Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув . Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.
Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?
Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:
Найдём решение этой линейной системы уравнений . Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.
Преобразуем эту матрицу к треугольной.
Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.
Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.
Видим, что последние три строки – одинаковые
, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.
По этой матрице записываем новую систему уравнений
.
Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов
. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо
.
Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.
После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР
нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.
Однородные системы линейных алгебраических уравнений
В рамках уроков метод Гаусса
и Несовместные системы/системы с общим решением
мы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений
, где свободный член
(который обычно находится справа) хотя бы одного
из уравнений был отличен от нуля.
И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы
, мы продолжим шлифовать техникуэлементарных преобразований
на однородной системе линейных уравнений
.
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.
Что такое однородная система линейных уравнений?
Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого
уравнения системы равен нулю. Например:
Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна
, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное
решение 
. Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:
Пример 1
Решение
: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы
и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.
(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.
В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система 
, и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.
Ответ
:
Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имееттолько тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).
Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:
Пример 2
Решить однородную систему линейных уравнений
Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока.
Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы . И тогда неизбежно появление общего решения:
Пример 3
Решить однородную систему линейных уравнений
Решение
: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:
(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.
(2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.
(4) У первой строки сменили знак.
В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:
Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем . Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, переменная , которой не досталось «ступеньки» – свободная.
Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Ответ
: общее решение: 
Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне.
Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.
На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощьюфундаментальной системы решений . Пожалуйста, временно забудьте обаналитической геометрии , поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в общем алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы . Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто.
Мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований
на однородной системе линейных уравнений
.
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.
Что такое однородная система линейных уравнений?
Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого
уравнения системы равен нулю. Например:
Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна
, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное
решение 
. Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:
Пример 1
Решение
: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы
и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.
(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.
В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система 
, и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.
Ответ
: 
Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).
Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:
Пример 2
Решить однородную систему линейных уравнений
Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:
Пример 7
Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.
Решение
: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.
(1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2.
(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.
В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:
– базисные переменные;
– свободные переменные.
Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:
– подставим в 1-е уравнение:
Таким образом, общее решение:
Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.
Подставим тройку значений 
в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.
Для тройки значений 
находим вектор
И, наконец, для тройки 
получаем третий вектор:
Ответ : , где
Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки 
и получить ответ в эквивалентном виде:
К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу 
и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную , и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.
Второй вариант решения :
Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные
. Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:
Пусть М 0 – множество решений однородной системы (4) линейных уравнений.
Определение 6.12. Векторы с 1 , с 2 , …, с p , являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений называются фундаментальным набором решений (сокращенно ФНР), если
1) векторы с 1 , с 2 , …, с p линейно независимы (т. е. ни один из них нельзя выразить через другие);
2) любое другое решение однородной системы линейных уравнений можно выразить через решения с 1 , с 2 , …, с p .
Заметим, что если с 1 , с 2 , …, с p – какой-либо ф.н.р., то выражением k 1 ×с 1 + k 2 ×с 2 + … + k p ×с p можно описать все множество М 0 решений системы (4), поэтому его называют общим видом решения системы (4).
Теорема 6.6. Любая неопределенная однородная система линейных уравнений обладает фундаментальным набором решений.
Способ нахождения фундаментального набора решений состоит в следующем:
Найти общее решение однородной системы линейных уравнений;
Построить (n – r ) частных решений этой системы, при этом значения свободных неизвестных должны образовывать единичную матрицу;
Выписать общий вид решения, входящего в М 0 .
Пример 6.5. Найти фундаментальный набор решений следующей системы:
Решение . Найдем общее решение этой системы.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
В этой системе пять неизвестных (n
= 5), из них главных неизвестных два (r
= 2), свободных неизвестных три (n
– r
), то есть в фундаментальном наборе решений содержится три вектора решения. Построим их. Имеем x
1 и x
3 – главные неизвестные, x
2 , x
4 , x
5 – свободные неизвестные
Значения свободных неизвестных x 2 , x 4 , x 5 образуют единичную матрицу E третьего порядка. Получили, что векторы с 1 , с 2 , с 3 образуют ф.н.р. данной системы. Тогда множество решений данной однородной системы будет М 0 = {k 1 ×с 1 + k 2 ×с 2 + k 3 ×с 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R}.
Выясним теперь условия существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений, другими словами условия существования фундаментального набора решений.
Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, то есть является неопределенной, если
1) ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных;
2) в однородной системе линейных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных;
3) если в однородной системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных, и определитель основной матрицы равен нулю (т. е. |A | = 0).
Пример 6.6
. При каком значении параметра a
однородная система линейных уравнений 
имеет ненулевые решения?
Решение . Составим основную матрицу этой системы и найдем ее определитель: = = 1×(–1) 1+1 × = –а – 4. Определитель этой матрицы равен нулю при a = –4.
Ответ : –4.
7. Арифметическое n -мерное векторное пространство
Основные понятия
В предыдущих разделах уже встречалось понятие о наборе из действительных чисел, расположенных в определенном порядке. Это матрица-строка (или матрица-столбец) и решение системы линейных уравнений с n неизвестными. Эти сведения можно обобщить.
Определение 7.1. n -мерным арифметическим вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел.
Значит а = (a 1 , a 2 , …, a n ), где a i Î R, i = 1, 2, …, n – общий вид вектора. Число n называется размерностью вектора, а числа a i называются его координатами .
Например: а = (1, –8, 7, 4, ) – пятимерный вектор.
Все множество n -мерных векторов принято обозначать как R n .
Определение 7.2. Два вектора а = (a 1 , a 2 , …, a n ) и b = (b 1 , b 2 , …, b n ) одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n = b n .
Определение 7.3. Суммой двух n -мерных векторов а = (a 1 , a 2 , …, a n ) и b = (b 1 , b 2 , …, b n ) называется вектор a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n + b n ).
Определение 7.4. Произведением действительного числа k на вектор а = (a 1 , a 2 , …, a n ) называется вектор k ×а = (k ×a 1 , k ×a 2 , …, k ×a n )
Определение 7.5. Вектор о = (0, 0, …, 0) называется нулевым (или нуль–вектором ).
Легко проверить, что действия (операции) сложения векторов и умножения их на действительное число обладают следующими свойствами: " a , b , c Î R n , " k , l Î R:
1) a + b = b + a ;
2) a + (b + c ) = (a + b ) + c ;
3) a + о = a ;
4) a + (–a ) = о ;
5) 1×a = a , 1 Î R;
6) k ×(l ×a ) = l ×(k ×a ) = (l ×k )×a ;
7) (k + l )×a = k ×a + l ×a ;
8) k ×(a + b ) = k ×a + k ×b .
Определение 7.6. Множество R n с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения их на действительное число называется арифметическим n-мерным векторным пространством .
Даны матрицы
Найти: 1) aA - bB,
Решение : 1) Находим последовательно, используя правила умножения матрицы на число и сложения матриц..
2. Найдите А*В, если
Решение : Используем правило умножения матриц
Ответ: 
3. Для заданной матрицы найдите минор М 31 и вычислите определитель.
Решение : Минор М 31 – это определитель матрицы, которая получается из А
после вычеркивания строки 3 и столбца 1. Находим
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Преобразуем матрицу А, не изменяя её определителя (сделаем нули в строке 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Теперь вычисляем определитель матрицы А разложением по строке 1
Ответ: М 31 = 0, detA = 0
Pешить методом Гаусса и методом Крамера.
2х 1 + х 2 + x 3 = 2
x 1 + х 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Решение : Проверим
Можно применить метод Крамера
Решение системы: х 1 = D 1 /D = 2, х 2 = D 2 /D = -5, х 3 = D 3 /D = 3
Применим метод Гаусса.
Расширенную матрицу системы приведём к треугольному виду.
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ю строку на (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) и добавим к 3-й:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Умножим 1-ю строку на (k = -2 / 2 = -1 ) и добавим к 2-й:
Теперь исходную систему можно записать как:
x 1 = 1 - (1 / 2 x 2 + 1 / 2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Из 2-ой строки выражаем
Из 1-ой строки выражаем
Решение то же.
Ответ: (2 ; -5 ; 3)
Найти общее решение системы и ФСР
13х 1 – 4х 2 – х 3 - 4х 4 - 6х 5 = 0
11х 1 – 2х 2 + х 3 - 2х 4 - 3х 5 = 0
5х 1 + 4х 2 + 7х 3 + 4х 4 + 6х 5 = 0
7х 1 + 2х 2 + 5х 3 + 2х 4 + 3х 5 = 0
Решение : Применим метод Гаусса. Расширенную матрицу системы приведём к треугольному виду.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Умножим 1-ю строку на (-11). Умножим 2-ю строку на (13). Добавим 2-ю строку к 1-й:
| -2 | -2 | -3 | ||
Умножим 2-ю строку на (-5). Умножим 3-ю строку на (11). Добавим 3-ю строку к 2-й:
Умножим 3-ю строку на (-7). Умножим 4-ю строку на (5). Добавим 4-ю строку к 3-й:
Второе уравнение есть линейная комбинация остальных
Найдем ранг матрицы.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 – зависимые (базисные), а x 3 ,x 4 ,x 5 – свободные.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Методом исключения неизвестных находим общее решение :
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Находим фундаментальную систему решений (ФСР), которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.
Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3.
Достаточно придать свободным неизвестным x 3 ,x 4 ,x 5 значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 1 ,x 2 .
Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.
Но здесь удобнее взять
Находим, используя общее решение:
а) х 3 = 6, х 4 = 0, х 5 = 0 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -4 Þ
I решение ФСР: (-2; -4; 6; 0;0)
б) х 3 = 0, х 4 = 6, х 5 = 0 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
II решение ФСР: (0; -6; 0; 6;0)
в) х 3 = 0, х 4 = 0, х 5 = 6 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ
III решение ФСР: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ ФСР: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)
6. Дано: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Найти: a) z 1 – 2z 2 б) z 1 z 2 в) z 1 /z 2
Решение : a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
б) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = {i 2 = -1} = 12 + 26i
Ответ: а) -3i б) 12+26i в) -1.4 – 0.3i