تعریف: شکل درجه دوم، مربوط به یک فرم دوخطی متقارن در فضای خطی است V ، تابعی از یک آرگومان برداری نامیده می شود .

بگذارید یک فرم درجه دوم داده شود و شکل دوخطی متقارن مربوطه باشد. سپس

از این رو نتیجه می شود که با توجه به یک فرم درجه دوم، شکل دوخطی متقارن مربوطه نیز به طور منحصر به فرد تعیین می شود. بنابراین، بین فرم های متقارن دوخطی و درجه دوم در فضای خطی V مطابقت یک به یک برقرار می شود، بنابراین فرم های درجه دوم را می توان با استفاده از فرم های دوخطی متقارن مطالعه کرد.

در نظر بگیریم nفضای خطی بعدی ماتریس فرم درجه دوم در یک مبنای معین از یک فضای خطی، ماتریس شکل دوخطی متقارن متناظر آن در همان مبنای است. یک ماتریس از فرم درجه دوم همیشه متقارن است.

اجازه دهید ماتریسی از فرم درجه دوم را در برخی از پایه های فضا نشان دهیم. اگر طبق معمول تعیین کنیم ایکسستون مختصات بردار بر همین اساس، سپس از برابری 5.5 شکل ماتریسی نوشتن فرم درجه دوم را بدست می آوریم:

.

قضیه 5.4.بگذارید دو پایه در فضای خطی داده شود

(5.10)

, (5.11)

و به ترتیب در پایه های (5.10) و (5.11) ماتریس هایی به شکل درجه دوم باشد. بعد کجا تی- ماتریس انتقال از (5.10) به (5.11).

اثبات از قضیه 5.2 و تعریف ماتریس فرم درجه دوم به دست می آید.

با توجه به اینکه ماتریس انتقال تیغیر انحطاط است، پس هنگام انتقال به یک پایه جدید، رتبه ماتریس شکل درجه دوم تغییر نمی کند. بنابراین می‌توانیم تعریف زیر را بیان کنیم.

تعریف. رتبه یک شکل درجه دوم که روی یک فضای خطی تعریف شده است، رتبه ماتریس آن در برخی، و بنابراین در هر پایه ای از فضا است (که با نشان داده می شود).

حالا بیایید شکل درجه دوم را به صورت مختصات بنویسیم. برای انجام این کار، بردار را به پایه (5.10) گسترش می دهیم: . اگر ماتریسی از شکل درجه دوم بر همین اساس باشد، مطابق برابری (5.4) داریم

– (5.12)

نماد مختصات فرم درجه دوم. اجازه دهید (5.12) را با جزئیات بنویسیم n= 3، با توجه به آن

بنابراین، اگر مبنایی داده شود، شکل درجه دوم در نماد مختصات شبیه یک چند جمله ای همگن درجه دوم در nمتغیرها - مختصات برداری در یک مبنای معین. این چند جمله ای نامیده می شود چشم انداز شکل درجه دوم در یک مبنای معین. اما در کاربردها، چنین چندجمله ای ها اغلب به طور مستقل و بدون ارتباط قابل مشاهده با فضاهای خطی (مثلاً دیفرانسیل دوم توابع) به وجود می آیند، بنابراین ما تعریف دیگری از شکل درجه دوم ارائه خواهیم کرد.

تعریف. فرم درجه دوم از nمتغیرها در این متغیرها یک چند جمله ای همگن درجه دوم نامیده می شود، یعنی تابعی از شکل (5.12). ماتریسی به شکل درجه دوم (5.12) یک ماتریس متقارن است.

مثالتدوین یک ماتریس از فرم درجه دوم. اجازه دهید

از (5.12) و (5.13) واضح است که ضریب at منطبق بر , i.e. عناصر مورب یک ماتریس با فرم درجه دوم ضرایب مربع هستند. به همین ترتیب، ما می بینیم که - نصف ضریب محصول. بنابراین، ماتریس فرم درجه دوم (5.14) به شکل زیر است:

.

اکنون دوباره دو پایه (5.10) و (5.11) را در فاصله انتخاب می کنیم و طبق معمول نشان می دهیم: ستون های مختصات بردار در پایه های (5.10) و (5.11) هستند. هنگام حرکت از مبنا (5.10) به پایه (5.11)، مختصات بردار طبق قانون تغییر می کند:

ماتریس انتقال از (5.10) به (5.11) کجاست. توجه داشته باشید که ماتریس غیر انحطاط است. اجازه دهید برابری (5.15) را به صورت مختصات بنویسیم:

یا به تفصیل:

(5.17)

با استفاده از برابری (5.17) (یا (5.16)، که همان چیزی است)، از متغیرها به متغیرها حرکت می کنیم.

تعریف. تبدیل خطی غیر انحطاط متغیرها تبدیل متغیرهایی است که توسط یک سیستم برابری (5.16) یا (5.17) یا یک برابری ماتریس منفرد (5.15) تعریف شده است، مشروط بر اینکه یک ماتریس غیر منفرد باشد. ماتریس تیماتریس این تبدیل متغیرها نامیده می شود.

اگر در (5.12) به جای متغیرها، عبارات آنها را از طریق متغیرها با توجه به فرمول (5.17) جایگزین کنیم، براکت ها را باز کرده و موارد مشابه را بیاوریم، آنگاه چند جمله ای همگن دیگر درجه دوم به دست می آوریم:

.

در این مورد، تبدیل خطی غیر منحط متغیرها (5.17) گفته می شود که شکل درجه دوم را به شکل درجه دوم تبدیل می کند. مقادیر متغیرها و مرتبط با رابطه (5.15) (یا روابط (5.16) یا (5.17)) نامیده می شود. مربوط برای یک تبدیل خطی داده شده غیر منحط از متغیرها.

تعریف.مجموعه متغیرها نامیده می شود غیر پیش پا افتاده ، اگر مقدار حداقل یکی از متغیرها با صفر متفاوت باشد. در غیر این صورت مجموعه متغیرها نامیده می شود ناچیز .

لم 5.2.با یک تبدیل خطی غیر منحط متغیرها، یک مجموعه بی اهمیت از متغیرها با یک مجموعه بی اهمیت مطابقت دارد.

از تساوی (5.15)، آشکارا چنین می شود: اگر، پس . از سوی دیگر، با استفاده از عدم انحطاط ماتریس تی، دوباره از (5.15) بدست می آوریم که از آن مشخص است که برای ، همچنین .◄

نتیجه.با یک تبدیل خطی غیر منحط متغیرها، یک مجموعه غیر پیش پا افتاده از متغیرها با یک مجموعه غیر پیش پا افتاده مطابقت دارد.

قضیه 5.5.اگر تبدیل خطی غیر انحطاط (5.15) شکل درجه دوم به خود بگیرد با ماتریس آبه شکل درجه دوم با ماتریس آ"، سپس (فرمول دیگری از قضیه 5.4).

نتیجه.با تبدیل خطی غیر انحطاط متغیرها، تعیین کننده یک ماتریس از فرم درجه دوم علامت تغییر نمی کند.

اظهار نظر.بر خلاف ماتریس انتقال و ماتریس یک عملگر خطی، ماتریس یک تبدیل خطی غیر منحط متغیرها نه در ستون ها، بلکه در ردیف ها نوشته می شود.

اجازه دهید دو تبدیل خطی غیر منحط متغیرها داده شود:

بیایید آنها را به ترتیب اعمال کنیم:

ترکیب تبدیل های خطی غیر انحطاط متغیرها(5.18) و (5.19) کاربرد ترتیبی آنها نامیده می شود، یعنی تبدیل متغیرها از (5.20) مشخص است که ترکیب دو تبدیل خطی غیر انحطاط متغیرها نیز یک تبدیل خطی غیر منحط است.

تعریف.فرم های درجه دوم نامیده می شوند معادل ، اگر یک تبدیل خطی غیر انحطاط متغیرها وجود داشته باشد که یکی از آنها را به دیگری ببرد.

اشکال مربع
علامت قطعیت اشکال. معیار سیلوستر

صفت "مربع" بلافاصله نشان می دهد که چیزی در اینجا با یک مربع (درجه دوم) مرتبط است و خیلی زود ما این "چیزی" و شکل آن را خواهیم فهمید. معلوم شد که این یک زبانه است :)

به درس جدید من خوش آمدید، و به عنوان یک گرم کردن فوری، شکل راه راه را بررسی خواهیم کرد خطی. فرم خطی متغیرهاتماس گرفت همگنچند جمله ای درجه 1:

- تعدادی اعداد خاص * (فرض می کنیم که حداقل یکی از آنها غیر صفر باشد)، a متغیرهایی هستند که می توانند مقادیر دلخواه را بگیرند.

* در چارچوب این موضوع ما فقط در نظر خواهیم گرفت اعداد واقعی .

ما قبلاً در درس مربوطه با اصطلاح "همگن" روبرو شده ایم سیستم های همگن معادلات خطی، و در این حالت به این معنی است که چند جمله ای ثابت مثبت ندارد.

مثلا: - شکل خطی دو متغیر

حالا شکل درجه دوم است. شکل درجه دوم متغیرهاتماس گرفت همگنچند جمله ای درجه 2، هر ترم کهشامل مربع متغیر یا دو برابر می شودحاصل ضرب متغیرها بنابراین، برای مثال، شکل درجه دوم دو متغیر به شکل زیر است:

توجه!این یک ورودی استاندارد است و نیازی به تغییر چیزی در مورد آن نیست! علیرغم ظاهر "ترسناک"، همه چیز در اینجا ساده است - زیرنویس های دوگانه ثابت سیگنال می دهند که کدام متغیر در کدام عبارت گنجانده شده است:
- این عبارت شامل محصول و (مربع) است.
- کار اینجاست.
- و کار اینجاست.

- وقتی آنها "منهای" یک ضریب را از دست می دهند، فوراً یک اشتباه فاحش را پیش بینی می کنم، بدون اینکه درک کنم که به یک اصطلاح اشاره دارد:

گاهی اوقات یک گزینه طراحی "مدرسه" در روح وجود دارد، اما فقط گاهی اوقات. به هر حال، توجه داشته باشید که ثابت ها در اینجا به هیچ وجه چیزی به ما نمی گویند، و بنابراین به خاطر سپردن "نشان دهی آسان" دشوارتر است. به خصوص زمانی که متغیرهای بیشتری وجود دارد.

و شکل درجه دوم سه متغیر قبلاً شامل شش عبارت است:

... چرا "دو" عامل در اصطلاح "مخلوط" قرار می گیرند؟ این راحت است و به زودی مشخص خواهد شد که چرا.

با این حال، بیایید فرمول کلی را بنویسیم، نوشتن آن در یک "ورق" راحت است:

- ما هر خط را به دقت مطالعه می کنیم - هیچ ایرادی در آن وجود ندارد!

شکل درجه دوم شامل عبارت هایی با مربع های متغیرها و عبارت هایی با محصولات زوجی آنهاست (سانتی متر. فرمول ترکیبی ترکیبی) . هیچ چیز بیشتر - بدون "X تنها" و بدون ثابت اضافه (در این صورت شما یک فرم درجه دوم دریافت نمی کنید، اما ناهمگونچند جمله ای درجه 2).

نمادگذاری ماتریسی فرم درجه دوم

بسته به مقادیر، شکل مورد نظر می تواند هر دو ارزش مثبت و منفی داشته باشد، و همین امر در مورد هر شکل خطی صدق می کند - اگر حداقل یکی از ضرایب آن با صفر متفاوت باشد، می تواند مثبت یا منفی باشد (بسته به ارزش های).

این فرم نامیده می شود علامت متناوب. و اگر همه چیز با فرم خطی شفاف باشد، با شکل درجه دوم همه چیز بسیار جالب تر است:

کاملاً واضح است که این شکل می تواند معنای هر نشانه ای را به خود بگیرد، بنابراین شکل درجه دوم نیز می تواند متناوب باشد.

ممکن است نباشد:

- همیشه، مگر اینکه به طور همزمان برابر با صفر باشد.

- برای هرکس برداربه جز صفر

و به طور کلی،اگر برای کسی غیر صفربردار، سپس فرم درجه دوم نامیده می شود مثبت قطعی; اگر چنین است پس قطعی منفی.

و همه چیز خوب خواهد بود، اما قطعیت شکل درجه دوم فقط در مثال های ساده قابل مشاهده است و این دید حتی با یک پیچیدگی جزئی از بین می رود:
– ?

ممکن است تصور شود که فرم به طور مثبت تعریف شده است، اما آیا واقعاً چنین است؟ اگر مقادیری وجود داشته باشند که در آنها کمتر از صفر باشد چه؟

در این نمره وجود دارد قضیه: اگر همه مقادیر ویژهماتریس های فرم درجه دوم مثبت هستند * ، پس قطعی مثبت است. اگر همه منفی هستند، پس منفی هستند.

* در تئوری ثابت شده است که همه مقادیر ویژه یک ماتریس متقارن واقعی هستند معتبر

بیایید ماتریس فرم بالا را بنویسیم:
و از معادله بیا او را پیدا کنیم مقادیر ویژه:

بیایید قدیمی های خوب را حل کنیم معادله درجه دوم:

، که به معنای شکل است به طور مثبت تعریف می شود، یعنی. برای هر مقدار غیر صفر بزرگتر از صفر است.

به نظر می رسد روش در نظر گرفته شده کار می کند، اما یک BUT بزرگ وجود دارد. در حال حاضر برای یک ماتریس سه در سه، جستجوی اعداد مناسب یک کار طولانی و ناخوشایند است. با احتمال زیاد یک چند جمله ای درجه 3 با ریشه های غیر منطقی دریافت خواهید کرد.

باید چکار کنم؟ یک راه ساده تر وجود دارد!

معیار سیلوستر

نه، نه سیلوستر استالونه :) اول، اجازه دهید به شما یادآوری کنم که چیست خردسالان گوشهماتریس ها این مقدماتی که از گوشه سمت چپ بالای آن "رشد" می کنند:

و آخرین مورد دقیقاً برابر با تعیین کننده ماتریس است.

اکنون، در واقع، معیار:

1) فرم درجه دوم تعریف شده است مثبتاگر و فقط در صورتی که همه مینورهای زاویه ای آن بزرگتر از صفر باشند: .

2) فرم درجه دوم تعریف شده است منفیاگر و فقط اگر مینورهای زاویه‌ای آن در علامت متناوب باشند، که مینور اول کمتر از صفر باشد: , , اگر – زوج یا اگر – فرد.

اگر حداقل یک مینور زاویه‌ای دارای علامت مخالف باشد، فرم علامت متناوب. اگر مینورهای زاویه ای از علامت "راست" باشند، اما در بین آنها صفر وجود دارد، پس این یک مورد خاص است که پس از بررسی نمونه های رایج تر، کمی بعد آن را بررسی خواهم کرد.

بیایید مینورهای زاویه ای ماتریس را تحلیل کنیم :

و این بلافاصله به ما می گوید که فرم به صورت منفی تعریف نشده است.

نتیجه: تمام مینورهای گوشه بزرگتر از صفر هستند که به معنای فرم است مثبت تعریف شده است.

آیا با روش مقدار ویژه تفاوتی وجود دارد؟ ;)

اجازه دهید ماتریس فرم را از آن بنویسیم مثال 1:

اولی مینور زاویه ای آن است و دومی ، که از آن نتیجه می شود که شکل در علامت متناوب است، i.e. بسته به مقادیر، می تواند هر دو ارزش مثبت و منفی داشته باشد. با این حال، این در حال حاضر آشکار است.

بیایید فرم و ماتریس آن را از آن بگیریم مثال 2:

هیچ راهی برای فهمیدن این موضوع بدون بینش وجود ندارد. اما با معیار سیلوستر ما اهمیتی نمی دهیم:
بنابراین، فرم قطعا منفی نیست.

و قطعا مثبت نیست (از آنجایی که همه مینورهای زاویه ای باید مثبت باشند).

نتیجه: شکل متناوب است.

نمونه های گرم کردن برای راه حل مستقل:

مثال 4

اشکال درجه دوم را برای قطعیت علامت بررسی کنید

آ)

در این مثال ها همه چیز صاف است (پایان درس را ببینید)، اما در واقع، برای تکمیل چنین کاری ممکن است معیار سیلوستر کافی نباشد.

نکته این است که موارد "لبه" وجود دارد، یعنی: در صورت وجود غیر صفربردار، سپس شکل مشخص می شود غیر منفی، اگر پس از آن منفی. این فرم ها دارند غیر صفربردارهایی که برای آنها .

در اینجا می توانید "آکاردئون" زیر را نقل کنید:

مشخص کردن مربع کامل، بلافاصله می بینیم غیر منفی بودنفرم:، و برای هر بردار با مختصات مساوی برابر با صفر است، برای مثال: .

مثال "آینه". منفییک فرم خاص:

و یک مثال حتی پیش پا افتاده تر:
- در اینجا شکل برای هر بردار برابر با صفر است، جایی که یک عدد دلخواه است.

چگونه اشکال غیر منفی یا غیر مثبت را تشخیص دهیم؟

برای این ما به مفهوم نیاز داریم خردسالان اصلی ماتریس ها ماژور مینور یا ماژور مینور متشکل از عناصری است که در محل تقاطع سطرها و ستون هایی با اعداد یکسان قرار دارند. بنابراین، ماتریس دارای دو مینور اصلی از مرتبه 1 است:
(عنصر در تقاطع ردیف 1 و ستون 1 قرار دارد).
(عنصر در تقاطع ردیف دوم و ستون دوم قرار دارد)

و یک مینور اصلی درجه 2:
- از عناصر ردیف 1، 2 و ستون 1، 2 تشکیل شده است.

ماتریس "سه در سه" است هفت مینور اصلی وجود دارد، و در اینجا باید عضله دوسر خود را خم کنید:
- سه خردسال درجه 1،
سه خردسال مرتبه دوم:
- متشکل از عناصر ردیف 1، 2 و ستون 1، 2؛
- از عناصر ردیف 1، 3 و ستون 1، 3 تشکیل شده است.
- متشکل از عناصر ردیف 2، 3 و ستون 2، 3،
و یک مرتبه سوم جزئی:
- متشکل از عناصر ردیف 1، 2، 3 و ستون 1، 2 و 3.
ورزشبرای درک: تمام مینورهای اصلی ماتریس را بنویسید .
در پایان درس چک می کنیم و ادامه می دهیم.

معیار شوارتزنگر:

1) غیر صفر * فرم درجه دوم تعریف شده است غیر منفیاگر و فقط اگر همه خردسالان اصلی آن غیر منفی(بزرگ یا مساوی صفر).

* شکل درجه دوم صفر (منحط) همه ضرایب برابر با صفر است.

2) فرم درجه دوم غیر صفر با ماتریس تعریف شده است منفیاگر و تنها اگر:
- خردسالان درجه یک غیر مثبت(کمتر یا مساوی صفر)؛
- خردسالان اصلی درجه 2 غیر منفی;
- خردسالان اصلی درجه 3 غیر مثبت(تناوب آغاز شد)؛
…
- ماژور مینور از مرتبه هفتم غیر مثبت، اگر – فرد یا غیر منفی، اگر - حتی.

اگر حداقل یک مینور دارای علامت مخالف باشد، در این صورت شکل متناوب است.

بیایید ببینیم که معیار در مثال های بالا چگونه کار می کند:

بیایید یک ماتریس شکل ایجاد کنیم، و اولابیایید مینورهای زاویه ای را محاسبه کنیم - اگر مثبت یا منفی تعریف شود چه؟

مقادیر به‌دست‌آمده معیار سیلوستر را برآورده نمی‌کند، اما جزئی دوم را برآورده می‌کند منفی نیست، و این امر بررسی معیار دوم را ضروری می کند (در مورد معیار دوم به طور خودکار برآورده نمی شود، یعنی بلافاصله نتیجه گیری در مورد تناوب علامت فرم گرفته می شود).

خردسالان اصلی مرتبه 1:
- مثبت،
ماژور مینور مرتبه دوم:
- منفی نیست

بنابراین، همه ماژورهای جزئی منفی نیستند، که به معنای فرم است غیر منفی.

بیایید ماتریس فرم را بنویسیم ، که مشخصاً معیار سیلوستر برای آن رعایت نمی شود. اما ما همچنین علائم مخالف دریافت نکردیم (زیرا هر دو فرعی زاویه ای برابر با صفر هستند). بنابراین، ما تحقق معیار غیر منفی / غیر مثبت را بررسی می کنیم. خردسالان اصلی مرتبه 1:
- مثبت نیست،
ماژور مینور مرتبه دوم:
- منفی نیست

بنابراین، با توجه به معیار شوارتزنگر (نقطه 2)، فرم غیر مثبت تعریف شده است.

حالا بیایید یک مشکل جالب تر را دقیق تر بررسی کنیم:

مثال 5

شکل درجه دوم را از نظر قطعیت علامت بررسی کنید

این فرم با ترتیب "آلفا" تزئین شده است که می تواند برابر با هر عدد واقعی باشد. اما این فقط سرگرم کننده تر خواهد بود ما تصمیم گرفتیم.

ابتدا، اجازه دهید ماتریس فرم را یادداشت کنیم، احتمالاً بسیاری از مردم قبلاً به انجام این کار به صورت شفاهی عادت کرده اند: on مورب اصلیضرایب مربع ها را قرار می دهیم و در مکان های متقارن نیمی از ضرایب محصولات "مخلوط" مربوطه را قرار می دهیم:

بیایید مینورهای زاویه ای را محاسبه کنیم:

من تعیین کننده سوم را در خط 3 گسترش می دهم:

یک چند جمله ای همگن درجه 2 در چندین متغیر، شکل درجه دوم نامیده می شود.

شکل درجه دوم متغیرها از دو نوع عبارت تشکیل شده است: مربع متغیرها و حاصل ضربات زوجی آنها با مقداری ضرایب. شکل درجه دوم معمولاً به صورت نمودار مربع زیر نوشته می شود:

جفت اصطلاحات مشابه با ضرایب مساوی نوشته می شوند، به طوری که هر یک از آنها نیمی از ضریب حاصلضرب متناظر متغیرها را تشکیل می دهد. بنابراین، هر فرم درجه دوم به طور طبیعی با ماتریس ضریب خود، که متقارن است، مرتبط است.

نشان دادن شکل درجه دوم در نماد ماتریس زیر راحت است. اجازه دهید ستونی از متغیرها را با X نشان دهیم - یک ردیف، یعنی یک ماتریس که با X جابجا شده است. سپس

اشکال درجه دوم در بسیاری از شاخه های ریاضیات و کاربردهای آن یافت می شود.

در نظریه اعداد و کریستالوگرافی، اشکال درجه دوم با این فرض در نظر گرفته می شوند که متغیرها فقط مقادیر صحیح را می گیرند. در هندسه تحلیلی، شکل درجه دوم بخشی از معادله یک منحنی (یا سطح) نظم است. در مکانیک و فیزیک، به نظر می رسد که شکل درجه دوم انرژی جنبشی یک سیستم را از طریق مولفه های سرعت تعمیم یافته و غیره بیان می کند. اما علاوه بر این، مطالعه فرم های درجه دوم در تجزیه و تحلیل هنگام مطالعه توابع بسیاری از متغیرها، در سؤالات ضروری است. برای آن مهم است که بفهمیم چگونه این تابع در همسایگی یک نقطه معین از تابع خطی که آن را تقریب می کند انحراف می یابد. یک مثال از این نوع مسئله، مطالعه یک تابع برای حداکثر و حداقل آن است.

به عنوان مثال، مسئله مطالعه حداکثر و حداقل برای تابعی از دو متغیر که مشتقات جزئی پیوسته تا مرتبه دارند را در نظر بگیرید. شرط لازم برای اینکه یک نقطه حداکثر یا حداقل یک تابع را بدهد این است که مشتقات جزئی ترتیب در آن نقطه برابر با صفر باشند. بیایید به متغیرهای x و y افزایش کوچک و k بدهیم و افزایش متناظر تابع را طبق فرمول تیلور در نظر بگیریم، این افزایش تا مرتبه های کوچک بالاتر برابر است با شکل درجه دوم که مقادیر مشتقات دوم است. محاسبه شده در نقطه اگر این شکل درجه دوم برای همه مقادیر و k (به جز ) مثبت باشد، آنگاه تابع در نقطه یک حداقل دارد، پس دارای حداکثر است. در نهایت، اگر یک فرم هر دو ارزش مثبت و منفی داشته باشد، حداکثر یا حداقل وجود نخواهد داشت. توابع تعداد بیشتری از متغیرها نیز به روشی مشابه مورد مطالعه قرار می گیرند.

مطالعه اشکال درجه دوم عمدتاً شامل مطالعه مسئله هم ارزی اشکال با توجه به مجموعه ای از تبدیل های خطی متغیرها است. اگر بتوان یکی از آنها را از طریق یکی از تبدیل های یک مجموعه معین به دیگری تبدیل کرد، دو شکل درجه دوم معادل هستند. ارتباط نزدیک با مسئله هم ارزی، مشکل کاهش شکل است، یعنی. تبدیل آن به احتمالاً ساده ترین شکل.

در سؤالات مختلف مربوط به فرم های درجه دوم، مجموعه های مختلفی از تبدیل های قابل قبول متغیرها نیز در نظر گرفته شده است.

در سؤالات تجزیه و تحلیل، از هرگونه تبدیل غیر خاص متغیرها استفاده می شود. برای اهداف هندسه تحلیلی، تبدیل‌های متعامد بیشترین علاقه را دارند، یعنی آنهایی که با انتقال از یک سیستم مختصات دکارتی متغیر به دیگری مطابقت دارند. در نهایت در تئوری اعداد و کریستالوگرافی تبدیل های خطی با ضرایب صحیح و با دترمین برابر با واحد در نظر گرفته شده است.

ما دو مورد از این مشکلات را در نظر خواهیم گرفت: مسئله کاهش یک فرم درجه دوم به ساده ترین شکل آن از طریق هر تبدیل غیرمفرد و همان سوال برای تبدیل های متعامد. اول از همه، بیایید دریابیم که چگونه یک ماتریس از فرم درجه دوم در طول تبدیل خطی متغیرها تبدیل می شود.

اجازه دهید، جایی که A یک ماتریس متقارن از ضرایب شکل است، X ستونی از متغیرها است.

بیایید یک تبدیل خطی از متغیرها ایجاد کنیم و آن را به صورت اختصاری بنویسیم. در اینجا C نشان دهنده ماتریس ضرایب این تبدیل است، X ستونی از متغیرهای جدید است. پس و بنابراین، بنابراین ماتریس شکل درجه دوم تبدیل شده است

ماتریس به طور خودکار متقارن می شود که بررسی آن آسان است. بنابراین، مسئله کاهش یک فرم درجه دوم به ساده ترین شکل، معادل مسئله کاهش یک ماتریس متقارن به ساده ترین شکل با ضرب آن در سمت چپ و راست توسط ماتریس های متقابل است.

تعریف.اگر تمام مقادیر آن برای مقادیر واقعی متغیرهایی که به طور همزمان صفر نیستند، مثبت باشد، یک فرم درجه دوم قطعی مثبت نامیده می شود. بدیهی است که شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

تعریف.یک فرم درجه دوم را قطعی منفی می نامند اگر همه مقادیر آن منفی باشد، به استثنای یک مقدار غیر صفر برای مقادیر غیر صفر متغیرها.

تعریف. شکل درجه دوم اگر مقادیر منفی (مثبت) نداشته باشد به صورت نیمه معین مثبت (منفی) گفته می شود.

اشکال درجه دوم که هم مقادیر مثبت و هم ارزش منفی دارند نامعین نامیده می شوند.

در n=1، شکل درجه دوم یا قطعی مثبت (at) یا معین منفی (at) است. اشکال نامشخص زمانی ظاهر می شوند که .

قضیه(آزمون سیلوستر برای قطعیت مثبت یک فرم درجه دوم). به منظور شکل درجه دوم

با تعریف مثبت، رعایت شرایط زیر ضروری و کافی است:

.

اثبات ما از استقرا بر روی تعداد متغیرهای موجود در استفاده می کنیم. برای یک فرم درجه دوم بسته به یک متغیر، و بیان قضیه بدیهی است. فرض کنیم که این قضیه برای شکل درجه دوم بسته به آن صادق است n-1 متغیر.

1. اثبات ضرورت. اجازه دهید

مثبت قطعی سپس فرم درجه دوم

قطعی مثبت خواهد بود، زیرا اگر، پس در .

بر اساس فرضیه استقرا، تمام جزئی های اصلی شکل مثبت هستند، یعنی.

.

باقی مانده است که ثابت شود.

شکل درجه دوم قطعی مثبت با تبدیل خطی غیر منحط X=BYبه شکل متعارف کاهش یافته است

شکل درجه دوم مربوط به یک ماتریس مورب است

با تعیین کننده

تبدیل خطی که توسط یک ماتریس غیر منفرد تعریف شده است که در، ماتریس را تبدیل می کند باشکل درجه دوم به یک ماتریس. اما از آنجایی که که .

2. اثبات کفایت. فرض کنید همه مینورهای پیشرو شکل درجه دوم مثبت باشند: .

اجازه دهید ثابت کنیم که شکل درجه دوم مثبت قطعی است. فرض استقرا بر قطعیت مثبت شکل درجه دوم دلالت دارد . از همین رو با یک تبدیل خطی غیر منحط به شکل عادی کاهش می یابد. با ایجاد تغییر مناسب متغیرها و قرار دادن , دریافت می کنیم

جایی که - چند ضرایب جدید

با انجام تغییر متغیرها، دریافت می کنیم

.

تعیین کننده ماتریس این شکل درجه دوم برابر است با، و از آنجایی که علامت آن با علامت، منطبق است، پس، و بنابراین، شکل درجه دوم - مثبت قطعی قضیه ثابت شده است.

برای اینکه صورت درجه دوم معین منفی باشد، کافی و لازم است که

مثبت قطعی بود، به این معنی که همه جزئی های اصلی ماتریس

مثبت بودند. اما این به این معنی است

آن ها که نشانه های مینورهای اصلی ماتریس سیمتناوب، با علامت منفی شروع می شود.

مثال. مثبت (منفی) معین یا نامعین بودن یک شکل درجه دوم را محاسبه کنید.

راه حل. ماتریس فرم درجه دوم به شکل زیر است:

.

بیایید مینورهای اصلی ماتریس را محاسبه کنیم با:

شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

راه حل. بیایید مینورهای اصلی ماتریس را محاسبه کنیم

شکل درجه دوم نامشخص است.

در پایان، قضیه زیر را فرموله می کنیم.

قضیه(قانون اینرسی اشکال درجه دوم). تعداد مربع‌های مثبت و تعداد مربع‌های منفی در فرم معمولی که شکل درجه دوم با تبدیل‌های خطی غیر زوال به آن‌ها کاهش می‌یابد، به انتخاب این تبدیل‌ها بستگی ندارد.

7.5. تکالیف برای کار مستقل در فصل 7

7.1. ثابت کنید که اگر یک فرم درجه دوم با ماتریس باشد آقطعی مثبت است، پس شکل درجه دوم با ماتریس معکوس آن مثبت قطعی است.

7.2. شکل نرمال را در حوزه اعداد حقیقی پیدا کنید

7.3. شکل نرمال را در حوزه اعداد حقیقی پیدا کنید

مفهوم فرم درجه دوم. ماتریس فرم درجه دوم. شکل متعارف شکل درجه دوم. روش لاگرانژ نمای عادی یک فرم درجه دوم. رتبه، نمایه و امضای فرم درجه دوم. شکل درجه دوم قطعی مثبت. کوادریک.

مفهوم شکل درجه دوم:تابعی در فضای برداری که توسط یک چند جمله ای همگن درجه دوم در مختصات بردار تعریف شده است.

فرم درجه دوم از nناشناخته به جمعی گفته می شود که هر جمله آن یا مجذور یکی از مجهولات است یا حاصل ضرب دو مجهول مختلف.

ماتریس درجه دوم:ماتریس در یک مبنای معین، ماتریسی از فرم درجه دوم نامیده می شود. اگر مشخصه میدان برابر با 2 نباشد، می توانیم فرض کنیم که ماتریس شکل درجه دوم متقارن است، یعنی.

یک ماتریس از فرم درجه دوم بنویسید:

از این رو،

در فرم ماتریس برداری، شکل درجه دوم به صورت زیر است:

الف، کجا

شکل متعارف شکل درجه دوم:شکل درجه دوم اگر همه باشد، متعارف نامیده می شود یعنی

هر شکل درجه دوم را می توان با استفاده از تبدیل های خطی به شکل متعارف کاهش داد. در عمل معمولا از روش های زیر استفاده می شود.

روش لاگرانژ : انتخاب متوالی مربع های کامل به عنوان مثال، اگر

سپس یک روش مشابه با فرم درجه دوم انجام می شود و غیره اگر به صورت درجه دوم همه چیز باشد اما سپس پس از تبدیل اولیه، موضوع به رویه در نظر گرفته می شود. بنابراین، اگر، برای مثال، آنگاه فرض کنیم

فرم معمولی فرم درجه دوم:یک فرم درجه دوم معمولی یک شکل درجه دوم متعارف است که در آن همه ضرایب برابر با 1+ یا -1 هستند.

رتبه، فهرست و امضای فرم درجه دوم:رتبه فرم درجه دوم آرتبه ماتریس نامیده می شود آ. رتبه یک فرم درجه دوم تحت تبدیل غیر منحط مجهولات تغییر نمی کند.

تعداد ضرایب منفی را شاخص شکل منفی می گویند.

تعداد جمله های مثبت در شکل متعارف را شاخص مثبت اینرسی شکل درجه دوم، تعداد جمله های منفی را شاخص منفی می گویند. تفاوت بین شاخص های مثبت و منفی را امضای فرم درجه دوم می گویند

شکل درجه دوم قطعی مثبت:فرم درجه دوم واقعی اگر برای هر مقدار واقعی متغیرها که همزمان صفر نباشند، قطعی مثبت (معین منفی) نامیده می شود.

. (36)

در این مورد، ماتریس را قطعی مثبت (معین منفی) نیز می نامند.

کلاس اشکال قطعی مثبت (مشخص منفی) بخشی از کلاس اشکال غیر منفی (مثلاً غیر مثبت) است.

کوادریک:چهارگانه - nابرسطح بعدی در nفضای +1 بعدی که به عنوان مجموعه صفرهای یک چند جمله ای درجه دوم تعریف می شود. اگر مختصات را وارد کنید ( ایکس 1 , ایکس 2 , x n+1 ) (در فضای اقلیدسی یا همبستگی)، معادله کلی یک ربع است

این معادله را می توان به صورت فشرده تر در نمادهای ماتریسی بازنویسی کرد:

جایی که x = ( ایکس 1 , ایکس 2 , x n+1) - بردار ردیف، ایکس T یک بردار جابجا شده است، س- ماتریس اندازه ( n+1)×( n+1) (فرض می شود که حداقل یکی از عناصر آن غیر صفر باشد) پیک بردار ردیف است و آر- ثابت. کوادریک های بیش از اعداد حقیقی یا مختلط اغلب در نظر گرفته می شوند. این تعریف را می توان به ربع ها در فضای تصویری تعمیم داد، به زیر مراجعه کنید.

به طور کلی، مجموعه صفرهای یک سیستم معادلات چند جمله ای به عنوان یک تنوع جبری شناخته می شود. بنابراین، ربع یک نوع جبری (مرتبط یا تصویری) درجه دوم و کد 1 است.

دگرگونی های صفحه و فضا.

تعریف تبدیل هواپیما تشخیص حرکت. خواص حرکت دو نوع حرکت: حرکت نوع اول و حرکت نوع دوم. نمونه هایی از حرکات بیان تحلیلی حرکت طبقه بندی حرکات صفحه (بسته به وجود نقاط ثابت و خطوط ثابت). گروهی از حرکات هواپیما.

تعریف تبدیل هواپیما: تعریف.تبدیل صفحه ای که فاصله بین نقاط را حفظ کند نامیده می شود جنبش(یا حرکت) هواپیما. تبدیل هواپیما نامیده می شود وابسته، اگر هر سه نقطه روی یک خط را به سه نقطه تبدیل کند که روی همان خط قرار دارد و در عین حال رابطه ساده سه نقطه را حفظ کند.

تعریف حرکت:اینها تبدیلات شکلی هستند که فاصله بین نقاط را حفظ می کنند. اگر دو شکل دقیقاً از طریق حرکت با یکدیگر همسو شوند، این ارقام یکسان و برابر هستند.

ویژگی های حرکت:هر حرکت حفظ جهت یک صفحه یا یک انتقال موازی یا یک چرخش است. هنگام حرکت، نقاطی که روی یک خط مستقیم قرار دارند، به نقاطی روی یک خط مستقیم تبدیل می‌شوند و ترتیب موقعیت‌های نسبی آنها حفظ می‌شود. هنگام حرکت، زوایای بین نیم خطوط حفظ می شود.

دو نوع حرکت: حرکت نوع اول و حرکت نوع دوم:حرکات نوع اول آن دسته از حرکاتی هستند که جهت گیری پایه های یک شکل خاص را حفظ می کنند. آنها را می توان با حرکات مداوم متوجه شد.

حرکات نوع دوم آن دسته از حرکاتی هستند که جهت گیری پایه ها را به سمت مخالف تغییر می دهند. آنها را نمی توان با حرکات مداوم درک کرد.

نمونه هایی از حرکات نوع اول عبارتند از انتقال و چرخش حول یک خط مستقیم و حرکات نوع دوم تقارن مرکزی و آینه ای هستند.

ترکیب هر تعداد حرکت از نوع اول، حرکتی از نوع اول است.

ترکیب تعداد زوج از حرکات نوع دوم حرکت از نوع 1 و ترکیب تعداد فرد از حرکات نوع 2 حرکت نوع 2 است.

نمونه هایی از حرکات:انتقال موازی. بگذارید a بردار داده شده باشد. انتقال موازی به بردار a نگاشت صفحه روی خودش است که در آن هر نقطه M به نقطه M 1 نگاشت می شود، به طوری که بردار MM 1 برابر با بردار a است.

ترجمه موازی یک حرکت است زیرا نگاشت هواپیما روی خودش است و فاصله ها را حفظ می کند. این حرکت را می توان به صورت بصری به عنوان یک جابجایی کل صفحه در جهت یک بردار معین a با طول آن نشان داد.

چرخش.اجازه دهید نقطه O را در صفحه نشان دهیم ( مرکز چرخش) و زاویه α ( زاویه چرخش). چرخش صفحه به دور نقطه O با زاویه α، نگاشت صفحه روی خودش است که در آن هر نقطه M به نقطه M 1 نگاشت می شود، به طوری که OM = OM 1 و زاویه MOM 1 برابر با α است. در این حالت، نقطه O در جای خود باقی می ماند، یعنی بر روی خود نقشه برداری می شود، و تمام نقاط دیگر به دور نقطه O در همان جهت می چرخند - در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت (شکل یک چرخش خلاف جهت عقربه های ساعت را نشان می دهد).

چرخش یک حرکت است زیرا نشان‌دهنده نقشه‌برداری از صفحه روی خودش است که در آن فاصله‌ها حفظ می‌شوند.

بیان تحلیلی حرکت:ارتباط تحلیلی بین مختصات پیش تصویر و تصویر نقطه به شکل (1) است.

طبقه بندی حرکات صفحه (بسته به وجود نقاط ثابت و خطوط ثابت): تعریف:

یک نقطه در یک صفحه، اگر تحت یک تبدیل معین، به خودش تبدیل شود، ثابت (ثابت) است.

مثال: با تقارن مرکزی، نقطه مرکز تقارن ثابت است. هنگام چرخش، نقطه مرکز چرخش ثابت است. با تقارن محوری، خط ثابت یک خط مستقیم است - محور تقارن یک خط مستقیم از نقاط ثابت است.

قضیه: اگر حرکتی یک نقطه ثابت نداشته باشد، حداقل یک جهت ثابت دارد.

مثال: انتقال موازی. در واقع، خطوط مستقیم موازی با این جهت به عنوان یک شکل به عنوان یک کل ثابت هستند، اگرچه از نقاط ثابت تشکیل نشده است.

قضیه: اگر یک پرتو حرکت کند، پرتو به خود تبدیل می‌شود، آنگاه این حرکت یا تبدیلی یکسان یا تقارن نسبت به خط مستقیم حاوی پرتو داده شده است.

بنابراین، بر اساس وجود نقاط یا شکل های ثابت، می توان حرکات را طبقه بندی کرد.

نام جنبش	نقاط ثابت	خطوط ثابت
حرکت از نوع اول.
1. - چرخش	(مرکز) - 0	خیر
2. دگرگونی هویت	تمام نقاط هواپیما	همه مستقیم
3. تقارن مرکزی	نقطه 0 - مرکز	تمام خطوطی که از نقطه 0 عبور می کنند
4. انتقال موازی	خیر	همه مستقیم
حرکت از نوع دوم.
5. تقارن محوری.	مجموعه ای از نقاط	محور تقارن (خط مستقیم) همه خطوط مستقیم

گروه حرکت هواپیما:در هندسه، گروه‌هایی از خود ترکیب‌بندی‌ها نقش مهمی دارند. اگر یک شکل معین در یک صفحه (یا در فضا) باشد، آنگاه می‌توانیم مجموعه تمام آن حرکات صفحه (یا فضا) را در نظر بگیریم که طی آن شکل به خود تبدیل می‌شود.

این مجموعه یک گروه است. به عنوان مثال، برای یک مثلث متساوی الاضلاع، گروهی از حرکات صفحه ای که مثلث را به خود تبدیل می کند از 6 عنصر تشکیل شده است: چرخش در زوایای حول یک نقطه و تقارن در حدود سه خط مستقیم.

آنها در شکل نشان داده شده اند. 1 خط قرمز عناصر گروه خود ترازهای یک مثلث منظم را می توان به طور متفاوتی مشخص کرد. برای توضیح این موضوع، اجازه دهید رئوس یک مثلث منتظم را با اعداد 1، 2، 3 شماره گذاری کنیم. هر خود تراز شدن مثلث، نقاط 1، 2، 3 را به همان نقاط می برد، اما به ترتیب متفاوتی گرفته می شود. را می توان به صورت مشروط در قالب یکی از این کروشه ها نوشت:

و غیره.

که در آن اعداد 1، 2، 3 اعداد آن رئوس را نشان می دهند که رئوس 1، 2، 3 در نتیجه حرکت مورد بررسی به آنها می روند.

فضاهای پروجکتیو و مدل های آنها.

مفهوم فضای تصویری و مدل فضای تصویری. حقایق اساسی هندسه تصویری دسته ای از خطوط در مرکز نقطه O مدلی از صفحه پرتاب کننده است. نکات فرافکنی صفحه توسعه یافته مدلی از صفحه نمایشی است. فضای افین یا اقلیدسی توسعه یافته سه بعدی مدلی از فضای تصویری است. تصاویر فیگورهای مسطح و فضایی در طراحی موازی.

مفهوم فضای تصویری و مدل فضای تصویری:

فضای پروجکتیو بر روی یک میدان، فضایی است متشکل از خطوط (فضاهای فرعی یک بعدی) مقداری فضای خطی روی یک میدان معین. فضاهای مستقیم نامیده می شوند نقطه هافضای تصویری این تعریف را می توان به یک نهاد دلخواه تعمیم داد

اگر بعد داشته باشد، بعد فضای تصویری را عدد می نامند و خود فضای تصویری را نشان داده و با آن نامیده می شود (برای نشان دادن این، نماد اتخاذ می شود).

انتقال از یک فضای برداری با ابعاد به فضای تصویری مربوطه نامیده می شود فرافکنی شدنفضا.

نقاط را می توان با استفاده از مختصات همگن توصیف کرد.

حقایق اساسی هندسه تصویری:هندسه تصویری شاخه ای از هندسه است که به مطالعه صفحات و فضاهای پرفکتیو می پردازد. ویژگی اصلی هندسه تصویری اصل دوگانگی است که به بسیاری از طرح ها تقارن ظریف می افزاید. هندسه فرافکنی را می توان هم از منظر هندسی محض و هم از دیدگاه تحلیلی (با استفاده از مختصات همگن) و جبری با در نظر گرفتن صفحه پرتابی به عنوان ساختاری روی یک میدان مورد مطالعه قرار داد. غالباً و از نظر تاریخی، صفحه واقعی پرتاب کننده صفحه اقلیدسی با اضافه کردن "خط در بی نهایت" در نظر گرفته می شود.

در حالی که خواص اشکالی که هندسه اقلیدسی با آنها سروکار دارد، هستند متریک(مقادیر خاص زوایا، پاره ها، مساحت ها) و هم ارزی ارقام معادل آنهاست. تجانس(به عنوان مثال، زمانی که می توان با حفظ ویژگی های متریک، ارقام را از طریق حرکت به یکدیگر ترجمه کرد)، ویژگی های "عمیق" شکل های هندسی وجود دارد که تحت تبدیل های یک نوع کلی تر از حرکت حفظ می شوند. هندسه فرافکنی به مطالعه خصوصیات اشکالی می پردازد که تحت کلاس ثابت هستند تحولات فرافکنیو همینطور خود این دگرگونی ها.

هندسه فرافکنی با ارائه راه حل های زیبا و ساده برای بسیاری از مسائل پیچیده شده با وجود خطوط موازی، هندسه اقلیدسی را تکمیل می کند. تئوری تصویری مقاطع مخروطی به ویژه ساده و ظریف است.

سه رویکرد اصلی برای هندسه تصویری وجود دارد: بدیهی سازی مستقل، تکمیل هندسه اقلیدسی، و ساختار در یک میدان.

بدیهی سازی

فضای فرافکنی را می توان با استفاده از مجموعه متفاوتی از بدیهیات تعریف کرد.

Coxeter موارد زیر را ارائه می دهد:

1. یک خط مستقیم وجود دارد و یک نقطه روی آن نیست.

2. هر خط حداقل سه نقطه دارد.

3. از طریق دو نقطه می توانید دقیقا یک خط مستقیم بکشید.

4. اگر آ, ب, سی، و دی- نقاط مختلف و ABو سی دیپس قطع کن A.C.و BDتقاطع

5. اگر ABCیک هواپیما است، پس حداقل یک نقطه در هواپیما وجود ندارد ABC.

6. دو صفحه مختلف حداقل دو نقطه را قطع می کنند.

7. سه نقطه مورب یک چهارضلعی کامل به صورت هم خط نیستند.

8. اگر سه نقطه روی یک خط باشد ایکس ایکس

صفحه تصویری (بدون بعد سوم) با بدیهیات کمی متفاوت تعریف می شود:

1. از طریق دو نقطه می توانید دقیقا یک خط مستقیم بکشید.

2. هر دو خط قطع شوند.

3. چهار نقطه وجود دارد که سه نقطه آن خطی نیستند.

4. سه نقطه مورب چهارضلعی کامل هم خط نیستند.

5. اگر سه نقطه روی یک خط باشد ایکسنسبت به فرافکنی φ ثابت هستند، سپس همه نقاط روی ایکسثابت با توجه به φ.

6. قضیه دزارگ: اگر دو مثلث از طریق یک نقطه پرسپکتیو باشند، آن‌ها پرسپکتیو از طریق یک خط هستند.

در حضور بعد سوم، قضیه دزارگ بدون معرفی نقطه و خط ایده آل قابل اثبات است.

هواپیمای توسعه یافته - مدل هواپیمای تصویری:در فضای افین A3 دسته‌ای از خطوط S(O) را می‌گیریم که مرکز آن در نقطه O و صفحه‌ای Π است که از مرکز دسته عبور نمی‌کند: O 6∈ Π. دسته‌ای از خطوط در یک فضای نزدیک، مدلی از صفحه نمایشی است. بیایید یک نقشه برداری از مجموعه نقاط صفحه Π را روی مجموعه خطوط مستقیم اتصال S تعریف کنیم (لعنت به شما، دعا کنید اگر این سؤال را دارید، مرا ببخشید)

فضای نزدیک سه بعدی یا اقلیدسی گسترده - مدلی از فضای تصویری:

به منظور انجام نقشه برداری، روند گسترش رسمی صفحه پیوندی Π را به صفحه تصویری، Π، تکمیل می کنیم و صفحه Π را با مجموعه ای از نقاط نامناسب (M∞) تکمیل می کنیم به طوری که: ((M∞)) = P0 (O). از آنجایی که در نقشه تصویر معکوس هر صفحه از دسته صفحات S(O) یک خط در صفحه d است، بدیهی است که مجموعه تمام نقاط نامناسب صفحه گسترده: Π = Π ∩ (M∞) ، (M∞)، نشان دهنده یک خط نامناسب d∞ از صفحه گسترده است، که تصویر معکوس صفحه منفرد Π0 است: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) اجازه دهید توافق کنیم که از اینجا و از این پس آخرین برابری P0(O) = Π0 را به معنای برابری مجموعه نقاط، اما دارای ساختار متفاوتی درک خواهیم کرد. با تکمیل صفحه افین با یک خط نامناسب، مطمئن شدیم که نقشه برداری (I.21) روی مجموعه تمام نقاط صفحه توسعه یافته دوطرفه می شود:

تصاویر فیگورهای مسطح و فضایی در حین طراحی موازی:

در استریومتری، فیگورهای فضایی مورد مطالعه قرار می گیرند، اما در نقاشی به صورت فیگورهای مسطح به تصویر کشیده می شوند. چگونه باید یک شکل فضایی را در هواپیما ترسیم کرد؟ به طور معمول در هندسه، طراحی موازی برای این مورد استفاده می شود. اجازه دهید p مقداری هواپیما باشد، ل- یک خط مستقیم که آن را قطع می کند (شکل 1). از طریق یک نقطه دلخواه آ، متعلق به خط نیست ل، خطی موازی با خط رسم کنید ل. نقطه تلاقی این خط با صفحه p را برآمدگی موازی نقطه می گویند آبه صفحه p در جهت خط مستقیم ل. بیایید آن را نشان دهیم آاگر نکته آمتعلق به خط است ل، سپس با طرح ریزی موازی آنقطه تلاقی خط در صفحه p در نظر گرفته می شود لبا هواپیما p.

بنابراین، هر نقطه آفضا طرح آن مقایسه شده است آ"روی صفحه p. به این تطابق، طرح ریزی موازی بر روی صفحه p در جهت خط مستقیم گفته می شود. ل

گروه تحولات تصویری. کاربرد برای حل مسئله

مفهوم تبدیل تصویری یک هواپیما. نمونه هایی از تبدیل های تصویری هواپیما. ویژگی های تبدیل های تصویری. همسانی، خواص همسانی. گروه تحولات تصویری

مفهوم تبدیل تصویری یک هواپیما:مفهوم تبدیل فرافکنی مفهوم فرافکنی مرکزی را تعمیم می دهد. اگر یک برآمدگی مرکزی از صفحه α را روی صفحه α 1 انجام دهیم، آنگاه یک برآمدگی از α 1 روی α 2، α 2 روی α 3، ... و در نهایت، مقداری صفحه α nدوباره در α 1، سپس ترکیب همه این پیش بینی ها تبدیل تصویری صفحه α است. پیش بینی های موازی نیز می تواند در چنین زنجیره ای گنجانده شود.

نمونه هایی از تبدیل های صفحه نمایشی:تبدیل تصویری یک صفحه تکمیل شده، نگاشت یک به یک آن بر روی خود است، که در آن خطوط هم خطی نقاط حفظ می شود، یا به عبارت دیگر، تصویر هر خط یک خط مستقیم است. هر تبدیل تصویری ترکیبی از زنجیره ای از برآمدگی های مرکزی و موازی است. تبدیل افین یک مورد خاص از تبدیل تصویری است که در آن خط در بی نهایت به خود تبدیل می شود.

ویژگی های تبدیل های تصویری:

در طول یک تبدیل تصویری، سه نقطه که روی یک خط قرار ندارند به سه نقطه که روی یک خط قرار ندارند تبدیل می شوند.

در طی یک تبدیل تصویری، قاب به یک قاب تبدیل می شود.

در طول یک تبدیل تصویری، یک خط به یک خط مستقیم و یک مداد به یک مداد می رود.

همسانی، خواص همسانی:

تبدیل تصویری صفحه ای که دارای خطی از نقاط ثابت و در نتیجه مدادی از خطوط ثابت است، همسانی نامیده می شود.

1. خطی که از نقاط همسانی متناظر غیر منطبق می گذرد یک خط ثابت است.

2. خطوطی که از نقاط همسانی متناظر غیر منطبق می گذرند متعلق به یک مداد هستند که مرکز آن یک نقطه ثابت است.

3. نقطه، تصویر آن و مرکز همسانی روی یک خط مستقیم قرار دارند.

گروه تبدیل های تصویری:نگاشت تصویری صفحه پرتابی P 2 را روی خود در نظر بگیرید، یعنی تبدیل تصویری این صفحه (P 2 ' = P 2).

مانند قبل، ترکیب f تبدیل های تصویری f 1 و f 2 صفحه پرتابی P 2 نتیجه اجرای متوالی تبدیل های f 1 و f 2 است: f = f 2 °f 1 .

قضیه 1: مجموعه H تمام تبدیل های تصویری صفحه تصویری P 2 با توجه به ترکیب تبدیل های تصویری یک گروه است.