Menambah pecahan dengan penyebut yang sama
Terdapat dua jenis penambahan pecahan:
- Menambah pecahan dengan penyebut yang sama
- Menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza
Mula-mula, mari kita pelajari penambahan pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya mudah di sini. Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan biarkan penyebutnya tidak berubah. Sebagai contoh, mari tambah pecahan dan . Tambahkan pengangka dan biarkan penyebut tidak berubah:
Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada empat bahagian. Jika anda menambah pizza pada pizza, anda akan mendapat pizza:
Contoh 2. Tambah pecahan dan .
Jawapannya ternyata pecahan yang tidak wajar. Apabila akhir tugas tiba, adalah kebiasaan untuk menyingkirkan pecahan yang tidak wajar. Untuk menyingkirkan pecahan tidak wajar, anda perlu memilih keseluruhan bahagiannya. Dalam kes kami, keseluruhan bahagian mudah diasingkan - dua dibahagikan dengan dua sama dengan satu:
Contoh ini mudah difahami jika kita ingat tentang pizza yang terbahagi kepada dua bahagian. Jika anda menambah lebih banyak piza pada piza, anda akan mendapat satu keseluruhan piza:
Contoh 3. Tambah pecahan dan .
Sekali lagi, kami menjumlahkan pengangka dan membiarkan penyebut tidak berubah:
Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada tiga bahagian. Jika anda menambah lebih banyak piza pada piza, anda akan mendapat piza:
Contoh 4. Cari nilai ungkapan 
Contoh ini diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya. Pengangka mesti ditambah dan penyebut dibiarkan tidak berubah:
Mari cuba gambarkan penyelesaian kami menggunakan lukisan. Jika anda menambah piza pada pizza dan menambah lebih banyak piza, anda akan mendapat 1 piza keseluruhan dan lebih banyak piza.
Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama. Ia cukup untuk memahami peraturan berikut:
- Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan biarkan penyebutnya tidak berubah;
Menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza
Sekarang mari kita belajar cara menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza. Apabila menambah pecahan, penyebut pecahan mestilah sama. Tetapi mereka tidak selalu sama.
Sebagai contoh, pecahan boleh ditambah kerana ia mempunyai penyebut yang sama.
Tetapi pecahan tidak boleh ditambah serta-merta, kerana pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza. Dalam kes sedemikian, pecahan mesti dikurangkan kepada penyebut yang sama (sepunya).
Terdapat beberapa cara untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut yang sama. Hari ini kita akan melihat hanya satu daripada mereka, kerana kaedah lain mungkin kelihatan rumit untuk pemula.
Intipati kaedah ini ialah terlebih dahulu LCM penyebut kedua-dua pecahan dicari. LCM kemudiannya dibahagikan dengan penyebut pecahan pertama untuk mendapatkan faktor tambahan pertama. Mereka melakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua - LCM dibahagikan dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperolehi.
Pengangka dan penyebut pecahan kemudiannya didarab dengan faktor tambahannya. Hasil daripada tindakan ini, pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu cara menambah pecahan tersebut.
Contoh 1. Mari tambah pecahan dan
Pertama sekali, kita dapati gandaan sepunya terkecil bagi penyebut kedua-dua pecahan. Penyebut pecahan pertama ialah nombor 3, dan penyebut pecahan kedua ialah nombor 2. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini ialah 6
LCM (2 dan 3) = 6
Sekarang mari kita kembali kepada pecahan dan . Mula-mula, bahagikan LCM dengan penyebut pecahan pertama dan dapatkan faktor tambahan pertama. LCM ialah nombor 6, dan penyebut pecahan pertama ialah nombor 3. Bahagi 6 dengan 3, kita dapat 2.
Nombor 2 yang terhasil ialah pengganda tambahan pertama. Kami menuliskannya kepada pecahan pertama. Untuk melakukan ini, buat garis serong kecil di atas pecahan dan tuliskan faktor tambahan yang terdapat di atasnya:
Kami melakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua. Kami membahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua dan mendapatkan faktor tambahan kedua. LCM ialah nombor 6, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 2. Bahagi 6 dengan 2, kita dapat 3.
Nombor 3 yang terhasil ialah pengganda tambahan kedua. Kami menuliskannya kepada pecahan kedua. Sekali lagi, kami membuat garis serong kecil di atas pecahan kedua dan tuliskan faktor tambahan yang terdapat di atasnya:
Sekarang kami mempunyai segala-galanya untuk penambahan. Ia kekal untuk mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya:
Lihat dengan teliti apa yang telah kita perolehi. Kami sampai pada kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu cara menambah pecahan tersebut. Mari kita ambil contoh ini hingga akhir:
Ini melengkapkan contoh. Ternyata menambah .
Mari cuba gambarkan penyelesaian kami menggunakan lukisan. Jika anda menambah piza pada piza, anda akan mendapat satu piza keseluruhan dan satu per enam lagi piza:
Mengurangkan pecahan kepada penyebut yang sama (sepunya) juga boleh digambarkan menggunakan gambar. Mengurangkan pecahan dan kepada penyebut biasa, kami mendapat pecahan dan . Kedua-dua pecahan ini akan diwakili oleh kepingan piza yang sama. Satu-satunya perbezaan ialah kali ini mereka akan dibahagikan kepada bahagian yang sama (dikurangkan kepada penyebut yang sama).
Lukisan pertama mewakili pecahan (empat keping daripada enam), dan lukisan kedua mewakili pecahan (tiga keping daripada enam). Menambah kepingan ini kita dapat (tujuh keping daripada enam). Pecahan ini tidak betul, jadi kami menyerlahkan keseluruhan bahagiannya. Hasilnya, kami mendapat (satu keseluruhan piza dan satu lagi piza keenam).
Sila ambil perhatian bahawa kami telah menerangkan contoh ini dengan terlalu terperinci. Di institusi pendidikan adalah tidak lazim untuk menulis secara terperinci. Anda perlu dapat mencari dengan cepat LCM bagi kedua-dua penyebut dan faktor tambahan kepada mereka, serta dengan cepat mendarabkan faktor tambahan yang ditemui dengan pengangka dan penyebut anda. Semasa di sekolah, kita perlu menulis contoh ini seperti berikut:
Tetapi terdapat juga sisi lain kepada syiling. Jika anda tidak mengambil nota terperinci pada peringkat pertama mempelajari matematik, maka soalan seumpama itu mula muncul. “Dari mana datangnya nombor itu?”, “Mengapa pecahan tiba-tiba bertukar menjadi pecahan yang berbeza sama sekali? «.
Untuk memudahkan menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, anda boleh menggunakan arahan langkah demi langkah berikut:
- Cari LCM bagi penyebut pecahan;
- Bahagikan LCM dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan faktor tambahan bagi setiap pecahan;
- Darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya;
- Tambah pecahan yang mempunyai penyebut yang sama;
- Jika jawapannya ternyata pecahan tidak wajar, maka pilih keseluruhan bahagiannya;
Contoh 2. Cari nilai ungkapan 
.
Mari gunakan arahan yang diberikan di atas.
Langkah 1. Cari KPK bagi penyebut pecahan itu
Cari LCM bagi penyebut kedua-dua pecahan. Penyebut pecahan ialah nombor 2, 3 dan 4
Langkah 2. Bahagikan LCM dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan faktor tambahan bagi setiap pecahan
Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan pertama. LCM ialah nombor 12, dan penyebut pecahan pertama ialah nombor 2. Bahagi 12 dengan 2, kita dapat 6. Kita dapat faktor tambahan pertama 6. Kita tulis di atas pecahan pertama:
Sekarang kita bahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua. LCM ialah nombor 12, dan penyebut pecahan kedua ialah nombor 3. Bahagi 12 dengan 3, kita dapat 4. Kita dapat faktor tambahan kedua 4. Kita tulis di atas pecahan kedua:
Sekarang kita bahagikan LCM dengan penyebut pecahan ketiga. LCM ialah nombor 12, dan penyebut bagi pecahan ketiga ialah nombor 4. Bahagi 12 dengan 4, kita dapat 3. Kita dapat faktor tambahan ketiga 3. Kita tulis di atas pecahan ketiga:
Langkah 3. Darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya
Kami mendarabkan pengangka dan penyebut dengan faktor tambahannya:
Langkah 4. Tambah pecahan dengan penyebut yang sama
Kami sampai pada kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama (sepunya). Yang tinggal hanyalah menambah pecahan ini. Tambahnya:
Penambahan tidak sesuai pada satu baris, jadi kami mengalihkan ungkapan yang tinggal ke baris seterusnya. Ini dibenarkan dalam matematik. Apabila ungkapan tidak sesuai pada satu baris, ia dipindahkan ke baris seterusnya, dan perlu meletakkan tanda sama (=) pada penghujung baris pertama dan pada permulaan baris baharu. Tanda sama pada baris kedua menunjukkan bahawa ini adalah kesinambungan ungkapan yang berada pada baris pertama.
Langkah 5. Jika jawapan ternyata pecahan tak wajar, maka serlahkan keseluruhan bahagiannya
Jawapan kami ternyata pecahan yang tidak wajar. Kita perlu menyerlahkan sebahagian daripadanya. Kami menyerlahkan:
Kami menerima jawapan
Menolak pecahan dengan penyebut yang sama
Terdapat dua jenis penolakan pecahan:
- Menolak pecahan dengan penyebut yang sama
- Menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza
Mula-mula, mari belajar cara menolak pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya mudah di sini. Untuk menolak pecahan lain daripada satu pecahan, anda perlu menolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, tetapi biarkan penyebutnya sama.
Sebagai contoh, mari kita cari nilai ungkapan . Untuk menyelesaikan contoh ini, anda perlu menolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah. Mari lakukan ini:
Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada empat bahagian. Jika anda memotong piza daripada piza, anda mendapat piza:
Contoh 2. Cari nilai ungkapan itu.
Sekali lagi, daripada pengangka bagi pecahan pertama, tolak pengangka bagi pecahan kedua, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:
Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada tiga bahagian. Jika anda memotong piza daripada piza, anda mendapat piza:
Contoh 3. Cari nilai ungkapan 
Contoh ini diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya. Daripada pengangka pecahan pertama anda perlu menolak pengangka bagi pecahan yang tinggal:
Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama. Ia cukup untuk memahami peraturan berikut:
- Untuk menolak pecahan lain daripada satu pecahan, anda perlu menolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah;
- Jika jawapannya ternyata pecahan tidak wajar, maka anda perlu menyerlahkan keseluruhan bahagiannya.
Menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza
Sebagai contoh, anda boleh menolak pecahan daripada pecahan kerana pecahan tersebut mempunyai penyebut yang sama. Tetapi anda tidak boleh menolak pecahan daripada pecahan, kerana pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza. Dalam kes sedemikian, pecahan mesti dikurangkan kepada penyebut yang sama (sepunya).
Penyebut biasa didapati menggunakan prinsip yang sama yang kami gunakan semasa menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza. Pertama sekali, cari KPK bagi penyebut kedua-dua pecahan. Kemudian LCM dibahagikan dengan penyebut pecahan pertama dan faktor tambahan pertama diperoleh, yang ditulis di atas pecahan pertama. Begitu juga, LCM dibahagikan dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperoleh, yang ditulis di atas pecahan kedua.
Pecahan itu kemudiannya didarab dengan faktor tambahannya. Hasil daripada operasi ini, pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza ditukarkan kepada pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu bagaimana untuk menolak pecahan tersebut.
Contoh 1. Cari maksud ungkapan:
Pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza, jadi anda perlu mengurangkannya kepada penyebut yang sama (sepunya).
Mula-mula kita dapati LCM bagi penyebut kedua-dua pecahan. Penyebut pecahan pertama ialah nombor 3, dan penyebut pecahan kedua ialah nombor 4. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini ialah 12
LCM (3 dan 4) = 12
Sekarang mari kita kembali kepada pecahan dan
Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. Untuk melakukan ini, bahagikan LCM dengan penyebut pecahan pertama. LCM ialah nombor 12, dan penyebut bagi pecahan pertama ialah nombor 3. Bahagi 12 dengan 3, kita dapat 4. Tulis empat di atas pecahan pertama:
Kami melakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua. Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua. LCM ialah nombor 12, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 4. Bahagi 12 dengan 4, kita dapat 3. Tulis tiga di atas pecahan kedua:
Sekarang kita sudah bersedia untuk penolakan. Ia kekal untuk mendarabkan pecahan dengan faktor tambahannya:
Kami sampai pada kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu bagaimana untuk menolak pecahan tersebut. Mari kita ambil contoh ini hingga akhir:
Kami menerima jawapan
Mari cuba gambarkan penyelesaian kami menggunakan lukisan. Jika anda memotong pizza daripada pizza, anda akan mendapat pizza
Ini ialah versi terperinci penyelesaian. Jika kita berada di sekolah, kita perlu menyelesaikan contoh ini dengan lebih pendek. Penyelesaian sedemikian akan kelihatan seperti ini:
Mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa juga boleh digambarkan menggunakan gambar. Mengurangkan pecahan ini kepada penyebut biasa, kami mendapat pecahan dan . Pecahan ini akan diwakili oleh kepingan pizza yang sama, tetapi kali ini ia akan dibahagikan kepada bahagian yang sama (dikurangkan kepada penyebut yang sama):
Gambar pertama menunjukkan pecahan (lapan keping daripada dua belas), dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga keping daripada dua belas). Dengan memotong tiga keping daripada lapan keping, kita mendapat lima keping daripada dua belas. Pecahan menerangkan lima keping ini.
Contoh 2. Cari nilai ungkapan 
Pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza, jadi pertama anda perlu mengurangkannya kepada penyebut yang sama (sepunya).
Mari kita cari LCM bagi penyebut pecahan ini.
Penyebut pecahan ialah nombor 10, 3 dan 5. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini ialah 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Sekarang kita dapati faktor tambahan untuk setiap pecahan. Untuk melakukan ini, bahagikan LCM dengan penyebut setiap pecahan.
Mari cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. LCM ialah nombor 30, dan penyebut bagi pecahan pertama ialah nombor 10. Bahagikan 30 dengan 10, kita mendapat faktor tambahan pertama 3. Kami menulisnya di atas pecahan pertama:
Sekarang kita dapati faktor tambahan untuk pecahan kedua. Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua. LCM ialah nombor 30, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 3. Bahagikan 30 dengan 3, kita mendapat faktor tambahan kedua 10. Kami menulisnya di atas pecahan kedua:
Sekarang kita dapati faktor tambahan untuk pecahan ketiga. Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan ketiga. LCM ialah nombor 30, dan penyebut bagi pecahan ketiga ialah nombor 5. Bahagikan 30 dengan 5, kita mendapat faktor tambahan ketiga 6. Kami menulisnya di atas pecahan ketiga:
Sekarang semuanya sedia untuk penolakan. Ia kekal untuk mendarabkan pecahan dengan faktor tambahannya:
Kami membuat kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama (sepunya). Dan kita sudah tahu bagaimana untuk menolak pecahan tersebut. Mari kita selesaikan contoh ini.
Sambungan contoh tidak akan muat pada satu baris, jadi kami mengalihkan sambungan ke baris seterusnya. Jangan lupa tentang tanda sama (=) pada baris baharu:
Jawapannya ternyata pecahan biasa, dan semuanya kelihatan sesuai dengan kita, tetapi ia terlalu rumit dan hodoh. Kita harus menjadikannya lebih mudah. Apa yang boleh dibuat? Anda boleh memendekkan pecahan ini.
Untuk mengurangkan pecahan, anda perlu membahagikan pengangka dan penyebutnya dengan (GCD) bagi nombor 20 dan 30.
Jadi, kita dapati gcd nombor 20 dan 30:
Sekarang kita kembali kepada contoh kita dan bahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan gcd yang ditemui, iaitu, dengan 10
Kami menerima jawapan
Mendarab pecahan dengan nombor
Untuk mendarab pecahan dengan nombor, anda perlu mendarabkan pengangka pecahan dengan nombor itu dan biarkan penyebutnya tidak berubah.
Contoh 1. Darab pecahan dengan nombor 1.
Darabkan pengangka pecahan dengan nombor 1
Rakaman boleh difahami sebagai mengambil separuh 1 kali. Sebagai contoh, jika anda mengambil pizza sekali, anda mendapat pizza
Daripada hukum pendaraban kita tahu bahawa jika darab dan faktor ditukar, hasil darab tidak akan berubah. Jika ungkapan ditulis sebagai , maka hasil darab akan tetap sama dengan . Sekali lagi, peraturan untuk mendarab nombor bulat dan pecahan berfungsi:
Notasi ini boleh difahami sebagai mengambil separuh daripada satu. Sebagai contoh, jika terdapat 1 keseluruhan piza dan kami mengambil separuh daripadanya, maka kami akan mempunyai piza:
Contoh 2. Cari nilai ungkapan
Darabkan pengangka pecahan dengan 4
Jawapannya ialah pecahan tidak wajar. Mari kita serlahkan keseluruhan bahagiannya:
Ungkapan itu boleh difahami sebagai mengambil dua perempat 4 kali. Sebagai contoh, jika anda mengambil 4 piza, anda akan mendapat dua piza keseluruhan
Dan jika kita menukar darab dan darab, kita mendapat ungkapan . Ia juga akan bersamaan dengan 2. Ungkapan ini boleh difahami sebagai mengambil dua piza daripada empat piza keseluruhan:
Nombor yang didarab dengan pecahan dan penyebut pecahan diselesaikan jika mereka mempunyai faktor sepunya lebih daripada satu.
Sebagai contoh, ungkapan boleh dinilai dalam dua cara.
Cara pertama. Darabkan nombor 4 dengan pengangka pecahan, dan biarkan penyebut pecahan tidak berubah:
Cara kedua. Empat didarab dan empat dalam penyebut pecahan boleh dikurangkan. Empat ini boleh dikurangkan sebanyak 4, kerana pembahagi sepunya yang paling besar untuk dua empat ialah empat itu sendiri:
Kami mendapat keputusan yang sama 3. Selepas mengurangkan empat, nombor baru terbentuk di tempatnya: dua satu. Tetapi mendarab satu dengan tiga, dan kemudian membahagi dengan satu tidak mengubah apa-apa. Oleh itu, penyelesaiannya boleh ditulis secara ringkas:
Pengurangan boleh dilakukan walaupun kami memutuskan untuk menggunakan kaedah pertama, tetapi pada peringkat pendaraban nombor 4 dan pengangka 3 kami memutuskan untuk menggunakan pengurangan:
Tetapi sebagai contoh, ungkapan hanya boleh dikira dengan cara pertama - darab 7 dengan penyebut pecahan, dan biarkan penyebut tidak berubah:
Ini disebabkan oleh fakta bahawa nombor 7 dan penyebut pecahan tidak mempunyai pembahagi sepunya yang lebih besar daripada satu, dan dengan itu tidak membatalkannya.
Sesetengah pelajar tersilap memendekkan nombor yang didarab dan pengangka pecahan. Anda tidak boleh melakukan ini. Sebagai contoh, entri berikut tidak betul:
Mengurangkan pecahan bermakna kedua-dua pengangka dan penyebut akan dibahagi dengan nombor yang sama. Dalam situasi dengan ungkapan, pembahagian dilakukan hanya dalam pengangka, kerana menulis ini sama seperti menulis . Kita melihat bahawa pembahagian dilakukan hanya dalam pengangka, dan tiada pembahagian berlaku dalam penyebut.
Mendarab pecahan
Untuk mendarab pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka dan penyebutnya. Jika jawapannya ternyata pecahan tidak wajar, anda perlu menyerlahkan keseluruhan bahagiannya.
Contoh 1. Cari nilai ungkapan itu.
Kami menerima jawapan. Adalah dinasihatkan untuk mengurangkan pecahan ini. Pecahan boleh dikurangkan sebanyak 2. Kemudian penyelesaian akhir akan mengambil bentuk berikut:
Ungkapan itu boleh difahami sebagai mengambil piza daripada separuh piza. Katakan kami mempunyai separuh pizza:
Bagaimana untuk mengambil dua pertiga daripada separuh ini? Mula-mula anda perlu membahagikan separuh ini kepada tiga bahagian yang sama:
Dan ambil dua daripada tiga bahagian ini:
Kami akan membuat pizza. Ingat rupa pizza apabila dibahagikan kepada tiga bahagian:
Satu keping piza ini dan dua keping yang kami ambil akan mempunyai dimensi yang sama:
Dalam erti kata lain, kita bercakap tentang pizza saiz yang sama. Oleh itu nilai ungkapan tersebut ialah
Contoh 2. Cari nilai ungkapan
Darabkan pengangka pecahan pertama dengan pengangka pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:
Jawapannya ialah pecahan tidak wajar. Mari kita serlahkan keseluruhan bahagiannya:
Contoh 3. Cari nilai ungkapan
Darabkan pengangka pecahan pertama dengan pengangka pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:
Jawapannya ternyata pecahan biasa, tetapi lebih baik jika ia dipendekkan. Untuk mengurangkan pecahan ini, anda perlu membahagikan pengangka dan penyebut pecahan ini dengan pembahagi sepunya terbesar (GCD) bagi nombor 105 dan 450.
Jadi, mari cari gcd nombor 105 dan 450:
Sekarang kita bahagikan pengangka dan penyebut jawapan kita dengan gcd yang kini kita temui, iaitu, dengan 15
Mewakili nombor bulat sebagai pecahan
Mana-mana nombor bulat boleh diwakili sebagai pecahan. Sebagai contoh, nombor 5 boleh diwakili sebagai . Ini tidak akan mengubah makna lima, kerana ungkapan itu bermaksud "nombor lima dibahagikan dengan satu," dan ini, seperti yang kita ketahui, bersamaan dengan lima:
Nombor timbal balik
Sekarang kita akan berkenalan dengan topik yang sangat menarik dalam matematik. Ia dipanggil "nombor terbalik".
Definisi. Balik kepada nombora ialah nombor yang, apabila didarab dengana memberikan satu.
Mari kita gantikan dalam definisi ini dan bukannya pembolehubah a nombor 5 dan cuba baca definisi:
Balik kepada nombor 5 ialah nombor yang, apabila didarab dengan 5 memberikan satu.
Adakah mungkin untuk mencari nombor yang, apabila didarab dengan 5, memberikan satu? Ternyata ia mungkin. Mari kita bayangkan lima sebagai pecahan:
Kemudian darabkan pecahan ini dengan sendirinya, cuma tukar pengangka dan penyebut. Dengan kata lain, mari kita darabkan pecahan itu dengan sendirinya, hanya terbalik:
Apakah yang akan berlaku akibat daripada ini? Jika kita terus menyelesaikan contoh ini, kita mendapat satu:
Ini bermakna songsangan bagi nombor 5 ialah nombor , kerana apabila anda mendarab 5 dengan anda mendapat satu.
Salingan nombor juga boleh didapati untuk mana-mana integer lain.
Anda juga boleh mencari timbal balik mana-mana pecahan lain. Untuk melakukan ini, hanya terbalikkannya.
Membahagi pecahan dengan nombor
Katakan kami mempunyai separuh pizza:
Mari bahagikan sama rata antara dua. Berapakah jumlah pizza yang akan diperoleh setiap orang?
Dapat dilihat bahawa selepas membahagikan separuh piza, dua keping yang sama diperolehi, setiap satunya membentuk piza. Jadi semua orang mendapat pizza.
Lambat laun, semua kanak-kanak di sekolah mula belajar pecahan: penambahan, pembahagian, pendaraban dan semua kemungkinan operasi yang boleh dilakukan dengan pecahan. Untuk memberikan bantuan yang sewajarnya kepada kanak-kanak itu, ibu bapa sendiri tidak boleh lupa bagaimana membahagikan integer menjadi pecahan, jika tidak, anda tidak akan dapat membantunya dalam apa cara sekalipun, tetapi hanya akan mengelirukan dia. Jika anda perlu mengingati tindakan ini, tetapi anda tidak boleh meletakkan semua maklumat dalam kepala anda ke dalam satu peraturan, maka artikel ini akan membantu anda: anda akan belajar membahagikan nombor dengan pecahan dan melihat contoh yang jelas.
Cara membahagi nombor kepada pecahan
Tulis contoh anda sebagai draf kasar supaya anda boleh membuat nota dan pemadaman. Ingat bahawa nombor integer ditulis di antara sel, betul-betul di persimpangan mereka, dan nombor pecahan ditulis setiap satu dalam selnya sendiri.
- Dalam kaedah ini, anda perlu menterbalikkan pecahan, iaitu, tulis penyebut ke dalam pengangka, dan pengangka ke dalam penyebut.
- Tanda bahagi mesti ditukar kepada pendaraban.
- Sekarang anda hanya perlu melakukan pendaraban mengikut peraturan yang telah anda pelajari: pengangka didarab dengan integer, tetapi anda tidak menyentuh penyebutnya.
Sudah tentu, akibat daripada tindakan ini anda akan mendapat nombor yang sangat besar dalam pengangka. Anda tidak boleh meninggalkan pecahan dalam keadaan ini - guru tidak akan menerima jawapan ini. Kurangkan pecahan dengan membahagikan pengangka dengan penyebut. Tuliskan integer yang terhasil di sebelah kiri pecahan di tengah-tengah sel, dan selebihnya akan menjadi pengangka baharu. Penyebut tetap tidak berubah.
Algoritma ini agak mudah, walaupun untuk kanak-kanak. Selepas menyelesaikannya lima atau enam kali, kanak-kanak akan mengingati prosedur dan akan dapat menerapkannya pada mana-mana pecahan.
Cara membahagi nombor dengan perpuluhan
Terdapat jenis pecahan lain - perpuluhan. Pembahagian kepada mereka berlaku mengikut algoritma yang sama sekali berbeza. Jika anda menghadapi contoh sedemikian, ikut arahan:
- Pertama, tukarkan kedua-dua nombor kepada perpuluhan. Ini mudah dilakukan: pembahagi anda sudah diwakili sebagai pecahan, dan anda memisahkan nombor asli yang dibahagikan dengan koma, mendapatkan pecahan perpuluhan. Iaitu, jika dividen adalah 5, anda mendapat pecahan 5.0. Anda perlu memisahkan nombor dengan seberapa banyak digit yang terdapat selepas titik perpuluhan dan pembahagi.
- Selepas ini, anda mesti membuat kedua-dua pecahan perpuluhan nombor asli. Ia mungkin kelihatan agak mengelirukan pada mulanya, tetapi ia adalah cara terpantas untuk membahagikan dan akan membawa anda beberapa saat selepas beberapa sesi latihan. Pecahan 5.0 akan menjadi nombor 50, pecahan 6.23 akan menjadi 623.
- Buat pembahagian. Jika nombornya besar, atau pembahagian akan berlaku dengan baki, lakukannya dalam lajur. Dengan cara ini anda boleh melihat dengan jelas semua tindakan contoh ini. Anda tidak perlu meletakkan koma dengan sengaja, kerana ia akan muncul dengan sendiri semasa proses pembahagian panjang.
Pembahagian jenis ini pada mulanya kelihatan terlalu mengelirukan, kerana anda perlu menukar dividen dan pembahagi kepada pecahan, dan kemudian kembali kepada nombor asli. Tetapi selepas latihan singkat, anda akan mula melihat nombor-nombor yang anda hanya perlu bahagikan dengan satu sama lain.
Ingat bahawa keupayaan untuk membahagi pecahan dan nombor bulat dengan betul boleh menjadi berguna berkali-kali dalam hidup, oleh itu, seorang kanak-kanak perlu mengetahui peraturan dan prinsip mudah ini dengan sempurna supaya dalam gred yang lebih tinggi mereka tidak menjadi batu penghalang kerana itu. kanak-kanak tidak dapat menyelesaikan tugas yang lebih kompleks.
Nombor pecahan biasa pertama kali bertemu dengan pelajar sekolah di gred 5 dan menemani mereka sepanjang hidup mereka, kerana dalam kehidupan seharian sering kali perlu untuk mempertimbangkan atau menggunakan objek bukan secara keseluruhan, tetapi dalam bahagian yang berasingan. Mula belajar topik ini - saham. Saham adalah bahagian yang sama, di mana objek ini atau itu dibahagikan. Lagipun, tidak selalu mungkin untuk menyatakan, sebagai contoh, panjang atau harga produk sebagai nombor bulat harus diambil kira. Dibentuk daripada kata kerja "memecahkan" - untuk membahagikan kepada bahagian, dan mempunyai akar bahasa Arab, perkataan "pecahan" itu sendiri muncul dalam bahasa Rusia pada abad ke-8.
Ungkapan pecahan telah lama dianggap sebagai cabang matematik yang paling sukar. Pada abad ke-17, apabila buku teks pertama mengenai matematik muncul, mereka dipanggil "nombor pecah," yang sangat sukar untuk difahami oleh orang ramai.
Bentuk moden baki pecahan mudah, bahagian yang dipisahkan oleh garis mendatar, pertama kali dipromosikan oleh Fibonacci - Leonardo dari Pisa. Karya beliau bertarikh 1202. Tetapi tujuan artikel ini adalah untuk menerangkan secara ringkas dan jelas kepada pembaca bagaimana pecahan bercampur dengan penyebut yang berbeza didarabkan.
Mendarab pecahan dengan penyebut yang berbeza
Pada mulanya ia patut ditentukan jenis pecahan:
- betul;
- tidak betul;
- bercampur-campur.
Seterusnya, anda perlu ingat bagaimana nombor pecahan dengan penyebut yang sama didarab. Peraturan proses ini tidak sukar untuk dirumus secara bebas: hasil pendaraban pecahan mudah dengan penyebut yang sama ialah ungkapan pecahan, yang pengangkanya adalah hasil darab pengangka, dan penyebutnya ialah hasil darab penyebut pecahan ini. . Iaitu, sebenarnya, penyebut baru ialah kuasa dua salah satu daripada yang sedia ada pada mulanya.
Apabila mendarab pecahan mudah dengan penyebut yang berbeza untuk dua atau lebih faktor peraturan tidak berubah:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Satu-satunya perbezaan ialah nombor yang terbentuk di bawah garis pecahan akan menjadi hasil darab nombor yang berbeza dan, secara semula jadi, ia tidak boleh dipanggil kuasa dua satu ungkapan berangka.
Perlu dipertimbangkan pendaraban pecahan dengan penyebut yang berbeza menggunakan contoh:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Contoh-contoh menggunakan kaedah untuk mengurangkan ungkapan pecahan. Anda hanya boleh mengurangkan nombor pengangka dengan nombor penyebut faktor bersebelahan di atas atau di bawah garis pecahan tidak boleh dikurangkan.
Bersama dengan pecahan mudah, terdapat konsep pecahan bercampur. Nombor bercampur terdiri daripada integer dan bahagian pecahan, iaitu, ia adalah hasil tambah nombor ini:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Bagaimanakah pendaraban berfungsi?
Beberapa contoh disediakan untuk dipertimbangkan.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Contoh menggunakan pendaraban nombor dengan bahagian pecahan biasa, peraturan untuk tindakan ini boleh ditulis sebagai:
a* b/c = a*b /c.
Malah, produk sedemikian ialah jumlah baki pecahan yang sama, dan bilangan sebutan menunjukkan nombor asli ini. Kes khas:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Terdapat satu lagi penyelesaian untuk mendarab nombor dengan baki pecahan. Anda hanya perlu membahagikan penyebut dengan nombor ini:
d* e/f = e/f: d.
Teknik ini berguna untuk digunakan apabila penyebut dibahagikan dengan nombor asli tanpa baki atau, seperti yang mereka katakan, dengan nombor bulat.
Tukar nombor bercampur kepada pecahan tak wajar dan dapatkan hasil darab dengan cara yang diterangkan sebelum ini:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Contoh ini melibatkan cara mewakili pecahan bercampur sebagai pecahan tak wajar, dan juga boleh diwakili sebagai formula am:
a bc = a*b+ c / c, di mana penyebut pecahan baru dibentuk dengan mendarab keseluruhan bahagian dengan penyebut dan menambahnya dengan pengangka baki pecahan asal, dan penyebutnya tetap sama.
Proses ini juga berfungsi dalam arah yang bertentangan. Untuk memisahkan keseluruhan bahagian dan baki pecahan, anda perlu membahagikan pengangka pecahan tak wajar dengan penyebutnya menggunakan "penjuru".
Mendarab pecahan tak wajar dihasilkan dengan cara yang diterima umum. Apabila menulis di bawah garis pecahan tunggal, anda perlu mengurangkan pecahan mengikut keperluan untuk mengurangkan nombor menggunakan kaedah ini dan memudahkan untuk mengira hasilnya.
Terdapat banyak pembantu di Internet untuk menyelesaikan masalah matematik yang rumit dalam pelbagai variasi program. Sebilangan yang mencukupi perkhidmatan sedemikian menawarkan bantuan mereka dalam mengira pendaraban pecahan dengan nombor yang berbeza dalam penyebut - yang dipanggil kalkulator dalam talian untuk mengira pecahan. Mereka bukan sahaja dapat mendarab, tetapi juga untuk melakukan semua operasi aritmetik mudah lain dengan pecahan biasa dan nombor bercampur. Ia mudah untuk digunakan; anda mengisi medan yang sesuai pada halaman tapak web, pilih tanda operasi matematik, dan klik "kira." Program mengira secara automatik.
Topik operasi aritmetik dengan pecahan adalah relevan sepanjang pendidikan pelajar sekolah menengah dan menengah. Di sekolah menengah, mereka tidak lagi menganggap spesies paling mudah, tetapi ungkapan pecahan integer, tetapi pengetahuan tentang peraturan untuk transformasi dan pengiraan yang diperoleh lebih awal digunakan dalam bentuk asalnya. Pengetahuan asas yang dikuasai dengan baik memberikan keyakinan sepenuhnya untuk berjaya menyelesaikan masalah yang paling kompleks.
Kesimpulannya, masuk akal untuk memetik kata-kata Lev Nikolaevich Tolstoy, yang menulis: "Manusia adalah pecahan. Ia bukan kuasa seseorang untuk meningkatkan pengangkanya - kebaikannya - tetapi sesiapa sahaja boleh mengurangkan penyebutnya - pendapatnya tentang dirinya sendiri, dan dengan penurunan ini semakin hampir kepada kesempurnaannya.
Mendarab dan membahagi pecahan.
Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Operasi ini jauh lebih baik daripada tambah-tolak! Kerana ia lebih mudah. Sebagai peringatan, untuk mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mendarab pengangka (ini akan menjadi pengangka hasil) dan penyebut (ini akan menjadi penyebut). Iaitu:
Contohnya:
Semuanya sangat mudah. Dan tolong jangan cari penyebut biasa! Tidak perlu dia di sini...
Untuk membahagi pecahan dengan pecahan, anda perlu membalikkan kedua(ini penting!) pecahan dan darabkannya, iaitu:
Contohnya:
Jika anda terjumpa pendaraban atau pembahagian dengan integer dan pecahan, tidak mengapa. Sebagai tambahan, kami membuat pecahan daripada nombor bulat dengan satu dalam penyebut - dan teruskan! Contohnya:
Di sekolah menengah, anda sering perlu berurusan dengan pecahan tiga tingkat (atau empat tingkat!). Contohnya:
Bagaimanakah saya boleh menjadikan pecahan ini kelihatan baik? Ya, sangat mudah! Gunakan pembahagian dua mata:
Tetapi jangan lupa tentang susunan pembahagian! Tidak seperti pendaraban, ini sangat penting di sini! Sudah tentu, kami tidak akan mengelirukan 4:2 atau 2:4. Tetapi mudah untuk membuat kesilapan dalam pecahan tiga tingkat. Sila ambil perhatian sebagai contoh:
Dalam kes pertama (ungkapan di sebelah kiri):
Dalam kedua (ungkapan di sebelah kanan):
Adakah anda merasakan perbezaannya? 4 dan 1/9!
Apakah yang menentukan susunan pembahagian? Sama ada dengan kurungan, atau (seperti di sini) dengan panjang garisan mendatar. Kembangkan mata anda. Dan jika tiada kurungan atau sempang, seperti:
kemudian bahagi dan darab mengikut urutan, dari kiri ke kanan!
Dan satu lagi teknik yang sangat mudah dan penting. Dalam tindakan dengan darjah, ia akan sangat berguna kepada anda! Mari kita bahagikan satu dengan mana-mana pecahan, sebagai contoh, dengan 13/15:
Tembakan telah terbalik! Dan ini selalu berlaku. Apabila membahagi 1 dengan mana-mana pecahan, hasilnya adalah pecahan yang sama, hanya terbalik.
Itu sahaja untuk operasi dengan pecahan. Perkara itu agak mudah, tetapi ia memberikan lebih daripada cukup ralat. Ambil kira nasihat praktikal, dan akan ada lebih sedikit daripada mereka (kesilapan)!
Petua praktikal:
1. Perkara yang paling penting apabila bekerja dengan ungkapan pecahan ialah ketepatan dan perhatian! Ini bukan kata-kata umum, bukan harapan yang baik! Ini adalah satu keperluan yang teruk! Lakukan semua pengiraan pada Peperiksaan Negeri Bersepadu sebagai tugas penuh, fokus dan jelas. Adalah lebih baik untuk menulis dua baris tambahan dalam draf anda daripada membuat kekacauan semasa membuat pengiraan mental.
2. Dalam contoh dengan pelbagai jenis pecahan, kita beralih kepada pecahan biasa.
3. Kami mengurangkan semua pecahan sehingga ia berhenti.
4. Kami mengurangkan ungkapan pecahan berbilang peringkat kepada yang biasa menggunakan pembahagian melalui dua mata (kami mengikut susunan pembahagian!).
5. Bahagikan unit dengan pecahan dalam kepala anda, hanya terbalikkan pecahan itu.
Berikut adalah tugasan yang mesti anda selesaikan. Jawapan diberikan selepas semua tugasan. Gunakan bahan mengenai topik ini dan petua praktikal. Anggarkan berapa banyak contoh yang anda dapat selesaikan dengan betul. Betul kali pertama! Tanpa kalkulator! Dan buat kesimpulan yang betul...
Ingat - jawapan yang betul ialah diterima dari kali kedua (terutama yang ketiga) tidak dikira! Begitulah kehidupan yang keras.
Jadi, selesaikan dalam mod peperiksaan ! Ini sudah menjadi persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu, dengan cara itu. Kami menyelesaikan contoh, menyemaknya, menyelesaikan yang seterusnya. Kami memutuskan segala-galanya - menyemak semula dari pertama hingga terakhir. Dan hanya Kemudian lihat jawapannya.
Kira:
Sudahkah anda membuat keputusan?
Kami sedang mencari jawapan yang sepadan dengan jawapan anda. Saya sengaja menulisnya dalam keadaan kucar-kacir, jauh dari godaan, kononnya... Ini dia, jawapannya, ditulis dengan koma bertitik.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Sekarang kita buat kesimpulan. Jika semuanya berjaya, saya gembira untuk anda! Pengiraan asas dengan pecahan bukan masalah anda! Anda boleh melakukan perkara yang lebih serius. Jika tidak...
Jadi anda mempunyai satu daripada dua masalah. Atau kedua-duanya sekali.) Kurang pengetahuan dan (atau) kurang perhatian. Tetapi... Ini boleh diselesaikan masalah.
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.