Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan pecahan dan pendaraban. Menyelesaikan persamaan rasional integer dan pecahan

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada pihak berkuasa kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Penyebut sepunya terendah digunakan untuk memudahkan persamaan ini. Kaedah ini digunakan apabila anda tidak boleh menulis persamaan yang diberikan dengan satu ungkapan rasional pada setiap sisi persamaan (dan gunakan kaedah pendaraban silang silang). Kaedah ini digunakan apabila anda diberi persamaan rasional dengan 3 atau lebih pecahan (dalam kes dua pecahan, lebih baik menggunakan pendaraban silang silang).

Cari penyebut sepunya terendah bagi pecahan (atau gandaan sepunya terkecil). NOZ ialah nombor terkecil yang boleh dibahagi sama rata oleh setiap penyebut.

Kadangkala NPD ialah nombor yang jelas. Sebagai contoh, jika diberi persamaan: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, maka jelaslah bahawa gandaan sepunya terkecil bagi nombor 3, 2 dan 6 ialah 6.
Jika NCD tidak jelas, tuliskan gandaan penyebut terbesar dan cari di antaranya satu yang akan menjadi gandaan penyebut yang lain. Selalunya NOD boleh didapati dengan hanya mendarab dua penyebut. Sebagai contoh, jika persamaan diberi x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, maka NOS = 8*9 = 72.
Jika satu atau lebih penyebut mengandungi pembolehubah, proses menjadi agak rumit (tetapi tidak mustahil). Dalam kes ini, NOC ialah ungkapan (mengandungi pembolehubah) yang dibahagikan dengan setiap penyebut. Sebagai contoh, dalam persamaan 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), kerana ungkapan ini dibahagikan dengan setiap penyebut: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Darab kedua-dua pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan nombor yang sama dengan hasil pembahagian NOC dengan penyebut yang sepadan bagi setiap pecahan.

Jadi dalam contoh kita, darab x/3 dengan 2/2 untuk mendapatkan 2x/6, dan 1/2 darab dengan 3/3 untuk mendapatkan 3/6 (pecahan 3x +1/6 tidak perlu didarab kerana ia adalah penyebut ialah 6).
Teruskan sama apabila pembolehubah berada dalam penyebut. Dalam contoh kedua kita, NOZ = 3x(x-1), jadi darab 5/(x-1) dengan (3x)/(3x) untuk mendapatkan 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x didarab dengan 3(x-1)/3(x-1) dan anda mendapat 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) didarab dengan (x-1)/(x-1) dan anda mendapat 2(x-1)/3x(x-1).

Cari x. Sekarang anda telah mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, anda boleh menyingkirkan penyebutnya. Untuk melakukan ini, darabkan setiap sisi persamaan dengan penyebut sepunya. Kemudian selesaikan persamaan yang terhasil, iaitu, cari “x”. Untuk melakukan ini, asingkan pembolehubah pada satu sisi persamaan.

Dalam contoh kami: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Anda boleh menambah 2 pecahan dengan penyebut yang sama, jadi tulis persamaan sebagai: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6 dan singkirkan penyebutnya: 2x+3 = 3x +1. Selesaikan dan dapatkan x = 2.
Dalam contoh kedua kami (dengan pembolehubah dalam penyebut), persamaannya kelihatan seperti (selepas pengurangan kepada penyebut sepunya): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan N3, anda menyingkirkan penyebut dan mendapatkan: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), atau 15x = 3x - 3 + 2x -2, atau 15x = x - 5 Selesaikan dan dapatkan: x = -5/14.

Permohonan

Menyelesaikan sebarang jenis persamaan dalam talian di tapak untuk pelajar dan pelajar sekolah untuk menyatukan bahan yang dipelajari Menyelesaikan persamaan dalam talian. Persamaan dalam talian. Terdapat jenis persamaan algebra, parametrik, transendental, fungsian, pembezaan dan lain-lain Beberapa kelas persamaan mempunyai penyelesaian analitikal, yang mudah kerana ia bukan sahaja memberikan nilai yang tepat bagi punca, tetapi juga membolehkan anda menulis penyelesaian dalam. bentuk formula, yang mungkin termasuk parameter. Ungkapan analisis membolehkan bukan sahaja untuk mengira akar, tetapi juga untuk menganalisis kewujudannya dan kuantitinya bergantung pada nilai parameter, yang selalunya lebih penting untuk kegunaan praktikal daripada nilai khusus akar. Menyelesaikan persamaan dalam talian.. Persamaan dalam talian. Menyelesaikan persamaan adalah tugas mencari nilai-nilai seperti hujah-hujah di mana kesamaan ini dicapai. Syarat tambahan (integer, nyata, dsb.) boleh dikenakan ke atas kemungkinan nilai hujah. Menyelesaikan persamaan dalam talian.. Persamaan dalam talian. Anda boleh menyelesaikan persamaan dalam talian serta-merta dan dengan ketepatan keputusan yang tinggi. Argumen kepada fungsi tertentu (kadangkala dipanggil "pembolehubah") dipanggil "tidak diketahui" dalam kes persamaan. Nilai-nilai yang tidak diketahui di mana kesamaan ini dicapai dipanggil penyelesaian atau punca persamaan ini. Akar-akar dikatakan memenuhi persamaan ini. Menyelesaikan persamaan dalam talian bermakna mencari set semua penyelesaiannya (akar) atau membuktikan bahawa tiada punca. Menyelesaikan persamaan dalam talian.. Persamaan dalam talian. Persamaan yang set akarnya bertepatan dipanggil setara atau sama. Persamaan yang tidak mempunyai punca juga dianggap setara. Persamaan persamaan mempunyai sifat simetri: jika satu persamaan bersamaan dengan persamaan yang lain, maka persamaan kedua adalah bersamaan dengan yang pertama. Persamaan persamaan mempunyai sifat transitiviti: jika satu persamaan bersamaan dengan yang lain, dan yang kedua bersamaan dengan yang ketiga, maka persamaan pertama bersamaan dengan yang ketiga. Sifat kesetaraan persamaan membolehkan kita melakukan transformasi dengan mereka, yang berdasarkan kaedah untuk menyelesaikannya. Menyelesaikan persamaan dalam talian.. Persamaan dalam talian. Tapak ini akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian. Persamaan yang penyelesaian analisis diketahui termasuk persamaan algebra tidak lebih tinggi daripada darjah keempat: persamaan linear, persamaan kuadratik, persamaan padu dan persamaan darjah keempat. Persamaan algebra darjah yang lebih tinggi dalam kes umum tidak mempunyai penyelesaian analitikal, walaupun sesetengah daripadanya boleh dikurangkan kepada persamaan darjah yang lebih rendah. Persamaan yang merangkumi fungsi transendental dipanggil transendental. Antaranya, penyelesaian analitik dikenali untuk beberapa persamaan trigonometri, kerana sifar fungsi trigonometri terkenal. Dalam kes umum, apabila penyelesaian analitik tidak dijumpai, kaedah berangka digunakan. Kaedah berangka tidak memberikan penyelesaian yang tepat, tetapi hanya membenarkan satu untuk menyempitkan selang di mana akar terletak kepada nilai tertentu yang telah ditetapkan. Menyelesaikan persamaan dalam talian.. Persamaan dalam talian.. Daripada persamaan dalam talian, kita akan membayangkan bagaimana ungkapan yang sama membentuk hubungan linear, bukan sahaja di sepanjang tangen lurus, tetapi juga pada titik lengkokan graf. Kaedah ini amat diperlukan pada setiap masa dalam kajian subjek. Selalunya berlaku bahawa penyelesaian persamaan menghampiri nilai akhir dengan menggunakan nombor tak terhingga dan menulis vektor. Ia adalah perlu untuk menyemak data awal dan ini adalah intipati tugas. Jika tidak, keadaan setempat ditukar kepada formula. Penyongsangan dalam garis lurus dari fungsi tertentu, yang akan dikira oleh kalkulator persamaan tanpa banyak kelewatan dalam pelaksanaan, offset akan berfungsi sebagai keistimewaan ruang. Kami akan bercakap tentang kejayaan pelajar dalam persekitaran saintifik. Walau bagaimanapun, seperti semua di atas, ia akan membantu kami dalam proses mencari dan apabila anda menyelesaikan persamaan sepenuhnya, simpan jawapan yang terhasil di hujung segmen garis lurus. Garisan dalam ruang bersilang pada satu titik dan titik ini dipanggil bersilang oleh garisan. Selang pada baris ditunjukkan seperti yang dinyatakan sebelum ini. Jawatan tertinggi untuk pengajian matematik akan diterbitkan. Menetapkan nilai hujah daripada permukaan yang ditentukan secara parametrik dan menyelesaikan persamaan dalam talian akan dapat menggariskan prinsip akses produktif kepada fungsi. Jalur Möbius, atau nama infiniti, kelihatan seperti angka lapan. Ini adalah permukaan satu sisi, bukan dua belah. Mengikut prinsip yang diketahui umum oleh semua orang, kami secara objektif akan menerima persamaan linear sebagai penetapan asas seperti dalam bidang penyelidikan. Hanya dua nilai hujah yang diberikan secara berurutan dapat mendedahkan arah vektor. Dengan mengandaikan bahawa penyelesaian lain untuk persamaan dalam talian adalah lebih daripada sekadar menyelesaikan, ia bermakna memperoleh versi lengkap invarian sebagai hasilnya. Tanpa pendekatan bersepadu, sukar untuk pelajar mempelajari bahan ini. Seperti sebelum ini, untuk setiap kes khas, kalkulator persamaan dalam talian kami yang mudah dan pintar akan membantu semua orang dalam masa sukar, kerana anda hanya perlu menentukan parameter input dan sistem itu sendiri akan mengira jawapannya. Sebelum kita mula memasukkan data, kita memerlukan alat input, yang boleh dilakukan tanpa banyak kesukaran. Bilangan setiap anggaran jawapan akan membawa kepada persamaan kuadratik kepada kesimpulan kami, tetapi ini tidak begitu mudah dilakukan, kerana mudah untuk membuktikan sebaliknya. Teori itu, kerana ciri-cirinya, tidak disokong oleh pengetahuan praktikal. Melihat kalkulator pecahan pada peringkat penerbitan jawapan bukanlah tugas yang mudah dalam matematik, kerana alternatif menulis nombor pada set membantu meningkatkan pertumbuhan fungsi. Walau bagaimanapun, adalah tidak betul untuk tidak bercakap tentang latihan pelajar, jadi kami masing-masing akan menyatakan seberapa banyak yang perlu dilakukan. Persamaan kubik yang ditemui sebelum ini akan menjadi hak milik domain definisi dan mengandungi ruang nilai berangka, serta pembolehubah simbolik. Setelah mempelajari atau menghafal teorem, pelajar kami akan menunjukkan diri mereka yang terbaik, dan kami akan gembira untuk mereka. Tidak seperti persilangan medan berbilang, persamaan dalam talian kami diterangkan oleh satah gerakan dengan mendarab dua dan tiga garis gabungan berangka. Satu set dalam matematik tidak ditakrifkan secara unik. Penyelesaian terbaik, menurut pelajar, adalah rakaman lengkap ungkapan. Seperti yang dikatakan dalam bahasa saintifik, abstraksi ungkapan simbolik tidak masuk ke dalam keadaan, tetapi penyelesaian persamaan memberikan hasil yang tidak jelas dalam semua kes yang diketahui. Tempoh pengajaran guru bergantung kepada keperluan cadangan ini. Analisis menunjukkan keperluan semua teknik pengiraan dalam banyak bidang, dan jelas sekali bahawa kalkulator persamaan adalah alat yang sangat diperlukan dalam tangan pelajar yang berbakat. Pendekatan yang setia terhadap pengajian matematik menentukan kepentingan pandangan dari arah yang berbeza. Anda ingin mengenal pasti salah satu teorem utama dan menyelesaikan persamaan dengan cara sedemikian, bergantung pada jawapan yang akan ada keperluan selanjutnya untuk aplikasinya. Analitis dalam bidang ini semakin mendapat momentum. Mari kita mulakan dari awal dan dapatkan formula. Setelah menembusi tahap peningkatan fungsi, garisan sepanjang tangen pada titik infleksi pasti akan membawa kepada fakta bahawa menyelesaikan persamaan dalam talian akan menjadi salah satu aspek utama dalam membina graf yang sama daripada hujah fungsi tersebut. Pendekatan amatur berhak digunakan sekiranya syarat ini tidak bercanggah dengan kesimpulan pelajar. Ia adalah subtugas yang meletakkan analisis keadaan matematik sebagai persamaan linear dalam domain sedia ada definisi objek yang dibawa ke latar belakang. Menjaring ke arah ortogonal membatalkan kelebihan nilai mutlak tunggal. Persamaan penyelesaian modulo dalam talian memberikan bilangan penyelesaian yang sama jika anda membuka kurungan terlebih dahulu dengan tanda tambah dan kemudian dengan tanda tolak. Dalam kes ini, akan ada penyelesaian dua kali lebih banyak, dan hasilnya akan lebih tepat. Kalkulator persamaan dalam talian yang stabil dan betul adalah kejayaan dalam mencapai matlamat yang dimaksudkan dalam tugasan yang ditetapkan oleh guru. Nampaknya boleh memilih kaedah yang betul kerana perbezaan ketara dalam pandangan saintis yang hebat. Persamaan kuadratik yang terhasil menerangkan lengkung garis, yang dipanggil parabola, dan tanda akan menentukan kecembungannya dalam sistem koordinat segi empat sama. Daripada persamaan kita memperoleh kedua-dua diskriminasi dan punca sendiri mengikut teorem Vieta. Langkah pertama ialah mewakili ungkapan sebagai pecahan wajar atau tidak wajar dan menggunakan kalkulator pecahan. Bergantung pada ini, pelan untuk pengiraan kami selanjutnya akan dibentuk. Matematik dengan pendekatan teori akan berguna pada setiap peringkat. Kami pasti akan membentangkan hasilnya sebagai persamaan kubik, kerana kami akan menyembunyikan akarnya dalam ungkapan ini untuk memudahkan tugas untuk pelajar di universiti. Sebarang kaedah adalah baik jika ia sesuai untuk analisis cetek. Operasi aritmetik tambahan tidak akan membawa kepada ralat pengiraan. Menentukan jawapan dengan ketepatan yang diberikan. Dengan menggunakan penyelesaian persamaan, mari kita hadapinya - mencari pembolehubah tidak bersandar bagi fungsi tertentu tidak begitu mudah, terutamanya semasa tempoh mengkaji garis selari pada infiniti. Memandangkan pengecualian, keperluannya sangat jelas. Perbezaan kekutuban adalah jelas. Daripada pengalaman mengajar di institut, guru kami mempelajari pelajaran utama di mana persamaan dalam talian dipelajari dalam erti kata penuh matematik. Di sini kita bercakap tentang usaha yang lebih tinggi dan kemahiran khas dalam mengaplikasikan teori. Memihak kepada kesimpulan kami, seseorang tidak seharusnya melihat melalui prisma. Sehingga baru-baru ini, adalah dipercayai bahawa set tertutup meningkat dengan cepat di rantau ini sebagaimana adanya dan penyelesaian persamaan hanya perlu disiasat. Pada peringkat pertama, kami tidak mempertimbangkan semua pilihan yang mungkin, tetapi pendekatan ini lebih wajar berbanding sebelum ini. Tindakan tambahan dengan tanda kurung mewajarkan beberapa kemajuan di sepanjang paksi ordinat dan absis, yang tidak boleh diabaikan dengan mata kasar. Dalam pengertian peningkatan berkadar yang meluas dalam fungsi, terdapat titik infleksi. Sekali lagi kami akan membuktikan bagaimana syarat yang diperlukan akan digunakan sepanjang keseluruhan selang penurunan satu atau satu lagi kedudukan menurun vektor. Dalam ruang terkurung, kami akan memilih pembolehubah daripada blok awal skrip kami. Sistem yang dibina sebagai asas di sepanjang tiga vektor bertanggungjawab terhadap ketiadaan momen daya utama. Walau bagaimanapun, kalkulator persamaan menjana dan membantu dalam mencari semua sebutan bagi persamaan yang dibina, di atas permukaan dan di sepanjang garis selari. Mari kita lukis bulatan di sekeliling titik permulaan. Oleh itu, kita akan mula bergerak ke atas sepanjang garis keratan, dan tangen akan menerangkan bulatan sepanjang keseluruhan panjangnya, menghasilkan lengkung yang dipanggil involute. By the way, mari kita ceritakan sedikit sejarah tentang keluk ini. Hakikatnya dari segi sejarah dalam matematik tidak ada konsep matematik itu sendiri dalam pemahamannya yang murni seperti sekarang. Sebelum ini, semua saintis terlibat dalam satu tugas biasa, iaitu sains. Kemudian, beberapa abad kemudian, apabila dunia saintifik dipenuhi dengan sejumlah besar maklumat, manusia bagaimanapun mengenal pasti banyak disiplin. Mereka masih kekal tidak berubah. Namun, setiap tahun, saintis di seluruh dunia cuba membuktikan bahawa sains tidak terhad, dan anda tidak akan menyelesaikan persamaan melainkan anda mempunyai pengetahuan tentang sains semula jadi. Ia mungkin tidak mungkin untuk menamatkannya. Memikirkan perkara ini adalah sia-sia seperti memanaskan udara di luar. Mari kita cari selang di mana hujah, jika nilainya positif, akan menentukan modulus nilai dalam arah yang meningkat secara mendadak. Reaksi akan membantu anda mencari sekurang-kurangnya tiga penyelesaian, tetapi anda perlu menyemaknya. Mari kita mulakan dengan fakta bahawa kita perlu menyelesaikan persamaan dalam talian menggunakan perkhidmatan unik laman web kami. Mari masukkan kedua-dua belah persamaan yang diberikan, klik pada butang "SELESAIKAN" dan dapatkan jawapan yang tepat dalam masa beberapa saat sahaja. Dalam kes-kes khas, mari kita ambil buku tentang matematik dan semak semula jawapan kita, iaitu, lihat sahaja jawapannya dan semuanya akan menjadi jelas. Projek yang sama untuk parallelepiped berlebihan tiruan akan terbang keluar. Terdapat segi empat selari dengan sisi selarinya, dan ia menerangkan banyak prinsip dan pendekatan untuk mengkaji hubungan ruang proses menaik mengumpul ruang berongga dalam formula bentuk semula jadi. Persamaan linear yang tidak jelas menunjukkan pergantungan pembolehubah yang dikehendaki pada sepunya kita pada masa ini penyelesaian masa dan anda perlu mendapatkan dan mengurangkan pecahan tidak wajar kepada kes bukan remeh. Tandakan sepuluh titik pada garis lurus dan lukis lengkung melalui setiap titik dalam arah yang diberikan, dengan titik cembung ke atas. Tanpa banyak kesukaran, kalkulator persamaan kami akan membentangkan ungkapan dalam bentuk sedemikian sehingga pemeriksaannya untuk kesahihan peraturan akan jelas walaupun pada permulaan rakaman. Sistem perwakilan khas kestabilan untuk ahli matematik didahulukan, melainkan dinyatakan sebaliknya oleh formula. Kami akan bertindak balas terhadap perkara ini dengan membentangkan laporan terperinci mengenai topik keadaan isomorfik sistem plastik badan dan menyelesaikan persamaan dalam talian akan menerangkan pergerakan setiap titik bahan dalam sistem ini. Pada peringkat penyelidikan yang mendalam, adalah perlu untuk menjelaskan secara terperinci isu penyongsangan sekurang-kurangnya lapisan ruang bawah. Menaik di bahagian di mana fungsi tidak berterusan, kami akan menggunakan kaedah umum penyelidik yang cemerlang, dengan cara, rakan senegara kami, dan akan memberitahu di bawah tentang kelakuan pesawat. Disebabkan oleh ciri-ciri kukuh fungsi yang ditakrifkan secara analitik, kami hanya menggunakan kalkulator persamaan dalam talian untuk tujuan yang dimaksudkan dalam had kuasa yang diperolehi. Menaakul lebih lanjut, kami akan menumpukan kajian kami pada kehomogenan persamaan itu sendiri, iaitu, sebelah kanannya adalah sama dengan sifar. Marilah kita sekali lagi memastikan bahawa keputusan kita dalam matematik adalah betul. Untuk mengelakkan daripada mendapatkan penyelesaian yang remeh, kami akan membuat beberapa pelarasan kepada syarat awal untuk masalah kestabilan bersyarat sistem. Mari kita buat persamaan kuadratik, yang mana kita menulis dua entri menggunakan formula yang terkenal dan mencari punca negatif. Jika satu punca adalah lima unit lebih besar daripada punca kedua dan ketiga, maka dengan membuat perubahan pada hujah utama kami dengan itu memesongkan keadaan awal subtugasan. Mengikut sifatnya, sesuatu yang luar biasa dalam matematik sentiasa boleh diterangkan kepada perseratus terdekat nombor positif. Kalkulator pecahan adalah beberapa kali lebih baik daripada analognya pada sumber yang serupa pada saat terbaik beban pelayan. Pada permukaan vektor halaju yang tumbuh di sepanjang paksi ordinat, kami melukis tujuh garisan, bengkok ke arah yang bertentangan antara satu sama lain. Kebolehbandingan hujah fungsi yang ditetapkan adalah mendahului bacaan pembilang baki pemulihan. Dalam matematik, kita boleh mewakili fenomena ini melalui persamaan padu dengan pekali khayalan, serta dalam perkembangan bipolar garis menurun. Titik kritikal perbezaan suhu dalam kebanyakan makna dan perkembangannya menerangkan proses penguraian fungsi pecahan kompleks kepada faktor. Jika anda diberitahu untuk menyelesaikan persamaan, jangan tergesa-gesa untuk melakukannya dengan segera, pasti terlebih dahulu menilai keseluruhan pelan tindakan, dan kemudian mengambil pendekatan yang betul. Pasti ada faedahnya. Kemudahan bekerja adalah jelas, dan perkara yang sama berlaku dalam matematik. Selesaikan persamaan dalam talian. Semua persamaan dalam talian mewakili jenis rekod nombor atau parameter tertentu dan pembolehubah yang perlu ditentukan. Kira pembolehubah ini, iaitu, cari nilai atau selang tertentu bagi satu set nilai di mana identiti akan dipegang. Syarat awal dan akhir bergantung secara langsung. Penyelesaian umum persamaan biasanya merangkumi beberapa pembolehubah dan pemalar, dengan menetapkan yang mana kita akan memperoleh keseluruhan keluarga penyelesaian untuk pernyataan masalah tertentu. Secara umum, ini mewajarkan usaha yang dilaburkan dalam meningkatkan kefungsian kubus ruang dengan sisi yang sama dengan 100 sentimeter. Anda boleh menggunakan teorem atau lemma pada mana-mana peringkat membina jawapan. Tapak ini secara beransur-ansur menghasilkan kalkulator persamaan jika perlu untuk menunjukkan nilai terkecil pada sebarang selang penjumlahan produk. Dalam separuh daripada kes, bola sedemikian, yang berongga, tidak lagi memenuhi keperluan untuk menetapkan jawapan perantaraan. Sekurang-kurangnya pada paksi ordinat ke arah perwakilan vektor menurun, perkadaran ini sudah pasti akan menjadi lebih optimum daripada ungkapan sebelumnya. Pada jam apabila analisis titik lengkap dijalankan pada fungsi linear, kami akan, sebenarnya, mengumpulkan semua nombor kompleks dan ruang satah bipolar kami. Dengan menggantikan pembolehubah ke dalam ungkapan yang terhasil, anda akan menyelesaikan persamaan langkah demi langkah dan memberikan jawapan yang paling terperinci dengan ketepatan yang tinggi. Adalah suatu bentuk yang baik bagi seorang pelajar untuk menyemak tindakannya dalam matematik sekali lagi. Perkadaran dalam nisbah pecahan merekodkan integriti keputusan dalam semua bidang aktiviti penting vektor sifar. Perkara remeh disahkan pada akhir tindakan yang telah selesai. Dengan tugas yang mudah, pelajar mungkin tidak menghadapi sebarang kesukaran jika mereka menyelesaikan persamaan dalam talian dalam masa yang sesingkat mungkin, tetapi jangan lupa tentang semua peraturan yang berbeza. Satu set subset bersilang dalam kawasan tatatanda penumpuan. Dalam kes yang berbeza, produk tidak difaktorkan secara tersilap. Anda akan dibantu untuk menyelesaikan persamaan dalam talian di bahagian pertama kami, khusus untuk asas teknik matematik untuk bahagian penting untuk pelajar di universiti dan kolej teknikal. Kami tidak perlu menunggu beberapa hari untuk jawapan, kerana proses interaksi terbaik analisis vektor dengan penemuan penyelesaian berurutan telah dipatenkan pada awal abad yang lalu. Ternyata usaha untuk menjalin hubungan dengan pasukan sekeliling tidak sia-sia, sesuatu yang lain jelas diperlukan terlebih dahulu. Beberapa generasi kemudian, saintis di seluruh dunia membuat orang percaya bahawa matematik adalah ratu sains. Sama ada jawapan kiri atau kanan, semuanya sama, istilah lengkap mesti ditulis dalam tiga baris, kerana dalam kes kita, kita pasti akan bercakap hanya tentang analisis vektor sifat-sifat matriks. Persamaan tak linear dan linear, bersama-sama dengan persamaan biquadratik, mengambil tempat yang istimewa dalam buku kami tentang kaedah terbaik untuk mengira trajektori gerakan dalam ruang semua titik material sistem tertutup. Analisis linear produk skalar tiga vektor berturut-turut akan membantu kita menghidupkan idea itu. Pada penghujung setiap pernyataan, tugasan menjadi lebih mudah dengan melaksanakan pengecualian berangka yang dioptimumkan merentasi tindanan ruang nombor yang dilakukan. Penghakiman yang berbeza tidak akan membezakan jawapan yang ditemui dalam bentuk arbitrari segitiga dalam bulatan. Sudut antara dua vektor mengandungi peratusan margin yang diperlukan, dan penyelesaian persamaan dalam talian selalunya mendedahkan punca persamaan tertentu yang bertentangan dengan keadaan awal. Pengecualian memainkan peranan sebagai pemangkin dalam keseluruhan proses yang tidak dapat dielakkan untuk mencari penyelesaian positif dalam bidang mentakrifkan fungsi. Jika tidak dikatakan bahawa anda tidak boleh menggunakan komputer, maka kalkulator persamaan dalam talian adalah tepat untuk masalah sukar anda. Anda hanya perlu memasukkan data bersyarat anda dalam format yang betul dan pelayan kami akan mengeluarkan jawapan hasil yang lengkap dalam masa yang sesingkat mungkin. Fungsi eksponen meningkat lebih cepat daripada fungsi linear. Talmud kesusasteraan perpustakaan pintar memberi kesaksian tentang ini. Akan melakukan pengiraan dalam erti kata umum seperti yang dilakukan oleh persamaan kuadratik yang diberikan dengan tiga pekali kompleks. Parabola di bahagian atas separuh satah mencirikan gerakan selari rectilinear di sepanjang paksi titik. Di sini adalah bernilai menyebut perbezaan potensi dalam ruang kerja badan. Sebagai pertukaran untuk hasil suboptimum, kalkulator pecahan kami berhak menduduki kedudukan pertama dalam penarafan matematik semakan program berfungsi pada bahagian pelayan. Kemudahan penggunaan perkhidmatan ini akan dihargai oleh berjuta-juta pengguna Internet. Jika anda tidak tahu cara menggunakannya, kami berbesar hati untuk membantu anda. Kami juga ingin mengambil perhatian khusus dan menyerlahkan persamaan padu daripada beberapa masalah sekolah rendah, apabila perlu mencari puncanya dengan cepat dan membina graf fungsi pada satah. Tahap pembiakan yang lebih tinggi adalah salah satu masalah matematik yang kompleks di institut dan jumlah jam yang mencukupi diperuntukkan untuk kajiannya. Seperti semua persamaan linear, persamaan kami tidak terkecuali mengikut banyak peraturan objektif melihat dari sudut pandangan yang berbeza, dan ternyata mudah dan mencukupi untuk menetapkan syarat awal. Selang kenaikan bertepatan dengan selang kecembungan fungsi. Menyelesaikan persamaan dalam talian. Kajian teori adalah berdasarkan persamaan dalam talian dari banyak bahagian mengenai kajian disiplin utama. Dalam kes pendekatan ini dalam masalah yang tidak pasti, adalah sangat mudah untuk membentangkan penyelesaian kepada persamaan dalam bentuk yang telah ditetapkan dan bukan sahaja membuat kesimpulan, tetapi juga meramalkan hasil penyelesaian positif tersebut. Perkhidmatan dalam tradisi terbaik matematik akan membantu kita mempelajari bidang subjek, seperti kebiasaan di Timur. Pada saat terbaik selang masa, tugasan yang serupa didarab dengan faktor sepunya sepuluh. Kelimpahan pendaraban berbilang pembolehubah dalam kalkulator persamaan mula mendarab dengan kualiti dan bukannya pembolehubah kuantitatif seperti jisim atau berat badan. Untuk mengelakkan kes ketidakseimbangan sistem bahan, terbitan pengubah tiga dimensi pada penumpuan remeh bagi matriks matematik tidak merosot agak jelas kepada kita. Selesaikan tugas dan selesaikan persamaan dalam koordinat yang diberikan, kerana kesimpulannya tidak diketahui terlebih dahulu, begitu juga dengan semua pembolehubah termasuk dalam masa pasca ruang. Untuk masa yang singkat, alihkan faktor sepunya daripada kurungan dan bahagikan kedua-dua belah pihak dengan faktor sepunya terbesar terlebih dahulu. Dari bawah subset nombor yang dilindungi yang terhasil, ekstrak dengan cara terperinci tiga puluh tiga mata berturut-turut dalam tempoh yang singkat. Setakat mana yang mungkin bagi setiap pelajar untuk menyelesaikan persamaan dalam talian dengan cara yang terbaik, memandang ke hadapan, katakan satu perkara penting tetapi penting, tanpanya ia akan menjadi sukar untuk hidup pada masa hadapan. Pada abad yang lalu, saintis hebat itu melihat beberapa corak dalam teori matematik. Dalam praktiknya, hasilnya tidak seperti yang diharapkan dari peristiwa tersebut. Walau bagaimanapun, pada dasarnya, penyelesaian persamaan dalam talian ini membantu meningkatkan pemahaman dan persepsi pendekatan holistik untuk mengkaji dan penyatuan praktikal bahan teori yang diliputi oleh pelajar. Ia lebih mudah untuk melakukan ini semasa waktu belajar anda.

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Manusia menggunakan persamaan pada zaman dahulu, dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Dalam gred 5, pelajar matematik mempelajari banyak topik baharu, salah satunya ialah persamaan pecahan. Bagi kebanyakan orang, ini adalah topik yang agak rumit yang ibu bapa harus membantu anak-anak mereka memahami, dan jika ibu bapa telah melupakan matematik, maka mereka sentiasa boleh menggunakan program dalam talian yang menyelesaikan persamaan. Jadi, menggunakan contoh, anda boleh memahami algoritma untuk menyelesaikan persamaan dengan pecahan dengan cepat dan membantu anak anda.

Di bawah, untuk kejelasan, kami akan menyelesaikan persamaan linear pecahan mudah daripada bentuk berikut:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Untuk menyelesaikan jenis persamaan ini, adalah perlu untuk menentukan NOS dan mendarabkan sisi kiri dan kanan persamaan dengannya:

\[\frac (x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Ini memberi kita persamaan linear mudah kerana penyebut sepunya serta penyebut bagi setiap sebutan pecahan membatalkan:

Mari alihkan istilah dengan yang tidak diketahui ke kiri:

Mari bahagikan sisi kiri dan kanan dengan -7:

Daripada hasil yang diperoleh, kita boleh memilih keseluruhan bahagian, yang akan menjadi hasil akhir untuk menyelesaikan persamaan pecahan ini:

Di manakah saya boleh menyelesaikan persamaan dengan pecahan dalam talian?

Anda boleh menyelesaikan persamaan di laman web kami https://site. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam masa beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh menonton arahan video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di tapak web kami. Dan jika anda masih mempunyai soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Sertai kumpulan kami, kami sentiasa gembira untuk membantu anda.

Mari kita sambung bercakap tentang menyelesaikan persamaan. Dalam artikel ini kita akan pergi secara terperinci tentang persamaan rasional dan prinsip penyelesaian persamaan rasional dengan satu pembolehubah. Mula-mula, mari kita tentukan jenis persamaan yang dipanggil rasional, berikan definisi bagi persamaan rasional keseluruhan dan pecahan, dan berikan contoh. Seterusnya, kami akan mendapatkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, sudah tentu, kami akan mempertimbangkan penyelesaian kepada contoh biasa dengan semua penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Berdasarkan definisi yang dinyatakan, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Contohnya, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , adalah semua persamaan rasional.

Daripada contoh yang ditunjukkan, jelas bahawa persamaan rasional, serta persamaan jenis lain, boleh dengan satu pembolehubah, atau dengan dua, tiga, dsb. pembolehubah. Dalam perenggan berikut kita akan bercakap tentang menyelesaikan persamaan rasional dengan satu pembolehubah. Menyelesaikan persamaan dalam dua pembolehubah dan bilangan mereka yang ramai patut diberi perhatian khusus.

Selain membahagikan persamaan rasional dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, ia juga dibahagikan kepada integer dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sepadan.

Definisi.

Persamaan rasional dipanggil keseluruhan, jika kedua-dua belah kiri dan kanannya ialah ungkapan rasional integer.

Definisi.

Jika sekurang-kurangnya satu daripada bahagian persamaan rasional ialah ungkapan pecahan, maka persamaan tersebut dipanggil rasional pecahan(atau rasional pecahan).

Adalah jelas bahawa keseluruhan persamaan tidak mengandungi pembahagian dengan pembolehubah sebaliknya, persamaan rasional pecahan semestinya mengandungi pembahagian dengan pembolehubah (atau pembolehubah dalam penyebut). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– ini adalah persamaan rasional keseluruhan, kedua-dua bahagiannya ialah ungkapan keseluruhan. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ialah contoh persamaan rasional pecahan.

Menyimpulkan perkara ini, marilah kita memberi perhatian kepada fakta bahawa persamaan linear dan persamaan kuadratik yang diketahui pada tahap ini adalah keseluruhan persamaan rasional.

Menyelesaikan persamaan keseluruhan

Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan ialah mengurangkannya kepada persamaan yang setara persamaan algebra. Ini sentiasa boleh dilakukan dengan melakukan transformasi setara berikut bagi persamaan:

pertama, ungkapan dari sebelah kanan persamaan integer asal dipindahkan ke sebelah kiri dengan tanda bertentangan untuk mendapatkan sifar di sebelah kanan;
selepas ini, di sebelah kiri persamaan bentuk piawai yang terhasil.

Hasilnya ialah persamaan algebra yang setara dengan persamaan integer asal. Oleh itu, dalam kes yang paling mudah, menyelesaikan keseluruhan persamaan dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan linear atau kuadratik, dan dalam kes umum, untuk menyelesaikan persamaan algebra darjah n. Untuk kejelasan, mari kita lihat penyelesaian kepada contoh.

Contoh.

Cari punca bagi keseluruhan persamaan 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Penyelesaian.

Mari kita kurangkan penyelesaian keseluruhan persamaan ini kepada penyelesaian persamaan algebra yang setara. Untuk melakukan ini, pertama sekali, kami memindahkan ungkapan dari sebelah kanan ke kiri, sebagai hasilnya kami tiba di persamaan 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Dan, kedua, kita mengubah ungkapan yang terbentuk di sebelah kiri menjadi polinomial bentuk standard dengan melengkapkan yang diperlukan: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Oleh itu, menyelesaikan persamaan integer asal dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan kuadratik x 2 −5·x−6=0.

Kami mengira diskriminasinya D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ia adalah positif, yang bermaksud persamaan mempunyai dua punca nyata, yang kita dapati menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:

Untuk memastikan sepenuhnya, mari lakukannya memeriksa punca persamaan yang ditemui. Mula-mula kita periksa punca 6, gantikan bukan pembolehubah x dalam persamaan integer asal: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, yang sama, 63=63. Ini adalah persamaan berangka yang sah, oleh itu x=6 sememangnya punca persamaan. Sekarang kita semak akar −1, kita ada 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, dari mana, 0=0 . Apabila x=−1, persamaan asal juga bertukar menjadi kesamaan berangka yang betul, oleh itu, x=−1 juga merupakan punca persamaan.

Jawapan:

6 , −1 .

Di sini juga harus diperhatikan bahawa istilah "darjah keseluruhan persamaan" dikaitkan dengan perwakilan keseluruhan persamaan dalam bentuk persamaan algebra. Mari kita berikan definisi yang sepadan:

Definisi.

Kuasa keseluruhan persamaan dipanggil darjah persamaan algebra yang setara.

Menurut definisi ini, keseluruhan persamaan dari contoh sebelumnya mempunyai darjah kedua.

Ini boleh menjadi penamat untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan rasional, jika bukan untuk satu perkara…. Seperti yang diketahui, menyelesaikan persamaan algebra darjah di atas kedua dikaitkan dengan kesukaran yang ketara, dan untuk persamaan darjah di atas keempat tidak ada formula punca am sama sekali. Oleh itu, untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan darjah ketiga, keempat dan lebih tinggi, selalunya perlu menggunakan kaedah penyelesaian lain.

Dalam kes sedemikian, pendekatan untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan rasional berdasarkan kaedah pemfaktoran. Dalam kes ini, algoritma berikut dipatuhi:

Pertama, mereka memastikan bahawa terdapat sifar di sebelah kanan persamaan, mereka memindahkan ungkapan dari sebelah kanan keseluruhan persamaan ke kiri;
maka, ungkapan yang terhasil di sebelah kiri dibentangkan sebagai hasil daripada beberapa faktor, yang membolehkan kita beralih kepada satu set beberapa persamaan yang lebih mudah.

Algoritma yang diberikan untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan melalui pemfaktoran memerlukan penjelasan terperinci menggunakan contoh.

Contoh.

Selesaikan keseluruhan persamaan (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Penyelesaian.

Pertama, seperti biasa, kami memindahkan ungkapan dari sebelah kanan ke sebelah kiri persamaan, tidak lupa untuk menukar tanda, kami mendapat (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Di sini agak jelas bahawa adalah tidak digalakkan untuk menukar sebelah kiri persamaan yang terhasil kepada polinomial bentuk piawai, kerana ini akan memberikan persamaan algebra bagi darjah keempat bentuk x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, penyelesaian yang sukar.

Sebaliknya, adalah jelas bahawa di sebelah kiri persamaan yang terhasil kita boleh x 2 −10 x+13 , dengan itu mengemukakannya sebagai hasil darab. Kami ada (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Persamaan yang terhasil adalah bersamaan dengan keseluruhan persamaan asal, dan ia, seterusnya, boleh digantikan dengan satu set dua persamaan kuadratik x 2 −10·x+13=0 dan x 2 −2·x−1=0. Mencari akar mereka menggunakan formula akar yang diketahui melalui diskriminasi tidak sukar; Mereka adalah punca yang dikehendaki bagi persamaan asal.

Jawapan:

Juga berguna untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan rasional kaedah untuk memperkenalkan pembolehubah baru. Dalam sesetengah kes, ia membolehkan anda beralih ke persamaan yang darjahnya lebih rendah daripada darjah keseluruhan persamaan asal.

Contoh.

Cari punca sebenar bagi persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Penyelesaian.

Mengurangkan keseluruhan persamaan rasional ini kepada persamaan algebra adalah, secara sederhana, bukanlah idea yang sangat baik, kerana dalam kes ini kita akan sampai kepada keperluan untuk menyelesaikan persamaan darjah empat yang tidak mempunyai punca rasional. Oleh itu, anda perlu mencari penyelesaian lain.

Di sini adalah mudah untuk melihat bahawa anda boleh memperkenalkan pembolehubah baharu y dan menggantikan ungkapan x 2 +3·x dengannya. Penggantian ini membawa kita kepada keseluruhan persamaan (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , yang, selepas mengalihkan ungkapan −2·(y−4) ke sebelah kiri dan penjelmaan seterusnya bagi ungkapan tersebut terbentuk di sana, dikurangkan kepada persamaan kuadratik y 2 +4·y+3=0. Punca-punca persamaan y=−1 dan y=−3 ini mudah dicari, contohnya, ia boleh dipilih berdasarkan songsang teorem kepada teorem Vieta.

Sekarang kita beralih ke bahagian kedua kaedah memperkenalkan pembolehubah baru, iaitu, untuk melakukan penggantian terbalik. Selepas melakukan penggantian songsang, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3, yang boleh ditulis semula sebagai x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, kita mencari punca-punca persamaan pertama. Dan persamaan kuadratik kedua tidak mempunyai punca sebenar, kerana diskriminasinya adalah negatif (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Jawapan:

Secara umum, apabila kita berurusan dengan keseluruhan persamaan darjah tinggi, kita mesti sentiasa bersedia untuk mencari kaedah bukan standard atau teknik buatan untuk menyelesaikannya.

Menyelesaikan persamaan rasional pecahan

Pertama, adalah berguna untuk memahami cara menyelesaikan persamaan rasional pecahan bagi bentuk , dengan p(x) dan q(x) ialah ungkapan rasional integer. Dan kemudian kami akan menunjukkan bagaimana untuk mengurangkan penyelesaian persamaan rasional pecahan lain kepada penyelesaian persamaan jenis yang ditunjukkan.

Satu pendekatan untuk menyelesaikan persamaan adalah berdasarkan pernyataan berikut: pecahan berangka u/v, di mana v ialah nombor bukan sifar (jika tidak, kita akan temui , yang tidak ditentukan), adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangkanya ialah sama dengan sifar, maka ialah, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, menyelesaikan persamaan dikurangkan kepada memenuhi dua syarat p(x)=0 dan q(x)≠0.

Kesimpulan ini sepadan dengan yang berikut algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan. Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan bagi bentuk , anda perlukan

selesaikan keseluruhan persamaan rasional p(x)=0 ;
dan semak sama ada keadaan q(x)≠0 dipenuhi bagi setiap punca yang ditemui, manakala

jika benar, maka punca ini ialah punca bagi persamaan asal;
jika ia tidak berpuas hati, maka punca ini adalah luar, iaitu, ia bukan punca persamaan asal.

Mari lihat contoh penggunaan algoritma yang diumumkan semasa menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Contoh.

Cari punca-punca persamaan.

Penyelesaian.

Ini ialah persamaan rasional pecahan, dan dalam bentuk , di mana p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Menurut algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan jenis ini, kita perlu terlebih dahulu menyelesaikan persamaan 3 x−2=0. Ini ialah persamaan linear yang puncanya ialah x=2/3.

Ia kekal untuk memeriksa punca ini, iaitu, semak sama ada ia memenuhi syarat 5 x 2 −2≠0. Kami menggantikan nombor 2/3 ke dalam ungkapan 5 x 2 −2 bukannya x, dan kami mendapat . Syarat dipenuhi, jadi x=2/3 ialah punca persamaan asal.

Jawapan:

2/3 .

Anda boleh mendekati penyelesaian persamaan rasional pecahan dari kedudukan yang sedikit berbeza. Persamaan ini bersamaan dengan persamaan integer p(x)=0 pada pembolehubah x persamaan asal. Iaitu, anda boleh berpegang pada ini algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan :

selesaikan persamaan p(x)=0 ;
cari ODZ bagi pembolehubah x;
mengambil akar kepunyaan wilayah nilai yang boleh diterima - ia adalah punca yang dikehendaki bagi persamaan rasional pecahan asal.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian.

Mula-mula, kita selesaikan persamaan kuadratik x 2 −2·x−11=0. Akarnya boleh dikira menggunakan formula akar untuk pekali kedua genap, yang kita ada D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Dan .

Kedua, kita dapati ODZ bagi pembolehubah x untuk persamaan asal. Ia terdiri daripada semua nombor yang mana x 2 +3·x≠0, yang sama dengan x·(x+3)≠0, dari mana x≠0, x≠−3.

Ia kekal untuk memeriksa sama ada akar yang terdapat dalam langkah pertama dimasukkan ke dalam ODZ. Jelas sekali ya. Oleh itu, persamaan rasional pecahan asal mempunyai dua punca.

Jawapan:

Ambil perhatian bahawa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada yang pertama jika ODZ mudah dicari, dan amat berfaedah jika punca-punca persamaan p(x) = 0 adalah tidak rasional, sebagai contoh, atau rasional, tetapi dengan pengangka yang agak besar dan /atau penyebut, sebagai contoh, 127/1101 dan −31/59. Ini disebabkan fakta bahawa dalam kes sedemikian, menyemak keadaan q(x)≠0 akan memerlukan usaha pengiraan yang ketara, dan lebih mudah untuk mengecualikan punca luar menggunakan ODZ.

Dalam kes lain, apabila menyelesaikan persamaan, terutamanya apabila punca-punca persamaan p(x) = 0 adalah integer, adalah lebih menguntungkan untuk menggunakan algoritma pertama yang diberikan. Iaitu, adalah dinasihatkan untuk segera mencari punca keseluruhan persamaan p(x)=0, dan kemudian semak sama ada keadaan q(x)≠0 berpuas hati untuknya, daripada mencari ODZ, dan kemudian menyelesaikan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini . Ini disebabkan oleh fakta bahawa dalam kes sedemikian biasanya lebih mudah untuk memeriksa daripada mencari DZ.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.

Contoh.

Cari punca-punca persamaan.

Penyelesaian.

Pertama, mari kita cari punca keseluruhan persamaan (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, digubah menggunakan pengangka pecahan. Bahagian kiri persamaan ini ialah hasil darab, dan bahagian kanan ialah sifar, oleh itu, mengikut kaedah penyelesaian persamaan melalui pemfaktoran, persamaan ini bersamaan dengan set empat persamaan 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tiga daripada persamaan ini adalah linear dan satu adalah kuadratik; Daripada persamaan pertama kita dapati x=1/2, daripada yang kedua - x=6, daripada yang ketiga - x=7, x=−2, daripada yang keempat - x=−1.

Dengan akar yang ditemui, agak mudah untuk memeriksa sama ada penyebut pecahan di sebelah kiri persamaan asal hilang, tetapi menentukan ODZ, sebaliknya, tidak begitu mudah, kerana untuk ini anda perlu menyelesaikan satu persamaan algebra darjah kelima. Oleh itu, kami akan meninggalkan mencari ODZ memihak kepada memeriksa akar. Untuk melakukan ini, kami menggantikannya satu demi satu dan bukannya pembolehubah x dalam ungkapan x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, diperoleh selepas penggantian, dan bandingkan dengan sifar: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Oleh itu, 1/2, 6 dan −2 ialah punca yang dikehendaki bagi persamaan rasional pecahan asal, dan 7 dan −1 ialah punca luar.

Jawapan:

1/2 , 6 , −2 .

Contoh.

Cari punca bagi persamaan rasional pecahan.

Penyelesaian.

Pertama, mari kita cari punca-punca persamaan (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Persamaan ini bersamaan dengan set dua persamaan: persegi 5·x 2 −7·x−1=0 dan linear x−2=0. Menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, kita dapati dua punca, dan daripada persamaan kedua kita mempunyai x=2.

Menyemak sama ada penyebut pergi ke sifar pada nilai x yang ditemui agak tidak menyenangkan. Dan menentukan julat nilai yang dibenarkan pembolehubah x dalam persamaan asal adalah agak mudah. Oleh itu, kami akan bertindak melalui ODZ.

Dalam kes kami, ODZ bagi pembolehubah x bagi persamaan rasional pecahan asal terdiri daripada semua nombor kecuali nombor yang syarat x 2 +5·x−14=0 dipenuhi. Punca-punca persamaan kuadratik ini ialah x=−7 dan x=2, dari mana kita membuat kesimpulan tentang ODZ: ia terdiri daripada semua x sehingga .

Ia kekal untuk menyemak sama ada punca yang ditemui dan x=2 tergolong dalam julat nilai yang boleh diterima. Akar-akar tergolong, oleh itu, ia adalah punca-punca persamaan asal, dan x=2 tidak tergolong, oleh itu, ia adalah punca luar.

Jawapan:

Ia juga berguna untuk membincangkan secara berasingan kes apabila dalam persamaan rasional pecahan dalam bentuk terdapat nombor dalam pengangka, iaitu, apabila p(x) diwakili oleh beberapa nombor. Pada masa yang sama

jika nombor ini bukan sifar, maka persamaan itu tidak mempunyai punca, kerana pecahan adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangkanya sama dengan sifar;
jika nombor ini sifar, maka punca persamaan ialah sebarang nombor daripada ODZ.

Contoh.

Penyelesaian.

Oleh kerana pengangka bagi pecahan di sebelah kiri persamaan mengandungi nombor bukan sifar, maka bagi mana-mana x nilai pecahan ini tidak boleh sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan ini tidak mempunyai punca.

Jawapan:

tiada akar.

Contoh.

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian.

Pengangka bagi pecahan di sebelah kiri persamaan rasional pecahan ini mengandungi sifar, jadi nilai pecahan ini adalah sifar untuk sebarang x yang mana ia masuk akal. Dalam erti kata lain, penyelesaian kepada persamaan ini ialah sebarang nilai x daripada ODZ pembolehubah ini.

Ia kekal untuk menentukan julat nilai yang boleh diterima ini. Ia termasuk semua nilai x yang mana x 4 +5 x 3 ≠0. Penyelesaian kepada persamaan x 4 +5 x 3 =0 ialah 0 dan −5, kerana persamaan ini bersamaan dengan persamaan x 3 (x+5)=0, dan ia pula bersamaan dengan gabungan dua persamaan x 3 =0 dan x +5=0, dari mana akar-akar ini kelihatan. Oleh itu, julat nilai yang boleh diterima yang dikehendaki ialah sebarang x kecuali x=0 dan x=−5.

Oleh itu, persamaan rasional pecahan mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, iaitu sebarang nombor kecuali sifar dan tolak lima.

Jawapan:

Akhir sekali, sudah tiba masanya untuk bercakap tentang menyelesaikan persamaan rasional pecahan bentuk arbitrari. Ia boleh ditulis sebagai r(x)=s(x), dengan r(x) dan s(x) ialah ungkapan rasional, dan sekurang-kurangnya satu daripadanya ialah pecahan. Memandang ke hadapan, katakan penyelesaian mereka datang kepada menyelesaikan persamaan bentuk yang sudah biasa kepada kita.

Adalah diketahui bahawa memindahkan sebutan dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain dengan tanda bertentangan membawa kepada persamaan yang setara, oleh itu persamaan r(x)=s(x) adalah bersamaan dengan persamaan r(x)−s(x) )=0.

Kami juga tahu bahawa mana-mana , yang sama dengan ungkapan ini, adalah mungkin. Oleh itu, kita sentiasa boleh mengubah ungkapan rasional di sebelah kiri persamaan r(x)−s(x)=0 menjadi pecahan rasional yang sama dengan bentuk .

Jadi kita beralih daripada persamaan rasional pecahan asal r(x)=s(x) kepada persamaan, dan penyelesaiannya, seperti yang kita dapati di atas, dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan p(x)=0.

Tetapi di sini adalah perlu untuk mengambil kira fakta bahawa apabila menggantikan r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0, julat nilai yang dibenarkan pembolehubah x boleh berkembang .

Akibatnya, persamaan asal r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 yang kita perolehi mungkin berubah menjadi tidak sama, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0, kita boleh mendapatkan punca. itu akan menjadi punca luar bagi persamaan asal r(x)=s(x) . Anda boleh mengenal pasti dan tidak memasukkan punca luar dalam jawapan sama ada dengan melakukan semakan atau dengan menyemak bahawa ia tergolong dalam ODZ persamaan asal.

Mari kita ringkaskan maklumat ini dalam algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , anda perlukan

Dapatkan sifar di sebelah kanan dengan menggerakkan ungkapan dari sebelah kanan dengan tanda yang bertentangan.
Lakukan operasi dengan pecahan dan polinomial di sebelah kiri persamaan, dengan itu mengubahnya menjadi pecahan rasional bagi bentuk.
Selesaikan persamaan p(x)=0.
Kenal pasti dan hapuskan punca luar, yang dilakukan dengan menggantikannya ke dalam persamaan asal atau dengan memeriksa kepunyaannya dalam ODZ persamaan asal.

Untuk lebih jelas, kami akan menunjukkan keseluruhan rantaian menyelesaikan persamaan rasional pecahan:
.

Mari kita lihat penyelesaian beberapa contoh dengan penjelasan terperinci tentang proses penyelesaian untuk menjelaskan blok maklumat yang diberikan.

Contoh.

Menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Penyelesaian.

Kami akan bertindak mengikut algoritma penyelesaian yang baru diperolehi. Dan mula-mula kita memindahkan istilah dari sebelah kanan persamaan ke kiri, sebagai hasilnya kita beralih ke persamaan.

Dalam langkah kedua, kita perlu menukar ungkapan rasional pecahan di sebelah kiri persamaan yang terhasil kepada bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kami mengurangkan pecahan rasional kepada penyebut biasa dan memudahkan ungkapan yang terhasil: . Jadi kita datang ke persamaan.

Dalam langkah seterusnya, kita perlu menyelesaikan persamaan −2·x−1=0. Kami dapati x=−1/2.

Ia kekal untuk menyemak sama ada nombor yang ditemui −1/2 bukan punca luar bagi persamaan asal. Untuk melakukan ini, anda boleh menyemak atau mencari VA pembolehubah x persamaan asal. Mari kita tunjukkan kedua-dua pendekatan.

Mari kita mulakan dengan menyemak. Kami menggantikan nombor −1/2 ke dalam persamaan asal dan bukannya pembolehubah x, dan kami mendapat perkara yang sama, −1=−1. Penggantian memberikan kesamaan berangka yang betul, jadi x=−1/2 ialah punca bagi persamaan asal.

Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana titik terakhir algoritma dilakukan melalui ODZ. Julat nilai yang boleh diterima bagi persamaan asal ialah set semua nombor kecuali −1 dan 0 (pada x=−1 dan x=0 penyebut pecahan lenyap). Punca x=−1/2 yang terdapat pada langkah sebelumnya tergolong dalam ODZ, oleh itu, x=−1/2 ialah punca bagi persamaan asal.

Jawapan:

−1/2 .

Mari kita lihat contoh lain.

Contoh.

Cari punca-punca persamaan.

Penyelesaian.

Kita perlu menyelesaikan persamaan rasional pecahan, mari kita melalui semua langkah algoritma.

Mula-mula, kita alihkan istilah dari sebelah kanan ke kiri, kita dapat .

Kedua, kami mengubah ungkapan yang terbentuk di sebelah kiri: . Akibatnya, kita sampai pada persamaan x=0.

Akarnya jelas - ia adalah sifar.

Pada langkah keempat, ia kekal untuk mengetahui sama ada punca yang ditemui adalah luar daripada persamaan rasional pecahan asal. Apabila ia digantikan ke dalam persamaan asal, ungkapan itu diperolehi. Jelas sekali, ia tidak masuk akal kerana ia mengandungi pembahagian dengan sifar. Dari mana kita membuat kesimpulan bahawa 0 ialah punca luar. Oleh itu, persamaan asal tidak mempunyai punca.

7, yang membawa kepada Persamaan. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa ungkapan dalam penyebut bahagian kiri mestilah sama dengan bahagian kanan, iaitu,. Sekarang kita tolak daripada kedua-dua belah tiga: . Dengan analogi, dari mana, dan seterusnya.

Semakan menunjukkan bahawa kedua-dua punca yang ditemui adalah punca bagi persamaan rasional pecahan asal.

Jawapan:

Rujukan.

Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. darjah 8. Dalam 2 jam Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.