복잡한 불평등 시스템을 해결하는 방법. 선형 부등식 시스템을 그래픽으로 풀기

선형 불평등 시스템을 해결하는 방법에 대한 예를 살펴 보겠습니다.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="QuickLaTeX.com에서 렌더링됨">!}

시스템을 해결하려면 시스템의 각 구성 불평등이 필요합니다. 별도로 작성하지 않고 함께 작성하여 중괄호로 결합하기로 결정했습니다.

시스템의 각 부등식에서 우리는 반대 기호를 사용하여 알려지지 않은 것을 한쪽으로, 알려진 것을 다른 쪽으로 이동합니다.

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단순화한 후 부등식의 양쪽을 X 앞의 숫자로 나누어야 합니다. 첫 번째 부등식을 양수로 나누므로 부등식의 부호는 변하지 않습니다. 두 번째 부등식을 음수로 나누므로 부등식 기호가 반전되어야 합니다.

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우리는 수직선의 불평등에 대한 해결책을 표시합니다:

이에 우리는 해법의 교차점, 즉 양쪽 선에 음영이 있는 부분을 적어둡니다.

답: x∈[-2;1).

첫 번째 부등식에서는 분수를 제거해 보겠습니다. 이를 위해 양쪽 항에 최소 공통 분모 2를 곱합니다. 양수를 곱해도 부등호는 변하지 않습니다.

두 번째 부등식에서는 괄호를 엽니다. 두 표현식의 합과 차이의 곱은 이러한 표현식의 제곱의 차이와 같습니다. 오른쪽에는 두 표현식의 차이의 제곱이 있습니다.

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미지의 값을 한쪽으로, 알려진 값을 반대 기호로 다른 쪽으로 이동하여 단순화합니다.

부등식의 양변을 X 앞의 숫자로 나눕니다. 첫 번째 부등식에서는 음수로 나누므로 부등식의 부호가 반전됩니다. 두 번째에서는 양수로 나누면 부등호가 변경되지 않습니다.

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두 부등식에는 모두 "보다 작음" 기호가 있습니다(한 기호가 엄격하게 "보다 작음"이고 다른 기호가 느슨하며 "작거나 같음"이라는 것은 중요하지 않습니다). 두 솔루션을 모두 표시할 수는 없지만 " " 규칙을 사용합니다. 더 작은 것이 1이므로 시스템은 불평등으로 감소합니다.

우리는 수직선에 그 답을 표시합니다:

답: x∈(-무한대;1].

괄호를 엽니다. 첫 번째 부등식에서 - . 이 표현의 세제곱의 합과 같습니다.

두 번째에서는 두 표현의 합과 차이의 곱으로, 이는 제곱의 차이와 같습니다. 여기 괄호 앞에 빼기 기호가 있으므로 두 단계로 여는 것이 좋습니다. 먼저 수식을 사용한 다음 괄호를 열고 각 용어의 기호를 반대로 변경합니다.

우리는 미지수를 한 방향으로 이동시키고, 알려진 값을 반대 부호를 사용하여 다른 방향으로 이동시킵니다.

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둘 다 부호보다 큽니다. "더 이상" 규칙을 사용하여 불평등 시스템을 하나의 불평등으로 줄입니다. 따라서 두 수 중 더 큰 수는 5이므로

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수직선에 불평등에 대한 해결책을 표시하고 답을 적습니다.

답: x∈(5;무한대).

대수학 시스템에서 선형 부등식은 독립적인 작업뿐만 아니라 다양한 종류의 방정식, 부등식 등을 해결하는 과정에서도 발생하므로 이 주제를 적시에 익히는 것이 중요합니다.

다음 시간에는 부등식 중 하나에 해가 없거나 해가 임의의 수인 특별한 경우에 선형 부등식 시스템을 푸는 예를 살펴보겠습니다.

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불평등 시스템.
실시예 1. 표현식의 영역 찾기
해결책.제곱근 기호 아래에는 음수가 아닌 숫자가 있어야 합니다. 이는 두 부등식이 동시에 충족되어야 함을 의미합니다. 그런 경우 문제는 불평등 시스템의 해결로 귀결된다고 한다.

그러나 우리는 아직 그러한 수학적 모델(불평등 시스템)을 접한 적이 없습니다. 이는 아직 예제에 대한 솔루션을 완료할 수 없음을 의미합니다.

시스템을 형성하는 부등식은 중괄호로 결합됩니다(방정식 시스템에서도 마찬가지입니다). 예를 들어, 녹음

즉, 부등식은 2x - 1 > 3이고 3x - 2입니다.< 11 образуют систему неравенств.

때때로 불평등 체계는 이중 불평등의 형태로 쓰여집니다. 예를 들어, 불평등 시스템

이중 부등식 3으로 쓸 수 있습니다.<2х-1<11.

9학년 대수학 과정에서는 두 부등식 시스템만 고려하게 됩니다.

불평등 시스템을 고려하십시오

예를 들어 x = 3, x = 4, x = 3.5와 같은 몇 가지 특정 솔루션을 선택할 수 있습니다. 실제로 x = 3의 경우 첫 번째 부등식은 5 > 3 형식을 취하고 두 번째 부등식은 7 형식을 취합니다.< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

동시에, 값 x = 5는 불평등 시스템에 대한 해결책이 아닙니다. x = 5일 때 첫 번째 부등식은 9 > 3(올바른 수치적 부등식) 형식을 취하고 두 번째 부등식은 13 형식을 취합니다.< 11- неверное числовое неравенство .
불평등 시스템을 해결한다는 것은 모든 특정 솔루션을 찾는 것을 의미합니다. 위에서 설명한 추측이 불평등 시스템을 해결하는 방법이 아니라는 것은 분명합니다. 다음 예에서는 불평등 시스템을 해결할 때 사람들이 일반적으로 어떻게 추론하는지 보여줍니다.

예시 3.불평등 시스템을 해결합니다.

해결책.

ㅏ)시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 2x > 4, x > 2가 됩니다. 시스템의 두 번째 불평등을 해결하면 3x를 찾을 수 있습니다.< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
비)시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x > 2입니다. 시스템의 두 번째 불평등을 해결하면 첫 번째 간격에는 위쪽 해칭을 사용하고 두 번째 간격에는 아래쪽 해칭을 사용하여 하나의 좌표선에 이러한 간격을 표시해 보겠습니다(그림 23). 불평등 시스템에 대한 해결책은 시스템 불평등에 대한 솔루션의 교차점이 될 것입니다. 두 해칭이 일치하는 간격. 고려중인 예에서 우리는 빔을 얻습니다

V)시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x를 찾습니다.< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

고려된 예에서 수행된 추론을 일반화해 보겠습니다. 불평등 시스템을 해결해야 한다고 가정해 보겠습니다.

예를 들어, 구간 (a, b)는 부등식 fx 2 > g(x)에 대한 해이고, 구간 (c, d)는 부등식 f 2 (x) > s 2 (x)에 대한 해입니다. ). 첫 번째 간격에는 위쪽 해칭을 사용하고 두 번째 간격에는 아래쪽 해칭을 사용하여 하나의 좌표선에 이러한 간격을 표시해 보겠습니다(그림 25). 불평등 시스템에 대한 해결책은 시스템의 불평등에 대한 솔루션의 교차점입니다. 두 해치가 일치하는 간격. 그림에서. 25는 간격 (c, b)입니다.

이제 위의 예 1에서 얻은 부등식 시스템을 쉽게 풀 수 있습니다.

시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x > 2입니다. 시스템의 두 번째 부등식을 풀면 x를 찾습니다.< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

물론, 불평등 체계가 지금까지 그랬던 것처럼 반드시 선형 불평등으로 구성될 필요는 없습니다. 합리적(합리적일 뿐만 아니라) 불평등도 발생할 수 있습니다. 기술적으로 합리적인 비선형 불평등 시스템을 사용하는 것은 물론 더 복잡하지만 여기서는 (선형 불평등 시스템과 비교할 때) 근본적으로 새로운 것은 없습니다.

예시 4.불평등의 시스템을 해결

해결책.

1) 우리가 가지고 있는 불평등을 해결하라
수직선에 점 -3과 3을 표시해 보겠습니다(그림 27). 그들은 선을 세 개의 간격으로 나누고 각 간격에서 표현식 p(x) = (x- 3)(x + 3)은 상수 부호를 유지합니다. 이 부호는 그림 1에 표시됩니다. 27. 우리는 부등식 p(x) > 0이 유지되는 간격(그림 27에서 음영 처리됨)과 p(x) = 0이 유지되는 지점, 즉 점 x = -3, x = 3(그림 2 7에 어두운 원으로 표시됨). 따라서, 그림에서. 그림 27은 첫 번째 부등식을 해결하기 위한 기하학적 모델을 나타냅니다.

2) 우리가 가지고 있는 불평등을 해결하라
수직선에 점 0과 5를 표시해 보겠습니다(그림 28). 그들은 선을 세 개의 간격으로 나누고, 각 간격에서 표현식은 다음과 같습니다.<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O(그림 28에서 음영 처리), g(x) - O가 만족되는 지점, 즉 점 x = 0, x = 5(그림 28에서 어두운 원으로 표시됨). 따라서, 그림에서. 그림 28은 시스템의 두 번째 부등식을 해결하기 위한 기하학적 모델을 나타냅니다.

3) 첫 번째 부등식에 대한 솔루션에는 위쪽 해칭을 사용하고 두 번째 부등식에 대한 솔루션에는 아래쪽 해칭을 사용하여 동일한 좌표선에서 시스템의 첫 번째 및 두 번째 부등식에 대해 발견된 솔루션을 표시해 보겠습니다(그림 29). 불평등 시스템에 대한 해결책은 시스템 불평등에 대한 솔루션의 교차점이 될 것입니다. 두 해치가 일치하는 간격. 이러한 간격이 세그먼트입니다.

실시예 5.불평등 시스템을 해결합니다.

해결책:

ㅏ)첫 번째 부등식에서 x >2를 찾습니다. 두 번째 부등식을 생각해 봅시다. 제곱 삼항식 x 2 + x + 2에는 실수 근이 없으며 선행 계수(x 2의 계수)는 양수입니다. 이는 모든 x에 대해 부등식 x 2 + x + 2>0이 유지되므로 시스템의 두 번째 부등식에는 해가 없음을 의미합니다. 이것이 불평등 시스템에 대해 무엇을 의미하는가? 이는 시스템에 솔루션이 없음을 의미합니다.

비)첫 번째 부등식에서 x > 2를 찾고, 두 번째 부등식은 x의 모든 값에 대해 만족됩니다. 이것이 불평등 시스템에 대해 무엇을 의미하는가? 이는 해가 x>2 형식을 갖는다는 것을 의미합니다. 즉, 첫 번째 부등식의 해법과 일치합니다.

답변:

a) 해결책이 없습니다. 비) x >2.

이 예는 다음과 같은 유용한 정보를 보여줍니다.

1. 하나의 변수에 하나의 불평등이 있는 여러 불평등 시스템에서 해결책이 없으면 시스템에도 솔루션이 없습니다.

2. 하나의 변수가 있는 두 개의 불평등 시스템에서 변수의 모든 값에 대해 하나의 불평등이 충족되면 시스템의 솔루션은 시스템의 두 번째 불평등에 대한 솔루션입니다.

이 섹션을 마무리하면서 처음에 주어진 의도한 숫자에 대한 문제로 돌아가서 그들이 말한 대로 모든 규칙에 따라 문제를 해결해 보겠습니다.

실시예 2(29페이지 참조) 자연수가 의도됩니다. 의도한 숫자의 제곱에 13을 더하면 그 합은 의도한 숫자와 숫자 14의 곱보다 커지는 것으로 알려져 있습니다. 의도한 숫자의 제곱에 45를 더하면 그 합은 다음과 같이 됩니다. 의도한 숫자와 숫자 18의 곱보다 작아야 합니다. 의도한 숫자는 무엇입니까?

해결책.

첫 단계. 수학적 모델을 작성합니다.
위에서 본 것처럼 의도한 숫자 x는 부등식 시스템을 충족해야 합니다.

두 번째 단계. 컴파일된 수학적 모델을 사용하여 시스템의 첫 번째 부등식을 다음 형식으로 변환해 보겠습니다.
x2- 14x+ 13 > 0.

삼항식 x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13의 근을 찾아보겠습니다. 포물선 y = x 2 - 14x + 13(그림 30)을 사용하여 우리가 관심 있는 부등식은 다음과 같다는 결론을 내립니다. x에 만족< 1 или x > 13.

시스템의 두 번째 부등식을 x2 - 18 2 + 45 형식으로 변환해 보겠습니다.< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

선형 계획법 문제를 그래픽으로 해결, 선형 계획법 문제의 정식 형식도 참조하세요.

이러한 문제에 대한 제약 시스템은 두 가지 변수의 부등식으로 구성됩니다.
목적 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 에프 = 씨 1 엑스 + 씨 2 와이극대화해야 하는 것입니다.

질문에 답해 봅시다: 어떤 숫자 쌍( 엑스; 와이) 불평등 시스템에 대한 해법은, 즉 각 불평등을 동시에 만족시키는 것입니까? 즉, 시스템을 그래픽적으로 해결한다는 것은 무엇을 의미합니까?
먼저 두 개의 미지수가 있는 하나의 선형 부등식에 대한 해법이 무엇인지 이해해야 합니다.
두 개의 미지수로 선형 부등식을 푼다는 것은 부등식이 유지되는 모든 알 수 없는 값 쌍을 결정하는 것을 의미합니다.
예를 들어 부등식 3 엑스 – 5와이≥ 42개 만족 쌍( 엑스 , 와이) : (100, 2); (3, –10) 등. 과제는 그러한 쌍을 모두 찾는 것입니다.
두 가지 불평등을 고려해 봅시다: 도끼 + ~에 의해≤ 씨, 도끼 + ~에 의해≥ 씨. 똑바로 도끼 + ~에 의해 = 씨평면을 두 개의 반평면으로 나누어 그 중 하나의 점 좌표가 부등식을 만족하도록 합니다. 도끼 + ~에 의해 >씨, 그리고 다른 부등식 도끼 + +~에 의해 <씨.
과연 좌표로 포인트를 잡아보자 엑스 = 엑스 0 ; 그런 다음 선 위에 놓여 있고 가로좌표를 갖는 점이 있습니다. 엑스 0, 세로좌표 있음

확실히 하자 ㅏ< 0, 비>0, 씨>0. 가로좌표가 있는 모든 점 엑스 0 위에 누워 피(예를 들어 점 중), 가지다 와 남>와이 0 및 해당 지점 아래의 모든 지점 피, 가로좌표 있음 엑스 0 , 있음 y N<와이 0 . 왜냐하면 엑스 0은 임의의 점이며, 선의 한쪽에는 항상 점이 있습니다. 도끼+ ~에 의해 > 씨, 반평면을 형성하고 반대쪽에서는 - 점 도끼 + ~에 의해< 씨.

그림 1

반평면의 부등호는 숫자에 따라 달라집니다. ㅏ, 비 , 씨.
이는 두 변수의 선형 불평등 시스템을 그래픽적으로 해결하기 위한 다음 방법을 의미합니다. 시스템을 해결하려면 다음이 필요합니다.

각 부등식에 대해 이 부등식에 해당하는 방정식을 작성하십시오.
방정식으로 지정된 함수 그래프인 직선을 구성합니다.
각 선에 대해 부등식으로 제공되는 반평면을 결정합니다. 이렇게 하려면 선 위에 있지 않은 임의의 점을 가져와 해당 좌표를 부등식으로 대체합니다. 부등식이 참이면 선택한 점을 포함하는 반평면이 원래 부등식의 해가 됩니다. 부등식이 거짓이면 선 반대편의 반평면이 이 부등식에 대한 해의 집합입니다.
부등식 시스템을 해결하려면 시스템의 각 부등식에 대한 해가 되는 모든 반면의 교차 영역을 찾아야 합니다.

이 영역이 비어 있는 것으로 판명될 수 있으며, 불평등 시스템에는 해결책이 없으며 일관성이 없습니다. 안에 그렇지 않으면시스템은 협력적이라고 합니다.
유한한 수의 해가 있을 수도 있고 무한한 수의 해가 있을 수도 있습니다. 영역은 닫힌 다각형이거나 무한할 수 있습니다.

세 가지 관련 사례를 살펴보겠습니다.

예 1. 시스템을 그래픽으로 해결합니다.
엑스 + 와이 – 1 ≤ 0;
–2엑스 – 2와이 + 5 ≤ 0.

부등식에 해당하는 방정식 x+y–1=0 및 –2x–2y+5=0을 고려하십시오.
이 방정식으로 주어진 직선을 만들어 봅시다.

그림 2

부등식으로 정의되는 반평면을 정의해 보겠습니다. 임의의 점을 취해 (0; 0)으로 합시다. 고려해 봅시다 엑스+ 와이- 1 0, 점 (0; 0)을 대체합니다: 0 + 0 – 1 ≤ 0. 이는 점 (0; 0)이 있는 반평면에서 다음을 의미합니다. 엑스 + 와이 – 1 ≤ 0, 즉 선 아래에 있는 반평면은 첫 번째 부등식의 해입니다. 이 점(0; 0)을 두 번째 점으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, 즉 점 (0; 0)이 있는 반평면에서 –2 엑스 – 2와이+ 5≥ 0, 그리고 우리는 –2가 어디인지 물었습니다. 엑스 – 2와이+ 5 ≤ 0, 따라서 다른 절반 평면에서 - 직선 위의 절반 평면에서.
이 두 반평면의 교차점을 찾아봅시다. 선은 평행하므로 평면은 어느 곳에서도 교차하지 않습니다. 이는 이러한 불평등 시스템에 해결책이 없으며 일관성이 없음을 의미합니다.

예 2. 불평등 시스템에 대한 그래픽 솔루션 찾기:

그림 3
1. 부등식에 해당하는 방정식을 작성하고 직선을 구성해 봅시다.
엑스 + 2와이– 2 = 0

엑스	2	0
와이	0	1

와이 – 엑스 – 1 = 0

엑스	0	2
와이	1	3

와이 + 2 = 0;
와이 = –2.
2. 점 (0; 0)을 선택한 후 반평면의 불평등 징후를 결정합니다.
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, 즉 엑스 + 2와이– 직선 아래의 반평면에서는 2 ≤ 0입니다.
0 – 0 – 1 ≤ 0, 즉 와이 –엑스– 직선 아래의 반평면에서는 1 ≤ 0입니다.
0 + 2 =2 ≥ 0, 즉 와이직선 위의 반평면에서 + 2 ≥ 0입니다.
3. 이 세 개의 반면의 교차점은 삼각형 영역이 됩니다. 해당 선의 교차점으로 영역의 꼭지점을 찾는 것은 어렵지 않습니다.

따라서, ㅏ(–3; –2), 안에(0; 1), 와 함께(6; –2).

시스템의 결과 솔루션 도메인이 제한되지 않는 또 다른 예를 고려해 보겠습니다.

이번 수업에서 우리는 불평등 시스템을 공부하기 시작할 것입니다. 먼저, 선형 불평등 시스템을 고려해 보겠습니다. 수업 시작 부분에서 우리는 불평등 시스템이 어디서, 왜 발생하는지 고려할 것입니다. 다음으로, 연립방정식을 푼다는 것이 무엇을 의미하는지 공부하고, 집합의 합집합과 교집합을 기억하겠습니다. 마지막에는 선형 불평등 시스템의 구체적인 예를 해결하겠습니다.

주제: 다이어트모든 불평등과 그 시스템

수업:기본개념, 선형 불평등 시스템 풀기

지금까지 우리는 개인 불평등을 해결하고 간격 방법을 적용했습니다. 선형 부등식, 정사각형이고 합리적입니다. 이제 불평등 시스템을 해결하는 방법으로 넘어 갑시다. 선형 시스템. 불평등 시스템을 고려해야 할 필요성이 발생한 예를 살펴보겠습니다.

함수의 영역 찾기

두 제곱근이 모두 존재할 때 함수가 존재합니다. 즉,

그러한 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까? 첫 번째 부등식과 두 번째 부등식을 모두 만족하는 모든 x를 찾아야 합니다.

첫 번째와 두 번째 불평등에 대한 해법의 집합을 황소 축에 묘사해 보겠습니다.

두 광선의 교차 간격이 우리의 해결책입니다.

불평등 시스템에 대한 해결책을 설명하는 이 방법을 지붕 방법이라고 부르기도 합니다.

시스템의 해는 두 집합의 교집합입니다.

이를 그래픽으로 표현해보자. 임의의 자연으로 구성된 집합 A와 교차하는 임의의 자연으로 구성된 집합 B가 있습니다.

정의: 두 집합 A와 B의 교집합은 A와 B에 모두 포함된 모든 요소로 구성된 세 번째 집합입니다.

불평등의 선형 시스템을 해결하는 구체적인 예를 사용하여 시스템에 포함된 개별 불평등에 대한 솔루션 집합의 교차점을 찾는 방법을 고려해 보겠습니다.

불평등 시스템을 해결합니다.

답: (7; 10].

4. 시스템 해결

시스템의 두 번째 불평등은 어디에서 올 수 있습니까? 예를 들어, 불평등으로부터

각 불평등에 대한 해를 그래픽으로 지정하고 교차점의 간격을 찾아 보겠습니다.

따라서 부등식 중 하나가 x 값을 만족하는 시스템이 있으면 이를 제거할 수 있습니다.

답변: 시스템이 모순됩니다.

우리는 선형 불평등 시스템의 해를 줄일 수 있는 일반적인 지원 문제를 조사했습니다.

다음 시스템을 고려하십시오.

때때로 선형 시스템은 이중 부등식으로 제공됩니다.

우리는 선형 부등식 시스템을 살펴보고 그것이 어디서 왔는지 이해했으며 모든 선형 시스템을 축소할 수 있는 표준 시스템을 살펴보고 그 중 일부를 해결했습니다.

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1. 자연 과학 포털 ().

2. 컴퓨터 과학, 수학, 러시아어 입학 시험을 위해 10-11학년을 준비하기 위한 전자 교육 및 방법론적 복합체().

4. 교육 센터 "교육 기술"().

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