سیستم های اتوماتیک بهینه طبقه بندی سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه

سیستم بهینه

سیستم بهینه،یک سیستم کنترل خودکار که بهترین (بهینه) عملکرد جسم کنترل شده را از نقطه نظر خاصی تضمین می کند. ویژگی ها و تأثیرات مزاحم خارجی آن می تواند به شکلی پیش بینی نشده تغییر کند، اما، به عنوان یک قاعده، تحت محدودیت های خاصی. بهترین عملکرد سیستم کنترل با به اصطلاح مشخص می شود. معیار کنترل بهینه (معیار بهینه، تابع هدف) که مقداری است که اثربخشی دستیابی به هدف کنترل را تعیین می کند و به تغییرات مختصات زمانی یا مکانی و مولفه هایسیستم های. معیار بهینه بودن می تواند مشخصات فنی مختلف باشد. و اقتصادی شاخص های عملکرد شی: کارایی، سرعت، میانگین یا حداکثر انحراف پارامترهای سیستم از مقادیر مشخص شده، هزینه تولید، عمق. شاخص‌های کیفیت محصول یا شاخص کیفیت تعمیم‌یافته و غیره. معیارهای بهینه اولی به پارامترهای منظم و مختصات سیستم های کنترل و کنترل بستگی دارد. دومی زمانی استفاده می‌شود که سیگنال‌های ورودی توابع تصادفی هستند و/یا لازم است اختلالات تصادفی تولید شده توسط عناصر منفرد سیستم را در نظر بگیریم. با توجه به ریاضیات. در توصیف، معیار بهینه می‌تواند تابعی از تعداد محدودی از پارامترها و مختصات فرآیند کنترل‌شده باشد، که برای عملکرد بهینه سیستم، مقدار بسیار بالایی می‌گیرد، یا تابعی از تابعی باشد که قانون کنترل را توصیف می‌کند. در این حالت، شکل این تابع به گونه‌ای تعیین می‌شود که تابعی یک مقدار شدید به خود بگیرد. برای محاسبه O.s. از اصل حداکثری پونتریاگین یا نظریه پویا استفاده کنید. برنامه نويسي.
عملکرد بهینه اشیاء پیچیده با استفاده از سیستم های کنترل خود تنظیم (تطبیقی) که توانایی تغییر خودکار در حین کار را دارند به دست می آید. الگوریتمکنترل، ویژگی ها یا ساختار آن برای حفظ معیار بهینه بدون تغییر تحت پارامترهای سیستم و شرایط عملیاتی که خودسرانه تغییر می کند. بنابراین در حالت کلی O.s. از دو بخش تشکیل شده است: یک ثابت (غیر قابل تغییر) که شامل شی کنترل و عناصر خاصی از سیستم کنترل است و یک متغیر (قابل تغییر) که عناصر باقی مانده را ترکیب می کند. همچنین ببینید کنترل بهینه M. M. Maisel.

کنترل بهینه

کنترل بهینهوظیفه طراحی سیستمی است که برای یک شی یا فرآیند کنترلی معین، یک قانون کنترل یا یک توالی کنترلی از تأثیرات را فراهم می کند که حداکثر یا حداقل مجموعه معینی از معیارهای کیفیت سیستم را تضمین می کند.

برای حل مسئله کنترل بهینه، یک مدل ریاضی از شی یا فرآیند کنترل شده ساخته می شود که رفتار آن را در طول زمان تحت تأثیر اقدامات کنترلی و وضعیت فعلی خود توصیف می کند. مدل ریاضی برای مسئله کنترل بهینه شامل: فرمول بندی هدف کنترل که از طریق معیار کیفیت کنترل بیان می شود. تعیین معادلات دیفرانسیل یا تفاضل که روشهای حرکتی ممکن جسم کنترل را توصیف می کند. تعیین محدودیت در منابع مورد استفاده در قالب معادلات یا نابرابری.

پرکاربردترین روش‌ها در طراحی سیستم‌های کنترلی، محاسبه تغییرات، اصل حداکثر پونتریاژین و برنامه‌نویسی پویا بلمن است.

گاهی اوقات (به عنوان مثال، هنگام مدیریت اشیاء پیچیده، مانند کوره بلند در متالورژی یا هنگام تجزیه و تحلیل اطلاعات اقتصادی)، داده ها و دانش اولیه در مورد شی کنترل شده هنگام تنظیم مسئله کنترل بهینه حاوی اطلاعات نامشخص یا مبهم است که توسط سنتی قابل پردازش نیست. روش های کمی در چنین مواقعی می توان از الگوریتم های کنترل بهینه مبتنی بر نظریه ریاضی مجموعه های فازی (Fuzzy control) استفاده کرد. مفاهیم و دانش مورد استفاده به شکل فازی تبدیل می‌شوند، قوانین فازی برای استخراج تصمیم‌ها تعیین می‌شوند و سپس تصمیمات فازی به متغیرهای کنترل فیزیکی تبدیل می‌شوند.

مشکل کنترل بهینه

اجازه دهید مسئله کنترل بهینه را فرموله کنیم:

در اینجا بردار حالت - کنترل، - لحظات اولیه و نهایی زمان است.

مسئله کنترل بهینه یافتن توابع حالت و کنترل برای زمان است که عملکرد را به حداقل می رساند.

حساب تغییرات

اجازه دهید این مسئله کنترل بهینه را به عنوان یک مسئله لاگرانژ در حساب تغییرات در نظر بگیریم. برای یافتن شرایط لازم برای یک اکستروم، قضیه اویلر-لاگرانژ را اعمال می کنیم. تابع لاگرانژ به شکل زیر است: شرایط مرزی کجاست. لاگرانژ به شکل زیر است: , که در آن , بردارهای n بعدی ضرب کننده های لاگرانژ هستند.

شرایط لازم برای یک افراط مطابق این قضیه به صورت زیر است:

شرایط لازم (3-5) مبنای تعیین مسیرهای بهینه را تشکیل می دهد. با نوشتن این معادلات، یک مسئله مرزی دو نقطه ای به دست می آوریم که بخشی از شرایط مرزی در لحظه اولیه و بقیه در لحظه پایانی مشخص می شود. روش های حل چنین مسائلی به تفصیل در کتاب مورد بحث قرار گرفته است.

اصل حداکثری پونتریاگین

نیاز به اصل ماکزیمم پونتریاگین در شرایطی ایجاد می شود که در هیچ کجای محدوده مجاز متغیر کنترلی امکان برآوردن شرط لازم (3) وجود نداشته باشد.

در این حالت شرط (3) با شرط (6) جایگزین می شود:

(6)

در این حالت، طبق اصل حداکثر پونتریاگین، مقدار کنترل بهینه برابر با مقدار کنترل در یکی از انتهای محدوده مجاز است. معادلات پونتریاگین با استفاده از تابع همیلتون H که با رابطه تعریف شده است نوشته شده است. از معادلات به دست می آید که تابع همیلتون H با تابع لاگرانژ L به صورت زیر مرتبط است: . با جایگزینی L از آخرین معادله به معادلات (3-5) شرایط لازم بیان شده از طریق تابع همیلتون را بدست می آوریم:

شرایط لازم نوشته شده به این شکل معادلات پونتریاگین نامیده می شود. اصل حداکثری پونتریاگین با جزئیات بیشتری در کتاب مورد بحث قرار گرفته است.

کجا استفاده می شود؟

اصل حداکثر به ویژه در سیستم های کنترل با حداکثر سرعت و حداقل مصرف انرژی مهم است، جایی که از کنترل های نوع رله استفاده می شود که مقادیر شدید و نه متوسط را در بازه کنترل مجاز می گیرند.

داستان

برای توسعه تئوری کنترل بهینه L.S. پونتریاگین و همکارانش V.G. بولتیانسکی، R.V. گامکرلیدزه و ای.ف. میشچنکو در سال 1962 جایزه لنین را دریافت کرد.

روش برنامه نویسی پویا

روش برنامه نویسی پویا مبتنی بر اصل بهینه بودن بلمن است که به صورت زیر فرموله شده است: استراتژی کنترل بهینه این ویژگی را دارد که وضعیت اولیه و کنترل در ابتدای فرآیند هر چه باشد، کنترل های بعدی باید یک استراتژی کنترل بهینه نسبت به حالتی که پس از مرحله اولیه فرآیند به دست می آید. روش برنامه نویسی پویا با جزئیات بیشتری در کتاب توضیح داده شده است

یادداشت

ادبیات

Rastrigin L.A. اصول مدرن مدیریت اشیاء پیچیده - M.: Sov. رادیو، 1980. - 232 ص.، BBK 32.815، ر. 12000 نسخه
آلکسیف V.M.، Tikhomirov V.M. ، فومین اس.و. کنترل بهینه - M.: Nauka, 1979, UDC 519.6, - 223 pp., dash. 24000 نسخه

همچنین ببینید

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید «کنترل بهینه» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

کنترل بهینه- کنترل OU که مطلوب ترین مقدار یک معیار بهینگی معین (OC) را فراهم می کند و کارایی کنترل را تحت محدودیت های داده شده مشخص می کند. انواع فنی یا اقتصادی... ... فرهنگ لغت - کتاب مرجع شرایط اسناد هنجاری و فنی

کنترل بهینه- مدیریت که هدف آن اطمینان از ارزش فوق العاده شاخص کیفیت مدیریت است. [مجموعه اصطلاحات توصیه شده. مسئله 107. نظریه مدیریت. آکادمی علوم اتحاد جماهیر شوروی. کمیته اصطلاحات علمی و فنی. 1984]…… راهنمای مترجم فنی

کنترل بهینه- 1. مفهوم اساسی نظریه ریاضی فرآیندهای بهینه (متعلق به شاخه ریاضیات به همین نام: "O.u."). به معنای انتخاب پارامترهای کنترلی است که بهترین ها را از نقطه... ... فرهنگ لغت اقتصادی و ریاضی

به عنوان مثال، در شرایط معین (اغلب متناقض)، به بهترین شکل ممکن به هدف اجازه می دهد. در حداقل زمان، با بیشترین تاثیر اقتصادی، با حداکثر دقت... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

هواپیما بخشی از دینامیک پرواز است که به توسعه و استفاده از روش های بهینه سازی برای تعیین قوانین کنترل حرکت هواپیما و مسیرهای آن اختصاص دارد که حداکثر یا حداقل معیار انتخاب شده را ارائه می دهد. دایره المعارف فناوری

شاخه ای از ریاضیات که به بررسی مسائل تغییرات غیر کلاسیک می پردازد. اشیایی که فناوری با آنها سروکار دارد معمولاً مجهز به "سکان" هستند؛ با کمک آنها، شخص حرکت را کنترل می کند. از نظر ریاضی رفتار چنین جسمی شرح داده شده است... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

در شرایط معین (اغلب متناقض) امکان دستیابی به هدف را به بهترین شکل ممکن، به عنوان مثال، در حداقل زمان، با بیشترین تأثیر اقتصادی، با حداکثر دقت فراهم می کند. * * * مدیریت بهینه مدیریت بهینه ... فرهنگ لغت دایره المعارفی

سیستم های کنترل خودکار بهینه

بیان مسئله بهینه سازی کنترل

به طور کلی، یک سیستم خودکار شامل یک شیء کنترلی و مجموعه ای از وسایل است که کنترل این شی را فراهم می کند. به عنوان یک قاعده، این مجموعه از دستگاه ها شامل دستگاه های اندازه گیری، دستگاه های تقویت کننده و تبدیل و همچنین محرک ها است. اگر این دستگاه ها را در یک لینک (دستگاه کنترل) ترکیب کنیم، بلوک دیاگرام سیستم به شکل زیر است:

در یک سیستم خودکار، اطلاعات مربوط به وضعیت جسم کنترلی از طریق یک دستگاه اندازه گیری به ورودی دستگاه کنترلی ارائه می شود. چنین سیستم هایی را سیستم های بازخورد یا سیستم های بسته می نامند. عدم وجود این اطلاعات در الگوریتم کنترل نشان دهنده باز بودن سیستم است. وضعیت شیء کنترل در هر زمان توسط متغیرها توصیف می شود ، که مختصات سیستم یا متغیرهای حالت نامیده می شوند. در نظر گرفتن آنها به عنوان مختصات بردار حالت بعدی راحت است.

دستگاه اندازه گیری اطلاعاتی در مورد وضعیت جسم ارائه می دهد. اگر بر اساس اندازه گیری بردار، مقادیر تمام مختصات بردار حالت را بتوان یافت، سیستم کاملاً قابل مشاهده است.

دستگاه کنترل یک عمل کنترلی ایجاد می کند. چندین اقدام کنترلی از این دست می تواند وجود داشته باشد؛ آنها یک بردار کنترل بعدی را تشکیل می دهند.

یک عمل ورودی اصلی در ورودی دستگاه کنترل دریافت می شود. این اقدام ورودی اطلاعاتی در مورد وضعیت جسم باید داشته باشد. شیء کنترلی ممکن است در معرض یک تأثیر مزاحم قرار گیرد که نشان دهنده یک بار یا تداخل است. اندازه گیری مختصات یک شی، به عنوان یک قاعده، با برخی از خطاها، که آنها نیز تصادفی هستند، انجام می شود.

وظیفه دستگاه کنترل ایجاد چنین عمل کنترلی است که کیفیت عملکرد سیستم اتوماتیک به طور کلی از نظر خاصی بهترین باشد.

ما اشیاء کنترلی را در نظر خواهیم گرفت که قابل مدیریت هستند. به این معنا که بردار حالت را می توان بر حسب نیاز با تغییر بردار کنترل تغییر داد. فرض می کنیم که جسم کاملاً قابل مشاهده است.

به عنوان مثال، موقعیت یک هواپیما با شش مختصات حالت مشخص می شود. اینها مختصات مرکز جرم هستند، زوایای اویلر که جهت هواپیما را نسبت به مرکز جرم تعیین می کنند. نگرش هواپیما را می توان با استفاده از آسانسورها، هدینگ، ایلرون و بردار رانش تغییر داد. بنابراین بردار کنترل به صورت زیر تعریف می شود:

زاویه انحراف آسانسور

بردار حالت در این مورد به صورت زیر تعریف می شود:

شما می توانید مشکل انتخاب کنترلی را مطرح کنید که به کمک آن هواپیما از حالت اولیه معین به حالت نهایی معین با حداقل مصرف سوخت یا در حداقل زمان منتقل می شود.

پیچیدگی اضافی در حل مشکلات فنی به دلیل این واقعیت است که، به عنوان یک قاعده، محدودیت های مختلفی بر عملکرد کنترل و مختصات حالت شی کنترل اعمال می شود.

محدودیت هایی در هر زاویه ای از آسانسورها، انحرافات و ایلرون ها وجود دارد:

کشش خود محدود است.

مختصات حالت شیء کنترلی و مشتقات آنها نیز مشمول محدودیت هایی هستند که با اضافه بارهای مجاز همراه هستند.

ما اشیاء کنترلی را در نظر خواهیم گرفت که با معادله دیفرانسیل توصیف می شوند:

(1)

یا به صورت برداری:

بردار بعدی حالت جسم

بردار بعدی اقدامات کنترلی

تابع سمت راست معادله (1)

محدودیتی بر بردار کنترل اعمال می‌شود؛ فرض می‌کنیم که مقادیر آن متعلق به ناحیه‌ای بسته از فضای چند بعدی است. این بدان معنی است که تابع کنترل در هر زمان به ناحیه () تعلق دارد.

بنابراین، برای مثال، اگر مختصات تابع کنترل نابرابری ها را برآورده کند:

سپس منطقه یک مکعب بعدی است.

اجازه دهید هر تابع پیوسته تکه ای را که مقادیر آن در هر لحظه از زمان به دامنه تعلق دارد و می تواند ناپیوستگی هایی از نوع اول داشته باشد، یک کنترل مجاز فراخوانی کنیم. به نظر می رسد که حتی در برخی از مسائل کنترل بهینه راه حل را می توان در کلاس کنترل پیوسته تکه ای به دست آورد. برای انتخاب کنترل به عنوان تابعی از زمان و حالت اولیه سیستم که به طور منحصر به فرد حرکت شی کنترل را تعیین می کند، لازم است که سیستم معادلات (1) شرایط قضیه وجود و یکتایی را برآورده کند. راه حل در منطقه در این ناحیه، مسیرهای احتمالی حرکت جسم و عملکردهای کنترلی احتمالی قرار دارند. اگر دامنه تغییرات متغیرها محدب باشد، برای وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل کافی است که تابع . در همه آرگومان ها پیوسته بودند و مشتقات جزئی پیوسته نسبت به متغیرها داشتند .

به عنوان معیاری که کیفیت عملکرد سیستم را مشخص می کند، عملکردی از فرم انتخاب می شود:

(2)

به عنوان یک تابع، فرض می کنیم که در تمام آرگومان هایش پیوسته است و دارای مشتقات جزئی پیوسته با توجه به .

معیارهای بهینه سازی

بسته به نوع انتگرال تابعی:

(1)

معیارهای مختلفی را می توان با استفاده از سیستم خودکار در حال طراحی به دست آورد.

تعریف و ضرورت ساخت سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه

سیستم های کنترل اتوماتیک معمولا بر اساس الزامات برای اطمینان از شاخص های کیفیت خاص طراحی می شوند. در بسیاری از موارد افزایش لازم در دقت دینامیکی و بهبود فرآیندهای گذرا سیستم های کنترل خودکار با کمک دستگاه های اصلاحی حاصل می شود.

به ویژه فرصت‌های گسترده‌ای برای بهبود شاخص‌های کیفیت با معرفی کانال‌های جبرانی حلقه باز و اتصالات دیفرانسیل در ACS فراهم می‌شود که از یک یا آن شرایط تغییرناپذیری خطا با توجه به اصلی یا تأثیرات مزاحم ترکیب شده‌اند. با این حال، تأثیر دستگاه‌های اصلاح، کانال‌های جبران باز و اتصالات دیفرانسیل معادل بر روی شاخص‌های کیفیت ACS به سطح محدودیت سیگنال توسط عناصر غیرخطی سیستم بستگی دارد. سیگنال‌های خروجی دستگاه‌های متمایز، معمولاً کوتاه مدت و از نظر دامنه قابل توجه، به عناصر سیستم محدود می‌شوند و منجر به بهبود شاخص‌های کیفیت سیستم، به ویژه سرعت آن نمی‌شوند. بهترین نتایج در حل مشکل افزایش نشانگرهای کیفیت یک سیستم کنترل اتوماتیک در صورت وجود محدودیت سیگنال توسط به اصطلاح کنترل بهینه به دست می آید.

مشکل سنتز سیستم های بهینه به طور دقیق به تازگی فرموله شده است، زمانی که مفهوم یک معیار بهینه تعریف شد. بسته به هدف کنترل، شاخص های فنی یا اقتصادی مختلفی از فرآیند کنترل شده را می توان به عنوان معیار بهینه انتخاب کرد. در سیستم های بهینه، نه تنها افزایش جزئی در یک یا آن شاخص کیفیت فنی و اقتصادی، بلکه دستیابی به حداقل یا حداکثر مقدار ممکن آن تضمین می شود.

اگر معیار بهینه بیانگر زیان فنی و اقتصادی (خطاهای سیستم، زمان فرآیند انتقال، مصرف انرژی، بودجه، هزینه و غیره) باشد، کنترل بهینه همان کنترلی خواهد بود که حداقل معیار بهینه را ارائه دهد. اگر بیانگر سودآوری باشد (کارایی، بهره وری، سود، برد موشک و غیره)، کنترل بهینه باید حداکثر معیار بهینه را ارائه دهد.

مشکل تعیین سیستم کنترل خودکار بهینه، به ویژه سنتز پارامترهای بهینه سیستم هنگامی که یک Master در ورودی آن دریافت می شود.

تأثیر و تداخل، که سیگنال‌های تصادفی ثابت هستند، در فصل مورد بررسی قرار گرفتند. 7. به یاد بیاوریم که در این مورد، ریشه میانگین مربعات خطا (RMS) به عنوان معیار بهینه در نظر گرفته می شود. شرایط افزایش دقت بازتولید سیگنال مفید (تشخیص تأثیر) و سرکوب تداخل متناقض است و بنابراین وظیفه انتخاب چنین پارامترهای سیستم (بهینه) است که در آن انحراف استاندارد کمترین مقدار را می گیرد.

سنتز یک سیستم بهینه با استفاده از معیار بهینه مربع میانگین یک مشکل خاص است. روش های کلی برای سنتز سیستم های بهینه بر اساس حساب تغییرات است. با این حال، روش‌های کلاسیک محاسبه تغییرات برای حل مسائل کاربردی مدرن که نیاز به در نظر گرفتن محدودیت‌ها دارند، در بسیاری از موارد نامناسب هستند. راحت ترین روش برای سنتز سیستم های کنترل خودکار بهینه، روش برنامه نویسی پویا بلمن و اصل حداکثر پونتریاگین است.

بنابراین، همراه با مشکل بهبود شاخص‌های مختلف کیفیت سیستم‌های کنترل خودکار، مشکل ساخت سیستم‌های بهینه که در آن ارزش فوق‌العاده یک یا آن شاخص کیفیت فنی و اقتصادی به دست می‌آید، ایجاد می‌شود.

توسعه و اجرای سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه به افزایش راندمان استفاده از واحدهای تولیدی، افزایش بهره وری نیروی کار، بهبود کیفیت محصول، صرفه جویی در انرژی، سوخت، مواد اولیه و غیره کمک می کند.

مفاهیمی در مورد وضعیت فاز و مسیر فاز یک جسم

در فناوری، وظیفه انتقال یک شی (فرآیند) کنترل شده از یک حالت به حالت دیگر اغلب مطرح می شود. به عنوان مثال هنگام تعیین اهداف، لازم است آنتن ایستگاه رادار از موقعیت اولیه با آزیموت اولیه به موقعیت مشخص شده با آزیموت چرخانده شود، برای این کار، ولتاژ کنترل از طریق یک موتور الکتریکی متصل به آنتن تامین می شود. گیربکس در هر لحظه از زمان، وضعیت آنتن با مقدار فعلی زاویه چرخش و سرعت زاویه ای مشخص می شود.این دو کمیت بسته به ولتاژ کنترل و. بنابراین، سه پارامتر به هم پیوسته و (شکل 11.1) وجود دارد.

کمیت هایی که وضعیت آنتن را مشخص می کنند، مختصات فاز و - کنش کنترل نامیده می شوند. هنگامی که هدف یک رادار مانند ایستگاه هدایت تفنگ را تعیین می کند، وظیفه چرخش آنتن در آزیموت و ارتفاع است. در این حالت چهار مختصات فاز شی و دو عمل کنترلی خواهیم داشت. برای یک هواپیمای پرنده، می‌توانیم شش مختصات فاز (سه مختصات فضایی و سه مولفه سرعت) و چندین عمل کنترلی (تراست موتور، مقادیر مشخص‌کننده موقعیت سکان‌ها) در نظر بگیریم.

برنج. 11.1. نمودار یک جسم با یک عمل کنترلی و دو مختصات فاز.

برنج. 11.2. نمودار شی با اقدامات کنترلی و مختصات فاز.

برنج. 11.3. نمودار یک شی با تصویر برداری از عمل کنترل و وضعیت فاز جسم

ارتفاع و جهت، ایلرون). در حالت کلی، در هر لحظه از زمان، وضعیت یک شی با مختصات فاز مشخص می شود و اقدامات کنترلی را می توان بر روی جسم اعمال کرد (شکل 11.2).

انتقال یک شیء کنترل شده (فرآیند) از یک حالت به حالت دیگر باید نه تنها به عنوان حرکت مکانیکی (به عنوان مثال، آنتن رادار، هواپیما)، بلکه به عنوان تغییر مورد نیاز در مقادیر مختلف فیزیکی: دما، فشار، رطوبت کابین درک شود. ترکیب شیمیایی یک ماده خام خاص با فرآیند تکنولوژیکی کنترل شده مناسب.

در نظر گرفتن اقدامات کنترلی به عنوان مختصات یک بردار خاص به نام بردار کنش کنترلی راحت است. مختصات فاز (متغیرهای حالت) یک جسم را می توان مختصات یک بردار یا نقطه در فضای بعدی با مختصات نیز در نظر گرفت.این نقطه را حالت فاز (بردار حالت) جسم و فضای -بعدی می نامند. که در آن حالت های فاز به صورت نقطه نشان داده می شوند، فضای فاز (فضای حالت) جسم مورد نظر نامیده می شود. هنگام استفاده از تصاویر برداری، شیء کنترل شده را می توان همانطور که در شکل نشان داده شده است به تصویر کشید. 11.3، که در آن و بردار عمل کنترل است و نقطه ای در فضای فاز را نشان می دهد که وضعیت فاز جسم را مشخص می کند. تحت تأثیر عمل کنترل، نقطه فاز حرکت می کند و خط خاصی را در فضای فاز توصیف می کند که به آن مسیر فاز حرکت در نظر گرفته شده جسم می گویند.

سیستم های کنترل اتوماتیک معمولا بر اساس الزامات برای اطمینان از شاخص های کیفیت خاص طراحی می شوند. در بسیاری از موارد افزایش لازم در دقت دینامیکی و بهبود فرآیندهای گذرا سیستم های اتوماتیک با کمک دستگاه های اصلاحی حاصل می شود.

فرصت‌های بسیار گسترده‌ای برای بهبود شاخص‌های کیفیت با معرفی یک سیستم خودکار کانال‌های جبران حلقه باز و اتصالات دیفرانسیل در مدار فراهم می‌شود که از یک یا آن شرایط تغییرناپذیری خطا با توجه به تأثیرات رانندگی یا مزاحم ترکیب شده‌اند. با این حال، تأثیر دستگاه‌های اصلاح، کانال‌های جبران باز و اتصالات دیفرانسیل معادل بر روی شاخص‌های کیفیت سیستم خودکار به سطح محدودیت سیگنال توسط عناصر غیرخطی سیستم بستگی دارد. سیگنال‌های خروجی دستگاه‌های متمایز، معمولاً کوتاه مدت و از نظر دامنه قابل توجه، توسط عناصر سیستم محدود می‌شوند و منجر به بهبود شاخص‌های کیفیت سیستم خودکار، به ویژه سرعت آن نمی‌شوند. بهترین نتایج در حل مشکل بهبود شاخص های کیفی سیستم های اتوماتیک در حضور محدودیت های سیگنال توسط به اصطلاح کنترل بهینه به دست می آید.

در معنای گسترده، کلمه "بهینه" به معنای بهترین به معنای برخی از معیارهای کارایی است. با این تعبیر، هر سیستم فنی و اقتصادی مبتنی بر علمی بهینه است، زیرا هنگام انتخاب یک سیستم، به این معناست که از برخی جهات بهتر از سایرین است. معیارهایی که بر اساس آن انتخاب انجام می شود (معیارهای بهینه بودن) ممکن است متفاوت باشد. این معیارها ممکن است کیفیت پویایی فرآیندهای کنترل، قابلیت اطمینان سیستم، مصرف انرژی، وزن و ابعاد آن، هزینه و غیره یا ترکیبی از این معیارها با برخی ضرایب وزنی باشد. در بسیاری از موارد افزایش لازم در دقت دینامیکی و بهبود فرآیندهای گذرا سیستم های کنترل خودکار با کمک دستگاه های اصلاحی حاصل می شود.

به ویژه فرصت های گسترده ای برای بهبود شاخص های کیفیت با معرفی کانال های جبران حلقه باز و اتصالات دیفرانسیل به سیستم های خودکار ارائه می شود که از یک یا آن شرایط تغییر ناپذیری خطا با توجه به اصلی یا تأثیرات مزاحم ترکیب شده اند. با این حال، تأثیر دستگاه‌های اصلاح، کانال‌های جبران باز و اتصالات دیفرانسیل معادل بر شاخص‌های عملکرد سیستم‌های خودکار به سطح محدودیت سیگنال توسط عناصر غیرخطی سیستم بستگی دارد. سیگنال‌های خروجی دستگاه‌های متمایز، معمولاً کوتاه مدت و از نظر دامنه قابل توجه، توسط عناصر سیستم محدود می‌شوند و منجر به بهبود شاخص‌های کیفیت سیستم خودکار، به ویژه سرعت آن نمی‌شوند. بهترین نتایج در حل مشکل افزایش شاخص های کیفی سیستم های اتوماتیک در صورت وجود محدودیت های سیگنال توسط به اصطلاح کنترل بهینه به دست می آید.

مشکل سنتز سیستم های بهینه نسبتاً اخیراً، زمانی که مفهوم معیار بهینه تعریف شد، به طور دقیق فرموله شد. بسته به هدف کنترل، شاخص های فنی یا اقتصادی مختلفی از فرآیند کنترل شده را می توان به عنوان معیار بهینه انتخاب کرد. در سیستم های اتوماتیک بهینه، نه تنها افزایش جزئی در یک یا آن شاخص کیفیت فنی و اقتصادی، بلکه دستیابی به حداقل یا حداکثر مقدار ممکن آن تضمین می شود.

مدیریت بهینه مدیریتی است که با توجه به شاخص های خاصی به بهترین نحو انجام شود. سیستم هایی که کنترل بهینه را اجرا می کنند بهینه نامیده می شوند. سازماندهی کنترل بهینه بر اساس شناسایی و پیاده سازی حداکثر قابلیت های سیستم ها است.

هنگام توسعه سیستم‌های کنترل بهینه، یکی از مهم‌ترین مراحل، تدوین معیار بهینه‌سازی است که به عنوان شاخص اصلی که مسئله بهینه‌سازی را تعریف می‌کند، درک می‌شود. با این معیار است که یک سیستم بهینه باید در بهترین حالت خود عمل کند.

معیارهای بهینه شامل شاخص های فنی و فنی-اقتصادی مختلفی است که بیانگر منافع فنی و اقتصادی یا برعکس زیان است. با توجه به الزامات متناقض برای سیستم های کنترل خودکار، انتخاب یک معیار بهینه معمولا به یک مسئله پیچیده با یک راه حل مبهم تبدیل می شود. به عنوان مثال، بهینه سازی یک سیستم خودکار بر اساس معیارهای قابلیت اطمینان ممکن است منجر به افزایش هزینه سیستم و پیچیدگی آن شود. از سوی دیگر، ساده سازی سیستم باعث کاهش تعدادی از شاخص های دیگر آن می شود. علاوه بر این، هر راه حل بهینه ای که به صورت تئوری سنتز شده است را نمی توان در عمل بر اساس سطح به دست آمده از فناوری پیاده سازی کرد.

تئوری کنترل خودکار از عملکردهایی استفاده می کند که شاخص های کیفیت فردی را مشخص می کند. بنابراین، اغلب، سیستم های خودکار بهینه با توجه به یک معیار اصلی به عنوان بهینه سنتز می شوند و شاخص های باقی مانده که کیفیت عملکرد سیستم خودکار را تعیین می کنند به محدوده مقادیر قابل قبول محدود می شوند. این کار یافتن راه‌حل‌های بهینه را در هنگام توسعه سیستم‌های بهینه ساده‌تر و خاص‌تر می‌کند.

در عین حال، کار انتخاب گزینه های سیستم رقیب پیچیده تر می شود، زیرا آنها بر اساس معیارهای مختلف مقایسه می شوند و ارزیابی سیستم پاسخ روشنی ندارد. در واقع، بدون تجزیه و تحلیل کامل بسیاری از عوامل متناقض و اغلب غیر رسمی، پاسخ به این سوال دشوار است که مثلاً کدام سیستم بهتر است: قابل اعتمادتر یا ارزان تر؟

اگر معیار بهینه بیانگر تلفات فنی و اقتصادی (خطاهای سیستم خودکار، زمان انتقال، مصرف انرژی، بودجه، هزینه و غیره) باشد، بهینه آن عبارت است از: کنترلی که حداقل معیار بهینه را فراهم می کند. اگر بیانگر سودآوری باشد (کارایی، بهره وری، سود،
برد پرواز موشک و غیره)، سپس کنترل بهینه باید حداکثر معیار بهینه را ارائه دهد.

وظیفه تعیین سیستم خودکار بهینه، به ویژه ترکیب پارامترهای بهینه سیستم خودکار زمانی که یک ورودی فرمان و تداخل، که سیگنال‌های تصادفی ثابت هستند، در ورودی آن دریافت می‌شود؛ ریشه میانگین مقدار مربع خطا گرفته می‌شود. به عنوان یک معیار بهینه شرایط افزایش دقت بازتولید سیگنال مفید (تعیین تأثیر) و سرکوب تداخل متناقض است و بنابراین وظیفه انتخاب چنین پارامترهای سیستمی (بهینه) است که در آن خطای ریشه میانگین مربع کوچکترین مقدار را می گیرد.

در فرآیند کلی طراحی سیستم های فنی دو نوع مشکل قابل مشاهده است.
1 طراحی یک سیستم کنترل با هدف دستیابی به کار (تشکیل مسیرها، حالت ها، انتخاب روش های کنترلی که مسیرها را اجرا می کنند و غیره). این طیف از وظایف را می توان طراحی حرکت نامید.
2 طراحی طرح های ساختاری و مقاومتی (انتخاب پارامترهای هندسی، آیرودینامیکی، سازه ای و سایر پارامترها) که از اجرای مشخصات کلی و حالت های عملیاتی خاص اطمینان حاصل می کند. این طیف از وظایف طراحی با انتخاب منابع لازم برای اجرای وظایف محول شده همراه است.

طراحی حرکات (تغییر پارامترهای تکنولوژیکی) ارتباط نزدیکی با گروه مشکلات نوع دوم دارد، زیرا اطلاعات به دست آمده در هنگام طراحی حرکات اولین (عمدتا تعیین کننده) برای حل این مشکلات است. اما حتی در مواردی که یک سیستم فنی آماده وجود دارد (یعنی منابع موجود مشخص می شود)، می توان تکنیک های بهینه سازی را در فرآیند اصلاح آن پیاده سازی کرد.

مسائل نوع اول در حال حاضر به طور مؤثر و دقیق بر اساس روش های کلی نظریه ریاضی فرآیندهای کنترل بهینه حل می شوند. اهمیت تئوری ریاضی فرآیندهای کنترل بهینه در این واقعیت نهفته است که یک روش واحد برای حل طیف بسیار گسترده ای از مسائل طراحی و کنترل بهینه ارائه می دهد، اینرسی و عدم عمومیت روش های خصوصی قبلی را حذف می کند و به نتایج ارزشمند کمک می کند. روش های به دست آمده در زمینه های مرتبط

تئوری فرآیندهای بهینه حل طیف گسترده ای از مسائل عملی را در یک فرمول نسبتاً کلی با در نظر گرفتن اکثر محدودیت های فنی تحمیل شده بر امکان سنجی فرآیندهای تکنولوژیکی ممکن می سازد. نقش روش های تئوری فرآیندهای بهینه به ویژه در سال های اخیر به دلیل ورود گسترده رایانه ها به فرآیند طراحی افزایش یافته است.

بنابراین، همراه با مشکل بهبود شاخص‌های مختلف کیفیت یک سیستم خودکار، مشکل ساخت سیستم‌های خودکار بهینه که در آن ارزش فوق‌العاده یک یا آن شاخص کیفیت فنی و اقتصادی به دست می‌آید، ایجاد می‌شود.

سیستم های بهینه طبقه بندی می شوندبا توجه به معیارهای مختلف بیایید به برخی از آنها توجه کنیم.
بسته به معیار بهینه اجرا شده، موارد زیر متمایز می شوند:
1) سیستم هایی که از نظر عملکرد بهینه هستند. آنها معیار حداقل زمان فرآیندهای گذرا را اجرا می کنند.
2) سیستم هایی که از نظر دقت بهینه هستند. آنها با توجه به معیار حداقل انحراف متغیرها در طول فرآیندهای گذرا یا با توجه به معیار حداقل خطای ریشه-میانگین مربع تشکیل می شوند.
3) سیستم های بهینه از نظر مصرف سوخت، انرژی و غیره با اجرای معیار حداقل مصرف.
4) سیستم هایی که تحت شرایط بی تغییری بهینه هستند. آنها بر اساس معیار مستقل بودن متغیرهای خروجی از اغتشاشات خارجی یا سایر متغیرها سنتز می شوند.
5) سیستم های اکسترمال بهینه که معیار حداقل انحراف شاخص کیفیت از مقدار شدید آن را تعیین می کند.

بسته به ویژگی های اشیا، سیستم های بهینه به موارد زیر تقسیم می شوند:
1) سیستم های خطی؛
2) سیستم های غیر خطی.
3) سیستم های پیوسته؛
4) سیستم های گسسته؛
5) سیستم های افزودنی؛
6) سیستم های پارامتریک.

این نشانه ها به جز دو مورد آخر نیازی به توضیح ندارند. در سیستم‌های افزایشی، ضربه‌هایی که روی یک جسم وارد می‌شود، ویژگی‌های آن را تغییر نمی‌دهد. اگر تأثیرات ضرایب معادلات جسم را تغییر دهند، چنین سیستم هایی پارامتری نامیده می شوند.

بسته به نوع معیار بهینه، سیستم های بهینه به موارد زیر تقسیم می شوند:
1) بهینه یکنواخت، که در آن هر فرآیند فردی به طور بهینه پیش می رود.
2) از نظر آماری بهینه، اجرای یک معیار بهینگی که ماهیت آماری دارد به دلیل تأثیرات تصادفی بر روی سیستم. در این سیستم ها، بهترین رفتار نه در هر فرآیند، بلکه تنها در چند فرآیند به دست می آید. می توان گفت که سیستم های بهینه آماری بهینه متوسط هستند.
3) حداقل حداکثر بهینه، که از شرایط یک معیار حداقلی که بهترین بدترین نتیجه را در مقایسه با بدترین نتیجه مشابه در هر سیستم خودکار دیگری ارائه می دهد، سنتز می شوند.

بر اساس درجه کامل بودن اطلاعات در مورد یک شی، سیستم های بهینه به سیستم هایی با اطلاعات کامل و ناقص تقسیم می شوند. اطلاعات مربوط به یک شی شامل اطلاعات زیر است:
1) در مورد رابطه بین مقادیر ورودی و خروجی شی.
2) در مورد وضعیت شی;
3) در مورد تأثیر محرک که حالت عملکرد مورد نیاز سیستم را تعیین می کند.
4) در مورد هدف مدیریت عملکردی بیانگر معیار بهینه بودن.
5) در مورد ماهیت اختلال.

اطلاعات در مورد یک شی در واقع همیشه ناقص است، اما در بسیاری از موارد این تاثیر قابل توجهی بر عملکرد سیستم با توجه به معیار بهینه انتخاب شده ندارد. در برخی موارد، ناقص بودن اطلاعات به قدری قابل توجه است که در حل مسائل کنترلی بهینه، استفاده از روش های آماری مورد نیاز است.

بسته به کامل بودن اطلاعات از شی کنترل، معیار بهینه را می توان "سخت" (با اطلاعات به اندازه کافی کامل) یا "تطبیقی" انتخاب کرد، یعنی تغییر در هنگام تغییر اطلاعات. بر اساس این معیار، سیستم های بهینه به سیستم های با تنظیم صلب و تطبیقی تقسیم می شوند. سیستم های تطبیقی شامل سیستم های افراطی، خودتنظیمی و یادگیری است. این سیستم ها به طور کامل نیازهای مدرن برای سیستم های کنترل بهینه را برآورده می کنند.

راه حل مشکل سنتز یک سیستم بهینه، توسعه یک سیستم کنترلی است که الزامات مشخص شده را برآورده کند، به عنوان مثال، ایجاد سیستمی که معیار بهینه انتخاب شده را پیاده سازی کند. بسته به مقدار اطلاعات در مورد ساختار سیستم کنترل خودکار، مسئله سنتز در یکی از دو فرمول زیر مطرح می شود.

فرمول اول مواردی را پوشش می دهد که ساختار سیستم خودکار شناخته شده است. چنین. در مواردی، شی و کنترلر را می توان با توابع انتقال مربوطه توصیف کرد و مشکل سنتز به تعیین مقادیر بهینه پارامترهای عددی همه عناصر سیستم کاهش می یابد، یعنی آن پارامترهایی که اجرای آن را تضمین می کنند. معیار بهینه انتخاب شده

در فرمول دوم، مسئله سنتز با ساختاری ناشناخته از سیستم مطرح شده است. در این صورت لازم است چنین ساختاری و پارامترهای سیستمی تعیین شود که سیستمی را با توجه به معیار کیفی پذیرفته شده بهینه ارائه دهد. در عمل مهندسی، مشکل سنتز در این فرمولاسیون نادر است. اغلب، شی کنترل یا به عنوان یک دستگاه فیزیکی مشخص می شود یا به صورت ریاضی توصیف می شود، و مسئله سنتز به سنتز یک کنترل کننده بهینه کاهش می یابد. باید تاکید کرد که در این مورد، یک رویکرد سیستماتیک برای سنتز یک سیستم کنترل بهینه ضروری است. ماهیت این رویکرد این است که هنگام سنتز یک کنترل کننده، کل سیستم (کنترل کننده و شی) به عنوان یک کل واحد در نظر گرفته می شود.

در مرحله اولیه سنتز یک کنترل کننده بهینه، کار به طراحی تحلیلی آن می رسد، یعنی تعیین توصیف ریاضی آن. در این حالت، همان مدل ریاضی کنترلر را می توان توسط دستگاه های فیزیکی مختلف پیاده سازی کرد. انتخاب یک پیاده سازی فیزیکی خاص از یک کنترل کننده تعیین شده تحلیلی با در نظر گرفتن شرایط عملیاتی یک سیستم کنترل خودکار خاص انجام می شود. بنابراین، مشکل سنتز یک کنترل کننده بهینه مبهم است و به روش های مختلف قابل حل است.

هنگام سنتز یک سیستم کنترل بهینه، ایجاد مدلی از شی که تا حد امکان برای شی واقعی مناسب باشد بسیار مهم است. در تئوری کنترل، مانند سایر رشته های علوم مدرن، انواع اصلی مدل های شیء، مدل های ریاضی معادلات استاتیک و دینامیک اجسام هستند.

هنگام حل مسائل مربوط به سنتز یک سیستم بهینه، یک مدل ریاضی یکپارچه از اشیاء کنترل معمولاً مدلی در قالب معادلات حالت است. وضعیت سیستم کنترل خودکار در هر لحظه از زمان به عنوان حداقل مجموعه ای از متغیرها (متغیرهای حالت) که شامل می شود درک می شود. مقدار اطلاعات کافی برای تعیین مختصات سیستم در وضعیت فعلی و آینده سیستم. معادلات اولیه جسم معمولاً غیرخطی هستند. برای تقلیل آنها به شکل معادلات حالت، از روش های تبدیل خطی معادلات اصلی به طور گسترده استفاده می شود.

بیان مسائل اصلی کنترل بهینهدر قالب یک برنامه زمانی برای یک سیستم اتوماتیک با معیار بهینگی و شرایط مرزی به صورت زیر فرموله شده است.

از بین تمام کنترل های برنامه u = u(t) و پارامترهای کنترلی قابل قبول در قسمتی که نقطه (t0, x0) را به نقطه (t1, x1) منتقل می کند، مواردی را پیدا کنید که برای حل های سیستم معادلات عملکردی دارند. با شرایط بهینه تحقق، کوچکترین (بزرگترین) مقدار را خواهد گرفت.

کنترل u(t) که این مشکل را حل می کند، کنترل بهینه (برنامه) و بردار a را پارامتر بهینه می نامند. اگر جفت (u*(t)، a*) حداقل مطلق را به I عملکردی در راه حل های سیستم تحویل دهد، آنگاه رابطه

مشکل اصلی کنترل مختصات بهینه در نظریه فرآیندهای بهینه به عنوان مسئله سنتز قانون کنترل بهینه و در برخی مسائل به عنوان مسئله قانون بهینه رفتار شناخته می شود.

مسئله سنتز یک قانون کنترل بهینه برای یک سیستم با معیار و شرایط مرزی، که برای سادگی فرض می شود که توابع f0، f، h، g به بردار a وابسته نیستند، به صورت زیر فرموله می شود.

در میان تمام قوانین کنترل قابل قبول v(x, t)، یکی را بیابید که برای هر شرایط اولیه (t0، x0) هنگام جایگزینی این قانون، انتقال مشخص شده انجام شود و معیار کیفیت I[u] کوچکترین (بزرگترین) را بگیرد. راه حل.

مسیر سیستم خودکار مربوط به کنترل بهینه u*(t) یا قانون بهینه v*(x,t) را مسیر بهینه می نامند. مجموعه مسیرهای بهینه x*(t) و کنترل بهینه u*(t) یک فرآیند کنترل شده بهینه را تشکیل می دهد (x*(t)، u*(t)).

از آنجایی که قانون کنترل بهینه v*(x, t) شکل یک قانون کنترل بازخورد دارد، برای هر مقدار از شرایط اولیه (t0, x0) و هر مختصات x بهینه باقی می ماند. برخلاف قانون v*(x,t)، کنترل بهینه برنامه u*(t) تنها برای شرایط اولیه ای که برای آن محاسبه شده است، بهینه است. زمانی که شرایط اولیه تغییر کند، تابع u*(t) نیز تغییر خواهد کرد. این یک تفاوت مهم، از نقطه نظر اجرای عملی یک سیستم کنترل خودکار، بین قانون کنترل بهینه v*(x, t) و کنترل بهینه برنامه u*(t)، از زمان انتخاب شرایط اولیه است. در عمل هرگز نمی توان کاملاً دقیق ساخت.

هر بخش از مسیر بهینه (کنترل بهینه) نیز به نوبه خود یک مسیر بهینه (کنترل بهینه) است. این ویژگی به صورت ریاضی به صورت زیر فرموله شده است.

اجازه دهید u*(t)، t0< t < t1, – оптимальное управление для выбранного функционала I[u], соответствующее переходу из состояния (t0, x0) в состояние (t1, x1) по оптимальной траектории x*(t). Числа (t0, t1) и вектор x0 – фиксированные, а вектор x1 , вообще говоря, свободен. На оптимальной траектории x*(t) выбираются точки x*(t0) и x*(t1), соответствующие моментам времени t = t0, t = t1. Тогда управление u*(t) на отрезке является оптимальным, соответствующим переходу из состояния x*(t0) в состояние x*(t1), а дуга является оптимальной траекторией

بنابراین، اگر حالت اولیه سیستم x*(t0) و لحظه اولیه زمان t = t0 باشد، صرف نظر از اینکه سیستم چگونه به این حالت رسیده است، حرکت بعدی بهینه آن، قوس مسیر x*( t)، t0< t < t1, являющейся частью оптимальной траектории между точками(t0, x0) и (t1, x1). Это условие является необходимым и достаточным свойством оптимальности процесса и служит основой динамического программирования.

توضیحات ریاضیوظیفه انتقال یک شیء کنترلی (فرآیند) از یک حالت به حالت دیگر با n مختصات فاز x1، x2، x3، مشخص می شود. . . xn. در این مورد، اقدامات کنترلی r u1، u2، u3 را می توان به شیء کنترل خودکار اعمال کرد. . . ug.

کنترل اقدامات u1(t)، u2(t)، u3(t)، . . . راحت است که uг(t) را به عنوان مختصات یک بردار خاص u = (u1, u2, u3, ... uг) در نظر بگیریم که بردار کنش کنترلی نامیده می شود. مختصات فاز (متغیرهای حالت) شیء کنترلی x1, x2, x3, . . . xn را می توان مختصات یک بردار یا نقطه با مختصات x = (x1، x2، x3، ... xn) در فضای حالت n بعدی در نظر گرفت. این نقطه حالت فاز جسم نامیده می شود و فضای n بعدی که حالت های فاز به صورت نقاط در آن ترسیم می شود، فضای فاز (فضای حالت) جسم مورد نظر نامیده می شود. هنگام استفاده از تصاویر برداری، شیء کنترل شده را می توان همانطور که در شکل نشان داده شده است به تصویر کشید. تحت تأثیر عمل کنترلی u (u1، u2، u3، ... uг)، نقطه فاز x (x1، x2، x3، ... xn) حرکت می کند و خط خاصی را در فضای فاز توصیف می کند، به نام مسیر فاز حرکت در نظر گرفته شده از شی کنترل.

دانستن عمل کنترل u(t) = u1(t)، u2(t)، u3(t)، . . . uг(t)، در صورت وجود اغتشاش، می توان به طور واضح حرکت شی کنترل را در t>t0 تعیین کرد، اگر حالت اولیه آن در t = t0 مشخص باشد. اگر کنترل u(t) را تغییر دهید، آنگاه نقطه در امتداد مسیر متفاوتی حرکت می‌کند، یعنی برای کنترل‌های مختلف، ما مسیرهای متفاوتی را دریافت می‌کنیم که از یک نقطه سرچشمه می‌گیرند. بنابراین، انتقال یک جسم از حالت فاز اولیه H به حالت نهایی xK می تواند در طول مسیرهای فاز مختلف بسته به کنترل انجام شود. در میان بسیاری از مسیرها، بهترین به معنای خاصی وجود دارد، یعنی مسیر بهینه. به عنوان مثال، اگر وظیفه به حداقل رساندن مصرف سوخت در طول فاصله حرکت لوکوموتیو باشد، باید از این منظر به انتخاب کنترل و مسیر مربوطه پرداخت. مصرف سوخت خاص g به نیروی رانش توسعه یافته عمل کنترلی u(t)، یعنی g (t) بستگی دارد. معیار بهینه بودن معمولاً در قالب برخی از عملکردها ارائه می شود.

مشکل سنتز سیستم های خودکار بهینه به طور دقیق به تازگی فرموله شده است، زمانی که تعریف مفهوم معیار بهینه ارائه شد. بسته به هدف کنترل، شاخص های فنی یا اقتصادی مختلفی از فرآیند کنترل شده را می توان به عنوان معیار بهینه انتخاب کرد. در سیستم های بهینه، نه تنها افزایش جزئی در یک یا آن شاخص کیفیت فنی و اقتصادی، بلکه دستیابی به حداقل یا حداکثر مقدار ممکن آن تضمین می شود.

یک گام مهم در تدوین و حل مسئله کنترل کلی، انتخاب معیار بهینه است. این انتخاب یک عمل غیررسمی است، نمی توان آن را توسط هیچ نظریه ای تجویز کرد، بلکه کاملاً توسط محتوای کار تعیین می شود. در برخی موارد، بیان رسمی درک بهینه بودن یک سیستم، چندین فرمول معادل (یا تقریباً معادل) را امکان پذیر می کند.

اگر معیار بهینه بیانگر زیان های فنی و اقتصادی (خطاهای سیستم، زمان فرآیند انتقال، مصرف انرژی، پول، هزینه و غیره) باشد، کنترل بهینه به صورت زیر خواهد بود: کنترلی که حداقل معیار بهینه را فراهم می کند. اگر بیانگر سودآوری باشد (کارایی، بهره وری، سود، برد موشک و غیره)، کنترل بهینه باید حداکثر معیار بهینه را ارائه دهد.

در چنین مواردی، موفقیت و سادگی راه حل حاصل تا حد زیادی توسط شکل انتخابی معیار بهینه تعیین می شود (به شرطی که در همه موارد به اندازه کافی الزامات مسئله را برای سیستم تعریف کند). پس از ساخت مدل ریاضی فرآیند کنترل، تحقیقات بیشتر و بهینه سازی آن با استفاده از روش های ریاضی انجام می شود. رفتار یا وضعیت بهینه سیستم خودکار زمانی تضمین می‌شود که تابعی به حداکثر یا حداکثری خود I = extg بسته به معنای فیزیکی متغیرها برسد.

در عمل توسعه و تحقیق سیستم‌های پویا، اغلب دو وظیفه با آن مواجه می‌شوند:
1) سنتز سیستمی که از نظر عملکرد بهینه است.
2) سنتز سیستمی که از نظر دقت بهینه است.

در حالت اول، لازم است از حداقل زمان فرآیند گذرا اطمینان حاصل شود، در مورد دوم، حداقل خطای ریشه میانگین مربع (انحراف مختصات Dyi (t) از مقدار مشخص شده) در حد مشخص یا تصادفی ضروری است. تاثیر می گذارد.

در این حالت تابعی را می‌توان تابعی تعریف کرد که آرگومان‌های آن با معیارهای بهینگی مرتبط بوده و خود تابعی از متغیرها هستند. کل مصرف سوخت مورد علاقه ما، شاخص اصلی در این مورد از کیفیت سیستم های کنترل حرکت لوکوموتیو، توسط عملکرد یکپارچه تعیین می شود.

عملکرد یکپارچه مشخص کننده شاخص اصلی کیفیت سیستم اتوماتیک (در مثال مورد بررسی، مصرف سوخت) معیار بهینه نامیده می شود. هر کنترل u(t)، و در نتیجه مسیر حرکت لوکوموتیو، مقدار عددی خود را از معیار بهینگی دارد. مشکل انتخاب چنین کنترلی u(t) و مسیر حرکت x(t)، که در آن حداقل مقدار معیار بهینه به دست می آید، به وجود می آید.

معمولاً از معیارهای بهینه استفاده می شود که ارزش آن نه با وضعیت فعلی جسم (در مثال مورد بررسی، مصرف سوخت خاص)، بلکه با تغییر آن در طول کل فرآیند کنترل تعیین می شود. بنابراین، برای تعیین معیار بهینه، لازم است، مانند مثال داده شده، تابعی ادغام شود که مقدار آن در حالت کلی به مقادیر فعلی مختصات فاز x شی و کنترل u بستگی دارد. ، تأثیر، یعنی چنین معیار بهینه ای تابعی جدایی ناپذیر از فرم است

در مواردی که مختصات فاز یک جسم نشان دهنده توابع تصادفی ثابت است، معیار بهینه بودن یک تابع انتگرال نه در حوزه زمان، بلکه در حوزه فرکانس است. چنین معیارهای بهینه در هنگام حل مشکل بهینه سازی سیستم ها برای به حداقل رساندن واریانس خطا استفاده می شود. در ساده ترین موارد، معیار بهینه بودن ممکن است یک تابع انتگرال نباشد، بلکه صرفاً یک تابع باشد.

تئوری کنترل خودکار از معیارهای بهینه حداقلی استفاده می کند که شرایط را برای بهترین عملکرد سیستم در بدترین شرایط ممکن مشخص می کند. نمونه ای از استفاده از معیار حداقل می تواند انتخاب، بر اساس آن، گونه ای از یک سیستم کنترل خودکار باشد که دارای حداقل مقدار حداکثر بیش از حد است. هر معیار بهینه سازی در صورت وجود محدودیت های اعمال شده بر متغیرها و شاخص های کیفیت مدیریت اجرا می شود. در سیستم های کنترل اتوماتیک، محدودیت های اعمال شده بر مختصات کنترل را می توان به طبیعی و مشروط تقسیم کرد.

در بسیاری از موارد، الزامات متناقضی بر روی سیستم اتوماتیک اعمال می شود (به عنوان مثال، الزامات حداقل مصرف سوخت و حداکثر سرعت قطار). هنگام انتخاب کنترلی که یک نیاز (معیار حداقل مصرف سوخت) را برآورده می کند، سایر الزامات (حداکثر سرعت) برآورده نمی شود. بنابراین از بین همه الزامات انتخاب یکی اصلی است که باید به بهترین نحو رعایت شود و سایر الزامات در قالب محدودیت در مقادیر آنها لحاظ می شود. به عنوان مثال، هنگام برآوردن حداقل نیاز مصرف سوخت، حداقل سرعت سفر محدود می شود. اگر چندین شاخص کیفیت برابر وجود داشته باشد که نمی توان آنها را در یک نشانگر ترکیبی مشترک ترکیب کرد، انتخاب کنترل های بهینه مربوط به این شاخص ها به طور جداگانه و در عین حال محدود کردن بقیه گزینه های راه حلی را ارائه می دهد که می تواند (در طول طراحی) در انتخاب گزینه سازش بهینه کمک کند.

هنگام انتخاب یک اقدام کنترلی u، باید در نظر داشت که نمی تواند مقادیر دلخواه را بگیرد، زیرا محدودیت های واقعی بر روی آن اعمال می شود که توسط شرایط فنی تعیین می شود. به عنوان مثال، مقدار ولتاژ کنترلی که به موتور الکتریکی عرضه می‌شود، با مقدار حدی آن که توسط شرایط عملکرد موتور الکتریکی تعیین می‌شود، محدود می‌شود.

اگر شی قابل کنترل باشد، یعنی حداقل یک کنترل قابل قبول وجود داشته باشد که شی را از حالت اولیه به حالت نهایی مشخص شده انتقال دهد، می توان به کنترل بهینه دست یافت. شرط به حداقل رساندن معیار بهینگی را می توان به طور رسمی با الزام به حداقل رساندن مقدار نهایی یکی از مختصات شی کنترل جایگزین کرد.

اگر شرایط مرزی در یک مسئله کنترل بهینه با نقاط ابتدایی و پایانی مسیر مشخص شود، در این صورت با انتهای ثابت مشکل داریم، در صورتی که یک یا هر دو شرط مرزی نه با یک نقطه، بلکه توسط یک محدود مشخص شود. منطقه، یا اصلا مشخص نشده است. سپس ما با انتهای آزاد یا یک انتهای آزاد مشکل داریم. مثالی از مشکل با یک انتهای آزاد، مشکل حذف یک انحراف در یک سیستم کنترل خودکار ناشی از تغییر ناگهانی در یک مرجع یا تأثیر مزاحم است.

یک مورد خاص مهم از کنترل بهینه مشکل عملکرد بهینه است. در میان تمام کنترل‌های مجاز u(t)، که تحت تأثیر آن شیء کنترلی از حالت فاز اولیه xH به حالت نهایی xK می‌گذرد، یکی را پیدا کنید که این انتقال در کوتاه‌ترین زمان برای آن انجام شود.

تئوری فرآیندهای بهینه اساس یک روش یکپارچه برای طراحی حرکات بهینه، سیستم های فنی، اقتصادی و اطلاعاتی است. در نتیجه به کارگیری روش های تئوری فرآیندهای بهینه در مسائل طراحی سیستم های مختلف می توان موارد زیر را به دست آورد:
1) برنامه های زمانی بهینه برای تغییر اقدامات کنترلی با توجه به یک یا دیگر معیارها و مقادیر بهینه پارامترهای کنترل ثابت (طراحی، تنظیم) با در نظر گرفتن انواع محدودیت ها در مقادیر آنها.
2) مسیرها، حالت های بهینه، با در نظر گرفتن محدودیت در منطقه محل آنها.
3) قوانین کنترل بهینه در قالب بازخورد که ساختار حلقه سیستم کنترل را تعیین می کند (راه حل مسئله سنتز کنترل).
4) مقادیر حدی برای تعدادی از ویژگی ها یا سایر معیارهای کیفیت، که سپس می تواند به عنوان یک استاندارد برای مقایسه با سیستم های دیگر استفاده شود.
5) حل مسائل ارزش مرزی رسیدن از یک نقطه از فضای فاز به نقطه دیگر، به ویژه مشکل ورود به یک منطقه مشخص.
6) استراتژی های بهینه برای ورود به یک منطقه متحرک خاص.

روش های حل مسائل کنترلی بهینهعمدتاً با یافتن مکرر فرآیند در حالی که عملکرد کنترل را تغییر می‌دهند، به روش جستجوی مستقیم کاهش می‌یابند.

پیچیدگی مسائل تئوری کنترل بهینه نیاز به پایه ریاضی وسیع تری برای ساخت آن داشت. این نظریه از حساب تغییرات، نظریه معادلات دیفرانسیل و نظریه های ماتریس استفاده می کند. توسعه کنترل بهینه بر این اساس منجر به تجدید نظر در بسیاری از بخش های تئوری کنترل خودکار شد و به همین دلیل نظریه کنترل بهینه گاهی اوقات نظریه کنترل مدرن نامیده می شود. اگرچه این اغراق در نقش تنها یکی از بخش ها است، توسعه نظریه کنترل خودکار در دهه های اخیر عمدتاً با توسعه این بخش تعیین شده است.

تا به امروز، یک نظریه ریاضی کنترل بهینه ساخته شده است. بر اساس آن، روش‌هایی برای ساخت سیستم‌هایی که از نظر سرعت و روش‌های بهینه برای طراحی تحلیلی تنظیم‌کننده‌های بهینه هستند، توسعه یافته‌اند. طراحی تحلیلی کنترلرها به همراه تئوری ناظران بهینه (فیلترهای بهینه) مجموعه ای از روش ها را تشکیل می دهند که به طور گسترده در طراحی سیستم های کنترل پیچیده مدرن استفاده می شود.

اطلاعات اولیه برای حل مسائل کنترل بهینه در بیان مسئله موجود است. وظیفه مدیریت را می توان به صورت معنادار (غیررسمی) فرموله کرد که اغلب تا حدودی مبهم هستند. برای به کارگیری روش های ریاضی، فرمول بندی واضح و دقیق مسائل مورد نیاز است که عدم قطعیت ها و ابهامات احتمالی را از بین می برد و در عین حال مسئله را از نظر ریاضی درست می کند. برای این منظور، مسئله کلی نیاز به یک فرمول ریاضی کافی دارد که مدل ریاضی مسئله بهینه سازی نامیده می شود.

یک مدل ریاضی یک توصیف ریاضی نسبتاً کامل از یک سیستم پویا و فرآیند کنترل در درجه تقریبی و جزئیات انتخاب شده است. یک مدل ریاضی مسئله اصلی را در یک طرح ریاضی خاص و در نهایت در یک سیستم اعداد مشخص ترسیم می کند. از یک سو، به وضوح تمام اطلاعاتی را نشان می دهد (فهرست) منعکس کننده یک نیاز خاص برای ویژگی های آن است.

یک مدل ریاضی کامل از مسئله بهینه سازی کنترل عمومی شامل تعدادی مدل جزئی است:
فرآیند حرکت کنترل شده؛
منابع موجود و محدودیت های فنی؛
شاخص کیفیت فرآیند مدیریت؛
تاثیرات کنترل

بنابراین، یک مدل ریاضی یک مسئله کنترل عمومی با مجموعه ای از روابط ریاضی معین بین عناصر آن (معادلات دیفرانسیل، محدودیت هایی مانند برابری ها و نابرابری ها، توابع کیفیت، شرایط اولیه و مرزی و غیره) مشخص می شود. در تئوری کنترل بهینه، شرایط کلی ایجاد می شود که عناصر مدل ریاضی باید برآورده شوند تا مسئله بهینه سازی ریاضی مربوطه به صورت زیر باشد:
به وضوح تعریف شده است
منطقی است، یعنی شامل شرایطی نخواهد بود که منجر به عدم وجود راه حل شود.

توجه داشته باشید که فرمول مسائل و مدل ریاضی آن در طول فرآیند تحقیق بدون تغییر نمی ماند، بلکه با یکدیگر تعامل دارند. به طور معمول، فرمول اولیه و مدل ریاضی آن در پایان مطالعه دستخوش تغییرات قابل توجهی می شود. بنابراین، ساخت یک مدل ریاضی کافی شبیه یک فرآیند تکراری است که در طی آن هم فرمول‌بندی خود مسئله کلی و هم فرمول‌بندی مدل ریاضی روشن می‌شود. مهم است که تأکید شود که برای همان مسئله، مدل ریاضی ممکن است منحصر به فرد نباشد (سیستم های مختصات مختلف و غیره). بنابراین، لازم است به دنبال گونه‌ای از مدل ریاضی بگردیم که حل و تحلیل مسئله برای آن ساده‌ترین باشد.

روش های ریاضی زیر به طور گسترده در تئوری کنترل بهینه استفاده می شود:
- برنامه نویسی پویا
- اصل حداکثر؛
- حساب تغییرات؛
- برنامه نویسی ریاضی

هر یک از روش های ذکر شده ویژگی های خاص خود را دارد و در نتیجه حوزه کاربرد خود را دارد.

روش برنامه نویسی پویا پتانسیل بالایی دارد. با این حال، برای سیستم های مرتبه بالا (بالاتر از چهارم) استفاده از روش بسیار دشوار است. با چندین متغیر کنترلی، اجرای روش برنامه نویسی پویا بر روی یک کامپیوتر به مقدار زیادی حافظه نیاز دارد که گاهی اوقات فراتر از قابلیت های ماشین های مدرن است.

اصل حداکثر، در نظر گرفتن محدودیت‌های اعمال کنترل اعمال شده بر شی کنترل را نسبتاً آسان می‌کند. این روش در سنتز سیستم هایی که از نظر عملکرد بهینه هستند مؤثرتر است. با این حال، اجرای روش حتی با استفاده از یک کامپیوتر به طور قابل توجهی دشوار است.

حساب تغییرات در غیاب محدودیت در متغیرهای حالت و متغیرهای کنترل استفاده می شود. به دست آوردن یک راه حل عددی بر اساس روش های حساب تغییرات دشوار است. این روش، به عنوان یک قاعده، برای برخی موارد بسیار ساده استفاده می شود.

روش های برنامه ریزی ریاضی (خطی، غیرخطی و غیره) به طور گسترده ای برای حل مسائل کنترلی بهینه در سیستم های خودکار و خودکار استفاده می شود. ایده کلی روش‌ها یافتن حداکثر یک تابع در فضای بسیاری از متغیرها تحت محدودیت در قالب سیستمی از برابری‌ها و نابرابری‌ها است. روش‌ها یافتن راه‌حل‌های عددی برای طیف وسیعی از مسائل کنترل بهینه را ممکن می‌سازند. مزایای روش های برنامه ریزی ریاضی توانایی در نظر گرفتن نسبتاً آسان محدودیت ها در کنترل ها و متغیرهای حالت و همچنین الزامات حافظه به طور کلی قابل قبول است.

روش برنامه نویسی دینامیکی بلمن بر اساس حل مسائل تغییرات بر اساس اصل است - مقطع مسیر بهینه از هر نقطه میانی تا نقطه پایانی نیز مسیر بهینه بین این نقاط است.

ماهیت روش برنامه نویسی پویا را با استفاده از مثال زیر توضیح خواهیم داد. فرض کنید باید مقداری از شی را از نقطه شروع به نقطه پایان منتقل کنیم. برای این کار باید n مرحله بردارید که هر کدام چندین گزینه ممکن دارند. با این حال، از مجموعه گزینه‌های ممکن در هر مرحله، گزینه‌ای انتخاب می‌شود که مقدار بسیار زیاد تابعی را دارد. این روش در هر مرحله بهینه سازی تکرار می شود. در نهایت، با توجه به شرایط بهینه‌سازی، مسیر بهینه انتقال از حالت اولیه به حالت نهایی را بدست می‌آوریم.

به عنوان مثال، شما باید حالت عملکرد یک لوکوموتیو را انتخاب کنید که از نقاط مشخص شده عبور می کند، که در آن حداقل مصرف سوخت یا زمان سفر به دست می آید. برای مقادیر بزرگ n و l، که در حل اکثر مسائل واقعی وجود دارد، این به مقدار بسیار زیادی محاسبات نیاز دارد. حل این مشکل با استفاده از روش برنامه نویسی پویا ساده شده است.

برای فرمول‌بندی ریاضی مسئله برنامه‌نویسی پویا، فرض می‌کنیم که مراحل حل مسئله، بازه‌های زمانی ثابتی را نشان می‌دهند، یعنی کوانتیزاسیون زمانی رخ می‌دهد. لازم است با در نظر گرفتن تعدادی محدودیت، قانون کنترل u [n] که جسم را از نقطه t [o] فضای فاز به نقطه t [n] منتقل می کند، به شرطی که حداقل معیار بهینه باشد، پیدا شود. تضمین شده است

به لطف این ساده سازی با استفاده از روش برنامه نویسی پویا، حل مسائل کنترلی بهینه که با بهینه سازی مستقیم تابع اصلی با استفاده از روش های کلاسیک حساب تغییرات قابل حل نیستند، امکان پذیر می شود. روش برنامه نویسی پویا اساساً روشی برای ایجاد برنامه ای برای حل عددی یک مسئله در رایانه های دیجیتال است. تنها در ساده ترین موارد این روش به فرد اجازه می دهد تا یک بیان تحلیلی از راه حل مورد نظر را به دست آورد و بررسی آن را انجام دهد. با استفاده از روش برنامه نویسی پویا، می توان نه تنها مسائل کنترل بهینه، بلکه مسائل بهینه سازی چند مرحله ای را از طیف گسترده ای از زمینه های فناوری حل کرد.

این روش به طور گسترده برای مطالعه کنترل بهینه در هر دو سیستم دینامیکی (فنی) و اقتصادی استفاده می شود. برای پیاده سازی روش برنامه نویسی پویا می توان ارتباطات در سیستم بین متغیرهای خروجی، کنترل ها و معیارهای بهینه را هم به صورت وابستگی های تحلیلی و هم در قالب جداول داده های عددی، نمودارهای تجربی و ... مشخص کرد.

اصل حداکثر پونتریاگین را می توان با استفاده از مثال مسئله حداکثر سرعت توضیح داد. اجازه دهید لازم باشد نقطه نمایش از موقعیت اولیه فضای فاز به موقعیت نهایی در حداقل زمان منتقل شود. برای هر نقطه در فضای فاز، یک مسیر فاز بهینه و یک حداقل زمان انتقال متناظر به نقطه نهایی وجود دارد. در اطراف این نقطه می توانید ایزوکرون های سطحی بسازید که مکان هندسی نقاط با حداقل زمان انتقال به این نقطه هستند. مسیر بهینه از نقطه شروع تا نقطه پایان در حالت ایده آل باید با نرمال ها به ایزوکرون ها منطبق باشد (زمان در حال حرکت در امتداد ایزوکرون ها بدون کاهش فاصله زمانی تا رسیدن به نقطه پایانی صرف می شود) در عمل، محدودیت های اعمال شده بر مختصات از شی همیشه اجازه اجرای ایده آل، بهینه از نظر سرعت، مسیر را نمی دهد. بنابراین، مسیر بهینه مسیری خواهد بود که تا حد امکان، تا آنجا که محدودیت ها اجازه می دهد، به نرمال ها به ایزوکرون ها نزدیک باشد. این شرط از نظر ریاضی به این معنی است که در کل مسیر، حاصل ضرب اسکالر بردار سرعت نقطه تصویر و بردار مخالف (در جهت) با گرادیان زمان انتقال به نقطه نهایی باید حداکثر باشد:

که در آن fi، Vi مختصات بردارهای مربوطه هستند.

از آنجایی که حاصل ضرب اسکالر دو بردار برابر است با حاصل ضرب مقادیر مطلق آنها و کسینوس بین آنها، شرط بهینه، حداکثر پیش بینی بردار سرعت V بر روی جهت f است. این شرط بهینه، اصل حداکثری Pontryagin است.

بنابراین، هنگام استفاده از اصل ماکزیمم، مسئله تغییر یافتن تابع u که تابع H را منتهی می‌کند، با مسئله ساده‌تر تعیین کنترل u که حداکثر تابع همیلتون کمکی را ارائه می‌کند، جایگزین می‌شود. از این رو نام روش، اصل حداکثر است.

مشکل اصلی در به کارگیری اصل حداکثر این است که مقادیر اولیه f (0) تابع کمکی f مشخص نیست. معمولاً به آنها مقادیر اولیه دلخواه f (0) داده می شود، معادلات شی و الحاق را حل می کنند. معادلات را کنار هم قرار می دهند و مسیر بهینه را به دست می آورند که به طور معمول از نقطه پایانی مشخص شده عبور می کند. با استفاده از روش تقریب های متوالی، با تعیین مقادیر اولیه مختلف f (0)، مسیر بهینه عبور از نقطه پایانی داده شده پیدا می شود.

اصل حداکثر فقط برای اجسام خطی شرط لازم و کافی است. برای اجسام غیرخطی فقط یک شرط ضروری به نظر می رسد در این صورت به کمک آن گروه محدود شده ای از کنترل های قابل قبول پیدا می شود که در بین آنها مثلاً با شمارش کنترل بهینه در صورتی که اصلا وجود داشته باشد پیدا می شود. .

برنامه نویسی ریاضی مدل‌های کاملاً خطی که از تناسب، خطی بودن و افزودنی استفاده می‌کنند، برای بسیاری از موقعیت‌های زندگی واقعی کافی نیستند. در واقع، وابستگی هایی مانند هزینه کل، خروجی و غیره به برنامه تولید غیرخطی هستند.

اغلب استفاده از مدل های برنامه ریزی خطی در شرایط غیرخطی موفقیت آمیز است. بنابراین، لازم است مشخص شود که در چه مواردی نسخه خطی شده مسئله، نمایش مناسبی از یک پدیده غیرخطی است.

روش برنامه نویسی ریاضی شامل یافتن حداکثر تابعی از بسیاری از متغیرها تحت محدودیت های شناخته شده در قالب سیستمی از برابری ها و نابرابری ها است. مزایای روش برنامه ریزی ریاضی عبارتند از:
محدودیت های پیچیده در متغیرهای حالت و کنترل به سادگی در نظر گرفته می شود.
میزان حافظه کامپیوتر با روش های دیگر تحقیق می تواند به طور قابل توجهی کمتر باشد.

اگر اطلاعاتی در مورد محدوده مجاز مقادیر متغیرها در راه حل بهینه موجود باشد، به عنوان یک قاعده، می توان محدودیت های مناسب ایجاد کرد و یک تقریب خطی نسبتاً قابل اعتماد به دست آورد. در مواردی که طیف گسترده ای از راه حل های امکان پذیر وجود دارد و هیچ اطلاعاتی در مورد ماهیت راه حل بهینه وجود ندارد، ساخت یک تقریب خطی به اندازه کافی خوب غیرممکن است. اهمیت برنامه نویسی غیرخطی و استفاده از آن به طور مداوم در حال افزایش است.

اغلب، غیرخطی‌ها در مدل‌ها ناشی از مشاهدات تجربی روابط هستند، مانند تغییرات نامتناسب در هزینه‌ها، خروجی، شاخص‌های کیفیت یا ساختارها، اما روابط مشتق‌شده‌ای که شامل پدیده‌های فیزیکی فرضی و همچنین قوانین رفتاری برگرفته از ریاضی یا مدیریت می‌شود.

بسیاری از شرایط مختلف منجر به فرمول غیر خطی محدودیت ها یا توابع هدف می شود. اگر تعداد غیرخطی ها کم باشد، یا اگر غیرخطی ها قابل توجه نباشند، افزایش تلاش محاسباتی ممکن است ناچیز باشد.

تجزیه و تحلیل ابعاد و پیچیدگی مدل و ارزیابی تأثیر خطی سازی بر تصمیم گیری همیشه ضروری است. اغلب از یک رویکرد دو مرحله‌ای برای حل مسائل استفاده می‌شود: آنها یک مدل غیرخطی با ابعاد کوچک می‌سازند، ناحیه حاوی جواب بهینه آن را پیدا می‌کنند و سپس از یک مدل برنامه‌ریزی خطی دقیق‌تر با ابعاد بالاتر استفاده می‌کنند که تقریب پارامترهای آن برابر است با بر اساس حل به دست آمده از مدل غیر خطی.

برای حل مسائل توصیف شده توسط مدل های غیرخطی، هیچ روش حل جهانی مانند روش سیمپلکس برای حل مسائل برنامه ریزی خطی وجود ندارد. یک روش برنامه ریزی غیرخطی ممکن است برای حل مسائل از یک نوع بسیار مؤثر و برای حل مسائل دیگر کاملاً غیرقابل قبول باشد.

اکثر روش های برنامه ریزی غیرخطی همیشه همگرایی را در تعداد محدودی از تکرارها تضمین نمی کنند. برخی از روش ها بهبود یکنواختی را در مقدار تابع هدف هنگام حرکت از یک تکرار به تکرار دیگر ارائه می دهند.

مشکل عملکرد بهینه همیشه مطرح است. کاهش زمان فرآیندهای گذرا سیستم‌های ردیابی این امکان را فراهم می‌کند که تأثیرات تنظیم را در مدت زمان کوتاه‌تری انجام دهیم. کاهش مدت زمان فرآیندهای گذرا در سیستم های کنترل برای اشیاء فنی، ربات ها و فرآیندهای فناوری منجر به افزایش بهره وری نیروی کار می شود.

در سیستم های کنترل خودکار خطی، با استفاده از دستگاه های اصلاحی می توان به افزایش سرعت دست یافت. به عنوان مثال، کاهش تأثیر ثابت زمانی یک پیوند غیرپریودیک با تابع انتقال k/(Tp + 1) بر روی فرآیند گذرا با گنجاندن یک دستگاه متمایز سری با تابع انتقال k1 (T1p + 1)/(T2p + 1) امکان پذیر است. ). روش‌های موثر برای افزایش عملکرد سیستم‌های سروو، روش‌هایی برای سرکوب مقادیر اولیه اجزای فرآیند گذرای سیستم هستند که به آرامی در حال فروپاشی هستند و تخمین‌های انتگرال درجه دوم را با استفاده از اتصالات مبتنی بر عمل مرجع به حداقل می‌رسانند. با این حال، تأثیر بهبود فرآیند گذرا در سیستم‌های واقعی به میزان محدودیت مختصات (غیرخطی) سیستم بستگی دارد. سیستم و اثر مطلوب اجباری در حالت گذرا را ایجاد نمی کند. بهترین نتایج در هنگام حل مشکل افزایش عملکرد سیستم های اتوماتیک در حضور محدودیت ها با کنترلی به دست می آید که در عملکرد بهینه باشد.

مسئله عملکرد بهینه اولین مسئله در تئوری کنترل بهینه بود. او نقش عمده ای در کشف یکی از روش های اصلی تئوری کنترل بهینه - اصل حداکثر - ایفا کرد. این مشکل، که یک مورد خاص از مسئله کنترل بهینه است، شامل تعیین چنین اقدام کنترلی قابل قبولی است که تحت تأثیر آن شی (فرایند) کنترل شده از حالت فاز اولیه به مرحله نهایی در حداقل زمان حرکت می کند. معیار بهینه بودن در این مسئله زمان است.

شرایط لازم برای کنترل بهینهبرای انواع مختلف مسائل بهینه‌سازی بر اساس استفاده از روش‌های بهینه‌سازی غیرمستقیم تحلیلی به‌دست می‌آیند و مجموعه‌ای از روابط عملکردی را تشکیل می‌دهند که باید توسط راه‌حل فوق‌العاده ارضا شوند.

هنگام استخراج آنها، یک فرض اساسی برای کاربرد بعدی در مورد وجود کنترل بهینه (راه حل بهینه) ساخته شد. به عبارت دیگر، اگر راه حل بهینه وجود داشته باشد، آنگاه الزاماً شرایط داده شده (ضروری) را برآورده می کند. با این حال، راه حل های دیگری که بهینه نیستند نیز می توانند همان شرایط ضروری را برآورده کنند (همانطور که شرط لازم برای حداقل یک تابع از یک متغیر، برای مثال، با حداکثر نقاط و نقاط عطف تابع اصلی برآورده می شود). بنابراین، اگر راه حل یافت شده شرایط بهینه لازم را برآورده کند، این به معنای بهینه بودن آن نیست.

فقط استفاده از شرایط لازم این امکان را فراهم می کند که اصولاً همه راه حل هایی که آنها را برآورده می کند پیدا کنید و سپس از بین آنها مواردی را که واقعاً بهینه هستند انتخاب کنید. با این حال، در عمل، اغلب به دلیل پیچیدگی زیاد چنین فرآیندی، یافتن همه راه حل هایی که شرایط لازم را برآورده می کنند، ممکن نیست. بنابراین، پس از یافتن هر راه حلی که شرایط لازم را برآورده می کند، توصیه می شود بررسی کنید که آیا واقعاً از نظر فرمول بندی اصلی مسئله بهینه است یا خیر.

شرایط تحلیلی که رضایت‌پذیری آنها بر روی راه‌حل به‌دست‌آمده تضمین کننده بهینه‌بودن آن است، شرایط کافی نامیده می‌شوند. فرمول بندی این شرایط و به ویژه تأیید عملی آنها (مثلاً محاسباتی) اغلب به یک کار بسیار سخت تبدیل می شود.

در حالت کلی، اعمال شرایط بهینه لازم در صورتی توجیه پذیرتر خواهد بود که برای مسئله مورد بررسی امکان اثبات وجود یا وجود و منحصر به فرد بودن کنترل بهینه وجود داشته باشد. این سوال از نظر ریاضی بسیار پیچیده است.

مسئله وجود، منحصر به فرد بودن کنترل بهینه، از دو سوال تشکیل شده است.
1 وجود یک کنترل قابل قبول (یعنی یک کنترل متعلق به یک کلاس معین از توابع) که محدودیت های داده شده را برآورده می کند و سیستم را از یک حالت اولیه معین به یک حالت نهایی معین منتقل می کند. گاهی اوقات شرایط مرزی یک مسئله به گونه ای انتخاب می شود که سیستم به دلیل ماهیت محدود منابع انرژی (مالی، اطلاعاتی) خود قادر به برآوردن آنها نیست. در این حالت هیچ راه حلی برای مشکل بهینه سازی وجود ندارد.
2 وجود کنترل بهینه در کلاس کنترل های مجاز و منحصر به فرد بودن آن.

این سؤالات در مورد سیستم های غیرخطی شکل عمومی هنوز با کاملیت کافی برای کاربردها حل نشده است. مشکل همچنین با این واقعیت پیچیده می شود که منحصر به فرد بودن کنترل بهینه به معنای منحصر به فرد بودن کنترلی نیست که شرایط لازم را برآورده کند. علاوه بر این، معمولاً یکی از مهمترین شرایط لازم برآورده می شود (اغلب اصل حداکثر).

بررسی شرایط لازم بیشتر می تواند بسیار دشوار باشد. این نشان دهنده اهمیت هر گونه اطلاعات در مورد منحصر به فرد بودن کنترل هایی است که شرایط بهینه لازم را برآورده می کنند و همچنین در مورد ویژگی های خاص چنین کنترل هایی.

لازم است از نتیجه گیری در مورد وجود کنترل بهینه بر اساس این واقعیت که یک مشکل "فیزیکی" حل می شود، احتیاط کرد. در واقع، هنگام استفاده از روش‌های تئوری کنترل بهینه، باید با یک مدل ریاضی سروکار داشت. شرط لازم برای کفایت توصیف یک فرآیند فیزیکی توسط یک مدل ریاضی، دقیقاً وجود یک راه حل برای مدل ریاضی است. از آنجایی که در طول شکل گیری یک مدل ریاضی انواع مختلفی از ساده سازی ها معرفی می شوند که پیش بینی تأثیر آنها بر وجود راه حل ها دشوار است، اثبات وجود یک مسئله ریاضی جداگانه است.

بدین ترتیب:
وجود کنترل بهینه به معنای وجود حداقل یک کنترل است که شرایط بهینه لازم را برآورده کند. وجود کنترلی که شرایط بهینه لازم را برآورده کند، به معنای وجود کنترل بهینه نیست.
از وجود کنترل بهینه و منحصر به فرد بودن کنترلی که شرایط لازم را برآورده می کند، منحصر به فرد بودن کنترل بهینه نتیجه می گیرد. وجود و منحصر به فرد بودن کنترل بهینه به معنای منحصر به فرد بودن کنترلی نیست که شرایط بهینه لازم را برآورده کند.

استفاده از روش های بهینه سازی مدیریت منطقی است:
1) در سیستم های پیچیده فنی و اقتصادی که یافتن راه حل های قابل قبول بر اساس تجربه دشوار است. تجربه نشان می دهد که بهینه سازی زیرسیستم های کوچک می تواند منجر به تلفات زیادی در معیارهای کیفی سیستم یکپارچه شود. بهتر است تقریباً مشکل بهینه سازی سیستم به عنوان یک کل (حتی در یک فرمول ساده) حل شود تا اینکه دقیقاً برای یک زیر سیستم جداگانه حل شود.
2) در وظایف جدید که در آن هیچ تجربه ای در شکل گیری ویژگی های رضایت بخش فرآیند مدیریت وجود ندارد. در چنین مواردی، فرمول بندی مسئله بهینه اغلب به ما امکان می دهد ماهیت کیفی کنترل را تعیین کنیم.
3) در اولین مرحله ممکن طراحی، زمانی که آزادی انتخاب بیشتری وجود دارد. پس از تعریف تعداد زیادی راه حل طراحی، سیستم به اندازه کافی انعطاف پذیر نمی شود و بهینه سازی بعدی ممکن است سود قابل توجهی را به همراه نداشته باشد.

در صورت لزوم، جهت تغییر در کنترل و پارامترهایی که بیشترین تغییر را در معیار کیفیت ایجاد می کنند (تعیین گرادیان کیفیت) تعیین کنید. لازم به ذکر است که برای سیستم‌هایی که به خوبی مطالعه شده‌اند و برای مدت طولانی کار می‌کنند، روش‌های بهینه‌سازی می‌توانند سود کمی را به همراه داشته باشند، زیرا راه‌حل‌های عملی که از تجربه به دست می‌آیند معمولاً به راه‌حل‌های بهینه نزدیک می‌شوند.

در برخی از مسائل عملی، "زبری" خاصی از کنترل ها و پارامترهای بهینه مشاهده می شود، به عنوان مثال، تغییرات کوچک در معیار کیفیت با تغییرات محلی بزرگ در کنترل ها و پارامترها مطابقت دارد. این گاهی اوقات این ادعا را به وجود می آورد که در عمل همیشه به روش های بهینه سازی ملایم و دقیق نیازی نیست.

در واقع، "زبری" کنترل تنها در مواردی مشاهده می شود که کنترل بهینه با یک نقطه ثابت از معیار کیفیت مطابقت دارد. در این حالت، تغییر در میزان کنترل منجر به انحراف معیار کیفیت با مقدار خطا می شود.

در مورد کنترل‌هایی که در مرز ناحیه مجاز قرار دارند، ممکن است ناهمواری مشخص شده رخ ندهد. این ویژگی باید به طور خاص برای هر مسئله مطالعه شود. علاوه بر این، در برخی از مشکلات، حتی بهبودهای کوچک در معیارهای کیفیت که از طریق بهینه سازی به دست می آید، می تواند قابل توجه باشد. مسائل پیچیده بهینه‌سازی کنترل اغلب بر ویژگی‌های رایانه‌های مورد استفاده در راه‌حل تقاضای بیش از حد می‌کند.