دایره بزرگتر چند برابر بزرگتر از شعاع دایره کوچکتر است. ارتفاع هر دو مخروط یکسان است. بنابراین، حجم مخروط بزرگتر دو برابر بزرگتر خواهد بود.

نکته مهم دیگر. به یاد داریم که در مسائل قسمت B آزمون یکپارچه دولتی در ریاضیات، پاسخ به صورت یک عدد صحیح یا کسری اعشاری پایانی نوشته می شود. بنابراین، در قسمت B نباید هیچ یا در پاسخ شما وجود داشته باشد. نیازی به جایگزینی مقدار تقریبی عدد نیز نیست! حتما باید کوچک شود! برای این منظور است که در برخی از مسائل این کار به عنوان مثال به صورت زیر فرموله می شود: "مساحت سطح جانبی استوانه تقسیم بر" را پیدا کنید.

فرمول های حجم و سطح بدنه های انقلاب کجا دیگر استفاده می شود؟ البته در مسئله C2 (16). ما نیز در مورد آن به شما خواهیم گفت.

کره ای که حجم آن 8π است در یک مکعب حک شده است. حجم مکعب را پیدا کنید.

راه حل

بگذارید یک طرف مکعب باشد. سپس حجم مکعب V = a 3 است.

از آنجایی که توپ در یک مکعب حک شده است، شعاع توپ برابر با نصف لبه مکعب است، یعنی R = a/2 (شکل را ببینید).

حجم توپ برابر با V w = (4/3)πR 3 و برابر با 8π است، بنابراین

(4/3)πR 3 = 8π،

و حجم مکعب برابر است با V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Task B9 (گزینه های معمولی 2015)

حجم مخروط 32 است. از وسط ارتفاع، به موازات قاعده مخروط، مقطعی کشیده می شود که پایه مخروط کوچکتری با همان راس است. حجم مخروط کوچکتر را پیدا کنید.

راه حل

بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

72353. حجم مخروط 10 است. قسمتی از وسط ارتفاع به موازات قاعده مخروط کشیده می شود که قاعده مخروط کوچکتری با همان رأس است. حجم مخروط کوچکتر را پیدا کنید.

بلافاصله توجه داشته باشیم که مخروط اصلی و بریده شده مشابه هستند و اگر مخروط برش را نسبت به مخروط اصلی در نظر بگیریم، می توان گفت: مخروط کوچکتر شبیه مخروط بزرگتر با ضریب نصف یا 0.5 است. . ما میتوانیم بنویسیم:

می توان نوشت:

آدم می تواند اینطور فکر کند!

بیایید مخروط اصلی را نسبت به مخروط برش در نظر بگیریم. می توان گفت مخروط بزرگتر شبیه مخروط بریده شده با ضریب دو است، بنویسیم:

اکنون بدون استفاده از خواص شباهت به راه حل نگاه کنید.

حجم مخروط برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع آن است:

برآمدگی جانبی (نمای جانبی) را با مقطع مشخص شده در نظر بگیرید:

شعاع مخروط بزرگتر برابر R و ارتفاع آن برابر با H باشد. مقطع (پایه مخروط کوچکتر) از وسط ارتفاع می گذرد، یعنی ارتفاع آن برابر با H/2 خواهد بود. و شعاع پایه برابر است با R/2، این از شباهت مثلث ها ناشی می شود.

بیایید حجم مخروط اصلی را یادداشت کنیم:

حجم مخروط برش برابر با:

چنین راه حل های دقیقی ارائه شده است تا بتوانید ببینید که چگونه می توان استدلال ساخت. به هر طریقی عمل کنید - نکته اصلی این است که ماهیت تصمیم را درک کنید. حتی اگر راهی که انتخاب کرده اید منطقی نباشد، نتیجه (نتیجه صحیح) مهم است.

جواب: 1.25

318145. در ظرف مخروطی شکل سطح مایع به نصف ارتفاع می رسد. حجم مایع 70 میلی لیتر است. چند میلی لیتر مایع باید اضافه کرد تا ظرف کاملا پر شود؟

این کار مشابه کار قبلی است. حتی اگر در اینجا در مورد مایع صحبت می کنیم، اصل محلول یکسان است.

ما دو مخروط داریم - این خود رگ و مخروط "کوچک" (پر از مایع) است ، آنها مشابه هستند. مشخص است که حجم این اجسام به شرح زیر است:

مخروط اولیه (رگ) شبیه مخروط پر از مایع با ضریب 2 است، زیرا گفته می شود که سطح مایع به نصف ارتفاع می رسد. می توانید با جزئیات بیشتر بنویسید:

محاسبه می کنیم:

بنابراین، شما باید اضافه کنید:

مشکلات دیگر مایعات

74257. حجم V مخروطی را بیابید که ژنراتیکس آن برابر با 44 است و با زاویه 30 0 به صفحه قاعده متمایل است. لطفاً V/Pi را در پاسخ خود ذکر کنید.

حجم مخروط:

ارتفاع مخروط را با استفاده از خاصیت مثلث قائم الزاویه پیدا می کنیم.

پایی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد برابر با نیمی از هیپوتنوز است. هیپوتنوز، در در این مورد، مولد مخروط است. بنابراین ارتفاع مخروط 22 است.

مربع شعاع پایه را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا می کنیم:

*ما به مربع شعاع نیاز داریم نه خود شعاع.