정의. 측면 가장자리- 이것은 한 각도가 피라미드의 상단에 있고 반대쪽이 밑면 (다각형)의 측면과 일치하는 삼각형입니다.
정의. 옆갈비- 측면의 공통 측면입니다. 피라미드에는 다각형의 각도만큼 많은 모서리가 있습니다.
정의. 피라미드 높이- 이것은 피라미드의 꼭대기에서 바닥까지 수직으로 내려간 것입니다.
정의. 아포템- 이것은 피라미드의 측면에 수직이며 피라미드 상단에서 밑면 측면으로 낮아졌습니다.
정의. 대각선 부분- 이것은 피라미드의 꼭대기와 밑면의 대각선을 통과하는 평면에 의한 피라미드의 단면입니다.
정의. 올바른 피라미드밑면이 정다각형이고 높이가 밑면의 중심으로 내려오는 피라미드이다.
피라미드의 부피와 표면적
공식. 피라미드의 부피기본 면적과 높이를 통해:
피라미드의 속성
모든 측면 모서리가 동일하면 피라미드 밑면 주위에 원을 그릴 수 있으며 밑면의 중심은 원의 중심과 일치합니다. 또한 위에서 내린 수선은 밑면(원)의 중심을 통과합니다.
모든 측면 가장자리가 동일하면 동일한 각도로 바닥 평면에 기울어집니다.
측면 모서리는 밑면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드 밑면 주위에 원이 설명될 수 있는 경우 동일합니다.
측면이 밑면에 대해 같은 각도로 기울어지면 피라미드의 밑면에 원이 새겨지고 피라미드의 상단이 중심으로 투영됩니다.
측면이 동일한 각도로 밑면에 대해 기울어지면 측면의 변위가 동일합니다.
일반 피라미드의 속성
1. 피라미드의 꼭대기는 밑면의 모든 모서리에서 등거리에 있습니다.
2. 모든 측면 모서리가 동일합니다.
3. 모든 측면 리브는 베이스와 동일한 각도로 기울어져 있습니다.
4. 모든 측면의 변심은 동일합니다.
5. 모든 측면의 면적은 동일합니다.
6. 모든 면은 동일한 2면체(평면) 각도를 갖습니다.
7. 피라미드 주위에 구를 묘사할 수 있습니다. 외접 구의 중심은 모서리의 중앙을 통과하는 수직선의 교차점이 됩니다.
8. 구를 피라미드에 맞출 수 있습니다. 내접 구의 중심은 모서리와 밑면 사이의 각도에서 나오는 이등분선의 교차점이 됩니다.
9. 내접 구의 중심이 외접 구의 중심과 일치하면 꼭지점의 평면 각도의 합은 π와 같거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 한 각도는 π/n과 같습니다. 여기서 n은 숫자입니다. 피라미드 바닥의 각도.
피라미드와 구의 연결
피라미드의 밑면에 원을 묘사할 수 있는 다면체가 있을 때(필요충분조건) 구는 피라미드 주위에 묘사될 수 있습니다. 구의 중심은 피라미드 측면 가장자리의 중간점을 수직으로 통과하는 평면의 교차점이 됩니다.
삼각형이나 정뿔형 피라미드 주위의 구를 묘사하는 것은 항상 가능합니다.
피라미드의 내부 2면각의 이등분선 평면이 한 지점에서 교차하는 경우(필요 및 충분 조건) 구가 피라미드에 내접될 수 있습니다. 이 점이 구의 중심이 됩니다.
원뿔과 피라미드의 연결
꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면에 내접되어 있으면 원뿔이 피라미드에 내접한다고 합니다.
피라미드의 변심점이 서로 같으면 원뿔이 피라미드에 새겨질 수 있습니다.
꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면 주위에 외접하는 경우 원뿔이 피라미드 주위에 외접한다고 합니다.
피라미드의 모든 측면 모서리가 서로 같으면 피라미드 주위에 원뿔을 설명할 수 있습니다.
피라미드와 원통의 관계
피라미드의 꼭대기가 원통의 한 밑면에 있고 피라미드의 밑면이 원통의 다른 밑면에 새겨져 있는 경우 피라미드를 원통에 내접했다고 합니다.
원이 피라미드의 밑면 주위에 설명될 수 있다면 원통은 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다.
사면체에는 4개의 면과 4개의 꼭지점, 6개의 모서리가 있으며, 두 모서리는 공통 꼭지점을 가지지 않지만 서로 닿지 않습니다.
각 꼭지점은 다음을 형성하는 세 개의 면과 모서리로 구성됩니다. 삼각형 각도.
정사면체의 꼭지점과 반대면의 중심을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 사면체의 중앙값(GM).
바이미디어닿지 않는 반대쪽 가장자리의 중간점을 연결하는 세그먼트(KL)라고 합니다.
사면체의 모든 양중선과 중앙값은 한 점(S)에서 교차합니다. 이 경우 양중값은 반으로 나누어 위에서부터 3:1의 비율로 중앙값을 나눈다.
정의. 예각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반보다 긴 피라미드.
정의. 둔각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반 미만인 피라미드.
정의. 정사면체- 네 면이 모두 정삼각형인 사면체. 정다각형 5개 중 하나입니다. 정사면체에서는 모든 2면체 각도(면 사이)와 3면체 각도(꼭지점)가 동일합니다.
정의. 직사각형 사면체꼭지점의 세 모서리 사이에 직각이 있는(모서리가 수직임) 사면체라고 합니다. 세 개의 얼굴이 형성됨 직사각형 삼각형 각도면은 직각 삼각형이고 밑면은 임의의 삼각형입니다. 모든 면의 변심은 변심이 있는 밑변의 절반과 같습니다.
정의. 등면체 사면체옆면이 서로 같고 밑면이 정삼각형인 정사면체라 한다. 이러한 사면체는 이등변삼각형인 면을 가지고 있습니다.
정의. 직교 사면체위에서 반대면까지 내려간 높이(수직)가 모두 한점에서 교차하는 것을 사면체라 한다.
정의. 스타 피라미드밑면이 별인 다면체라고 불린다.
는 밑면이 임의의 다각형이고 옆면이 삼각형으로 표현된 도형입니다. 정점은 같은 지점에 있으며 피라미드의 꼭대기에 해당합니다.
피라미드는 삼각형, 사각형, 육각형 등 다양할 수 있습니다. 그 이름은 밑면에 인접한 각도의 수에 따라 결정될 수 있습니다.
오른쪽 피라미드밑면, 각, 모서리의 변이 동일한 피라미드를 피라미드라고 합니다. 또한 이러한 피라미드에서는 측면의 면적이 동일합니다.
피라미드의 측면 면적에 대한 공식은 모든면의 면적의 합입니다. 
즉, 임의의 피라미드의 옆면의 면적을 계산하려면 각 개별 삼각형의 면적을 찾아 더해야 합니다. 피라미드가 잘리면 그 면이 사다리꼴로 표시됩니다. 일반 피라미드에 대한 또 다른 공식이 있습니다. 여기에서 측면 표면적은 베이스의 반주와 변심의 길이를 통해 계산됩니다.
피라미드의 측면 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.
정사각뿔을 생각해 보자. 베이스측 비= 6cm, 변심 ㅏ= 8cm 측면의 면적을 구합니다.
정사각뿔의 밑면에는 정사각형이 있습니다. 먼저 둘레를 찾아보겠습니다.
이제 피라미드의 측면 표면적을 계산할 수 있습니다. 
다면체의 전체 면적을 구하려면 밑면의 면적을 구해야 합니다. 피라미드 밑면의 공식은 밑면에 어떤 다각형이 있는지에 따라 다를 수 있습니다. 이렇게하려면 삼각형 면적에 대한 공식을 사용하십시오. 평행사변형의 면적등.
우리 조건에 따라 피라미드 밑면의 면적을 계산하는 예를 생각해보십시오. 피라미드는 정형이므로 밑면에 정사각형이 있습니다.
광장 면적다음 공식으로 계산됩니다: ,
여기서 a는 정사각형의 측면입니다. 우리에게는 6cm입니다. 이는 피라미드 바닥의 면적이 다음과 같다는 것을 의미합니다. 
이제 남은 것은 다면체의 전체 면적을 구하는 것뿐입니다. 피라미드 면적에 대한 공식은 밑면 면적과 측면 면적의 합으로 구성됩니다.
피라미드- 밑면과 면이 되는 다각형과 삼각형으로 형성된 다면체의 변종 중 하나입니다.
게다가 피라미드의 꼭대기(즉, 한 지점)에서는 모든 면이 하나로 합쳐져 있습니다.
피라미드의 면적을 계산하려면 측면이 여러 개의 삼각형으로 구성되어 있는지 확인하는 것이 좋습니다. 그리고 우리는 다음을 사용하여 쉽게 해당 지역을 찾을 수 있습니다.
다양한 공식. 삼각형에 대해 우리가 알고 있는 데이터에 따라 우리는 삼각형의 면적을 찾습니다.
삼각형의 면적을 찾는 데 사용할 수 있는 몇 가지 공식을 나열합니다.
- S = (a*h)/2 . 이 경우 우리는 삼각형의 높이를 알고 있습니다. 시간 , 옆으로 내려간 것 ㅏ .
- S = a*b*sinβ . 다음은 삼각형의 변입니다. ㅏ , 비 이고, 그 사이의 각도는 다음과 같습니다. β .
- S = (r*(a + b + c))/2 . 다음은 삼각형의 변입니다. 에이, 비, 씨 . 삼각형에 내접하는 원의 반지름은 다음과 같습니다. 아르 자형 .
- S = (a*b*c)/4*R . 삼각형 주위에 외접원의 반지름은 다음과 같습니다. 아르 자형 .
- S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . 이 공식은 삼각형이 직각일 때만 적용되어야 합니다.
- S = (a²*√3)/4 . 이 공식을 정삼각형에 적용합니다.
피라미드의 면인 모든 삼각형의 면적을 계산한 후에야 피라미드 측면의 면적을 계산할 수 있습니다. 이를 위해 위의 공식을 사용하겠습니다.
피라미드의 측면 면적을 계산하려면 어려움이 발생하지 않습니다. 모든 삼각형 면적의 합을 찾아야합니다. 이를 수식으로 표현해 보겠습니다.
Sp = ΣSi
여기 시 는 첫 번째 삼각형의 면적이고, 에스 피 - 피라미드의 측면 표면의 면적.
예를 살펴보겠습니다. 정다각형 피라미드의 측면은 여러 개의 정삼각형으로 구성되어 있습니다.
« 기하학은 우리의 정신 능력을 연마하는 가장 강력한 도구입니다».
갈릴레오 갈릴레이.
정사각형은 피라미드의 기초입니다. 또한, 피라미드의 한 변의 길이는 17cm입니다. 이 피라미드의 옆면의 넓이를 구해 봅시다.
우리는 이렇게 추론합니다. 피라미드의 면은 삼각형이고 정변형이라는 것을 알고 있습니다. 우리는 또한 이 피라미드의 모서리 길이가 무엇인지도 알고 있습니다. 모든 삼각형의 변은 동일하고 길이는 17cm입니다.
각 삼각형의 면적을 계산하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다.
S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137cm²
따라서 우리는 정사각형이 피라미드의 밑면에 있다는 것을 알고 있으므로 4개의 정삼각형이 있다는 것이 밝혀졌습니다. 이는 피라미드의 측면 표면적을 다음 공식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있음을 의미합니다. 125.137cm² * 4 = 500.548cm²
우리의 대답은 다음과 같습니다: 500.548 cm² - 이것은 이 피라미드의 측면 표면의 면적입니다.
수학 통합 국가 시험을 준비할 때 학생들은 대수학과 기하학에 대한 지식을 체계화해야 합니다. 예를 들어 피라미드 면적을 계산하는 방법과 같이 알려진 모든 정보를 결합하고 싶습니다. 또한 바닥과 측면 가장자리부터 시작하여 전체 표면적까지. 측면의 상황이 삼각형이기 때문에 명확하다면 밑면은 항상 다릅니다.
피라미드 바닥의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까?
임의의 삼각형부터 n각형까지 모든 그림이 될 수 있습니다. 그리고 이 밑면은 각도의 수에 따른 차이 외에도 규칙적인 형태일 수도 있고 불규칙한 형태일 수도 있습니다. 학생들이 관심을 갖는 통합 상태 시험 과제에는 기본에 올바른 수치가 있는 과제만 있습니다. 그러므로 우리는 그들에 대해서만 이야기하겠습니다.
정삼각형
즉, 등변입니다. 모든 변이 동일하고 문자 "a"로 지정되는 것입니다. 이 경우 피라미드 밑면의 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.
S = (a 2 * √3) / 4.
정사각형
면적을 계산하는 공식이 가장 간단합니다. 여기서 "a"는 다시 측면입니다.
임의의 정n각형
다각형의 측면에도 동일한 표기법이 있습니다. 각도 수에는 라틴 문자 n이 사용됩니다.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180°/n)).
측면 및 전체 표면적을 계산할 때 어떻게 해야 합니까?
밑면이 정삼각형이므로 피라미드의 모든 면은 동일합니다. 또한 측면 가장자리가 동일하므로 각각은 이등변 삼각형입니다. 그런 다음 피라미드의 측면 면적을 계산하려면 동일한 단항식의 합으로 구성된 공식이 필요합니다. 항의 수는 밑면의 변의 수에 따라 결정됩니다.
이등변삼각형의 면적은 밑변의 곱의 절반에 높이를 곱하는 공식으로 계산됩니다. 피라미드의 이 높이를 변심이라고 합니다. 명칭은 "A"이다. 측면 표면적에 대한 일반 공식은 다음과 같습니다.
S = ½ P*A, 여기서 P는 피라미드 밑면의 둘레입니다.
밑면의 측면을 알 수 없지만 측면 가장자리(c)와 정점의 평평한 각도(α)가 제공되는 상황이 있습니다. 그런 다음 피라미드의 측면 면적을 계산하려면 다음 공식을 사용해야 합니다.
S = n/2 * 2 sin α에서 .
과제 1번
상태.밑면의 변이 4 cm이고 변심의 값이 √3 cm인 경우 피라미드의 전체 면적을 구하십시오.
해결책.베이스의 둘레를 계산하는 것부터 시작해야 합니다. 이것은 정삼각형이므로 P = 3*4 = 12 cm입니다. 변심점이 알려져 있으므로 전체 측면 표면의 면적을 즉시 계산할 수 있습니다: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
밑면에 있는 삼각형의 경우 다음과 같은 면적 값을 얻습니다: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
전체 면적을 결정하려면 두 개의 결과 값인 6√3 + 4√3 = 10√3cm 2를 더해야 합니다.
답변. 10√3cm 2.
문제 2번
상태. 정사각형 피라미드가 있습니다. 베이스 측면의 길이는 7mm, 측면 가장자리는 16mm입니다. 표면적을 알아내는 것이 필요합니다.
해결책.다면체는 정사각형이고 정다면체이므로 밑면은 정사각형입니다. 밑면과 옆면의 면적을 알면 피라미드의 면적을 계산할 수 있습니다. 정사각형의 공식은 위에 나와 있습니다. 그리고 옆면의 경우 삼각형의 모든 변이 알려져 있습니다. 따라서 Heron의 공식을 사용하여 면적을 계산할 수 있습니다.
첫 번째 계산은 간단하며 다음 숫자로 이어집니다: 49 mm 2. 두 번째 값의 경우 반경을 계산해야 합니다: (7 + 16*2): 2 = 19.5mm. 이제 이등변삼각형의 면적을 계산할 수 있습니다: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. 그러한 삼각형은 4개뿐이므로 최종 숫자를 계산할 때 4를 곱해야 합니다.
결과는 49 + 4 * 54.644 = 267.576mm 2입니다.
답변. 원하는 값은 267.576mm 2입니다.
작업 번호 3
상태. 정사각형 피라미드의 경우 면적을 계산해야 합니다. 정사각형의 한 변의 길이는 6cm, 높이는 4cm로 알려져 있습니다.
해결책.가장 쉬운 방법은 둘레와 변심의 곱으로 공식을 사용하는 것입니다. 첫 번째 값은 쉽게 찾을 수 있습니다. 두 번째는 조금 더 복잡합니다.
우리는 피타고라스의 정리를 기억하고 피라미드의 높이와 빗변인 변심으로 이루어진다는 점을 생각해야 할 것이다. 두 번째 다리는 다면체의 높이가 중앙에 떨어지기 때문에 정사각형 측면의 절반과 같습니다.
필요한 변심(직각삼각형의 빗변)은 √(3 2 + 4 2) = 5(cm)입니다.
이제 필요한 값을 계산할 수 있습니다: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
답변. 96cm 2.
문제 4번
상태.올바른 측면이 제공됩니다. 베이스 측면은 22mm, 측면 가장자리는 61mm입니다. 이 다면체의 옆면적은 얼마입니까?
해결책.그 이유는 작업 번호 2에 설명된 것과 동일합니다. 바닥에 정사각형이 있는 피라미드만 주어졌는데 지금은 육각형입니다.
우선, 위의 공식을 사용하여 기본 면적을 계산합니다: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 cm 2.
이제 이등변삼각형의 옆면인 반둘레를 알아야 합니다. (22+61*2):2 = 72cm 남은 것은 헤론의 공식을 사용하여 각 삼각형의 면적을 계산한 다음 6을 곱하고 밑변에 대해 얻은 값에 더하는 것입니다.
헤론의 공식을 사용한 계산: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. 측면 표면적을 계산하면 660 * 6 = 3960 cm 2입니다. 전체 표면을 알아내기 위해 그것들을 더해야 합니다: 5217.47≒5217 cm 2.
답변.밑면은 726√3cm2, 측면은 3960cm2, 전체 면적은 5217cm2입니다.
이 기하학적 도형과 그 속성에 대한 질문을 공부하기 전에 몇 가지 용어를 이해해야 합니다. 사람이 피라미드에 대해 들으면 이집트의 거대한 건물을 상상합니다. 이것이 가장 단순한 모습입니다. 그러나 유형과 모양이 다르므로 기하학적 모양의 계산 공식도 달라집니다.
피라미드 - 기하학적 도형, 여러 얼굴을 나타내고 나타냅니다. 본질적으로 이것은 동일한 다면체이며 그 밑면에는 다각형이 있고 측면에는 한 지점, 즉 정점에 연결되는 삼각형이 있습니다. 그림은 두 가지 주요 유형으로 제공됩니다.
- 옳은;
- 잘렸습니다.
첫 번째 경우 밑면은 정다각형입니다. 여기에서는 모든 측면이 동일합니다.그들 자신과 그 모습 자체가 완벽주의자의 눈을 즐겁게 할 것입니다.
두 번째 경우에는 두 개의 베이스가 있습니다. 맨 아래에 큰 베이스가 있고 상단 사이에 작은 베이스가 있으며 기본 베이스의 모양이 반복됩니다. 즉, 잘린 피라미드는 단면이 밑면과 평행하게 형성된 다면체입니다.
용어 및 기호
핵심 용어:
- 정삼각형(정삼각형)- 세 각과 변의 길이가 같은 도형입니다. 이 경우 모든 각도는 60도입니다. 그림은 정다면체 중 가장 단순합니다. 이 그림이 밑면에 있으면 그러한 다면체를 정삼각형이라고 부릅니다. 밑면이 정사각형인 경우 피라미드를 정사각뿔이라고 합니다.
- 꼭지점– 가장자리가 만나는 가장 높은 지점. 정점의 높이는 피라미드의 정점에서 밑면까지 이어지는 직선으로 구성됩니다.
- 가장자리– 다각형의 평면 중 하나입니다. 삼각뿔의 경우 삼각형 형태일 수 있고, 잘린 피라미드의 경우 사다리꼴 형태일 수 있습니다.
- 부분- 해부 결과로 형성된 평평한 그림. 섹션은 섹션 뒤에 있는 내용도 표시하므로 섹션과 혼동해서는 안 됩니다.
- 아포템- 피라미드의 꼭대기에서 밑면까지 그려진 부분. 두 번째 높이 점이 위치한 면의 높이이기도 합니다. 이 정의는 정다면체와 관련해서만 유효합니다. 예를 들어, 이것이 잘린 피라미드가 아니면 면은 삼각형이 됩니다. 이 경우 이 삼각형의 높이가 변심점이 됩니다.
면적 공식
피라미드의 측면 표면적 찾기모든 유형은 여러 가지 방법으로 수행될 수 있습니다. 그림이 대칭이 아니고 측면이 다른 다각형인 경우 이 경우 모든 표면의 전체를 통해 전체 표면적을 계산하는 것이 더 쉽습니다. 즉, 각 면의 면적을 계산해서 합산해야 합니다.
알려진 매개변수에 따라 정사각형, 사다리꼴, 임의의 사변형 등을 계산하는 공식이 필요할 수 있습니다. 다른 경우의 수식 자체차이점도 있을 것입니다.
일반 도형의 경우 영역을 찾는 것이 훨씬 쉽습니다. 몇 가지 핵심 매개변수만 알아도 충분합니다. 대부분의 경우 이러한 수치에 대해서는 특별히 계산이 필요합니다. 따라서 해당 공식이 아래에 제공됩니다. 그렇지 않으면 모든 내용을 여러 페이지에 걸쳐 작성해야 하는데 이는 혼란스럽고 혼란스러울 뿐입니다.
계산의 기본 공식일반 피라미드의 측면 표면적은 다음과 같은 형태를 갖습니다.
S=½ Pa(P는 밑면의 둘레이며 변심점)
한 가지 예를 살펴보겠습니다. 다면체에는 A1, A2, A3, A4, A5 세그먼트가 있는 밑면이 있으며 모두 10cm입니다. 먼저 둘레를 찾아야 합니다. 밑면의 5개 면이 모두 동일하므로 다음과 같이 찾을 수 있습니다: P = 5 * 10 = 50cm 다음으로 기본 공식: S = ½ * 50 * 5 = 125cm 제곱을 적용합니다.
정삼각뿔의 옆면적계산하기 가장 쉽습니다. 수식은 다음과 같습니다.
S =½* ab *3, 여기서 a는 변심이고, b는 밑면의 면입니다. 여기서 3의 인자는 밑면의 면의 수를 의미하고, 첫 번째 부분은 옆면의 면적을 의미합니다. 예를 살펴보겠습니다. 변심이 5cm이고 밑변이 8cm인 그림이 주어지면 다음과 같이 계산됩니다. S = 1/2*5*8*3=60cm 제곱.
잘린 피라미드의 측면 표면적계산하기가 조금 더 어렵습니다. 공식은 다음과 같습니다: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, 여기서 p_01과 p_02는 밑면의 둘레이며 변심점입니다. 예를 살펴보겠습니다. 사각형 도형의 경우 밑변의 치수가 3cm와 6cm이고 변심이 4cm라고 가정해 보겠습니다.
여기서 먼저 밑면의 둘레를 찾아야 합니다: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm. 값을 기본 공식으로 대체하면 S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 cm 제곱이 됩니다.
따라서 복잡한 일반 피라미드의 측면 표면적을 찾을 수 있습니다. 주의하시고 헷갈리시면 안됩니다전체 다면체의 전체 면적을 사용하여 이러한 계산을 수행합니다. 그리고 여전히 이 작업을 수행해야 한다면 다면체의 가장 큰 밑면의 면적을 계산하여 다면체의 측면 표면적에 추가하면 됩니다.
동영상
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