무작위 변수 시스템의 균일하고 정규 분포의 법칙. 두 개의 확률 변수 시스템에 대한 정규 분포 법칙

두 개의 임의 연속 변수로 구성된 시스템을 고려해 보겠습니다. 이 시스템의 확률 밀도 함수가 다음 형식을 갖는 경우 이 시스템의 분포 법칙은 정규 분포 법칙입니다.

. (1.18.35)

여기에는 확률 변수의 수학적 기대값, 표준 편차, 변수의 상관 계수가 있음을 알 수 있습니다. 공식 (1.18.31)과 (1.18.35)을 사용한 계산은 다음과 같습니다.

. (1.18.36)

정규법칙에 따라 분포된 확률변수가 상관관계가 없으면 두 변수도 독립이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

따라서 정규 분포 법칙의 경우 비상관성과 독립성은 동일한 개념입니다.

이면 확률 변수는 종속적입니다. 조건부 분포 법칙은 공식(1.18.20)을 사용하여 계산됩니다.

. (1.18.37)

두 법칙(1.18.37)은 모두 정규 분포를 나타냅니다. 실제로, 예를 들어 두 번째 관계(1.18.37)를 다음 형식으로 변환해 보겠습니다.

이것이 바로 정규분포의 법칙이다. 조건부 수학적 기대 같음

, (1.18.38)

ㅏ 조건부 표준편차 공식으로 표현

. (1.18.39)

고정된 값의 수량 분포에 대한 조건부 법칙에서는 조건부 수학적 기대값만이 이 값에 따라 달라지지만 그렇지는 않습니다. 조건부 분산 – .

좌표 평면에서 종속성(1.18.38)은 직선입니다.

, (1.18.40)

라고 불리는 회귀선 에 .

완전히 유사한 방식으로, 고정된 값에서 수량의 조건부 분포가 확립되었습니다.

, (1.18.41)

조건부 수학적 기대를 갖는 정규 분포가 있습니다.

, (1.18.42)

조건부 표준편차

. (1.18.43)

이 경우 회귀선은 다음과 같습니다.

. (1.18.44)

회귀선(1.18.40)과 (1.18.44)은 양과 의 관계가 선형인 경우에만 일치합니다. 수량과 가 독립적인 경우 회귀선은 좌표축과 평행합니다.

작업 종료 -

이 주제는 다음 섹션에 속합니다.

수학 확률론 수학통계 강의노트

고등수학과 컴퓨터과학과.. 강의 노트.. 수학과..

이 주제에 대한 추가 자료가 필요하거나 원하는 내용을 찾지 못한 경우 당사 저작물 데이터베이스에서 검색을 사용하는 것이 좋습니다.

받은 자료로 무엇을 할 것인가:

이 자료가 도움이 되었다면 소셜 네트워크 페이지에 저장할 수 있습니다.

이 섹션의 모든 주제:

확률 이론
확률 이론은 무작위 질량 현상의 패턴을 연구하는 수학의 한 분야입니다. 무작위로 나타나는 현상을

확률의 통계적 정의
사건은 경험의 결과로 나타날 수도 있고 나타나지 않을 수도 있는 무작위적인 현상(모호한 현상)입니다. 대문자 라틴 문자로 이벤트를 표시합니다.

초등행사 공간
어떤 경험과 관련된 많은 사건이 있다고 가정하고, 1) 경험의 결과로 오직 한 가지만 나타납니다.

이벤트에 대한 작업
두 가지 사건의 합과

재배치
요소의 서로 다른 순열 수는 다음과 같이 표시됩니다.

게재위치
에 따라 요소를 배치함으로써

조합
요소의 조합

호환되지 않는 사건의 확률을 추가하는 공식
정리. 양립할 수 없는 두 사건의 합에 대한 확률은 이들 사건의 확률의 합과 같습니다. (1

임의의 사건에 대한 확률을 추가하는 공식
정리. 두 사건의 합에 대한 확률은 곱의 확률을 제외한 이들 사건의 확률의 합과 같습니다.

확률 곱셈 공식
두 가지 사건을 두고 주어집니다. 이벤트를 고려해보세요

총 확률 공식
양립할 수 없는 사건의 완전한 그룹을 가정이라고 합니다. 어떤 사건을 고려해보세요

가설 확률 공식(베이즈)
다시 생각해 봅시다 - 양립할 수 없는 가설과 사건의 전체 그룹

점근 포아송 공식
테스트 횟수가 많고 사건이 발생할 확률이 높은 경우

무작위 개별 수량
무작위 수량은 실험이 반복될 때 동일하지 않은 수치 값을 가질 수 있는 수량입니다. 확률변수를 이산형(discrete)이라고 합니다.

무작위 연속변수
실험 결과, 랜덤 변수가 특정 세그먼트 또는 전체 실제 축에서 임의의 값을 취할 수 있는 경우 이를 연속형이라고 합니다. 법

무작위 연속변수의 확률밀도함수
하자. 한 점을 고려하여 증분을 가해 봅시다

확률변수의 수치적 특성
무작위 이산형 또는 연속형 변수는 분포 법칙이 알려진 경우 완전히 지정된 것으로 간주됩니다. 사실 분배 법칙을 알면 언제든지 적중 확률을 계산할 수 있습니다.

확률 변수의 분위수
랜덤 연속 변수 차수의 분위수

확률변수의 수학적 기대
랜덤 변수의 수학적 기대는 평균값의 특징입니다. 확률 변수의 모든 값은 이 값을 중심으로 그룹화됩니다. 먼저 무작위 이산변수를 고려해 보겠습니다.

확률변수의 표준편차 및 분산
먼저 임의의 이산변수를 고려해 보겠습니다. 수치적 특성 모드, 중앙값, 분위수 및 수학적 기대

확률 변수의 순간
수학적 기대와 분산 외에도 확률 이론은 확률 변수의 모멘트라고 하는 고차원의 수치적 특성을 사용합니다.

확률변수의 수치적 특성에 관한 정리
정리 1. 무작위가 아닌 값의 수학적 기대값은 이 값 자체와 같습니다. 증명: 하자

이항분배법

포아송 분포 법칙
임의의 이산 변수가 값을 취하도록 하십시오.

균등분배법
무작위 연속 변수의 균일 분포 법칙은 확률 밀도 함수의 법칙입니다.

정규분포법칙
랜덤 연속 변수의 정규 분포 법칙은 밀도 함수 법칙입니다.

지수분포 법칙
랜덤 변수의 지수 또는 지수 분포는 큐잉 이론, 신뢰성 이론과 같은 확률 이론의 응용에 사용됩니다.

확률 변수 시스템
실제로 확률 이론을 적용할 때 실험 결과가 하나의 무작위 변수가 아닌 여러 무작위 변수로 동시에 설명되는 문제에 자주 직면합니다.

두 개의 랜덤 이산변수 시스템
두 개의 무작위 이산변수가 시스템을 형성한다고 가정합니다. 임의의 값

두 개의 랜덤 연속 변수 시스템
이제 두 개의 무작위 연속 변수로 시스템을 구성해 보겠습니다. 이 시스템의 분배법칙은 아마도 다음과 같습니다.

조건부 분포 법칙
종속 무작위 연속 수량을 보자

두 확률변수 시스템의 수치적 특성
확률 변수 시스템의 초기 순서 순간

여러 확률 변수의 시스템
두 개의 확률변수 시스템에 대해 얻은 결과는 임의의 개수의 확률변수로 구성된 시스템의 경우로 일반화될 수 있습니다. 시스템을 세트로 구성하자

확률 이론의 극한 정리
확률 이론의 주요 목표는 무작위 질량 현상의 패턴을 연구하는 것입니다. 실습에 따르면 대량의 균질한 무작위 현상을 관찰하면 다음과 같은 사실이 드러납니다.

체비쇼프 부등식
수학적 기대치를 갖는 확률 변수를 고려하십시오.

체비쇼프의 정리
확률 변수가 쌍별 독립이고 유한하고 집합적으로 제한된 분산을 갖는 경우

베르누이의 정리
실험 횟수를 무제한으로 늘리면 사건 발생 빈도가 확률적으로 사건 확률로 수렴됩니다.

중심 극한 정리
임의의 분포 법칙을 사용하지만 공동으로 제한된 분산을 갖는 확률 변수를 추가할 때 분포 법칙은 다음과 같습니다.

수리통계의 주요 문제점
위에서 논의된 확률 이론의 법칙은 다양한 무작위 질량 현상에 실제로 존재하는 실제 패턴의 수학적 표현을 나타냅니다. 공부하는

간단한 통계적 모집단입니다. 통계분포함수
분포 법칙을 알 수 없는 임의 변수를 고려해 보겠습니다. 경험에 따라 필수

통계 시리즈. 막대 차트
관찰 수가 많아지면(수백 개 정도) 인구가 통계 자료를 기록하는 데 불편하고 번거로워집니다. 명확성과 간결성을 위해 통계 자료

통계분포의 수치적 특성
확률이론에서는 확률변수의 다양한 수치적 특성(수학적 기대, 분산, 다양한 차수의 초기 및 중심 모멘트)이 고려되었습니다. 비슷한 숫자

모멘트법을 이용한 이론적 분포 선택
모든 통계 분포에는 필연적으로 제한된 수의 관찰과 관련된 무작위성 요소가 포함됩니다. 많은 수의 관찰을 통해 이러한 무작위성 요소가 평활화됩니다.

분배 법칙의 형태에 대한 가설의 타당성 확인
주어진 통계적 분포를 이론적 곡선으로 근사화하거나

동의 기준
가장 일반적으로 사용되는 적합도 기준 중 하나인 피어슨 기준(Pearson criterion)을 고려해 보겠습니다. 추측하다

알 수 없는 분포 모수에 대한 점 추정
페이지에서. 2.1. – 2.7에서는 수리통계의 첫 번째와 두 번째 주요 문제를 해결하는 방법을 자세히 살펴보았습니다. 실험 데이터를 기반으로 확률변수의 분포 법칙을 결정하는 문제입니다.

기대와 분산에 대한 추정
알 수 없는 수학적 기대값을 갖는 확률 변수를 허용합니다.

신뢰 구간. 신뢰 확률
실제로는 확률변수에 대한 소수의 실험을 통해 알려지지 않은 매개변수를 대략적으로 대체합니다.

정규 확률 분포 법칙

과장하지 않고 철학적 법칙이라고 할 수 있습니다. 우리 주변 세계의 다양한 사물과 과정을 관찰하면서 우리는 무언가가 충분하지 않고 표준이 있다는 사실을 자주 접하게 됩니다.

기본 뷰는 이렇습니다 밀도 함수정규 확률 분포에 대해 알아보겠습니다. 이 흥미로운 강의에 오신 것을 환영합니다.

어떤 예를 들 수 있나요? 단지 어둠만이 있을 뿐입니다. 예를 들어, 사람의 키, 몸무게(뿐만 아니라), 체력, 정신 능력 등이 있습니다. "주요 질량"이 있습니다 (이런 저런 이유로)양방향으로 편차가 있습니다.

이는 무생물의 서로 다른 특성(동일한 크기, 무게)입니다. 이것은 임의의 프로세스 기간입니다... 다시 한 번 슬픈 예가 떠올랐으므로 전구의 "수명"이라고 말하겠습니다. :) 물리학에서 공기 분자를 기억했습니다. 그중에는 느린 분자가 있고 빠르지만 대부분은 "표준" 속도로 움직입니다.

다음으로, 중심에서 표준편차를 1만큼 더 벗어나 높이를 계산합니다.

도면의 표시 지점 (채색)그리고 우리는 이것으로 충분하다는 것을 알 수 있습니다.

마지막 단계에서는 조심스럽게 그래프를 그리고, 특히 조심스럽게그것을 반영하다 볼록/오목! 글쎄요, 여러분은 아마도 x축이 다음과 같다는 것을 오래 전에 깨달았을 것입니다. 수평 점근선, 그리고 그 뒤로 "등산"하는 것은 절대 금지되어 있습니다!

솔루션을 전자적으로 제출할 때 Excel에서 쉽게 그래프를 만들 수 있는데, 뜻밖에도 이 주제에 대한 짧은 비디오를 녹화하기도 했습니다. 하지만 먼저 and의 값에 따라 정규곡선의 모양이 어떻게 변하는지부터 알아보겠습니다.

"a"를 늘리거나 줄일 때 (일정한 "시그마" 사용)그래프는 모양을 유지하며 오른쪽/왼쪽으로 움직인다각기. 예를 들어 함수가 다음 형식을 취하는 경우 그래프는 왼쪽으로 3단위, 정확히 좌표 원점으로 "이동"합니다.

수학적 기대치가 0인 정규 분포 수량은 완전히 자연스러운 이름을 받았습니다. 중심; 밀도 함수 – 심지어이고, 그래프는 세로좌표를 기준으로 대칭입니다.

"시그마"가 변경된 경우 (상수 "a" 사용), 그래프는 "동일하게 유지"되지만 모양은 변경됩니다. 확대하면 문어가 촉수를 쭉 뻗은 것처럼 낮아지고 길어집니다. 그리고 반대로 그래프를 감소시키면 점점 좁아지고 높아진다- 알고 보니 '놀란 문어'였습니다. 응, 언제? 감소하다"시그마"를 두 번: 이전 그래프는 두 번 좁아지고 늘어납니다.

모든 것이 완전히 일치합니다. 그래프의 기하학적 변환.

단위 시그마 값을 갖는 정규 분포를 호출합니다. 표준화된, 그리고 만약 그렇다면 중심(우리의 경우) 그러한 분포를 호출합니다. 기준. 여기에는 이미 발견된 훨씬 더 간단한 밀도 함수가 있습니다. 라플라스의 국소정리: . 표준 배포판은 실제로 폭넓게 적용되었으며 곧 마침내 그 목적을 이해하게 될 것입니다.

자, 이제 영화를 보자:

예, 절대적으로 맞습니다. 어쨌든 그것은 그림자 속에 남아 있었습니다. 확률 분포 함수. 그녀를 기억하자 정의:
– 무작위 변수가 모든 실제 값을 "더하기" 무한대까지 "통과"하는 변수보다 작은 값을 취할 확률입니다.

적분 내부에는 일반적으로 표기법과 "겹침"이 없도록 다른 문자가 사용됩니다. 여기서 각 값은 다음과 연관되어 있기 때문입니다. 부적절한 적분 , 이는 일부와 동일합니다. 숫자간격에서 .

거의 모든 값을 정확하게 계산할 수는 없지만 방금 본 것처럼 최신 컴퓨팅 성능을 사용하면 어렵지 않습니다. 그래서 기능에 대해서는 표준 분포의 경우 해당 Excel 함수에는 일반적으로 하나의 인수가 포함됩니다.

=NORMSDIST(지)

하나, 둘 - 그러면 끝입니다.

그림은 모든 구현을 명확하게 보여줍니다. 분포 함수 속성, 여기서 기술적인 뉘앙스에 주의해야 합니다. 수평 점근선그리고 변곡점.

이제 주제의 주요 작업 중 하나, 즉 정규 확률 변수가 발생할 확률을 찾는 방법을 알아봅시다. 간격에서 값을 가져옵니다.. 기하학적으로 이 확률은 다음과 같습니다. 영역정규 곡선과 해당 섹션의 x축 사이:

하지만 대략적인 값을 얻으려고 할 때마다 불합리하므로 사용하는 것이 더 합리적입니다. "가벼운" 공식:
.

! 또한 기억한다 , 무엇

여기에서 Excel을 다시 사용할 수 있지만 몇 가지 중요한 "그러나"가 있습니다. 첫째, 항상 가까이에 있는 것은 아니며, 둘째, "기성품" 값은 교사로부터 질문을 제기할 가능성이 높습니다. 왜?

나는 이전에 이것에 대해 여러 번 이야기했습니다. 한때 (그리고 얼마 전) 일반 계산기는 사치였으며 문제를 해결하는 "수동"방법은 여전히 교육 문헌에 보존되어 있습니다. 그 본질은 표준화하다"알파" 및 "베타" 값, 즉 솔루션을 표준 분포로 줄입니다.

메모 : 일반적인 경우에서 함수를 쉽게 얻을 수 있음선형을 사용하여 교체품. 그런 다음:

교체가 수행되면 공식은 다음과 같습니다. 임의 분포의 값에서 표준 분포의 해당 값으로 전환됩니다.

이것이 왜 필요한가요? 사실 그 가치는 우리 조상들에 의해 꼼꼼하게 계산되어 특별한 테이블로 정리되었으며, 이 테이블은 terwer에 관한 많은 책에 포함되어 있습니다. 그러나 훨씬 더 자주 우리가 이미 다루었던 가치표가 있습니다. 라플라스의 적분 정리:

우리가 Laplace 함수의 값 테이블을 마음대로 가지고 있다면 , 그런 다음 이를 통해 해결합니다.

분수 값은 표준 표에서와 같이 전통적으로 소수점 이하 4자리로 반올림됩니다. 그리고 통제를 위해 포인트 5 공들여 나열한 것.

나는 당신에게 그것을 상기시켜줍니다 , 그리고 혼란을 피하기 위해 항상 통제하다, 눈앞에 어떤 기능이 있는지에 대한 표가 있습니다.

답변는 백분율로 제공되어야 하므로 계산된 확률에 100을 곱하고 결과에 의미 있는 설명을 제공해야 합니다.

– 5~70m 비행 시 약 15.87%의 포탄이 떨어집니다.

우리는 스스로 훈련합니다:

실시예 3

공장에서 만든 베어링의 직경은 1.5cm의 수학적 기대값과 0.04cm의 표준 편차를 갖는 정규 분포를 갖는 무작위 변수입니다. 무작위로 선택된 베어링의 크기 범위가 1.4~1.6cm일 확률을 구합니다.

샘플 솔루션과 아래에서는 Laplace 함수를 가장 일반적인 옵션으로 사용하겠습니다. 그건 그렇고, 표현에 따라 간격의 끝이 여기 고려 사항에 포함될 수 있습니다. 그러나 이는 중요하지 않습니다.

그리고 이미 이 예에서 우리는 수학적 기대에 대해 간격이 대칭인 특별한 경우를 접했습니다. 이러한 상황에서는 다음 형식으로 작성할 수 있으며 Laplace 함수의 이상한 점을 사용하여 작업 공식을 단순화할 수 있습니다.

델타 매개변수가 호출됩니다. 편차수학적 기대로부터 이중 불평등은 다음을 사용하여 "패키지"될 수 있습니다. 기준 치수:

– 무작위 변수의 값이 수학적 기대값에서 .

솔루션이 한 줄에 들어가는 것이 좋습니다 :)
– 무작위로 가져온 베어링의 직경이 1.5cm에서 0.1cm 이하로 다를 확률.

이 작업의 결과는 거의 일치하는 것으로 나타났지만 더 큰 신뢰성, 즉 직경이 위치하는 경계를 찾는 것이 좋습니다. 거의 모든 사람문장. 이에 대한 기준이 있나요? 존재한다! 제기된 질문에 대한 답변은 소위

"3시그마" 법칙

그 본질은 실질적으로 신뢰할 수 있는 정규 분포 확률 변수가 간격에서 값을 취한다는 사실입니다. .

실제로 예상 값과의 편차 확률은 다음보다 작습니다.
또는 99.73%

베어링의 경우 직경이 1.38~1.62cm인 9973개이며 "표준 이하" 사본은 27개에 불과합니다.

실제 연구에서 3시그마 규칙은 일반적으로 반대 방향으로 적용됩니다. 통계적으로거의 모든 값이 확인되었습니다. 연구 중인 무작위 변수 6 표준 편차의 간격 내에 속하면 이 값이 정규 법칙에 따라 분포된다고 믿을 만한 강력한 이유가 있습니다. 검증은 이론을 사용하여 수행됩니다. 통계적 가설, 조만간 도착하고 싶습니다 :)

그 동안 우리는 소련의 가혹한 문제를 계속해서 해결하고 있습니다.

실시예 4

계량 오류의 무작위 값은 수학적 기대치가 0이고 표준 편차가 3그램인 정규 법칙에 따라 분포됩니다. 절대값이 5그램을 초과하지 않는 오차로 다음 계량이 수행될 확률을 구하십시오.

해결책매우 간단합니다. 조건에 따라 다음 계량 시 즉시 이를 기록합니다. (무언가 또는 누군가)우리는 9그램의 정확도로 거의 100% 결과를 얻을 것입니다. 그러나 문제는 더 좁은 편차와 관련이 있으며 공식에 따르면 :

– 다음 계량이 5그램을 초과하지 않는 오류로 수행될 확률.

답변:

해결된 문제는 겉보기에는 유사해 보이는 문제와 근본적으로 다릅니다. 실시예 3에 대한 교훈 균등 분포. 오류가있었습니다 반올림측정 결과, 여기서는 측정 자체의 무작위 오류에 대해 이야기하고 있습니다. 이러한 오류는 장치 자체의 기술적 특성으로 인해 발생합니다. (허용되는 오류의 범위는 일반적으로 여권에 표시되어 있습니다), 또한 실험자의 잘못으로 인해 – 예를 들어 "눈으로"동일한 눈금의 바늘에서 판독 값을 읽을 때.

그 중에는 소위 말하는 것도 있습니다. 체계적인측정 오류. 이미 무작위가 아닌장치의 잘못된 설정이나 작동으로 인해 발생하는 오류. 예를 들어, 규제되지 않은 바닥 저울은 킬로그램을 꾸준히 "추가"할 수 있으며 판매자는 체계적으로 고객의 무게를 측정합니다. 아니면 체계적으로 계산되지 않을 수도 있습니다. 그러나 어떤 경우에도 그러한 오류는 무작위가 아니며 그 기대치는 0과 다릅니다.

…영업 교육 과정을 긴급하게 개발 중입니다 =)

역 문제를 스스로 해결해 봅시다.

실시예 5

롤러의 직경은 무작위 정규 분포 무작위 변수이며 표준 편차는 mm입니다. 롤러 직경의 길이가 포함될 가능성이 있는 수학적 기대치에 대해 대칭인 구간의 길이를 구합니다.

포인트 5* 디자인 레이아웃돕기 위해. 여기서는 수학적 기대치가 알려지지 않았지만 이것이 우리가 문제를 해결하는 데 최소한 방해가 되는 것은 아닙니다.

그리고 자료를 강화하기 위해 제가 적극 권장하는 시험 과제는 다음과 같습니다.

실시예 6

정규 분포 확률 변수는 해당 매개변수(수학적 기대값)와 (표준 편차)로 지정됩니다. 필수의:

a) 확률 밀도를 기록하고 그래프를 개략적으로 묘사합니다.
b) 구간에서 값을 취할 확률을 구합니다. ;
c) 절대값이 다음 이하에서 벗어날 확률을 구합니다.
d) "3 시그마" 규칙을 사용하여 확률 변수의 값을 찾습니다.

이러한 문제는 어디에서나 제공되며 수년 동안 연습하면서 수백 가지 문제를 해결했습니다. 손으로 그림 그리기와 종이 테이블을 사용하는 연습을 꼭 하세요.)

이제 복잡성이 증가한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 7

랜덤 변수의 확률 분포 밀도는 다음과 같은 형식을 갖습니다. . 찾기, 수학적 기대값, 분산, 분포 함수, 밀도 그래프 및 분포 함수 작성, 찾기.

해결책: 우선, 조건은 확률변수의 성격에 대해 아무 것도 말해주지 않는다는 점에 주목하자. 지수 자체의 존재는 아무 의미도 없습니다. 예를 들어 다음과 같은 결과가 나올 수 있습니다. 지시적아니면 임의로 지속적인 배포. 따라서 분포의 "정규성"은 여전히 정당화되어야 합니다.

기능 이후 에 결정 어느실제 가치는 다음과 같은 형식으로 축소될 수 있습니다. 이면 확률변수는 정규법칙에 따라 분포됩니다.

여기 있습니다. 이를 위해 완전한 정사각형을 선택하세요그리고 정리하다 3층 분수:

확인을 수행하여 표시기를 원래 형식으로 되돌리십시오.

, 이것이 바로 우리가 보고 싶었던 것입니다.

따라서:
- 에 의해 권력을 이용한 작전의 법칙"꼬집어" 그리고 여기에서 명백한 수치적 특성을 즉시 기록할 수 있습니다.

이제 매개변수의 값을 찾아보겠습니다. 정규분포 승수는 and 형식을 가지므로 다음과 같습니다.
, 여기서 우리는 함수를 표현하고 대체합니다.
, 그 후에 다시 한 번 눈으로 녹음을 살펴보고 결과 함수가 다음과 같은 형식인지 확인합니다. .

밀도 그래프를 작성해 보겠습니다.

및 분포 함수 그래프 :

Excel이나 일반 계산기가 없다면 마지막 그래프를 수동으로 쉽게 작성할 수 있습니다! 이 시점에서 분포 함수는 값을 취합니다. 그리고 여기 있어요

확률 이론과 그 응용에서 2차원 정규 분포는 중요한 역할을 합니다. 2차원 정규확률변수(X,Y)의 밀도는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

X와 Y 값에 대한 수학적 기대치는 다음과 같습니다. - X 및 Y 값의 표준 편차; r - X 및 Y 값의 상관 계수입니다.

확률변수 X와 Y가 상관관계가 없다고, 즉 r=0이라고 가정해보자. 그런 다음 우리는 다음을 가집니다:

(53)

우리는 두 확률 변수(X,Y)로 구성된 시스템의 분포 밀도가 성분 X와 Y의 분포 밀도의 곱과 같다는 것을 발견했습니다. 이는 X와 Y가 독립 확률 변수임을 의미합니다.

따라서 다음이 입증되었습니다. 정리: 정규 분포 확률 변수의 비상관성으로부터 그들은 독립적이라는 결론이 나옵니다. . 임의 변수의 독립성은 상관 관계가 없다는 것을 의미하므로 "상관되지 않은" 변수와 "독립" 변수라는 용어는 정규 분포의 경우에 동일하다는 결론을 내릴 수 있습니다.

정규 분포를 따르는 2차원 확률 변수가 평면의 다양한 영역에 떨어질 확률에 대한 공식을 제시해 보겠습니다.

구성요소가 독립인 확률 벡터(X,Y)를 정규법칙(53)에 따라 분포한다고 가정합니다. 그런 다음 임의의 점 (X,Y)가 직사각형에 들어갈 확률은 다음과 같습니다. 아르 자형,그 변이 좌표축과 평행한 것은 다음과 같습니다.

y R d c x a b

(54)

어디 - 라플라스 함수. 이 기능은 표로 정리되어 있습니다.

확률 변수 시스템(X,Y)의 정규 법칙의 분포 밀도를 (52) 형식으로 지정합니다. 이 밀도는 타원에서 일정하게 유지된다는 것이 분명합니다.

여기서 C는 상수입니다. 이를 바탕으로 그러한 타원을 호출합니다. 동일한 확률의 타원. 동일한 확률의 타원 내부에 점 (X,Y)가 포함될 확률은 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다.

(56)

실시예 10. 확률변수 X와 Y는 독립적이고 정규분포를 따릅니다. 임의의 점 (X,Y)가 링에 들어갈 확률을 구합니다.

해결책:확률 변수 X와 Y는 독립적이므로 상관 관계가 없으므로 r = 0입니다. (C)에 대입하면 다음을 얻습니다.

즉, 동일한 확률의 타원이 동일한 확률의 원으로 변질되었습니다. 그 다음에

답변: 0,1242.

3.2. n차원 정규분포의 일반적인 경우

시스템의 정규 분포 밀도 N 확률 변수의 형식은 다음과 같습니다.

행렬 C의 행렬식은 어디에 있습니까? 공분산 행렬의 역수입니다. - 확률변수 X i의 수학적 기대 - i번째 구성요소 N -차원 정규 확률 벡터.

임의의 수의 차원과 임의 변수 간의 모든 유형의 종속성에 대한 모든 형태의 정규 법칙은 일반 표현식을 따릅니다. 특히, N = 2 공분산 행렬의 형식은 다음과 같습니다.

(58)

그것의 행렬식 ; 공분산 행렬에 역행렬인 행렬 C는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

. (59)

행렬 C의 요소를 일반 공식(57)에 대입하면 평면(52)의 정규 분포에 대한 공식을 얻습니다.

확률변수인 경우 독립적이면 시스템의 분포 밀도 동일

n = 2인 경우 이 공식은 (53) 형식을 취합니다.

3.2. 정규 분포 확률 변수의 기능. 카이제곱, 스튜던트, Fisher-SneDecor 분포

일반적인 경우, 즉 정규 분포 인수의 선형 함수를 고려해 봅시다. n차원 정규 분포 확률 벡터가 주어집니다. , 확률 변수 Y는 다음 수량의 선형 함수입니다.

(61)

확률 변수 Y도 다음 매개변수와 함께 정규 분포를 따르는 것을 볼 수 있습니다.

(62)

(63)

는 확률변수의 수학적 기대치 - 확률변수의 분산 - 과 사이의 상관계수입니다.

실시예 11.확률변수의 분포밀도를 적으세요. , 확률 변수가 모수 , , 를 갖는 정규 분포를 갖는 경우 상관 계수는 입니다.

해결책. 문제의 조건에 따르면 다음과 같습니다: n=2; . 공식 (62)를 사용하여 다음을 얻습니다. 공식 (63)을 사용하여 다음을 얻습니다.

그런 다음 랜덤 변수 Y의 필수 분포 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

허락하다 - 수학적 기대값과 단위 분산이 0인 정규 분포, 즉 표준 정규 분포를 따르는 독립 확률 변수입니다. 이들 값의 제곱의 합인 확률 변수의 분포

. (64)

라고 불리는 " CI 분포 - n 자유도를 갖는 정사각형 ”.

CI의 분포 밀도 – 자유도가 n=2인 정사각형은 다음과 같습니다.

(65)

CI 밀도 - 자유도가 n인 제곱 분포의 형식은 다음과 같습니다.

(66)

어디 - 오일러의 감마 함수. 자유도가 증가할수록 분포는 정규분포 법칙에 가까워집니다. N >30 분포는 실질적으로 정상 분포와 다르지 않습니다. n 자유도를 갖는 분포에 대한 수학적 기대는 다음과 같습니다. N 이고, 분산은 2입니다. N .

자유도가 n인 학생 분포 St(n)확률 변수의 분포로 정의됩니다.

여기서 Z는 분포와 무관한 표준 정규 값입니다.

n 자유도를 갖는 학생 분포 밀도의 형식은 다음과 같습니다.

(68)

수학적 기대값은 0이고, 분산은 At와 같고, 스튜던트 분포는 정규에 접근합니다(이미 N >30은 정규 분포와 거의 일치합니다.

Fisher-Snedecor 분포(또는 F-분포)자유도가 있는 것을 확률 변수의 분포라고 합니다.

(69)

여기서 및 는 각각 자유도와 분포를 갖는 확률 변수입니다.

4. 서면 D.T. 확률이론과 수리통계학 강의 노트입니다. – M.: 아이리스프레스, 2004.

1. 확률 변수 시스템 및 이를 지정하는 방법에 대한 기본 정보입니다. . 삼

1.1. 확률 변수 시스템의 개념. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 삼

1.2. 2차원 확률변수의 확률분포함수와 그

속성. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. 이산형 2차원 확률 변수의 확률 분포 법칙입니다. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. 연속형 2차원 확률변수의 확률분포밀도와 그 성질. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. n 확률 변수의 시스템. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. 확률변수의 의존성과 독립성. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. 독립확률변수. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. 조건부 유통 법칙. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. 의존성의 수치적 특성. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. 확률 변수 시스템의 정규 분포. . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. 이변량 정규 분포. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2. n차원 정규분포의 일반적인 경우. . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. 정규 분포 확률 변수의 기능. 배포판: CI - 정사각형, 학생, Fisher - Snedecor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

서지. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

베라 알렉산드로브나 밥코바(Vera Alexandrovna Bobkova)가 편집함

확률 변수 시스템

학생의 독립적인 작업을 위한 지침

편집자 G.V.

2010년 3월 2일 출판을 위해 서명되었습니다. 60x84 형식. 필기장. 베이킹 조건 l.1.63.

Uch.-ed.1.81. 발행부수 50부.

고등 전문 교육 주립 교육 기관 Ivanovo 주립 화학 기술 대학교

고등 전문 교육 기관 "IGHTU"의 경제 재정부의 인쇄 장비에 인쇄됨

153000, Ivanovo, F. Engels Ave., 7

확률 변수 시스템의 수치적 특성

분포 법칙은 확률 변수 시스템의 특징을 완전히 나타내지만 실제로 사용하는 것은 복잡성으로 인해 항상 편리한 것은 아닙니다. 수학적 기대 M[X], M[Y], 분산 D[X], D[Y] 및 표준 편차를 포함하여 시스템을 구성하는 확률 변수의 수치적 특성을 아는 것만으로도 충분합니다. 이는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

구성 요소의 분산은 단축된 공식을 사용하여 계산할 수도 있습니다.

2차원 확률 변수 이론에서 중요한 역할은 시스템 구성 요소 간의 선형 관계를 특징으로 하는 상관 모멘트(공분산)에 의해 수행됩니다.

상관 모멘트는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

이산 확률 변수 시스템의 경우

연속형 확률 변수 시스템의 경우

상관 순간과 함께 상관 연결의 무차원 특성인 상관 계수가 사용됩니다.

임의 변수 시스템의 경우

다음과 같은 경우 확률 변수 X와 Y를 상관 관계가 없다고 합니다.

독립 수량은 항상 상관 관계가 없습니다.

시스템에 포함된 확률변수의 조건부 분포 법칙은 다른 확률변수가 특정 값을 취한다는 조건 하에서 계산되는 분포의 법칙입니다. 연속 확률 변수 시스템의 경우 조건부 법칙은 구성 요소의 조건부 분포 밀도로 표현됩니다.

게다가 (6.9)

여기서

확률 변수 시스템의 균일 및 정규 분포 법칙

통일법. 시스템에 포함된 확률변수의 값이 모두 영역 D 내부에 위치하고 시스템의 확률밀도는 다음과 같은 형태를 갖는다면

그러면 (X,Y)에는 균일 분포 법칙이 적용됩니다.

보통법. 시스템 (X,Y)의 분포 밀도가 다음 형식을 갖는 경우

수학적 기대는 어디에 있습니까? - 표준 편차 및 - 상관 계수인 경우 시스템은 정규 분포 법칙을 따릅니다.

상관관계가 없는 확률변수의 경우 정규분포 밀도는 다음과 같습니다.

예제 6.2. 내년에는 3개 기업의 활동이 계획되어 있습니다. 시스템(X,Y)

회사 번호가 어디 있어요?

투자 금액(천 단위의 기존 화폐 단위),

테이블로 제공됨

구성 요소 X의 분배 법칙은 투자 규모에 관계없이 첫 번째 기업은 확률 0.3, 두 번째 기업은 0.2, 세 번째 기업은 0.5 확률로 투자한다는 의미입니다. Y 구성 요소는 분포 법칙에 해당합니다.

이는 기업 수에 관계없이 투자 규모가 기존 단위 3,000개와 동일할 수 있음을 의미합니다. 굴. 단위 0.5 또는 4,000 기존 화폐 단위의 확률로. 확률은 0.5입니다.

구성요소의 수치적 특성을 결정하기 위해 발견된 X와 Y의 분포 법칙과 이산 시스템의 수치적 특성을 결정하는 공식을 사용합니다.

평균 투자량

평균 투자금액과의 편차

기업수와 투자규모의 관계

예제 6.3. 특정 기간 동안 생산에는 두 가지 유형의 원자재가 사용되었습니다. 랜덤 변수 X와 Y는 각각 원자재의 양이며 기존 단위로 표시됩니다. 시스템의 확률 분포 밀도는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

소개

확률 이론은 수학의 고전적인 분야 중 하나입니다. 오랜 역사를 가지고 있습니다. 이 과학 분야의 기초는 위대한 수학자에 의해 마련되었습니다. 예를 들어 Fermat, Bernoulli, Pascal의 이름을 지정하겠습니다. 나중에 확률 이론의 발전은 많은 과학자들의 연구에서 결정되었습니다. 우리나라의 과학자들은 확률 이론에 큰 공헌을 했습니다: P.L. Chebyshev, A.A. Markov, A.N. 확률론적 및 통계적 방법은 이제 응용 프로그램에 깊이 침투했습니다. 그들은 물리학, 기술, 경제, 생물학 및 의학에 사용됩니다. 특히 컴퓨터 기술의 발전과 관련하여 이들의 역할이 더욱 커졌습니다.

예를 들어, 물리적 현상을 연구하기 위해 관찰이나 실험이 이루어집니다. 그 결과는 일반적으로 관찰 가능한 수량의 값 형태로 기록됩니다. 실험을 반복하면 결과가 흩어지는 것을 발견합니다. 예를 들어, 동일한 장치로 특정 조건(온도, 습도 등)을 유지하면서 동일한 양을 반복 측정하면 서로 조금씩 다른 결과를 얻을 수 있습니다. 반복 측정을 하더라도 다음 측정 결과를 정확하게 예측하는 것은 불가능합니다. 이런 의미에서 그들은 측정 결과가 확률 변수라고 말합니다. 확률 변수의 더욱 명확한 예는 복권의 당첨 티켓 수입니다. 확률변수의 다른 많은 예가 주어질 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 우연의 세계에서는 특정한 패턴이 드러납니다. 그러한 패턴을 연구하기 위한 수학적 장치는 확률 이론에 의해 제공됩니다. 따라서 확률 이론은 무작위 사건 및 관련 무작위 변수의 수학적 분석을 다룹니다.

1. 무작위 변수

확률 변수의 개념은 확률 이론과 그 응용의 기본입니다. 예를 들어, 무작위 변수는 주사위를 한 번 던지는 동안 얻은 점수, 일정 기간 동안 붕괴된 라듐 원자의 수, 일정 기간 동안 전화 교환기에 걸려온 통화 수, 편차 등입니다. 적절하게 조정된 기술 프로세스 등을 통해 특정 크기의 부품의 명목 가치에서

따라서 확률 변수는 실험 결과로 하나 또는 다른 값을 취할 수 있고 사전에 알려진 양입니다.

확률변수는 두 가지 범주로 나눌 수 있습니다.

이산 확률 변수는 실험 결과 특정 확률로 특정 값을 취하여 셀 수 있는 집합(요소에 번호를 매길 수 있는 집합)을 형성할 수 있는 수량입니다.

이 집합은 유한하거나 무한할 수 있습니다.

예를 들어, 첫 번째 표적에 명중하기 전의 사격 횟수는 이산확률변수입니다. 이 수량은 셀 수는 있지만 무한한 값을 가질 수 있습니다.

연속확률변수(Continuous Random Variable)는 유한 또는 무한 구간에서 임의의 값을 취할 수 있는 수량입니다.

분명히 연속 확률 변수의 가능한 값의 수는 무한합니다.

확률 변수를 지정하려면 단순히 해당 값을 표시하는 것만으로는 충분하지 않으며 이 값의 확률도 표시해야 합니다.

2. 균일한 분포

Ox 축의 세그먼트를 일부 장치의 규모로 설정합니다. 포인터가 눈금의 특정 부분에 닿을 확률은 이 부분의 길이에 비례하고 눈금에서 부분의 위치에 의존하지 않는다고 가정해 보겠습니다. 기기 포인터 표시는 무작위 변수입니다.

세그먼트에서 모든 값을 가져올 수 있습니다. 그렇기 때문에

그리고 (<) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и, а разность, - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем

, 그럼 어디서 .

따라서