작업 1.벡터 시스템이 선형독립인지 알아보세요. 벡터 시스템은 시스템의 행렬에 의해 지정되며 그 열은 벡터의 좌표로 구성됩니다.

.

해결책.선형결합을 하자 0과 같습니다. 이 평등을 좌표로 작성하면 다음과 같은 방정식 시스템을 얻을 수 있습니다.

.

이러한 방정식 시스템을 삼각형이라고 합니다. 그녀의 해결책은 하나뿐이다 . 따라서 벡터는 선형 독립.

작업 2.벡터 시스템이 선형독립인지 알아보세요.

.

해결책.벡터 는 선형독립입니다(문제 1 참조). 벡터가 벡터의 선형결합임을 증명해보자 . 벡터 팽창 계수 방정식 시스템에서 결정됩니다.

.

이 시스템은 삼각형 시스템과 마찬가지로 독특한 솔루션을 가지고 있습니다.

따라서 벡터 시스템은 선형 의존적입니다.

논평. 문제 1과 동일한 유형의 행렬을 호출합니다. 삼각형의 , 그리고 문제 2에서 - 계단식 삼각형 . 벡터 시스템의 선형 의존성에 대한 문제는 이러한 벡터의 좌표로 구성된 행렬이 단계 삼각 행렬인 경우 쉽게 해결됩니다. 행렬에 특별한 형식이 없으면 다음을 사용합니다. 기본 문자열 변환 , 기둥 사이의 선형 관계를 유지하면서 계단형 삼각형 형태로 축소될 수 있습니다.

기본 문자열 변환행렬(EPS) 행렬에 대한 다음 작업을 호출합니다.

1) 라인 재배치;

2) 문자열에 0이 아닌 숫자를 곱합니다.

3) 문자열에 다른 문자열을 추가하고 임의의 숫자를 곱합니다.

작업 3.최대 선형 독립 하위 시스템을 찾고 벡터 시스템의 순위를 계산합니다.

.

해결책. EPS를 이용한 시스템의 행렬을 단계삼각형 형태로 줄여보자. 절차를 설명하기 위해 기호로 변환할 행렬의 번호를 선에 나타냅니다. 화살표 뒤의 열은 새 행렬의 행을 얻기 위해 수행해야 하는 변환 중인 행렬의 행에 대한 작업을 나타냅니다.

.

분명히 결과 행렬의 처음 두 열은 선형 독립이고 세 번째 열은 선형 결합이며 네 번째 열은 처음 두 열에 종속되지 않습니다. 벡터 기본이라고 합니다. 이들은 시스템의 최대 선형 독립 하위 시스템을 형성합니다. , 시스템의 순위는 3입니다.

기초, 좌표

작업 4.좌표가 조건을 만족하는 기하 벡터 집합을 기준으로 이 기준에서 벡터의 기저와 좌표를 찾습니다. .

해결책. 집합은 원점을 통과하는 평면입니다. 평면의 임의의 기저는 두 개의 비공선형 벡터로 구성됩니다. 선택한 기초의 벡터 좌표는 해당 선형 방정식 시스템을 풀어 결정됩니다.

좌표를 사용하여 기초를 찾을 수 있는 경우 이 문제를 해결하는 또 다른 방법이 있습니다.

좌표 공간은 관계로 연관되어 있기 때문에 평면상의 좌표가 아닙니다. 즉, 독립적이지 않습니다. 독립 변수 및 (자유라고 함)은 평면의 벡터를 고유하게 정의하므로 에서 좌표로 선택할 수 있습니다. 그럼 기초는 자유 변수 세트에 해당하는 벡터로 구성됩니다. 그리고 , 그건 .

작업 5.홀수 좌표가 서로 동일한 공간의 모든 벡터 집합을 기준으로 벡터의 기저와 좌표를 구합니다.

해결책. 이전 문제에서처럼 공간에서의 좌표를 선택해 보겠습니다.

왜냐하면 , 자유 변수 벡터를 고유하게 결정하므로 좌표입니다. 해당 기초는 벡터로 구성됩니다.

작업 6.다음 형식의 모든 행렬 집합에서 이 기준으로 벡터의 기준과 좌표를 찾습니다. , 어디 – 임의의 숫자.

해결책. 의 각 행렬은 다음 형식으로 고유하게 표현할 수 있습니다.

이 관계는 기저에 대한 벡터의 확장입니다.
좌표와 함께 .

작업 7.벡터 시스템의 선형 껍질의 차원과 기초 찾기

.

해결책. EPS를 사용하여 행렬을 시스템 벡터의 좌표에서 계단형 삼각 형태로 변환합니다.

.

열 마지막 행렬은 선형독립이고 열은 이를 통해 선형적으로 표현됩니다. 따라서 벡터는 기초를 형성하다 , 그리고 .

논평. 기초 모호하게 선택됩니다. 예를 들어 벡터 또한 기초를 형성 .

ㅏ 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ㅏ 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ㅏ 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

해결책.우리는 방정식 시스템에 대한 일반적인 해를 찾고 있습니다.

ㅏ 1 엑스 1 + ㅏ 2 엑스 2 + ㅏ 3 엑스 3 = Θ

가우스 방법. 이를 위해 우리는 다음과 같은 동종 시스템을 좌표로 작성합니다.

시스템 매트릭스

허용되는 시스템의 형식은 다음과 같습니다. (r A = 2, N= 3). 시스템은 협력적이고 불확실합니다. 일반적인 솔루션( 엑스 2 – 자유 변수): 엑스 3 = 13엑스 2 ; 3엑스 1 – 2엑스 2 – 13엑스 2 = 0 => 엑스 1 = 5엑스 2 => 엑스오 = . 예를 들어, 0이 아닌 특정 솔루션이 존재한다는 것은 벡터가 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 선형 의존적입니다.

예시 2.

주어진 벡터 시스템이 선형 종속인지 선형 독립인지 확인합니다.

1. ㅏ 1 = { -20, -15, - 4 }, ㅏ 2 = { –7, -2, -4 }, ㅏ 3 = { 3, –1, –2 }.

해결책.동차 방정식 시스템을 고려하십시오. ㅏ 1 엑스 1 + ㅏ 2 엑스 2 + ㅏ 3 엑스 3 = Θ

또는 확장된 형태(좌표 기준)

시스템은 균질합니다. 퇴화되지 않은 경우 고유한 솔루션이 있는 것입니다. 동종 시스템의 경우 제로(사소한) 솔루션이 있습니다. 이는 이 경우 벡터 시스템이 독립적이라는 것을 의미합니다. 시스템이 퇴화되면 0이 아닌 솔루션을 가지므로 종속됩니다.

우리는 시스템의 퇴화를 확인합니다.

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

시스템은 퇴화되지 않았으므로 벡터는 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 선형 독립.

작업.주어진 벡터 시스템이 선형 종속인지 선형 독립인지 확인합니다.

1. ㅏ 1 = { -4, 2, 8 }, ㅏ 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ㅏ 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ㅏ 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ㅏ 1 = { -7, 5, 19 }, ㅏ 2 = { -5, 7 , -7 }, ㅏ 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ㅏ 1 = { 1, 2, -2 }, ㅏ 2 = { 0, -1, 4 }, ㅏ 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ㅏ 1 = { 1, 8 , -1 }, ㅏ 2 = { -2, 3, 3 }, ㅏ 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ㅏ 1 = { 1, 2 , 3 }, ㅏ 2 = { 2, -1 , 1 }, ㅏ 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ㅏ 1 = {0, 1, 1 , 0}, ㅏ 2 = {1, 1 , 3, 1}, ㅏ 3 = {1, 3, 5, 1}, ㅏ 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ㅏ 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ㅏ 2 = {2, 3 , 2, 1}, ㅏ 3 = {4, 4, 4, -3}, ㅏ 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. 다음을 포함하는 경우 벡터 시스템이 선형 종속임을 증명하십시오.

a) 두 개의 동일한 벡터;

b) 두 개의 비례 벡터.

벡터의 선형 의존성과 선형 독립성.
벡터의 기초. 아핀 좌표계

강당에는 초콜릿이 담긴 카트가 있으며, 오늘 모든 방문객은 선형 대수학이 포함된 분석 기하학이라는 달콤한 커플을 얻게 될 것입니다. 이 기사에서는 고등 수학의 두 가지 섹션을 동시에 다룰 것이며, 이 두 섹션이 하나의 래퍼에서 어떻게 공존하는지 살펴보겠습니다. 잠시 쉬면서 트윅스를 먹어보세요! ...젠장, 말도 안 되는 소리야. 좋아, 점수는 안 나겠지만, 결국에는 공부에 대해 긍정적인 태도를 가져야 한다.

벡터의 선형 의존성, 선형 벡터 독립, 벡터의 기초그리고 다른 용어들은 기하학적인 해석뿐만 아니라 무엇보다도 대수적인 의미를 갖습니다. 선형대수학의 관점에서 볼 때 "벡터"라는 개념 자체가 항상 평면이나 공간에서 묘사할 수 있는 "일반적인" 벡터는 아닙니다. 멀리서 증거를 찾을 필요 없이 5차원 공간의 벡터를 그려보세요. . 또는 방금 Gismeteo에 갔던 날씨 벡터(각각 온도와 대기압)입니다. 물론 이 예는 벡터 공간의 속성 측면에서 볼 때 올바르지 않지만 그럼에도 불구하고 이러한 매개 변수를 벡터로 공식화하는 것을 금지하는 사람은 없습니다. 가을의 숨결...

아니요, 선형 벡터 공간 이론으로 여러분을 지루하게 하려는 것이 아닙니다. 이해하다정의와 정리. 새로운 항(선형 의존성, 독립성, 선형 결합, 기저 등)은 대수적 관점에서 모든 벡터에 적용되지만 기하학적인 예가 제공됩니다. 따라서 모든 것이 간단하고 접근 가능하며 명확합니다. 해석기하학의 문제 외에도 몇 가지 일반적인 대수학 문제도 고려할 것입니다. 자료를 익히려면 수업에 익숙해지는 것이 좋습니다 인형용 벡터그리고 행렬식을 계산하는 방법은 무엇입니까?

평면 벡터의 선형 의존성과 독립성.
평면기초와 아핀 좌표계

컴퓨터 책상의 평면(테이블, 침대 옆 탁자, 바닥, 천장 등 원하는 대로)을 생각해 봅시다. 작업은 다음 작업으로 구성됩니다.

1) 평면 기준 선택. 대략적으로 말하면 테이블 상판에는 길이와 너비가 있으므로 기본을 구성하려면 두 개의 벡터가 필요하다는 것이 직관적입니다. 하나의 벡터는 분명히 충분하지 않으며, 세 개의 벡터는 너무 많습니다.

2) 선택한 기준에 따라 좌표계 설정(좌표 그리드) 테이블의 모든 개체에 좌표를 할당합니다.

놀라지 마십시오. 처음에는 설명이 손에 닿을 것입니다. 게다가 당신의 것입니다. 배치해주세요 왼쪽 검지모니터를 볼 수 있도록 탁상 가장자리에. 이것은 벡터가 될 것입니다. 이제 장소 오른쪽 새끼손가락같은 방법으로 테이블 가장자리에 놓아 모니터 화면을 향하게 합니다. 이것은 벡터가 될 것입니다. 웃으세요, 정말 멋져요! 벡터에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 데이터 벡터 동일선상의, 즉 선의서로를 통해 표현됩니다.
, 글쎄, 또는 그 반대: , 어떤 숫자는 0과 다릅니다.

수업 시간에 이 동작의 사진을 볼 수 있습니다. 인형용 벡터, 여기서 벡터에 숫자를 곱하는 규칙을 설명했습니다.

당신의 손가락이 컴퓨터 책상 위에 기초를 놓겠습니까? 당연히 아니. 동일선상 벡터는 앞뒤로 이동합니다. 홀로방향이 있고 평면에는 길이와 너비가 있습니다.

이러한 벡터를 선형 종속.

참조: "선형", "선형"이라는 단어는 수학 방정식과 표현에 정사각형, 입방체, 기타 거듭제곱, 로그, 사인 등이 없다는 사실을 나타냅니다. 선형(1차) 표현식과 종속성만 있습니다.

두 개의 평면 벡터 선형 종속만약 그들이 동일선상에 있는 경우에만.

손가락 사이에 0도 또는 180도 이외의 각도가 있도록 테이블 위에서 손가락을 교차시키십시오. 두 개의 평면 벡터선의 아니다동일선상에 있지 않은 경우에만 종속. 그래서 기초가 얻어졌습니다. 길이가 다른 비수직 벡터로 인해 기초가 "비뚤어진" 것으로 판명되었다고 당황할 필요가 없습니다. 곧 우리는 90도 각도가 구성에 적합할 뿐만 아니라 동일한 길이의 단위 벡터뿐만 아니라

어느비행기 벡터 유일한 방법다음 기준에 따라 확장됩니다.
, 실수는 어디에 있습니까? 숫자가 불려요 벡터 좌표이를 바탕으로.

라고도 한다 벡터로 제시 선형 조합기본 벡터. 즉, 표현은 다음과 같습니다. 벡터 분해기준으로또는 선형 조합기본 벡터.

예를 들어, 벡터가 평면의 정규 직교 기반을 따라 분해된다고 말할 수도 있고, 벡터의 선형 조합으로 표현된다고 말할 수도 있습니다.

공식화하자 기초의 정의공식적으로: 비행기의 기초는 선형독립(비공선형) 벡터의 쌍으로 불립니다. , 여기서 어느평면 벡터는 기저 벡터의 선형 조합입니다.

정의의 핵심은 벡터를 취한다는 사실입니다. 특정 순서로. 기지 – 이것은 완전히 다른 두 가지 기반입니다! 그들이 말했듯이 오른손 새끼 손가락 대신 왼손 새끼 손가락을 바꿀 수 없습니다.

그 근거는 알아냈지만, 좌표계를 설정하고 컴퓨터 책상 위의 각 항목에 좌표를 할당하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 왜 충분하지 않습니까? 벡터는 자유롭고 평면 전체를 돌아다닙니다. 그렇다면 거친 주말에 남겨진 테이블 위의 작은 더러운 부분에 좌표를 어떻게 할당합니까? 출발점이 필요합니다. 그리고 그러한 랜드마크는 모든 사람에게 친숙한 지점, 즉 좌표의 기원입니다. 좌표계를 이해해 봅시다:

"학교" 시스템부터 시작하겠습니다. 이미 입문 강의 중입니다. 인형용 벡터나는 직교 좌표계와 직교 기준 사이의 몇 가지 차이점을 강조했습니다. 표준 그림은 다음과 같습니다.

그들이 이야기할 때 직사각형 좌표계, 가장 흔히 원점, 좌표축 및 축을 따른 배율을 의미합니다. 검색 엔진에 "직각 좌표계"를 입력해 보면 많은 소스에서 5~6학년이 익숙한 좌표축과 평면에 점을 그리는 방법을 알려 주는 것을 볼 수 있습니다.

반면, 직교좌표계는 직교기저로 완전히 정의될 수 있는 것 같습니다. 그리고 그것은 거의 사실입니다. 문구는 다음과 같습니다.

기원, 그리고 직교기초는 정해져 있어요 직교 직사각형 평면 좌표계 . 즉, 직교좌표계 분명히는 단일 점과 두 개의 단위 직교 벡터로 정의됩니다. 그렇기 때문에 위에서 제시한 그림을 볼 수 있습니다. 기하학적 문제에서는 벡터와 좌표축이 모두 (항상 그런 것은 아니지만) 자주 그려집니다.

점(원점)과 정규직교기저를 사용한다는 것은 모두가 이해하고 있다고 생각합니다. 비행기의 모든 지점과 비행기의 모든 벡터좌표를 지정할 수 있습니다. 비유적으로 말하면, “비행기에 있는 모든 것에는 번호를 매길 수 있습니다.”

좌표 벡터는 단위여야 합니까? 아니요, 0이 아닌 임의의 길이를 가질 수 있습니다. 길이가 0이 아닌 임의의 점과 두 개의 직교 벡터를 고려하십시오.

그러한 기초를 소위 직교. 벡터가 있는 좌표의 원점은 좌표 격자로 정의되며 평면의 모든 점, 모든 벡터는 주어진 기준에 따라 좌표를 갖습니다. 예를 들어, 또는. 명백한 불편함은 좌표 벡터가 일반적으로단위 이외의 길이가 다릅니다. 길이가 1과 같으면 일반적인 직교 기초가 얻어집니다.

! 메모 : 직교 기준과 아래 평면 및 공간의 아핀 기준에서 축을 따른 단위가 고려됩니다. 가정 어구. 예를 들어 x축의 한 단위에는 4cm가 포함되고, 세로축의 한 단위에는 2cm가 포함됩니다. 이 정보는 필요한 경우 "비표준" 좌표를 "보통 센티미터"로 변환하는 데 충분합니다.

그리고 실제로 이미 답변된 두 번째 질문은 기본 벡터 사이의 각도가 90도와 같아야 하는지 여부입니다. 아니요! 정의에 따르면 기저 벡터는 다음과 같아야 합니다. 비공선적. 따라서 각도는 0도와 180도를 제외한 모든 각도가 될 수 있습니다.

평면상의 한 점은 다음과 같습니다. 기원, 그리고 비공선적벡터, , 세트 아핀 평면 좌표계 :

때로는 이러한 좌표계를 호출합니다. 비스듬한체계. 예를 들어 그림에는 점과 벡터가 표시되어 있습니다.

아시다시피, 아핀 좌표계는 강의의 두 번째 부분에서 논의한 벡터 및 세그먼트 길이에 대한 공식이 작동하지 않습니다. 인형용 벡터, 관련된 많은 맛있는 공식 벡터의 스칼라 곱. 그러나 벡터를 추가하고 벡터에 숫자를 곱하는 규칙, 이 관계에서 세그먼트를 나누는 공식 및 곧 고려할 다른 유형의 문제는 유효합니다.

그리고 결론은 아핀 좌표계의 가장 편리한 특수한 경우가 데카르트 직각계라는 것입니다. 사랑하는 이여, 그것이 바로 당신이 그녀를 가장 자주 만나야 하는 이유입니다. ...그러나 이 삶의 모든 것은 상대적입니다. 비스듬한 각도(또는 예를 들어 다른 각도)가 발생하는 상황이 많이 있습니다. 극선) 좌표계. 그리고 휴머노이드는 그러한 시스템을 좋아할 것입니다 =)

실용적인 부분으로 넘어 갑시다. 이 강의의 모든 문제는 직각 좌표계와 일반 아핀 사례 모두에 유효합니다. 여기에는 복잡한 것이 없으며 학생도 모든 자료에 접근할 수 있습니다.

평면 벡터의 공선성을 어떻게 결정합니까?

전형적인 것. 두 개의 평면 벡터를 위해서는 동일선상에 있으므로 해당 좌표가 비례하는 것이 필요하고 충분합니다.본질적으로 이것은 명백한 관계를 좌표별로 자세히 설명하는 것입니다.

실시예 1

a) 벡터가 동일선상에 있는지 확인 .
b) 벡터가 기초를 형성합니까? ?

해결책:
a) 벡터에 대한 것이 있는지 알아 보겠습니다. 등식이 충족되는 비례 계수:

실제로는 꽤 잘 작동하는 이 규칙을 적용하는 "멋쟁이" 버전에 대해 확실히 말씀드리겠습니다. 아이디어는 즉시 비율을 구성하고 그것이 올바른지 확인하는 것입니다.

벡터의 해당 좌표의 비율로 비율을 만들어 보겠습니다.

줄여보자:
, 따라서 해당 좌표는 비례하므로,

관계는 반대 방향으로 이루어질 수 있습니다. 이는 동일한 옵션입니다.

셀프 테스트를 위해서는 동일선상 벡터가 서로 선형적으로 표현된다는 사실을 활용할 수 있습니다. 이 경우 평등이 발생합니다. . 벡터를 사용한 기본 연산을 통해 유효성을 쉽게 확인할 수 있습니다.

b) 두 평면 벡터가 동일선상이 아닌 경우(선형 독립) 기저를 형성합니다. 벡터의 공선성을 검사합니다. . 시스템을 만들어 보겠습니다.

첫 번째 방정식에서는 다음과 같습니다. 두 번째 방정식에서는 다음과 같습니다. 이는 다음을 의미합니다. 시스템이 일관성이 없다(솔루션 없음). 따라서 벡터의 해당 좌표는 비례하지 않습니다.

결론: 벡터는 선형독립이며 기저를 형성합니다.

솔루션의 단순화된 버전은 다음과 같습니다.

벡터의 해당 좌표에서 비율을 만들어 봅시다 :
, 이는 이들 벡터가 선형 독립이며 기저를 형성한다는 것을 의미합니다.

일반적으로 이 옵션은 검토자가 거부하지 않지만 일부 좌표가 0인 경우 문제가 발생합니다. 이와 같이: . 또는 다음과 같습니다: . 또는 다음과 같습니다: . 여기서 비율을 조정하는 방법은 무엇입니까? (실제로는 0으로 나눌 수 없습니다.) 이것이 바로 제가 단순화된 솔루션을 "foppish"라고 부르는 이유입니다.

답변: a) , b) 양식.

자신만의 솔루션을 위한 작은 창의적인 예:

실시예 2

벡터는 매개변수의 어떤 값에 있습니까? 동일선상에 있을 것인가?

샘플 솔루션에서는 비율을 통해 매개변수를 찾습니다.

벡터의 공선성을 확인하는 우아한 대수적 방법이 있습니다. 우리의 지식을 체계화하고 이를 다섯 번째 요점으로 추가해 보겠습니다.

두 평면 벡터의 경우 다음 명령문은 동일합니다.:

2) 벡터가 기초를 형성합니다.
3) 벡터는 동일선상에 있지 않습니다.

+ 5) 이 벡터의 좌표로 구성된 행렬식은 0이 아닙니다..

각기, 다음 반대 진술은 동일합니다.:
1) 벡터는 선형 종속적입니다.
2) 벡터는 기초를 형성하지 않습니다.
3) 벡터는 동일선상에 있습니다.
4) 벡터는 서로 선형적으로 표현될 수 있습니다.
+ 5) 이 벡터의 좌표로 구성된 행렬식은 0과 같습니다..

지금쯤이면 귀하가 접한 모든 용어와 설명을 이미 이해하셨기를 바랍니다.

새로운 다섯 번째 요점을 자세히 살펴보겠습니다. 두 개의 평면 벡터 주어진 벡터의 좌표로 구성된 행렬식이 0인 경우에만 동일 선상에 있습니다.:. 물론 이 기능을 적용하려면 다음을 수행할 수 있어야 합니다. 행렬식 찾기.

결정하자두 번째 방법의 예 1:

a) 벡터의 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 보겠습니다. :
, 이는 이들 벡터가 동일선상에 있음을 의미합니다.

b) 두 평면 벡터가 동일선상이 아닌 경우(선형 독립) 기저를 형성합니다. 벡터 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 봅시다 :
, 이는 벡터가 선형 독립이며 기저를 형성함을 의미합니다.

답변: a) , b) 양식.

비율이 있는 솔루션보다 훨씬 더 컴팩트하고 예뻐 보입니다.

고려된 자료의 도움으로 벡터의 공선성을 확립하는 것뿐만 아니라 선분과 직선의 평행성을 증명하는 것도 가능합니다. 특정 기하학적 모양과 관련된 몇 가지 문제를 고려해 보겠습니다.

실시예 3

사각형의 꼭지점이 주어집니다. 사각형이 평행사변형임을 증명하세요.

증거: 솔루션은 순전히 분석적이므로 문제에 대한 그림을 만들 필요가 없습니다. 평행사변형의 정의를 기억해 봅시다:
평행사변형 마주보는 변이 쌍으로 평행한 사각형을 사각형이라고 합니다.

따라서 다음을 증명해야 합니다.
1) 반대편의 평행성
2) 반대편의 평행성 및.

우리는 다음을 증명합니다:

1) 벡터를 찾습니다:

2) 벡터를 찾습니다:

결과는 동일한 벡터입니다("학교에 따라" – 동일한 벡터). 공선성은 매우 분명하지만 결정을 명확하게 공식화하여 정리하는 것이 더 좋습니다. 벡터 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 보겠습니다.
, 이는 이들 벡터가 동일선상에 있음을 의미합니다.

결론: 사각형의 반대쪽 변은 쌍으로 평행합니다. 이는 정의상 평행사변형을 의미합니다. Q.E.D.

더 좋고 다른 수치:

실시예 4

사각형의 꼭지점이 주어집니다. 사각형이 사다리꼴임을 증명하세요.

증명을 보다 엄격하게 공식화하려면 물론 사다리꼴의 정의를 얻는 것이 더 좋지만 그것이 어떻게 생겼는지 간단히 기억하는 것만으로도 충분합니다.

이는 스스로 해결해야 할 과제입니다. 수업이 끝나면 전체 솔루션이 제공됩니다.

이제 비행기에서 우주로 천천히 이동할 시간입니다.

공간 벡터의 공선성을 어떻게 결정합니까?

규칙은 매우 유사합니다. 두 공간 벡터가 동일선상에 있기 위해서는 해당 좌표가 비례하는 것이 필요하고 충분합니다..

실시예 5

다음 공간 벡터가 동일선상에 있는지 확인합니다.

ㅏ) ;
비)
V)

해결책:
a) 벡터의 해당 좌표에 대한 비례 계수가 있는지 확인해 보겠습니다.

시스템에는 솔루션이 없습니다. 이는 벡터가 동일선상에 있지 않음을 의미합니다.

"Simplified"는 비율을 확인하여 공식화됩니다. 이 경우:
– 해당 좌표는 비례하지 않습니다. 이는 벡터가 동일선상에 있지 않음을 의미합니다.

답변:벡터는 동일선상에 있지 않습니다.

b-c) 이는 독립적인 결정을 위한 포인트입니다. 두 가지 방법으로 시도해 보세요.

3차 행렬식을 통해 공간 벡터의 공선성을 확인하는 방법이 있습니다. 이 방법은 해당 기사에서 다룹니다. 벡터의 벡터 곱.

평면의 경우와 유사하게 고려된 도구를 사용하여 공간 세그먼트와 직선의 평행성을 연구할 수 있습니다.

두 번째 섹션에 오신 것을 환영합니다.

3차원 공간에서 벡터의 선형 의존성과 독립성.
공간적 기초와 아핀 좌표계

우리가 평면에서 조사한 많은 패턴은 공간에도 유효합니다. 나는 정보의 대부분이 이미 씹어졌기 때문에 이론 노트를 최소화하려고 노력했습니다. 하지만 새로운 용어와 개념이 등장하므로 서문 부분을 주의 깊게 읽어 보시기를 권합니다.

이제 우리는 컴퓨터 책상의 평면 대신 3차원 공간을 탐색합니다. 먼저 기초를 만들어 보겠습니다. 누군가는 지금 실내에 있고, 누군가는 실외에 있지만, 어쨌든 우리는 가로, 세로, 높이라는 3차원에서 벗어날 수 없습니다. 따라서 기초를 구축하려면 세 개의 공간 벡터가 필요합니다. 하나 또는 두 개의 벡터로는 충분하지 않으며 네 번째 벡터는 불필요합니다.

그리고 다시 우리는 손가락을 워밍업합니다. 손을 들어 다양한 방향으로 펼쳐주세요. 엄지, 검지, 중지. 이들은 벡터가 될 것이며, 서로 다른 방향을 보고, 서로 다른 길이를 갖고, 서로 다른 각도를 갖습니다. 축하합니다. 3차원 공간의 기초가 준비되었습니다! 그건 그렇고, 손가락을 아무리 비틀어도 교사에게 이것을 보여줄 필요는 없지만 정의에서 벗어날 수는 없습니다 =)

다음으로 우리 자신에게 중요한 질문을 던져보겠습니다. 세 개의 벡터가 3차원 공간의 기초를 형성합니까?? 컴퓨터 책상 위를 세 손가락으로 꼭 눌러주세요. 무슨 일이에요? 세 개의 벡터가 동일한 평면에 위치하며 대략적으로 말하면 치수 중 하나인 높이가 손실되었습니다. 이러한 벡터는 동일 평면상의그리고 3차원 공간의 기반이 만들어지지 않는다는 것은 너무나 당연한 일이다.

동일 평면에 있는 벡터는 동일한 평면에 있을 필요는 없으며 평행한 평면에 있을 수 있습니다(손가락으로 이 작업을 수행하지 마십시오. Salvador Dali만이 이 작업을 수행했습니다 =)).

정의: 벡터가 호출됩니다. 동일 평면상의, 평행한 평면이 있는 경우. 그러한 평면이 존재하지 않으면 벡터가 동일 평면에 있지 않을 것이라는 점을 여기에 추가하는 것이 논리적입니다.

3개의 동일 평면 벡터는 항상 선형 종속적입니다.즉, 서로를 통해 선형적으로 표현됩니다. 단순화를 위해 다시 한 번 동일한 평면에 있다고 가정해 보겠습니다. 첫째, 벡터는 동일 평면상에 있을 뿐만 아니라 동일선상에 있을 수도 있습니다. 그러면 모든 벡터는 모든 벡터를 통해 표현될 수 있습니다. 두 번째 경우, 예를 들어 벡터가 동일선상에 있지 않으면 세 번째 벡터는 이를 통해 고유한 방식으로 표현됩니다. (이전 섹션의 자료를 통해 그 이유를 쉽게 추측할 수 있습니다.)

그 반대도 마찬가지입니다. 동일 평면에 있지 않은 세 개의 벡터는 항상 선형 독립입니다.즉, 서로를 통해 표현되지 않습니다. 그리고 분명히 그러한 벡터만이 3차원 공간의 기초를 형성할 수 있습니다.

정의: 3차원 공간의 기초는 선형 독립(동일 평면이 아닌) 벡터의 삼중 벡터라고 하며, 특정 순서로 촬영, 및 공간 벡터 유일한 방법주어진 기초에 대해 분해됩니다. 이 기초에서 벡터의 좌표는 어디에 있습니까?

벡터가 다음 형식으로 표현된다고 말할 수도 있음을 상기시켜 드리겠습니다. 선형 조합기본 벡터.

좌표계의 개념은 평면의 경우와 똑같은 방식으로 도입됩니다. 하나의 점과 세 개의 선형 독립 벡터이면 충분합니다.

기원, 그리고 동일 평면이 아닌벡터, 특정 순서로 촬영, 세트 3차원 공간의 아핀 좌표계 :

물론 좌표 격자는 "비스듬"하고 불편하지만 그럼에도 불구하고 구성된 좌표계를 사용하면 분명히벡터의 좌표와 공간의 모든 점의 좌표를 결정합니다. 평면과 유사하게, 내가 이미 언급한 일부 공식은 공간의 아핀 좌표계에서 작동하지 않습니다.

모두가 추측하는 것처럼 아핀 좌표계의 가장 친숙하고 편리한 특수 사례는 다음과 같습니다. 직사각형 공간 좌표계:

공간의 한 점 기원, 그리고 직교기초는 정해져 있어요 데카르트 직사각형 공간 좌표계 . 익숙한 사진:

실제 작업으로 넘어가기 전에 정보를 다시 체계화해 보겠습니다.

세 개의 공간 벡터에 대해 다음 명령문은 동일합니다.:
1) 벡터는 선형독립이다.
2) 벡터가 기초를 형성합니다.
3) 벡터가 동일 평면에 있지 않습니다.
4) 벡터는 서로 선형적으로 표현될 수 없습니다.
5) 이들 벡터의 좌표로 구성된 행렬식이 0과 다릅니다.

나는 반대 진술이 이해할 수 있다고 생각합니다.

공간 벡터의 선형 종속성/독립성은 전통적으로 행렬식(포인트 5)을 사용하여 확인됩니다. 나머지 실제 작업은 뚜렷한 대수적 성격을 갖습니다. 이제 기하학 막대를 걸고 선형 대수학 야구 방망이를 휘두를 시간입니다.

공간의 세 벡터주어진 벡터의 좌표로 구성된 행렬식이 0인 경우에만 동일 평면에 있습니다. .

작은 기술적 뉘앙스에 주목하고 싶습니다. 벡터의 좌표는 열뿐만 아니라 행에도 쓸 수 있습니다(이로 인해 행렬식의 값은 변경되지 않습니다. 행렬식의 속성 참조). 그러나 일부 실제 문제를 해결하는 데 더 유익하기 때문에 열에서는 훨씬 더 좋습니다.

행렬식 계산 방법을 조금 잊어버렸거나 전혀 이해하지 못한 독자들에게 나는 가장 오래된 교훈 중 하나를 추천합니다. 행렬식을 계산하는 방법은 무엇입니까?

실시예 6

다음 벡터가 3차원 공간의 기초를 형성하는지 확인하십시오.

해결책: 사실 전체 해법은 행렬식을 계산하는 것으로 귀결됩니다.

a) 벡터 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 보겠습니다(행렬식은 첫 번째 줄에 표시됩니다).

, 이는 벡터가 선형적으로 독립(동일 평면이 아님)이며 3차원 공간의 기초를 형성한다는 것을 의미합니다.

답변: 이 벡터는 기초를 형성합니다.

b) 이는 독립적인 결정을 위한 요점입니다. 강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

창의적인 작업도 있습니다.

실시예 7

매개변수의 어떤 값에서 벡터가 동일 평면상에 있게 됩니까?

해결책: 벡터는 이러한 벡터의 좌표로 구성된 행렬식이 0인 경우에만 동일 평면에 있습니다.

기본적으로 행렬식을 사용하여 방정식을 풀어야 합니다. 우리는 저보아의 연처럼 0을 급습합니다. 두 번째 줄에서 행렬식을 열고 마이너스를 즉시 제거하는 것이 가장 좋습니다.

우리는 더욱 단순화를 수행하고 문제를 가장 간단한 선형 방정식으로 줄입니다.

답변: 에

여기에서 확인하는 것은 쉽습니다. 이렇게 하려면 결과 값을 원래 행렬식에 대입하고 다음을 확인해야 합니다. , 다시 열어보세요.

결론적으로, 우리는 본질적으로 더 대수적이고 전통적으로 선형 대수 과정에 포함되어 있는 또 다른 전형적인 문제를 고려할 것입니다. 너무 흔해서 그 자체로 주제를 정할 가치가 있습니다.

3개의 벡터가 3차원 공간의 기초를 형성함을 증명
이를 토대로 4번째 벡터의 좌표를 구합니다.

실시예 8

벡터가 제공됩니다. 벡터가 3차원 공간에서 기저를 형성함을 보여주고 이 기저에서 벡터의 좌표를 구합니다.

해결책: 먼저 조건을 다루겠습니다. 조건에 따라 4개의 벡터가 주어지며, 보시다시피 이미 어떤 기준으로 좌표를 가지고 있습니다. 이 기초가 무엇인지는 우리에게 관심이 없습니다. 그리고 다음은 흥미로운 사실입니다. 세 개의 벡터가 새로운 기반을 형성할 수도 있다는 것입니다. 그리고 첫 번째 단계는 예제 6의 해법과 완전히 일치합니다. 벡터가 실제로 선형 독립인지 확인해야 합니다.

벡터 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 보겠습니다.

, 이는 벡터가 선형 독립이며 3차원 공간의 기초를 형성한다는 것을 의미합니다.

! 중요한 : 벡터 좌표 반드시써 내려 가다 열로문자열이 아닌 행렬식. 그렇지 않으면 추가 솔루션 알고리즘에 혼란이 발생합니다.

벡터 시스템이 선형 종속인지 확인하려면 이러한 벡터의 선형 조합을 구성하고 적어도 하나의 계수가 0인 경우 0이 될 수 있는지 확인해야 합니다.

사례 1. 벡터 시스템은 벡터로 제공됩니다.

선형 조합 만들기

우리는 동질적인 방정식 시스템을 얻었습니다. 0이 아닌 해가 있는 경우 행렬식은 0과 같아야 합니다. 행렬식을 구성하고 그 값을 찾아봅시다.

행렬식은 0이므로 벡터는 선형 종속입니다.

사례 2. 벡터 시스템은 분석 함수로 정의됩니다.

ㅏ)
, 항등식이 참이면 시스템은 선형 종속입니다.

선형결합을 만들어 봅시다.

이 식이 0인 a, b, c(적어도 하나는 0이 아님)가 존재하는지 확인해야 합니다.

쌍곡선 함수를 작성해 봅시다

,
, 그 다음에

그러면 벡터의 선형 결합은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디
, 예를 들어 선형 조합이 0이면 시스템은 선형 종속입니다.

대답: 시스템은 선형 종속적입니다.

비)
, 선형결합을 만들어보자

벡터의 선형 조합은 모든 x 값에 대해 0과 같아야 합니다.

특별한 경우를 확인해 보겠습니다.

벡터의 선형 결합은 모든 계수가 0인 경우에만 0과 같습니다.

따라서 시스템은 선형 독립입니다.

답변: 시스템은 선형 독립입니다.

5.3. 몇 가지 기초를 찾고 선형 솔루션 공간의 차원을 결정합니다.

확장행렬을 형성하고 이를 가우시안 방법을 이용하여 사다리꼴 형태로 줄여보겠습니다.

몇 가지 근거를 얻기 위해 임의의 값을 대체해 보겠습니다.

나머지 좌표를 구해보자

답변:

5.4. 기저에 주어진 경우 벡터 X의 좌표를 기저에서 찾으십시오.

새로운 기초에서 벡터 좌표를 찾는 것은 방정식 시스템을 푸는 것으로 귀결됩니다.

방법 1. 전환 행렬을 사용하여 찾기

전환 행렬을 만들어 봅시다

공식을 사용하여 새로운 기저에서 벡터를 찾아봅시다

역행렬을 구하고 곱셈을 해보자

,

방법 2. 방정식 시스템을 구성하여 찾기.

기저 계수로부터 기저 벡터를 구성해 봅시다

,
,

새로운 기저에서 벡터를 찾는 형식은 다음과 같습니다.

, 어디 디이것은 주어진 벡터입니다 엑스.

결과 방정식은 어떤 방식으로든 풀 수 있으며 답은 비슷합니다.

답: 새로운 기반의 벡터
.

5.5. x=라고 하자 (엑스 1 , 엑스 2 , 엑스 3 ) . 다음 변환은 선형인가요?

주어진 벡터의 계수로부터 선형 연산자의 행렬을 구성해 봅시다.

각 선형 연산자 행렬에 대한 선형 연산의 속성을 확인해 보겠습니다.

행렬을 곱하여 좌변을 찾습니다. ㅏ벡터하다

주어진 벡터에 스칼라를 곱하여 우변을 찾습니다.
.

우리는 그것을 본다
이는 변환이 선형이 아니라는 것을 의미합니다.

다른 벡터를 확인해 봅시다.

, 변환은 선형이 아닙니다.

, 변환은 선형입니다.

답변: 오– 선형변환이 아닌, ~ 안에– 선형이 아닌, CX– 선형.

메모.주어진 벡터를 주의 깊게 살펴보면 이 작업을 훨씬 쉽게 완료할 수 있습니다. 안에 오요소를 포함하지 않는 용어가 있음을 알 수 있습니다. 엑스, 이는 선형 연산의 결과로 얻을 수 없습니다. 안에 ~ 안에요소가 있습니다 엑스벡터를 곱해도 얻을 수 없는 3승 엑스.

5.6. 주어진 엑스 = { 엑스 1 , 엑스 2 , 엑스 3 } , 도끼 = { 엑스 2 – 엑스 3 , 엑스 1 , 엑스 1 + 엑스 3 } , Bx = { 엑스 2 , 2 엑스 3 , 엑스 1 } . 지정된 작업을 수행합니다. ( ㅏ ( 비 – ㅏ )) 엑스 .

선형 연산자의 행렬을 적어 보겠습니다.

행렬에 대한 연산을 수행해 봅시다

결과 행렬에 X를 곱하면 다음을 얻습니다.

답변:

벡터 시스템은 다음과 같이 불립니다. 선형 종속, 그 중 적어도 하나가 0과 다른 숫자가 있는 경우 https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

이 동등성이 all 인 경우에만 충족되면 벡터 시스템이 호출됩니다. 선형독립.

정리.벡터 시스템은 다음과 같습니다. 선형 종속벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터의 선형 결합인 경우에만 가능합니다.

예시 1.다항식 다항식의 선형 조합 https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. 다항식은 선형 독립 시스템을 구성합니다. 다항식 https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

예시 2.행렬 시스템 https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src=">는 선형 결합이 다음과 같기 때문에 선형 독립입니다. https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text인 경우에만 제로 행렬 /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> 선형 종속적입니다.

해결책.

이 벡터의 선형 조합을 만들어 보겠습니다 https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" 높이=" 22">.

동일한 벡터의 동일한 좌표를 동일시하면 https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">를 얻습니다.

마침내 우리는 얻는다

그리고

시스템에는 고유하고 간단한 솔루션이 있으므로 모든 계수가 0과 같은 경우에만 이러한 벡터의 선형 조합이 0과 같습니다. 따라서 이 벡터 시스템은 선형 독립입니다.

예시 4.벡터는 선형독립입니다. 벡터 시스템은 어떤 모습일까요?

ㅏ).;

비).?

해결책.

ㅏ).일차결합을 만들어 0과 동일시하자

선형 공간의 벡터 연산 속성을 사용하여 마지막 등식을 다음 형식으로 다시 작성합니다.

벡터는 선형 독립이므로 계수는 0과 같아야 합니다. 즉, gif" width="12" height="23 src=">

결과적인 방정식 시스템에는 고유한 사소한 해법이 있습니다. .

평등 이후 (*) https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – 선형 독립인 경우에만 실행됩니다.

비).평등을 만들자 https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

비슷한 추론을 적용하면

가우스 방법으로 방정식 시스템을 풀면

또는

후자 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다 https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. 따라서 비- 동등성을 유지하는 제로 계수 세트 (**) . 따라서 벡터 시스템은 – 선형 종속.

실시예 5벡터 시스템은 선형 독립이고 벡터 시스템은 선형 종속입니다..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

평등하게 (***) . 실제로 에서 시스템은 선형 종속적입니다.

관계에서 (***) 우리는 얻는다 또는 나타내자 .

우리는 얻는다

독립적인 해결을 위한 문제(교실 내)

1. 영 벡터를 포함하는 시스템은 선형 종속입니다.

2. 하나의 벡터로 구성된 시스템 ㅏ는 다음과 같은 경우에만 선형 종속입니다. a=0.

3. 두 벡터로 구성된 시스템은 벡터가 비례하는 경우에만 선형 종속입니다(즉, 벡터 중 하나가 숫자를 곱하여 다른 벡터에서 얻어짐).

4. 선형 종속 시스템에 벡터를 추가하면 선형 종속 시스템이 됩니다.

5. 선형 독립 시스템에서 벡터를 제거하면 결과 벡터 시스템은 선형 독립입니다.

6. 시스템의 경우 에스선형독립이지만 벡터를 더하면 선형종속이 됩니다. 비, 그 다음 벡터 비시스템 벡터를 통해 선형적으로 표현됨 에스.

씨). 2차 행렬 공간의 행렬 시스템 , .

10. 벡터 시스템을 보자 ㅏ,비,씨벡터 공간은 선형독립입니다. 다음 벡터 시스템의 선형 독립성을 증명하십시오.

ㅏ).에이+비,비,씨.

비).에이+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–임의의 숫자

씨).에이+b, a+c, b+c.

11. 허락하다 ㅏ,비,씨– 삼각형이 형성될 수 있는 평면 위의 세 벡터. 이 벡터들은 선형 종속적일까요?

12. 두 개의 벡터가 주어집니다. a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). 4차원 벡터 두 개를 더 찾아보세요. a3 및a4그래서 시스템은 a1,a2,a3,a4선형 독립이었다 .