Модуль силы инерции. Понятие о силах инерции. Метод кинетостатики

Неинерциальной системой отсчёта называется система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной.

Законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета. Поэтому все рассматриваемые до сих пор вопросы относились к инерциальным системам. Однако на практике часто приходится иметь дело с неинерциальными системами отсчёта. Выясним, как должен записываться основной закон динамики в таких системах. Рассмотрим в начале движение материальной точки в инерциальной системе отсчёта:

Введём кроме неё неинерциальную систему отсчёта и договоримся первую называть неподвижной, а вторую подвижной:

На основании теоремы сложения ускорений:

Отсюда перепишем:

Мы видим, что в неинерциальной системе отсчёта ускорение точки определяется не только силой и массойm , но и характером движения самой подвижной системы отсчёта.

–фиктивные силы (они не обусловлены взаимодействием тел, а связаны с ускоренным движением неинерциальной системы относительно инерциальной) или силы инерции.

В инерциальных системах отсчёта единственной причиной ускоренного движения материальной точки являются силы, действующие со стороны материальных тел. В неинерциальных системах причиной ускоренного движения являются и силы инерции, не связанные ни с каким взаимодействием.

Необходимо подчеркнуть, что на точку, находящуюся в подвижной системе координат, силы инерции оказывают реальное действие, так как они входят в уравнение движения. Пример: движение человека в вагоне, при движении вагона с постоянной скоростью.

Пусть теперь вагон замедляет свой ход:

Таким образом, введение сил инерции приводит к удобной формулировке основных законов механики в относительном движении и придаёт им некоторую наглядность.

Рассмотрим два частных случая.

Пусть материальная точка совершает равномерное прямолинейное движение относительно движущейся системы координат, тогда с учетом
получим:

Таким образом, реальные силы уравновешиваются силами инерции.

Пусть материальная точка находится в покое по отношению к подвижной системе координат:

Тогда
,

Как уже отмечалось, законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются н еинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода – так называемые силы инерции.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами , обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение , каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т. е.

(1)

Так как
( – ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, поэтому в общем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил:

1) силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета;

2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета;

3) силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим эти случаи.

1. Силы инерции при ускоренном поступательном движение системы отсчета. Пусть на тележке к штативу на нити подвешен шарик массой т . Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести
уравновешивается силой реакции нити .

Если тележку привести в поступательное движение с ускорением , то нить начнет отклоняться от вертикали назад до такого угла α , пока результирующая сила
не обеспечит ускорение шарика, равное . Таким образом, результирующая сила направлена в сторону ускорения тележки и для установившегося движения шарика (шарик теперь движется вместе с тележкой с ускорением ) равна
, откуда
,т. е. угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем больше ускорение тележки.

Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила , которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Таким образом,

(2)

Проявление сил инерции при поступательном движении наблюдается в повседневных явлениях. Например, когда поезд набирает скорость, то пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторону, и пассажир удаляется от спинки сиденья. Особенно эти силы заметны при внезапном торможении поезда. Силы инерции проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.

2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета. Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью ω (ω =const ) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установлены маятники (на нитях подвешены шарики массой m ). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол.

В инерциальной системе отсчета, связанной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окружности радиусом R (расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения). Следовательно, на него действует сила, модуль которой равен F =mω 2 R и направлена сила перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести
и силы натяжения нити :
. Когда движение шарика установится, то
, откуда
,т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние R от центра шарика до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения ω .

Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой , которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила , называемая центробежной силой инерции , направлена по горизонтали от оси вращения диска и её модуль равен

F ц =mω 2 R (3)

Действию центробежных сил инерции подвергаются, например, пассажиры в движущемся транспорте на поворотах, летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.

Из формулы (3) вытекает, что центробежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения ω системы отсчета и радиуса R , но не зависит от скорости тел относительно вращающихся систем отсчета. Следовательно, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с какой-то скоростью.

3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета. Пусть шарик массой т движется с постоянной скоростью вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (). Если диск не вращается, то шарик, направленный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик катится по кривой ОВ , причем его скорость относительно диска изменяет свое направление. Это возможно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости .

Для того чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, используем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без трения равномерно и прямолинейно со скоростью .

При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой . Относительно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила уравновешивается приложенной к шарику силой инерции , перпендикулярной скорости . Эта сила называется кориолисовой силой инерции .

Можно показать, что сила Кориолиса

(4)

Вектор перпендикулярен векторам скорости тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся системы отсчета, например, относительно Земли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север, то действующая на него сила Кориолиса, как это следует из выражения (4), будет направлена вправо по отношению к направлению движения, т. е. тело несколько отклонится на восток. Если тело движется на юг, то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые, и т. д. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.

Благодаря силе Кориолиса падающие на поверхность Земли тела отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно составлять 1 см при падении с высоты 100 м). С силой Кориолиса связано поведение маятника Фуко, явившееся в свое время одним из доказательств вращения Земли. Если бы этой силы не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же сил Кориолиса приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального направления.

где силы инерции задаются формулами (2) – (4).

Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета . Поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к данному телу. Два основных положения механики, согласно которым ускорение всегда вызывается силой, а сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускорением, одновременно не выполняются.

Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах. В инерциальных системах отсчета таких сил не существует.

Возникает вопрос о «реальности» или «фиктивности» сил инерции. В ньютоновской механике, согласно которой сила есть результат взаимодействия тел, на силы инерции можно смотреть как на «фиктивные», «исчезающие» в инерциальных системах отсчета. Однако возможна и другая их интерпретация. Так как взаимодействия тел осуществляются посредством силовых полей, то силы инерции рассматриваются как воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать «реальными». Независимо от того, рассматриваются ли силы инерции в качестве «фиктивных» или «реальных», многие явления, о которых упоминалось выше, объясняются с помощью сил инерции.

Силы инерции, действующие на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.

При некоторых условиях силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принципа эквивалентности Эйнштейна): все физические явления в поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы. Этот принцип является основой общей теории относительности.

Эта тема будет посвящена рассмотрению особого вида сил – сил инерции. Особенность этих сил состоит в следующем. Все механические силы – будь то силы гравитационного, упругого взаимодействия или силы трения – возникают тогда, когда на тело имеет место воздействие со стороны других тел. С силами инерции дело обстоит иначе.

Для начала вспомним, что такое инерция. Инерция – это физическое явление, состоящее в том, что тело всегда стремится сохранить свою первоначальную скорость. И силы инерции возникают тогда, когда у тела изменяется скорость – т.е. появляется ускорение. В зависимости от того, в каком движении принимает участие тело, у него возникает то или иное ускорение, и оно порождает ту или иную силу инерции. Но все эти силы объединяет одна и та же закономерность: сила инерции всегда направлена противоположно ускорению ее породившему.

По своей природе силы инерции отличаются от других механических сил. Все остальные механические силы возникают в результате воздействия одного тела на другое. Тогда как силы инерции обусловлены свойствами механического движения тела. Кстати, в зависимости от того, в каком движении участвует тело, возникает та или иная сила инерции:

Движение может быть прямолинейным, и тогда речь пойдет о силе инерции поступательного движения;

Движение может быть криволинейным, и тогда речь пойдет о центробежной силе инерции;

Наконец, движение может быть одновременно и прямо-, и криволинейным (если тело перемещается во вращающейся системе или перемещается, вращаясь), и тогда речь пойдет о силе Кориолиса.

Рассмотрим подробнее виды сил инерции и условия их возникновения.

1. СИЛА ИНЕРЦИИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯF i . Она возникает, когда тело движется по прямолинейной траектории. Мы постоянно сталкиваемся с действием этой силы в транспорте, движущемся по прямой дороге, при торможении и при наборе скорости. При торможении нас бросает вперед, т.к. скорость движения резко уменьшается, а наше тело старается сохранить ту скорость, которая у него была. При наборе скорости нас вдавливает в спинку сидения по той же причине. На рис. 2.1

Изображены направления ускорения и силы инерции поступательного движения в случае уменьшения скорости: ускорение направлено противоположно движению, а сила инерции направлена противоположно ускорению. Формула силы инерции задается вторым законом Ньютона: . Знак «минус» обусловлен тем, что векторы и имеют противоположные направления. Численное значение (модуль) этой силы соответственно вычисляется по формуле:

F = ma (3.1)

2. ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА ИНЕРЦИИF i . Чтобы понять, как возникает эта сила, рассмотрим рис. 3.2, на котором изображен диск, вращающийся в горизонтальной плоскости, с шариком, прикрепленным к центру диска посредством растяжимой связи (например, резинки). Когда диск начинает вращаться, шарик стремится удалиться от

центра и натягивает резинку. Причем чем быстрее вращается диск, тем дальше удаляется шарик от центра диска. Такое перемещение шарика по плоскости диска обусловлено действием силы, которая называется центробежной силой инерции (F цб) . Таким образом, центробежная сила возникает при вращении и направлена вдоль радиуса от центра вращения.F цб является силой инерции, а значит ее возникновение обусловлено наличием ускорения, которое должно быть направлено противоположно этой силе. Если центробежная сила направлена от центра, то очевидно, что причиной возникновения этой силы является нормальное (центростремительное) ускорение а n , ведь именно оно направлено к центру вращения (см. Тема 1, §1.2, п.3). Исходя из этого, получаем формулу центробежной силы. Согласно второму закону Ньютона F=ma , где m – масса тела. Тогда для центробежной силы инерции справедливо соотношение:

F цб = ma n .

Учитывая (1.18) и (1.19), получаем:

(3.2) и F цб = mω 2 r (3.3).

3. СИЛА КОРИОЛИСА F K . При совмещении двух видов движения: вращательного и поступательного – появляется еще одна сила, называемая силой Кориолиса (или кориолисовой силой) по имени французского механика Густава Гаспара Кориолиса (1792-1843), который дал расчет этой силы.

Появление кориолисовой силы можно обнаружить на примере опыта, изображенного на рис. 3.3. Ни нем изображен диск, вращающийся в горизонтальной

Рис. 3.3 вид сверху

плоскости. Прочертим на диске радиальную прямую ОА и запустим в направлении от О к А шарик со скоростью υ. Если диск не вращается, шарик будет катиться вдоль прочерченной нами прямой. Если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик будет катиться вдоль изображенной пунктиром кривой ОВ, причем его скорость υ будет изменять свое направление (см. рис.3.3 (б)). Следовательно, по отношению ко вращающейся системе отсчета (а в данном случае это диск) шарик ведет себя так, как если бы на него действовала некая сила, перпендикулярная скорости υ. Это и есть сила Кориолиса F K . Именно она заставляет шарик отклоняться от прямолинейной траектории ОА. Формула, которая описывает эту силу определяется опять же вторым законом Ньютона, только на этот раз в качестве ускорения выступает так называемое кориолисово ускорениеа К : ,F K =2mυω (3.5).

Итак, как уже было сказано, чтобы сила Кориолиса проявила себя, необходимо совместить 2 вида движения. И здесь возможны два варианта: 1). Тело движется относительно вращающейся системы отсчета. Именно этот случай изображен на рис.3.3. 2). Вращающееся тело совершает поступательное движение В качестве примера можно рассматривать так называемые «крученые» мячи – прием, используемый в футболе – когда удар по мячу осуществляется так, что он во время полета вращается.

Пусть на материальную точку М действует некоторая система сил .

Среди сил могут быть активные силы и реакции связей.

На основании аксиомы независимости действия сил точка М под действием этих сил получит такое же ускорение, как если бы на нее действовала, лишь одна сила, равная геометрической сумме заданных сил,

где а - ускорение точки М ; m - масса точки М F Σ ; - равнодействующая системы сил.

Перенесем вектор, стоящий в левой части уравнения, в правую часть. После этого получим сумму векторов, равную нулю,

Введем обозначение, тогда приведенное уравнение можно представить в виде:

Таким образом, все силы, включая силу , должны уравновешиваться, так как силы и F Σ равны между собой и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Сила , равная произведению массы точки на ее ускорение, но направленная в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции.

Из последнего уравнения следует, что в каждый данный момент времени силы, приложенные к материальной точке, уравновешиваются силами инерции. Приведенный вывод называют началом Д"Аламбера. Он может быть применен не только к материальной точке, но и к твердому телу или к системе тел. В последнем случае он формулируется следующим образом: если ко всем действующим силам, приложенным к движущемуся телу или системе тел, приложить силы инерции, то полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии.

Следует подчеркнуть, что силы инерции действительно существуют, но приложены не к движущемуся телу, а к тем телам, которые вызывают ускоренное движение.

Применение начала Д"Аламбера позволяет при решении динамических задач использовать уравнения равновесия. Такой прием решения задач динамики носит название метода кинетостатики .

Рассмотрим, как определяется сила инерции материальной точки в различных случаях ее движения.

1. Точка М массой m движется прямолинейно с ускорением (рис. а, б).

При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется по формуле:

При ускоренном движении (рис. а) направления ускорения и скорости совпадают и сила инерции направлена в сторону, противоположную движению. При замедленном движении (рис. б), когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

2. Точка М движется криволинейно и неравномерно (рис. в).

При этом, как известно из предыдущего, ее ускорение может быть разложено на нормальную а n и касательную a t составляющие. Аналогично сила инерции точки также складывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометрической сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаимно перпендикулярны, полная сила инерции:

3.3 Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

Определим работу для случая, когда действующая сила постоянна по величине и направлению, а точка ее приложения перемещается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила F.

За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С 1 по прямолинейной траектории на расстояние s .

Работа A постоянной силы F при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на расстояние s и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения, т. е.

Угол α между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до 180°. При α < 90° работа положительна, при α> 90° - отрицательна, при α = 90° A = 0 (работа равна нулю).

Если cила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой, ее работа всегда положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания, трения, сопротивления воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, противоположную движению.

Когдаα = 0, т. е. когда направление силы совпадает с направлением скорости, A = Fs , так как cos α = 1. Произведение F cos α есть проекция силы F на направление движения материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение перемещения s и проекции силы F на направление движения точки.

За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принят джоуль (Дж), равный работе силы в один ньютон (Н) на совпадающем с ней по направлению движения длиной в один метр (м): . Применяется также более крупная единица работы - килоджоуль (кДж), 1 кДж = 1000 Дж = 10 3 Дж. В технической системе (МКГСС) за единицу работы принят килограмм-сила метр (кгс м).

Инерциальные и неинерциальные системы отсчета

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Относительно всех инерциальных систем данное тело движется с одинаковым ускорением $w$. Любая неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальных систем с некоторым ускорением, поэтому ускорение тела в неинерциальной системе отсчета $w"$ будет отлично от $w$. Обозначим разность ускорений тела и инерциальной и неинерциальной системах символом $a$:

Для поступательно движущейся неинерциальной системы $a$ одинаково для всех точек пространства $a=const$ и представляет собой ускорение неинерциальной системы отсчета.

Для вращающейся неинерциальной системы $a$ в разных точках пространства будет различным ($a=a(r")$, где $r"$ - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно неинерциальной системы отсчета).

Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна $F$. Тогда согласно второму закону Ньютона ускорение тела относительно любой инерциальной системы отсчета равно:

Ускорение же тела относительно некоторой неинерциальной системы можно представить в виде:

Отсюда следует, что даже при $F=0$ тело будет двигаться по отношению к неинерциальной системе отсчета с ускорением $-a$, т. е. так, как если бы на него действовала сила, равная $-ma$.

Сказанное означает, что при описании движения в неинерциальных системах отсчета можно пользоваться уравнениями Ньютона, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так называемые силы инерции $F_{in} $, которые следует полагать равными произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета:

Соответственно уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета будет иметь вид:

Поясним наше утверждение следующим примером. Рассмотрим тележку с укрепленным на ней кронштейном, к которому подвешен на нити шарик.

Рисунок 1.

Пока тележка покоится или движется без ускорения, нить расположена вертикально и сила тяжести $P$ уравновешивается реакцией нити $F_{r} $. Теперь приведем тележку в поступательное движение и ускорением $a$. Нить отклонится от вертикали на такой угол, чтобы результирующая сил $P$ и $F_{r} $, сообщала шарику ускорение, равное $a$. Относительно системы отсчета, связанной с тележкой, шарик покоится, несмотря на то, что результирующая сил $P$ и $F_{r} $ отлична от нуля. Отсутствие ускорения шарика по отношению к этой системе отсчета можно формально объяснить тем, что, кроме сил $P$ и $F_{r} $, равных, в сумме $ma$, на шарик действует еще и сила инерции $F_{in} =-ma$.

Силы инерции и их свойства

Введение сил инерции дает возможность описывать движение тел в любых (как инерциальных, так и неинерциальных) системах отсчета с помощью одних я тех же уравнений движения.

Замечание 1

Следует отчетливо понимать, что силы инерции нельзя ставить в один ряд с такими силами, как упругие, гравитационные силы и силы трения, т. е. силами, обусловленными воздействием на тело со стороны других, тел. Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчета, в которой рассматриваются механические явления. В этом смысле их можно назвать фиктивными силами.

Введение в рассмотрение сил инерции не является принципиально необходимым. В принципе любое движение можно всегда рассмотреть по отношению к инерциальной системе отсчета. Однако, практически часто представляет интерес как раз движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета, например, по отношению к земной поверхности.

Использование сил инерции даёт возможность решить соответствующую задачу непосредственно по отношению к такой системе отсчета, что часто оказывается значительно проще, чем рассмотрение движения в инерциальной системе.

Характерным свойством сил инерции является их пропорциональность массе тела. Благодаря этому свойству силы инерции оказываются аналогичными силам тяготения. Представим себе, что мы находимся в удаленной от всех внешних тел закрытой кабине, которая движется с ускорением g в направлении, которое мы назовем «верхом».

Рисунок 2.

Тогда все тела, находящиеся внутри кабины, будут вести себя так, как если бы на них действовала сила инерции $F_{in} =-ma$. В частности, пружина, к концу которой подвешено тело массы $m$, растянется так, чтобы упругая сила уравновесила силу инерции $-mg$. Однако такие же явлений наблюдались бы и в том случае, если бы кабина была неподвижной и находилась вблизи поверхности Земли. Не имея возможности «выглянуть» за пределы кабины, никакими опытами, проводимыми внутри кабины, мы не смогли бы установить чем обусловлена сила $-mg$ - ускоренным движением кабины или действием гравитационного поля Земли. На этом основании говорят об эквивалентности сил инерции и тяготения. Эта эквивалентность лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна.

Пример 1

Тело свободно падает с высоты $200$ м на Землю. Определить отклонение тела к востоку под влиянием кориолисовой силы инерции, вызванной вращением Земли. Широта места падения $60^\circ$.

Дано: $h=200$м, $\varphi =60$?.

Найти: $l-$?

Решение: В земной системе отсчета на свободно падающее тело действует кориолисова сила инерции:

\, \]

где $\omega =\frac{2\pi }{T} =7,29\cdot 10^{-6} $рад/с -- угловая скорость вращения Земли, а $v_{r} $- скорость движения тела относительно Земли.

Кориолисова сила инерции во много раз меньше силы тяготения тела к Земле. Поэтому в первом приближении при определении $F_{k} $можно считать, что скорость $v_{r} $ направлена вдоль радиуса Земли и численно равна:

где $t$$ $- продолжительность падения.

Рисунок 3.

Из рисунка видно направление действия силы, тогда:

Так как $a_{k} =\frac{dv}{dt} =\frac{d^{2} l}{dt^{2} } $,

где $v$ - численное значение составляющей скорости тела, касательной к поверхности Земли, $l$ - смещение свободно падающего тела к востоку, то:

$v=\omega gt^{2} \cos \varphi +C_{1} $ и $l=\frac{1}{3} \omega gt^{3} \cos \varphi +C_{1} t+C_{2} $.

В начале падения тела $t=0,v=0,l=0$, поэтому постоянные интегрирования равны нулю и тогда имеем:

Продолжительность свободного падения тела с высоты $h$:

так что искомое отклонение тела к востоку:

$l=\frac{2}{3} \omega h\sqrt{\frac{2h}{g} } \cos \varphi =0,3\cdot 10^{-2} $м.

Ответ: $l=0,3\cdot 10^{-2} $м.

Быть может, этот не совсем обычный вопрос вызовет недоумение у обывателя, плохо знакомого с основными постулатами классической механики. Выражения «инерция» и «по инерции» прочно закрепились в бытовом лексиконе, и, казалось бы, их суть понятна каждому. Но что это такое – инерция, и почему тела могут двигаться по инерции пояснить может далеко не каждый.

Давайте попробуем разобраться в этом вопросе с использованием основных постулатов механики и более-менее научных познаний об окружающем мире.

Сначала проведем виртуальные эксперименты, результаты которых может представить каждый.
Пусть перед нами на гладком горизонтальном полу покоится увесистый чугунный шар (например, большое пушечное ядро) и один из «экспериментаторов» пробует покатить его в любую сторону, упираясь ногами в пол и подталкивая руками.
Сначала нам придется приложить значительное усилие, чтобы сдвинуть шар с места, после чего он начнет уверенно катиться в выбранном вами направлении, и если мы перестанем его толкать, он так и будет катиться (силы трения и аэродинамического сопротивления для чистоты эксперимента оставим пока без виртуального внимания).

А теперь наоборот – попробуйте остановить этот шар, вцепившись в него руками и действуя ногами, как тормозом. Чувствуете сопротивление?.. Думаю, да.
При этом никто не будет отрицать, что чем массивнее шар, тем сложнее изменить его механическое состояние, т. е. сдвинуть с места или остановить.
Итак, вывод – сдвинуть с места неподвижный шар или остановить его при движении довольно непросто – необходимо приложить ощутимое усилие. С точки зрения механики в данном случае мы прикладываем усилие, чтобы преодолеть какую-то непонятную силу.

Посмотрим на наше ядро, покоящееся на полу, пристальнее. С точки зрения опять же классической механики к нему приложены лишь две силы – сила тяжести, притягивающая шар к центру нашей планеты, а также сила реакции пола, противодействующая силе тяжести, т. е. направленная противоположно ей.
Когда наш шар катится по гладкому полу с постоянной скоростью, него тоже действуют только две описанные выше силы – притяжения к Земле и реакция опорной поверхности. Обе эти силы друг друга уравновешивают, и шар находится в равновесном состоянии. А какая же сила препятствует попытке сдвинуть шар с места или остановить его во время прямолинейного и равномерного движения?
Думаю, что самые сообразительные уже догадались – конечно же, это и есть сила инерции.
Откуда же она взялась? Ведь, по сути, мы приложили к шару только одну силу, пытающуюся сдвинуть с места или остановить шар. Где пряталась до сих пор сила инерции и когда она «проснулась»?

Учебники по механике утверждают, что силы инерции, как таковой, в природе не существует. Понятие этой силы в научный обиход ввел француз Жан Лерон Даламбер (Д’Аламбер) в 1743 году, когда предложил использовать ее для уравновешивания тел, перемещающихся с ускорением. Метод назвали принципом Даламбера , и использовали его для преобразования задач динамики в задачи статики, тем самым упрощая их решение.
Но такое решение проблемы не объяснялось и даже вступало в противоречие другими постулатами механики, в частности, с законами, описанными несколько раньше великим англичанином – Исааком Ньютоном.

Когда в 1686 году И. Ньютон, опубликовал свой труд «Математические начала натуральной философии» и открыл человечеству глаза на основные законы механики, в том числе - закон, описывающий движение тел под действием какой-либо силы (F = ma ), он несколько расширил , как меры некоторого свойства материальных тел – инертности.
В соответствии с выводами гения всем окружающим нас материальным телам присуще некое свойство «лени» - они стремятся к вечному покою, пытаясь избавиться от ускоренного движения. Эту «лень» материальных тел Ньютон и назвал их инертностью.
Т. е инертность – это не сила, а некое свойство всех тел, образующих окружающий нас материальный мир, выражающееся в противодействии попыткам изменить их механическое состояние (придать какое-либо ускорение).
Впрочем, приписывать заслуги о пояснении природы инерции одному лишь Ньютону будет не совсем справедливо. Основополагающие выводы по этому вопросу были сделаны итальянцем Г. Галилеем и французом Р. Декартом, а И. Ньютон лишь обобщил их и использовал в описании законов механики.

В соответствии с размышлениями средневековых гениев, материальные тела (т. е. тела, обладающие массой) крайне неохотно позволяют изменить свое механическое состояние, соглашаясь на это лишь под действием внешней силы. При этом тот же Ньютон, описывая законы взаимодействия тел, утверждал, что силы в природе не появляются в одиночку – они, как результат взаимодействия двух тел, появляются только парами, причем обе силы такой пары равны по модулю и направлены вдоль одной прямой навстречу друг другу, т.е. попарно компенсируют друг друга.

Исходя из этого, в случае с чугунным шаром тоже должно быть две силы – усилие экспериментатора и противодействующая этому усилию сила, обусловленная упомянутым выше свойством инертности этого шара.
Но сила, по общим понятиям классической механики является результатом взаимодействия тел. И никакое свойство тела, в соответствии с этим постулатом, не может быть причиной появления какой-либо силы.

Противоречие с законами Ньютона привело к появлению в научной среде понятий инерциальной и неинерциальной систем отсчета .
Инерциальной стали называть систему отсчета, в которой все тела при отсутствии внешних воздействий находятся в состоянии покоя, а неинерциальной – все прочие системы отсчета, относительно которых тела перемещаются с ускорением. При этом в инерциальной системе отсчета описанные Ньютоном законы механики соблюдаются безусловно, а в неинерциальной не соблюдаются.
Однако все законы классической механики вполне можно применить и для неинерциальных систем отсчета, если наряду с реально действующими силами (нагрузками и реакциями) использовать силу инерции – виртуальную силу, обусловленную все тем же злополучным свойством инертности тел.

Таким образом удалось избавиться от противоречия, вытекающего из природы возникновения сил, описанной Ньютоном, и добиться условного равновесия тел при любом ускоренном движении, используя принцип Даламбера.
Сила инерции получила право на существование, и физики стали изучать ее более пристально, без опаски быть высмеянными коллегами.

Возникновение сил инерции напрямую связано с ускорением тела – в состоянии покоя (неподвижность или прямолинейное равномерное движение тела) эти силы не возникают и проявляются только в неинерциальных системах отсчета. При этом величина силы инерции равна по модулю и противоположно направлена силе, вызывающей ускорение тела, поэтому они взаимно уравновешивают друг друга.

В реальном мире на любое тело действуют силы инерции, т. е. понятие инерциальной системы отсчета является абстрактным. Но во многих практических ситуациях можно условно принять систему отсчета инерциальной, что позволяет упростить решение задач, связанных с механическим движением материальных тел.

Связь между инерцией и гравитацией

Еще Г. Галилей указал на некоторую связь между понятиями инерции и гравитации.

Силы инерции, действующие на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому при одинаковых условиях в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково. И таким же свойством обладают тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.

По этой причине в некоторых условиях силы инерции ассоциируются с силами тяготения. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принципа эквивалентности Эйнштейна): все физические явления в поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы.
Этот принцип положен в основу общей теории относительности.

Какими бывают силы инерции?

силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета (обусловлены поступательным ускорением);
силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета (обусловлены центробежным ускорением);
силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (обусловлены поступательным и центробежным ускорениями, а также ускорением Кориолиса);.

Кстати, термин «инерция» имеет латинское происхождение - слово «inertia » означает бездеятельность.