بیانیه. عملیات منطقی (اتصالات). اتصالات منطقی در منطق فازی

گزاره پیچیده گزاره ای است که دارای پیوندهای منطقی است و از چندین گزاره ساده تشکیل شده است.

در آینده، گزاره های ساده را به عنوان اتم های غیرقابل تقسیم معین، به عنوان عناصری که از ترکیب آنها ساختارهای پیچیده به وجود می آیند، در نظر خواهیم گرفت. ما گزاره های ساده را با حروف لاتین جداگانه نشان خواهیم داد: a، b، c، d، ... هر یک از این حرف ها بیانگر یک گزاره ساده خاص است. کجا می توانید این را ببینید؟ با انحراف از ساختار درونی پیچیده یک حکم ساده، از کمیت و کیفیت آن، با فراموش کردن اینکه حاوی یک موضوع و یک محمول است، ما فقط یک ویژگی یک حکم را حفظ می کنیم - اینکه می تواند درست یا نادرست باشد. هر چیز دیگری اینجا به ما علاقه ای ندارد. و وقتی می گوییم حرف «الف» نمایانگر یک گزاره است، نه یک مفهوم، نه عدد، نه تابع، فقط یک چیز را مد نظر داریم: «الف» نشان دهنده صدق یا کذب است. اگر منظور ما از "الف" گزاره "کانگوروها در استرالیا زندگی می کنند" است، منظور ما حقیقت است. اگر منظور از "الف" گزاره "کانگوروها در سیبری زندگی می کنند" باشد، به معنای دروغ است. بنابراین، حروف ما "الف"، "ب"، "ج" و غیره. – اینها متغیرهایی هستند که می توانند با true یا false جایگزین شوند.

پیوندهای منطقی مشابه رسمی حروف ربط در زبان طبیعی مادری ما هستند. همانطور که جملات پیچیده از جملات ساده به کمک ربط های "اما"، "از آنجایی"، "یا" و غیره ساخته می شوند، گزاره های پیچیده نیز با کمک ربط های منطقی از گزاره های ساده تشکیل می شوند. در اینجا ارتباط بسیار بیشتری بین اندیشه و زبان وجود دارد، بنابراین در آنچه در ادامه می‌آید، به‌جای کلمه «حکم» که بیانگر اندیشه ناب است، اغلب از کلمه «گزاره» استفاده می‌کنیم که بیانگر اندیشه در بیان زبانی آن است. بنابراین، بیایید با متداول ترین اتصالات منطقی آشنا شویم.

نفی. در زبان طبیعی با عبارت "این درست نیست که ..." مطابقت دارد. نفی معمولاً با علامت «¬» نشان داده می شود که قبل از حرف نشان دهنده برخی گزاره ها قرار می گیرد: «¬a» به عنوان «این درست نیست که a» نشان داده می شود. مثال: "این درست نیست که زمین یک کره است."

شما باید به یک شرایط ظریف توجه کنید. در بالا در مورد قضاوت های منفی ساده صحبت کردیم. چگونه آنها را از قضاوت های پیچیده با نفی متمایز کنیم؟ منطق دو نوع نفی را متمایز می کند - داخلی و خارجی. وقتی نفی در داخل یک گزاره بسیط قبل از رابط «است» باشد، در این صورت با یک قضیه منفی ساده سروکار داریم، مثلاً: «زمین یک کره نیست». اگر یک نفی از بیرون به یک حکم متصل شود، مثلاً: «این درست نیست که زمین یک توپ است»، چنین نفی به عنوان یک اتصال منطقی در نظر گرفته می شود که یک قضاوت ساده را به یک قضاوت پیچیده تبدیل می کند.

پیوستگی. در زبان طبیعی، این پیوند با حروف ربط "و"، "الف"، "اما"، "اما" و غیره مطابقت دارد. اغلب، یک ربط با نماد "&" نشان داده می شود. اکنون این نماد اغلب در نام شرکت ها و شرکت های مختلف یافت می شود. گزاره ای با چنین پیوندی، ربط یا صرفاً ربط نامیده می شود و به شکل زیر است:

a&b مثال: "سبد پدربزرگ حاوی بولتوس و بولتوس بود." این قضاوت پیچیده ترکیبی از دو گزاره ساده است: «قارچ‌های بولتوس در سبد پدربزرگم بود» و «قارچ‌هایی در سبد پدربزرگم بودند».

تفکیک. در زبان طبیعی، این پیوند با حرف ربط "یا" مطابقت دارد. معمولاً با "v" نشان داده می شود. قضاوتی با چنین پیوندی، منفصل یا به سادگی تفکیک نامیده می شود و به این صورت است: a v b.

حرف ربط «یا» در زبان طبیعی به دو معنای متفاوت به کار می‌رود: «یا» شل - زمانی که اعضای تفکیک یکدیگر را حذف نمی‌کنند، یعنی. می تواند به طور همزمان درست باشد، و یک "یا" سخت (اغلب با یک جفت ربط "یا... یا..." جایگزین می شود) - زمانی که اعضای تفکیک یکدیگر را حذف می کنند. مطابق با این، دو نوع تفکیک متمایز می شود - دقیق و غیر دقیق.

پیامد. در زبان طبیعی با حرف ربط "اگر... آنگاه" مطابقت دارد. با علامت "->" نشان داده می شود. گزاره ای با چنین پیوندی را دلالتی یا صرفاً دلالتی می نامند و به این صورت است: a -> b. مثال: "اگر جریان الکتریکی از یک هادی عبور کند، هادی گرم می شود." اولین عضو دلالت، مقدم یا مبنا نامیده می شود. دومی یک نتیجه یا پیامد است. در زبان روزمره، حرف ربط «اگر... آنگاه» معمولاً جملاتی را به هم متصل می‌کند که رابطه علت و معلولی پدیده‌ها را بیان می‌کنند و جمله اول علت را ثابت می‌کند و دومی معلول. از این رو نام اعضای دلالت است.

نمایش عبارات زبان طبیعی به شکل نمادین با استفاده از نمادهای فوق به معنای رسمی سازی آنهاست که در بسیاری از موارد مفید واقع می شود.

4) جزیره ای زیبا در اقیانوس گرم قرار داشت. و همه چیز خوب می شد، اما غریبه ها عادت کردند در این جزیره مستقر شوند. آنها از سراسر جهان می آیند و می آیند و مردم بومی شروع به فشرده شدن کرده اند. حاکم جزیره برای جلوگیری از هجوم بیگانگان فرمانی صادر کرد: «هر زائری که بخواهد در جزیره مبارک ما ساکن شود، موظف است قدری قضاوت کند. اگر قضاوت صحت داشته باشد، غریبه باید تیرباران شود. اگر قضاوت نادرست باشد، باید او را به دار آویخت.» اگر می ترسی، ساکت شو و برگرد!

سوال این است: برای زنده ماندن و اقامت در جزیره چه قضاوتی باید کرد؟

| |

نفی (نشانه). اگر A یک دستور است، پس (بخوانید: نه A) نیز یک دستور است. بسته به اینکه گزاره A نادرست یا درست باشد، درست یا نادرست است.ما می بینیم که عملیات در نظریه گزاره ها کاملاً با مفهوم نفی به معنای معمولی کلمه مطابقت دارد. عملیات نفی را می توان با جدول توصیف کرد

پیوستگی.به عنوان علامت ربط از علامت l و همچنین & (به عبارت دیگر از حرف ربط استفاده می شود. و- و).

اگر آو که در- پس اظهارات آ ˄ که در(می خواند: آو که در) - یک بیانیه جدید. اگر و فقط اگر درست است آدرست است و که دردرست است، واقعی.

بر خلاف عمل نفی که به یک گزاره ابتدایی بستگی دارد، ربط، مانند همه ی ربط های بعدی که می دهیم، به دو گزاره ابتدایی بستگی دارد، به همین دلیل است که به آنها اتصالات دو مکان می گویند، در حالی که نفی اتصال یک مکان است.

برای تعیین اتصالات دوگانه، نوشتن ماتریس های صدق به شکل جداول با دو ورودی راحت است: ردیف ها با مقادیر صدق یک عبارت ابتدایی، ستون ها با مقادیر یک عبارت ابتدایی دیگر مطابقت دارند و در سلولی که ستون و ردیف آن را قطع می کنند، مقدار صدق عبارت پیچیده مربوطه قرار می گیرد.

ارزش صدق یک عبارت پیچیده آ˄ که درتوسط ماتریس داده می شود:

همانطور که می بینید، تعریف عملیات ربط کاملاً با معنای معمولی کلمه ربط "u" مطابقت دارد. به عنوان مثال، مشکل محافظت از خطوط خودکار در برابر تصادف به طور قابل توجهی به قابلیت اطمینان تجهیزات الکتریکی بستگی دارد. تأثیر ارتعاشاتی که هنگام بسته شدن مخاطبین روی مقاومت سایش سوئیچینگ EA رخ می دهد با نسبت ویژگی های مکانیکی و کششی درایو الکترومغناطیسی تنظیم می شود.

تفکیک.از علامت ˅ به عنوان علامت تفکیک استفاده خواهیم کرد. اگر A و B گزاره هستند، A v B (بخوانید: A یا B) یک دستور جدید است. اگر الف و ب نادرست باشند نادرست است. در تمام موارد دیگر A v که دردرست است، واقعی. بنابراین، ماتریس حقیقت برای عملیات تفکیک به صورت زیر است:

عمل تفکیک با معنای معمولی ربط مطابقت دارد "یا".به عنوان مثال، سایش تماس با انتخاب یک شیب یا با وزن کردن کنتاکت ها بر روی ترازو قبل و بعد از عملیات کنترل می شود.

پیامد.به عنوان نشانه ای برای دلالت از علامت استفاده خواهیم کرد. اگر A و B دو عبارت باشند، A که در(بخوانید: A به معنای B) یک جمله جدید است. همیشه درست است، مگر زمانی آدرست است، اما که درنادرست

ماتریس صدق عملیات ضمنی به شرح زیر است:

در ضمن آ که درترم اول آبه نام مقدم، اصطلاح دوم که در-دارای اهمیت.

ضمنی تا حدودی آنچه را در گفتار معمولی با کلمات «اگر آ، آن که در"، "از جانب آباید که در», « آ- شرط کافی برای که در".

اگر افزایش مقاومت در شکاف متقابل پس از عبور جریان از صفر شدیدتر از افزایش ولتاژ باشد، احتراق مجدد قوس رخ نخواهد داد. اگر جریان اتصال کوتاه به طور قابل توجهی از جریان ذوب پیوند فیوز بیشتر شود، فیوز فیوز می سوزد و فیوز مدار الکتریکی را خاموش می کند.

معادل سازی.برای این عملیات از علامت ⇔ استفاده می شود. عملیات به صورت زیر تعریف می شود: اگر الف و ب- عبارات، سپس A ⇔ که در(می خواند: آمعادل که در) یک جمله جدید است که اگر هر دو گزاره درست یا هر دو نادرست باشند درست است.

با استفاده از اتصالات معرفی شده، می توانید عبارات پیچیده ای بسازید که نه تنها به دو گزاره، بلکه به هر تعداد دستور ابتدایی نیز بستگی دارند.

در حالت های جریان نامی 25...600 آیک جفت کنتاکت می تواند نقش دوگانه ای را انجام دهد: انتقال طولانی مدت جریان در وضعیت روشن و خاموش شدن، همراه با وقوع قوس. در حالت اول، کنتاکت ها باید مقاومت تماس پایینی داشته باشند. در مرحله دوم، الزامات مقاومت در برابر تماس بالا تحمیل می شود. در هر دو مورد از سیستم تماس تک مرحله ای یکسان استفاده می شود. هر دو فرآیند بر سایش تماسی تأثیر می گذارد.

توجه داشته باشید.یک نابرابری غیر دقیق یک تفکیک A است<В ˅ (А = В).Оно истинно, если истинно по мень­шей мере одно из входящих в него простых высказываний. При­мерами сложных высказываний, встречающихся в практике, яв­ляются так называемые двойные неравенства А< В < С(А < В) ˄ (В < С), а, например, означает сложное высказывание (А< В) ˄ ((В

با داشتن ارزش صدق عبارات ساده، محاسبه ارزش صدق یک گزاره پیچیده بر اساس تعریف اتصالات آسان است. اجازه دهید یک عبارت مختلط داده شود ((B ˅ C) ⇔ (B ˄ A)) و اجازه دهید گزاره های ابتدایی موجود در آن مقادیر صدق زیر را داشته باشند: A = L، B = I، C = I. سپس B ˅ C = I، B ˄ A = L، بنابراین عبارت مورد نظر ((B ˅ C) ⇔ (B ˄ A)) نادرست است.

اجازه دهید قوانین اساسی برای تشکیل جملات جدید از جملات اصلی را با استفاده از پیوندهای اساسی و ربط های زبان گفتاری معمولی فرموله کنیم. قواعد زبان روسی به تنهایی کافی نیست، زیرا گاهی اوقات معانی مختلفی را در یک جمله که به زبان روسی فرموله شده است قرار می دهیم. به عنوان مثال، نوبت عبارت «اگر، آنگاه» را در نظر بگیرید که با آن دو جمله را فرموله می کنیم:

• 1) "اگر میشا امتحان را با رنگارنگ پاس کند، به دیسکو می رود."
• 2) "اگر میشا امتحان را با رنگارنگ قبول نکند، به دیسکو نمی رود."

سوال: آیا این جملات همین را می گویند یا شرایطی وجود دارد که یکی از جمله ها درست و دیگری نادرست باشد؟ به عبارت دیگر سؤال این است که آیا این جملات معادل هستند؟

تا زمانی که قوانین ساخت عباراتی از این نوع را به وضوح تعریف نکنیم، نمی توان به طور واضح به سؤال پاسخ داد. از یک سو، هنگام تنظیم جمله اول، اغلب منظور جمله دوم است. با این حال، اجازه دهید به این پیشنهادات از منظر دیگری نگاه کنیم.

ابتدا بیایید نمودارهای جمله را یادداشت کنیم. برای انجام این کار، جمله "میشا امتحان را با رنگ های پروازی قبول می کند" را با حرف نشان می دهیم آ، و جمله "میشا به دیسکو خواهد رفت" - با نامه که در.سپس این پیشنهادات را می توان به صورت شماتیک به صورت زیر نوشت:

من) "اگر آ، آن که در"، 2) «اگر نه آ، پس نه که در".

حالا بیایید جایگزین کنیم آو که درپیش بینی های دیگر بجای آگرفتن: "میز از بلوط است"، به جای که در"میز چوبی است." سپس یک جفت جمله دیگر می گیریم:

• 1) "اگر میز بلوط است، پس چوبی است."
• 2) "اگر میز بلوط نیست پس چوبی نیست."

از آنجایی که این جملات بر اساس طرح های مشابه دو جمله اول ساخته شده اند، به این معنی است که معادل جفت اول باید معادل جفت دوم باشد. با این حال، جمله اول در گفتار معمولی آشکارا یک گزاره درست است، زیرا بلوط یک درخت است، و جمله دوم، به معنای رایج، نادرست است، زیرا میز می تواند از درخت دیگری مانند کاج ساخته شود.

بنابراین، در حالت کلی، جملاتی که بر اساس «اگر آ، آن که در"و "اگر نه آ،سپس نه که در"نمی توان از نظر منطقی یکسان در نظر گرفت.

بنابراین، برای رفع ابهام در ساخت جملات، به قوانین روشنی نیاز داریم که به ما امکان می‌دهد با توجه به درستی یا نادرستی جملات اصلی، درستی یا نادرستی جمله حاصل را تعیین کنیم. آو که در.

اجازه دهید به حروف ربط "و"، "یا"، و همچنین طرح های "اگر، آنگاه"، "آنگاه و تنها پس از آن"، "درست نیست که" یک معنای منطقی بدون ابهام بدهیم.

بگذار حروف الف و ببرای جملات دلخواه ایستادگی کنید بیایید با موقعیت های ساده شروع کنیم.

1. علامت نفی~| (-i) یا. اصطلاح ~ لی(-L، آ) می خواند: "نه A"یا "این درست نیست که A."

معانی جمله ~ Aبا جدولی که از آن مشخص است که پیشنهاد تعریف می شود ~lدرست دقیقا زمانی که جمله اصلی است آنادرست:

هنگام فرمول بندی جملاتی که ساختار ساده ای دارند، گاهی اوقات می توان ذره «نه» را در جمله «حمل کرد». مثلا یک جمله

"این درست نیست که عدد V6 یک عدد صحیح است" را می توان به صورت زیر فرموله کرد: "عدد l/6 یک عدد صحیح نیست." همچنین جمله «این درست نیست آو بمتقاطع" فرمول بندی: "مستقیم آو بما نخواهیم پرسید.»

اغلب به جسمی که خاصیت خاصی ندارد اصطلاحی با ذره «نه» می گویند. مثلاً به عدد صحیحی که زوج نباشد فرد می گویند. بنابراین، گفتن «کل عدد فرد است» و «عدد کامل زوج نیست» به یک اندازه صحیح است. اما بدون شرط صحیح بودن عدد، جملاتی با معانی متفاوت داریم. به عنوان مثال، "عدد 0.2 زوج نیست" درست است، اما جمله "عدد 0.2 فرد است" نادرست است.

عبارت "تابع فرد" را در نظر بگیرید. در اینجا یک اصطلاح مستقل داریم و کلمه فرد را نمی توان جدا نوشت و تلفظ کرد، یعنی جمله "عرب است" نفی جمله "عملکرد زوج است" نیست. در واقع، مثالی از تابعی وجود دارد که در آن هر دو جمله نادرست هستند. به عنوان مثال، تابع )t=x+نه زوج است و نه فرد (سعی کنید این را توضیح دهید).

2. علامت ربطل اصطلاح LlWمی خواند: "الف و ب".گاهی اوقات حرف ربط با & نشان داده می شود.

معانی جمله AlVبسته به جملاتی که آن را تشکیل می دهد الف و بتعریف شده توسط جدول:

بنابراین پیشنهاد AlVدرست فقط در یک مورد، زمانی که هر دو جمله آو که دردرست هستند. در موارد دیگر این جمله نادرست است. هنگام تدوین یک پروپوزال AlVبه جای حرف ربط «و»، می‌توانید از ربط‌های ربط دیگری استفاده کنید که معنای منطقی یکسانی برای انجام همزمان هر یک از جمله‌ها دارند: «الف»، «اما».

مثال 1.3.1.جمله "شماره" 111 بر 2 بخش پذیر نیست، اما بر 3 بخش پذیر است - به طور نمادین می توانید 1 بنویسید AlV،جایی که آ= "111 بر 2 بخش پذیر است" B = " 111 بر 3 بخش پذیر است."

3. علامت تفکیک v اصطلاحات AvBمی خواند: "الف یا ب."

معانی جمله AvBتعریف شده توسط جدول:

از جدول مشخص است که پیشنهاد "آیا که در"درست در مواردی که حداقل یکی از جملات آیا که دردرست است، و در صورتی که هر دو جمله آو که درنادرست، جمله AvBمقدار نادرستی می گیرد

گاهی از محتوای جملات آو که درنتیجه می شود که جملات نمی توانند همزمان درست باشند. در این مورد، جمله با استفاده از ربط "یا" تنظیم می شود. به عنوان مثال، جمله "یک عدد یا مثبت است یا منفی" نیز شکل دارد "آیا که در"، اما در عین حال چنین معنایی دارد که یک عدد نمی تواند همزمان مثبت و منفی باشد.

قواعد فرموله شده در بالا ظاهراً هیچ سؤالی ایجاد نمی کند. بیایید به نمودار مورد بحث در ابتدای پاراگراف "اگر آ،که که در".

4. نشانه دلالت-اصطلاح الف-> بمی خواند: "اگر A، پس B."گاهی اوقات از علامت فلش دیگر => برای نشان دادن این رابط و همچنین علامت z> استفاده می شود. همراه با عبارت «اگر آ، آن که در"دیگران مشابه آن استفاده می کنند: "ب وقتی A», "الف فقط زمانی که ب."

ما انگیزه تعریف معانی جمله را داریم الف-> ب.مشکل اصلی که در اینجا پیش می‌آید این است که برای آن مواردی که به جمله L-»# معنی می‌دهند آنادرست برای تعیین هوشمندانه معانی، جمله صحیحی را که در بالا بحث شد به خاطر بسپارید: "اگر میز بلوط است، پس چوبی است." اینجا آ= "میز بلوط" B ="میز چوبی." بگذارید میز از کاج باشد. سپس آنادرست، که دردرست است، واقعی. بگذار میز آهنی باشد. سپس آنادرست و که درنادرست در هر دو مورد پیشنهاد آنادرست است و جمله حاصل «اگر آ، آن که در"درست است، واقعی. علاوه بر این، هر دوی این موارد واقعاً ممکن است. البته این امکان وجود دارد که ما یک میز بلوط داشته باشیم اوو ببه طور همزمان درست است در اینجا یک مثال از یک جمله واقعی است A->B،چه زمانی A=u>B=l، وجود ندارد.

بنابراین، مواردی که A=u, B=i،یا A=l y B=i، یا A=l, V=l،باید یک جمله درست و فقط یک مورد تعیین کند، چه زمانی

که A=u, V-l،به این معنی است که پیشنهاد الف-> بنادرست

بنابراین، در منطق ریاضی، مقادیر جمله T در جدول زیر آورده شده است:

در ادامه، در سراسر عبارت «اگر آ، آن که در"اینگونه درک خواهد شد. در اینجا یک پیشنهاد است آتماس گرفت توسط بسته، یا وضعیت، آ در نتیجه.

مثال 13.2. والدین به پسر خود پتیا قول دادند: اگر او با موفقیت از دانشگاه فارغ التحصیل شود، برای او ماشین می خرند. مشخص است که پسر از دانشگاه فارغ التحصیل نشد، اما والدینش هنوز برای او ماشین خریدند. آیا می توان گفت آنچه پدر و مادر گفته اند دروغ بوده است؟

برای پاسخ به این سوال، پیشنهادات را در نظر بگیرید: آ= "پسرم در حال فارغ التحصیلی از دانشگاه است" B =برایش ماشین می‌خرند.» که در آن A=l، B=i.قول پدر و مادر به نظر می رسد A^>B.طبق تعریف، این یک جمله برای مقادیر داده شده است آو که دردرست (ردیف سوم جدول). بنابراین، از نظر منطقی، سخنان والدین صحیح است. اما اگر پسرشان از کالج فارغ التحصیل شد، اما برای او ماشین نخریدند، در این مورد (و در هیچ مورد دیگر) این وعده محقق نمی شود.

اکنون بیایید به پیوند منطقی دیگری نگاه کنیم که اغلب در هنگام گفته شدن کلمات "اگر، آنگاه" به کار می رود. به عنوان مثال، اگر در شرایط مثال 1.3.2 والدین فرض می کردند که اگر پسرشان پتیا از کالج فارغ التحصیل نشود، برای او ماشین نمی خرند، درست است که بگوییم: «ماشین اگر و فقط خریداری می شود. اگر پتیا فارغ التحصیل شود."

5. علامت هم ارزییا. اصطلاح و میخواند: "و اگر و فقط اگر B."فرمول های دیگر ممکن است: «و اگر و فقط اگر ب», "الف دقیقا زمانی که ب"و غیره

معانی جمله ABتوسط جدول آورده شده است:

در مواردی که آو که درهمان مقادیر، جمله را بگیرید ABدرست است، در غیر این صورت جمله نادرست است.

به راحتی می توان این عبارت را دید "آآن وقت و تنها زمانی که که در"از دو عبارت تشکیل شده است: "آسپس هنگامی که که در"و "آفقط زمانی که که در".جمله اول نوشته شده است ب-> الف،و دومی A^>B.این دو جمله در دو مورد به طور همزمان صادق است: A=u، B=u، و A=l، B=l.

بنابراین، پنج علامت را تعریف کرده ایم: l (رابطه)، v (انفکاک)، -> (مطالعه)، (معادل)، 1 (نفی)، که نامیده می شوند

بذرهای منطقیاین نشانه ها از این جملات اجازه می دهد آو که دردریافت پیشنهادات جدید در این صورت، معنای (صحیح یا نادرست) جمله جدید به طور منحصر به فردی توسط معانی جملات تعیین می شود. آو که در.قاعده به دست آوردن جمله جدید از جملات اصلی نامیده می شود عملیات منطقیبنابراین، هر یک از اتصالات منطقی، یک عملیات منطقی را تعریف می‌کند که همان نام اتصال مربوطه را دارد.

عملیات در نظر گرفته شده را می توان هم برای گزاره ها و هم برای محمول ها استفاده کرد. برای مثال، با ترکیب دو گزاره یک‌جای «عدد، m بزرگ‌تر از 3» و «عدد» ایکسمنفی" با علامت تفکیک، یک گزاره یک جا به دست می آوریم: "عدد ایکسبیش از 3 یا منفی.» تنها نکته این است که برای اتصال دو محمول با یک رابط منطقی، لازم است که یک منطقه مشترک مشخص شود. Dاشیاء معتبری که می توانند به جای متغیرها در این گزاره ها جایگزین شوند.

اجازه دهید دو اتصال منطقی دیگر به نام تعریف کنیم kwaitora.mi،که به ما امکان می دهد گزاره هایی را از محمولات واحد به دست آوریم. اصطلاح "کمیت کننده" که از لاتین ترجمه شده است به معنای "چقدر" است. بنابراین، از این نشانه ها برای پاسخ به این سؤال استفاده می شود که چند شی گزاره را برآورده می کند و- همه یا حداقل یکی

بیایید یک محمول دلخواه بگیریم و متغیری را انتخاب کنیم که مقدار آن به آن بستگی دارد. بیایید آن را نشان دهیم اوه).

6. کمیت کننده عمومی V. این علامت از کلمه انگلیسی آمده است ANو مخفف کلمات زیر است: "وزن"، "هر"، "هر"، "هر".

عبارت Vj&4(y) به این معنی است که محمول اوه)برای همه اشیاء معتبر اجرا می شود ایکس.نوشته شده است: "برای همه X و از X."

7. کمیت وجودی 3.این علامت از کلمه انگلیسی گرفته شده است وجود داشته باشدو مخفف کلمات زیر است: «وجود»، «وجود خواهد داشت»، «حداقل یک»، «بعضی».

عبارت 3x4(*) به این معنی است که محمول اوه)برای حداقل یکی از آبجکت های معتبر اجرا می شود.v. نوشته شده است: "x وجود دارد و از x وجود دارد."

مثال 1.3.3. اجازه دهید متغیر ایکسنشان دهنده دانشجوی دانشگاه است. بیایید پیشنهاد را در نظر بگیریم اوه)= "دانش آموز: یک ماشین دارد." سپس VxA(x)یعنی همه دانشجویان یک ماشین دارند. این یک جمله نادرست است. پیشنهاد EhA(x)به این معنی است که برخی از دانش آموزان ماشین دارند که این یک جمله درست است.

بنابراین، در ابتدا یک محمول داشتیم که مقدار آن به مقدار متغیر dg بستگی داشت. پس از انجام عملیات، عباراتی به دست آمد که مقادیر آنها دیگر به متغیر وابسته نیست ایکس.

بگذارید یک فرمول وجود داشته باشد L(x)،حاوی یک متغیر رایگان ایکس.سپس بیانیه ای که فرمول اوه)درست است، ما می توانیم آن را به طور خلاصه به صورت Vj&4(jc) بنویسیم.

عمل به دست آوردن جمله با استفاده از کمیت کننده ها نامیده می شود کمی سازیهنگام استفاده از عبارات UhA(x)و 3 xA(x)همچنین بگویید: "یک کمیت به متغیر x اضافه شده است"یا "متغیر x توسط یک کمیت متصل است."

توجه داشته باشید که عملیات کمیت نه تنها برای محمولات یک مکان قابل اعمال است. اگر گزاره دو جایی داده شود A(hu)سپس می توانید متغیر l - یک کمیت را به هم متصل کنید و یک جمله بسازید /xA(xy)،که صدق آن تنها به یک متغیر بستگی دارد y،و یک محمول یکجا خواهیم داشت. در این ورودی متغیر ایکستماس گرفت مرتبط با یک کمیت، و متغیر y - رایگان.در حالت کلی، با اعمال یک عملیات کمیت برای هر یک از متغیرهای یک گزاره 7 مکان /، به یک گزاره مکان (n-1) می رسیم.

برای پیوند دادن هر تعداد متغیر می توان از کمیت کننده ها استفاده کرد. اگر محمول دوجای داشته باشیم A(hu)سپس به طور رسمی می توانید 8 عبارت را دریافت کنید.

اتصال هر متغیر با مقداری کمیت: Vjc fyA(xy)، VyVxA(xy)، Vx3уА(xy)، 3yVxA(xy)، 3xVyA(xy)، /уЭхА(xy)، ЗхЗуА(ху)، ЗуЗхА(ху).برخی از جملات به یک معنا هستند، به عنوان مثال اول و دوم (محمول آباید برای هر مقدار * و y) و همچنین هفتم و هشتم صادق باشد. عبارات باقی مانده عموماً گزاره هایی با صدق متفاوت ارائه می دهند.

مثال 1.3.4.بگذارید فقط دو پسر در کلاس باشند - پتیا و کولیا. برای حل مستقل، سه مسئله داده شد، آنها را با اعداد 1، 2، 3 نشان می دهیم. A(hu)یعنی پسر * مشکل را حل کرد تودر اینجا متغیر است ایکسنشان دهنده نام پسر و متغیر است در- شماره کار عبارات زیر را در نظر بگیرید.

Vx3yA (xy)= "هر پسر حداقل یک مشکل را حل کرد" یک جمله درست است، زیرا پتیا دو مشکل را حل کرد و کولیا حداقل یک مشکل را حل کرد.

• 3_yVx4(.*,y) = "مشکلی وجود دارد که همه پسرهای کلاس آن را حل کرده اند" - نادرست است، زیرا چنین مشکلی وجود ندارد (فقط پتیا مسائل 1 و 2 را حل کرد و فقط کولیا سومین را حل کرد).
• 3xVyA(x,y) = "حداقل یک پسر همه مشکلات را حل کرد" یک جمله نادرست است.

V_yEx,4(;c,y) = "هر مسئله توسط حداقل یک دانش آموز حل شد" - درست است، بنابراین مسئله شماره 1 توسط Petya حل شد، مشکل شماره 2 نیز توسط Petya و مسئله 3 توسط Kolya حل شد.

از مثال در نظر گرفته شده، می توان نتیجه گرفت: ترتیب نوشتن کمیت کننده ها بر معنای منطقی جمله تأثیر می گذارد. بنابراین، صورت بندی صریح جمله باید بدون ابهام ترتیب وقوع کمیت کننده های کلیت و وجود را فرض کند.

ورزش.معانی عبارات مثال 1.3.4 را به تنهایی تجزیه و تحلیل کنید، با این فرض که Petya مسائل 2 و 3 را حل کرده است.

به طور کلی از محمول اوه)می توانید دو عبارت دریافت کنید - /xA(x)و 3x4 (x). با این حال، فرمول اغلب نوشته شده است اوه)دقیقاً به عنوان عبارت Vx4 (.x) درک می شود، اگرچه کمیت کننده عمومی هنگام نوشتن یا فرمول بندی حذف می شود. مثلاً با نوشتن d- 2 > 0 به این معناست که مجذور هر عدد حقیقی غیرمنفی است. بیانیه کامل بیانیه این است: Ulg(dg?0). رکورد (4x + 6y): 2،جایی که*، y -اعداد صحیح، فرض می کند که مجموع مشخص شده همیشه بر 2 بخش پذیر است، یعنی زوج. برای تاکید بر این موضوع باید V*Vy((4.x + 6jy):2) بنویسیم.

علائم ریاضی و نشانه های پیوندهای منطقی تعریف شده در دو پاراگراف آخر الفبای زبان ریاضی را تشکیل می دهند.

در تفکر، ما نه تنها با قضاوت‌های ساده، بلکه با قضاوت‌های پیچیده نیز عمل می‌کنیم که از قضاوت‌های ساده از طریق اتصالات (یا عملیات) منطقی - پیوند، تفکیک، دلالت، هم ارزی، نفی، که ثابت‌های منطقی یا ثابت‌های منطقی نیز نامیده می‌شوند، عمل می‌کنیم. بیایید تجزیه و تحلیل کنیم که چگونه پیوندهای منطقی ذکر شده در زبان طبیعی (روسی) بیان می شود.

ربط (علامت "^") با حروف ربط بیان می شود: "و"، "الف"، "اما"، "بله"، "اگرچه"، "که"، "اما"، "اما"، "نه تنها... در منطق گزاره ای، علامت «Ù» گزاره های ساده را به هم متصل می کند و از آنها گزاره های پیچیده تشکیل می دهد. در زبان طبیعی، حرف ربط «و» و سایر کلمات مربوط به حرف ربط می‌تواند اسم، افعال، قید، صفت و سایر بخش‌های گفتار را به هم متصل کند. به عنوان مثال: "بچه ها آواز خواندند و خندیدند" (آ^ب)؛"یک کتاب جالب و با طراحی زیبا روی میز قرار دارد." آخرین عبارت را نمی توان به دو جمله ساده که با یک ربط متصل می شوند تقسیم کرد:

«کتاب جالبی روی میز دراز کشیده است» و «کتابی با طراحی زیبا روی میز خوابیده است»، به نظر می رسد که روی میز دو کتاب وجود دارد، نه یکی.

در منطق گزاره ای قانون پیوند جابجایی وجود دارد (a^b) = (b^a).در زبان طبیعی روسی چنین قانونی وجود ندارد، زیرا عامل زمان عمل می کند. در جایی که توالی در زمان در نظر گرفته می شود، استفاده از حرف ربط "و" غیر جابجایی است. بنابراین، به عنوان مثال، دو عبارت زیر معادل نخواهد بود: 1) "جین ازدواج کرد و صاحب فرزند شد" و 2) "جین یک فرزند داشت و ازدواج کرد."

در زبان طبیعی، ربط را می توان نه تنها با کلمات، بلکه با علائم نگارشی نیز بیان کرد: کاما، نقطه ویرگول، خط تیره. به عنوان مثال: "رعد و برق درخشید، رعد و برق غرش کرد و باران شروع به باریدن کرد."

S. Kleene در مورد بیان ربط با استفاده از زبان طبیعی در کتاب خود "منطق ریاضی" می نویسد. در بخش "تحلیل استدلال"، او فهرستی (غیر جامع) از عبارات زبان طبیعی را ارائه می دهد که می توانند جایگزین شوند.

نمادهای "^" (یا "&"). فرمول A^Bدر زبان طبیعی می توان آن را اینگونه بیان کرد:

نه تنها A، بلکه B. هر دو A و B.

ب، اگرچه A.A همراه با B .

B، با وجود A A، در حالی که B.

این را به خواننده واگذار می کنیم که برای همه این ساختارها مثال هایی بیاورد.

در زبان طبیعی (روسی)، تفکیک (نشان داده شده است آ بو آ ύ ب)با حروف ربط بیان می شود: "یا"، "یا"، "یا...، یا" و غیره. به عنوان مثال: "عصر به سینما یا کتابخانه خواهم رفت". "این حیوان متعلق به مهره داران یا بی مهرگان است". این مقاله یا بر اساس آثار L. N. Tolstoy یا بر اساس آثار F. M. Dostoevsky خواهد بود.

در منطق گزاره ها، یک تفکیک آزاد متمایز می شود، به عنوان مثال: "من به او گل یا کتاب می دهم" (آ ب)و یک تفکیک شدید، به عنوان مثال: "این دانش آموز در موسسه یا در خانه است" ( آ ύ ب).در تفکیک غیر مقید، شروط تفکیک یکدیگر را مستثنی نمی کنند، اما در تفکیک شدید، این موارد را حذف می کنند. برای هر دو نوع تفکیک قانون جابجایی اعمال می شود.

قضاوت ربطی.

قضاوت ربطی- قضاوتی که اگر و تنها در صورتی صادق باشد که همه گزاره های موجود در آن صادق باشند.

این از طریق یک پیوند منطقی از ربط شکل می گیرد که با حروف ربط دستوری "و"، "بله"، "اما"، "اما" بیان می شود. مثلا، "می درخشد، اما گرم نمی شود."

به صورت نمادین به صورت زیر نشان داده می شود: A?B، که در آن A، B متغیرهایی هستند که قضاوت های ساده را نشان می دهند، ? یک بیان نمادین از ربط منطقی ربط است.

تعریف یک ربط با جدول صدق مطابقت دارد:

قضاوت های منفصل

دو نوع گزاره انفصالی وجود دارد: انفصال قاطع (انحصاری) و انفصال غیر مقید (غیر انحصاری).

تفکیک شدید (انحصاری).- قضاوت پیچیده ای که معنای منطقی صدق را به خود می گیرد اگر و تنها در صورتی که فقط یکی از گزاره های موجود در آن صادق باشد یا «در صورتی که هر دو گزاره نادرست باشند، نادرست است». مثلا، "یک عدد معین یا مضرب است یا مضرب پنج نیست."

تفکیک پیوند منطقی از طریق پیوند دستوری "یا ... یا" بیان می شود.

به صورت نمادین A?B نوشته شده است.

مقدار منطقی یک تفکیک دقیق با جدول صدق مطابقت دارد:

تفکیک غیر دقیق (غیر انحصاری).- قضاوت پیچیده ای که معنای منطقی صدق را به خود می گیرد اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی (اما ممکن است بیشتر باشد) از قضاوت های ساده موجود در پیچیده صادق باشد. مثلا، "نویسندگان می توانند شاعر باشند یا نثرنویس (یا هر دو)".

تفکیک آزاد از طریق پیوند دستوری "یا ... یا" به معنای تقسیم کننده - ربط بیان می شود.

به صورت نمادین نوشته شده A ? ب. یک تفکیک غیر دقیق با جدول صدق مطابقت دارد:

گزاره های ضمنی (شرطی).

پیامد- یک قضاوت پیچیده که ارزش منطقی نادرستی را می گیرد اگر و فقط اگر قضاوت قبلی ( پیشین) درست است و موارد زیر ( در نتیجه) نادرست است.

در زبان طبیعی، دلالت با حرف ربط «اگر...، آنگاه» به معنای «احتمالاً A و نه B» بیان می‌شود. مثلا، "اگر عددی بر 9 بخش پذیر باشد، بر 3 بخش پذیر است."

به طور نمادین، مفهوم A>B نوشته می شود (اگر A، سپس B).

یک مقدار بولی در جدول صدق نشان داده می شود:

تحلیل خصوصیات دلالت نشان می دهد که صدق مقدم است شرایط کافیحقیقت نتیجه، اما نه برعکس. شرط کافی برای یک پدیده معین، چنین شرایطی تلقی می شود که قطعاً وجود آن باعث بروز این پدیده می شود. مثلا، "توس بودن"شرط کافی برای گنجاندن آن در طبقه درختان است، زیرا همه غان ها درخت هستند و حتی یک توس درخت نیست.

در عین حال، حقیقت نتیجه است یک شرط ضروریحقیقت مقدم است، اما کافی نیست. شرط لازم برای یک پدیده، شرطی است که بدون آن (پدیده) رخ ندهد. به عنوان مثال، کلاس توس در طبقه درختان قرار می گیرد، اما با آن برابر نیست. درختانی هستند که توس نیستند. با این حال، شرط "درخت بودن"برای توس اجباری است، زیرا همه توس ها درخت هستند.

پارادوکس های دلالت مادی.

این نشان دهنده اختلاف معنایی بین عملکرد دلالت مادی و فرمول نمادین آن است: A>B. با توجه به دلالت مادی صدق A، برای صدق فرمول A>B لازم است که B نیز صادق باشد. در این مورد، ما در مورد درک معنادار نادرستی و صدق یک گزاره صحبت می کنیم. با این حال، فرمول A>B نه تنها در مورد نشان داده شده درست است، بلکه زمانی که A نادرست است و B درست است و زمانی که هر دو نادرست هستند، صادق است. از این واقعیت، پارادوکس دلالت مادی ناشی می شود: هر گزاره ای از یک گزاره نادرست، هر چیزی ناشی می شود، و یک گزاره درست از هر گزاره ای ناشی می شود.

قضاوت های هم ارزی

برابری- داوری پیچیده ای که معنای منطقی صدق را به خود می گیرد اگر و تنها در صورتی که احکام مندرج در آن معنای منطقی یکسانی داشته باشند، یعنی همزمان درست یا نادرست باشند.

پیوند منطقی هم ارزی با حروف ربط دستوری "اگر و فقط اگر"، "اگر و فقط اگر" بیان می شود. مثلا، "اگر و فقط اگر مثلثی متساوی الاضلاع باشد، متساوی الاضلاع است."

به صورت نمادین معادل نوشته می شود ABیا AB("اگر و تنها اگر آ، سپس B").

مقدار هم ارزی منطقی با جدول صدق مطابقت دارد:

یک قضاوت معادل با اصطلاحات مرتبط در محتوا به طور همزمان یک شرط کافی و ضروری را بیان می کند: (A>B)؟ (B>A).

معادل بودن عبارات (AB) و (A>B)؟(B>A) را می توان با استفاده از جدول صدق اثبات کرد.

نفی.

نفییک عملیات منطقی است که به کمک آن یک گزاره جدید از یک گزاره به دست می آید، در حالی که یک گزاره ساده P به یک گزاره پیچیده تبدیل می شود و اگر گزاره ساده اصلی درست باشد، گزاره پیچیده جدید نادرست است - "این است درست نیست که «P» یا «گزاره A نادرست است وقتی گزاره АЇ درست باشد».

بیان برخی پیوندهای منطقی از طریق برخی دیگر.

پیوندهای منطقی مورد بحث در بالا قابل تعویض و بیان از طریق دیگران هستند. مثلا:

A>B = A?B - دلالت از طریق تفکیک;

A>B = B>A - دلالت از طریق دلالت;

A> B = A؟ ب - دلالت از طریق ربط;

A?B = A? ب - ربط از طریق تفکیک;

A?B = A? ب - تفکیک از طریق ربط;

A?B = A? ب - ربط از طریق تفکیک.