LDE bagi urutan ke-n - ur-e, linear berkenaan dengan fungsi yang tidak diketahui dan terbitannya dan mempunyai bentuk
a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x )
φ(x)≠0- LNOU
y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) ur-e dalam borang yang diberikan
*jika y 1 ialah penyelesaian kepada LOU, maka C y 1, dengan C ialah pemalar arbitrari juga merupakan penyelesaian kepada persamaan ini.
*Jumlah y 1 + y 2 penyelesaian LOE ialah penyelesaian yang sama aras.
1 0 Kombinasi linear dengan pemalar penyelesaian arbitrari y 1 , y 2 ,…, y m LOU ialah penyelesaian persamaan yang sama.
*jika LOU (1) dengan pekali nyata p i (x)∈R mempunyai penyelesaian kompleks y(x)=u(x)+iv(x), maka bahagian sebenar penyelesaian ini Rey=u(x) dan khayalannya bahagian Imy= v(x) secara berasingan ialah penyelesaian persamaan yang sama.
Fungsi y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) dipanggil bergantung secara linear pada beberapa selang (a,b), jika terdapat nilai malar a1,a2,…,an≠0 supaya bagi semua x selang (a,b) identiti a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x )+…+a n -1 (x)y'+a n y n (x)=0. Jika fungsi bergantung secara linear, maka sekurang-kurangnya satu daripadanya adalah gabungan linear dari yang lain.
Jika identiti sah hanya untuk a1=a2=…=an=0, maka fungsi y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) dipanggil bebas linear pada selang (a,b).
*jika fungsi y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) bergantung secara linear pada selang (a, b), kemudian penentu (Pulau Vronsky)
W(x)=W= 
=0 pada selang waktu ini.
Syarat untuk kebebasan linear bagi penyelesaian separa:
* jika fungsi bebas linear y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) ialah penyelesaian LOE (1) dengan pekali p i (x) berterusan pada selang (a,b), kemudian disusun untuknya penentu Wronski tidak = 0 pada sebarang titik dalam selang (a,b).
Penyelesaian am LOU (1) dengan pekali selanjar p i (x) pada (a,b) (i=1,2,...,n) ialah gabungan linear y oo = n penyelesaian separa bebas linear y i pada yang sama selang dengan pekali malar arbitrari .
1 0 bilangan maksimum penyelesaian bebas linear LOU adalah sama dengan tertibnya.
FSR- sebarang n LOU penyelesaian separa bebas bagi susunan ke-n.
*y pada =y oo +y chn
Struktur penyelesaian am bagi persamaan pembezaan tak homogen linear. Kaedah variasi pemalar arbitrari untuk mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan tak homogen linear bagi susunan ke-n.
LPDE diselesaikan dengan kaedah mempelbagaikan pemalar arbitrari. Mula-mula penyelesaian umum ditemui 
persamaan homogen 
, yang mempunyai bahagian kiri yang sama dengan persamaan tak homogen asal. Kemudian penyelesaian kepada persamaan itu didapati dalam bentuk, i.e. Diandaikan bahawa pemalar C ialah f-mi bagi pembolehubah tidak bersandar x. Dalam kes ini, fungsi C 1 (x) dan C 2 (x) boleh didapati sebagai penyelesaian kepada sistem
U dia = u oo + u chn
bilangan maksimum penyelesaian kepada persamaan adalah sama dengan tertibnya.
penyelesaian umum
44*. Persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar. Persamaan polinomial dan ciri ciri. Pembinaan sistem asas penyelesaian dalam kes akar mudah polinomial ciri (nyata dan kompleks).
Persamaan bentuk y"+p(x)y=f(x), dengan p(x), f(x) ialah fungsi selanjar pada selang a Jika f(x)= 0, maka persamaan itu dipanggil homogen. Jika dalam LO ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0 Semua pekali pi adalah malar, maka penyelesaian separanya boleh didapati dalam bentuk y=e kx, di mana k ialah pemalar. Menggantikan dalam ur (k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0 Mengurangkan dengan e kx kita mendapat apa yang dipanggil Tahap ciri k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0 Persamaan darjah ke-n ini menentukan nilai-nilai k di mana y= e kx ialah penyelesaian kepada persamaan pembezaan asal dengan pekali malar. 1.k 1 , k 2 ,…,k n – nyata dan berbeza FSR: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx 2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ , k ~ - m - punca berbilang ur-i, dan semua punca n- m lain adalah berbeza FSR: e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x Persamaan pembezaan linear tertib kedua Persamaan pembezaan tertib kedua mempunyai bentuk . Definisi. Penyelesaian umum kepada persamaan tertib kedua ialah fungsi yang, untuk sebarang nilai, adalah penyelesaian kepada persamaan ini. Definisi. Persamaan homogen linear tertib kedua dipanggil persamaan. Jika pekali adalah malar, i.e. tidak bergantung kepada , maka persamaan ini dipanggil persamaan dengan pekali malar dan ditulis seperti berikut: . Persamaan Definisi. Persamaan yang diperoleh daripada persamaan homogen linear dengan menggantikan fungsi dengan satu, dan dan dengan kuasa yang sepadan, dipanggil persamaan ciri. Telah diketahui bahawa persamaan kuadratik mempunyai penyelesaian bergantung pada diskriminasi: Contoh 4. Selesaikan persamaan. Penyelesaian. Oleh itu, diskriminasi bagi persamaan kuadratik ini ialah . Kami akan menunjukkan bagaimana untuk mencari penyelesaian umum persamaan linear tertib kedua homogen menggunakan bentuk punca persamaan ciri. Jika ialah punca sebenar persamaan ciri, maka Jika punca-punca persamaan ciri adalah sama, i.e. , maka penyelesaian umum persamaan pembezaan dicari menggunakan formula Jika persamaan ciri mempunyai punca kompleks, maka. Contoh 5. Cari penyelesaian umum persamaan itu. Penyelesaian. Mari kita cipta persamaan ciri untuk persamaan pembezaan ini: . Akarnya adalah sah dan berbeza. Oleh itu penyelesaian umum Sistem asas penyelesaian kepada persamaan pembezaan homogen linear. Teorem tentang struktur penyelesaian am bagi penyelesaian kepada persamaan pembezaan homogen linear. Dalam bahagian ini kita akan membuktikan bahawa asas ruang linear penyelesaian separa persamaan homogen boleh menjadi sebarang set n
penyelesaian bebas linearnya. Kami akan terus menggilap teknologi kami transformasi asas pada sistem persamaan linear homogen. Jawapannya mencadangkan dirinya sendiri. Sistem persamaan linear adalah homogen jika sebutan bebasnya semua orang persamaan sistem ialah sifar. Contohnya: Ia benar-benar jelas bahawa sistem homogen sentiasa konsisten, iaitu, ia sentiasa mempunyai penyelesaian. Dan, pertama sekali, apa yang menarik perhatian anda ialah apa yang dipanggil remeh temeh penyelesaian Contoh 1 Penyelesaian: untuk menyelesaikan sistem homogen adalah perlu untuk menulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi asas membawanya ke bentuk berperingkat. Sila ambil perhatian bahawa di sini tidak perlu menulis bar menegak dan lajur sifar istilah percuma - selepas semua, tidak kira apa yang anda lakukan dengan sifar, ia akan kekal sifar: (1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –3. (2) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –1. Membahagikan baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal. Hasil daripada transformasi asas, sistem homogen yang setara diperolehi Jawab: Mari kita rumuskan kriteria yang jelas: sistem persamaan linear homogen mempunyai hanya penyelesaian yang remeh, Jika kedudukan matriks sistem(dalam kes ini 3) adalah sama dengan bilangan pembolehubah (dalam kes ini – 3 keping). Mari memanaskan badan dan menyesuaikan radio kita dengan gelombang transformasi asas: Contoh 2 Menyelesaikan sistem persamaan linear homogen Untuk akhirnya menyatukan algoritma, mari analisa tugas akhir: Contoh 7 Selesaikan sistem homogen, tulis jawapan dalam bentuk vektor. Penyelesaian: mari tuliskan matriks sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat: (1) Tanda baris pertama telah ditukar. Sekali lagi, saya menarik perhatian kepada teknik yang telah ditemui berkali-kali, yang membolehkan anda memudahkan tindakan seterusnya dengan ketara. (1) Baris pertama ditambah pada baris ke-2 dan ke-3. Baris pertama, didarab dengan 2, telah ditambahkan pada baris ke-4. (3) Tiga baris terakhir adalah berkadar, dua daripadanya telah dikeluarkan. Akibatnya, matriks langkah standard diperolehi, dan penyelesaiannya diteruskan di sepanjang trek yang dikurung: – pembolehubah asas; Mari kita nyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah bebas. Daripada persamaan ke-2: – gantikan ke dalam persamaan 1: Jadi penyelesaian umum ialah: Oleh kerana dalam contoh yang dipertimbangkan terdapat tiga pembolehubah bebas, sistem asas mengandungi tiga vektor. Mari kita gantikan tiga kali ganda nilai Untuk tiga nilai Dan akhirnya untuk mereka bertiga Jawab: , Di mana Mereka yang ingin mengelakkan nilai pecahan boleh mempertimbangkan kembar tiga Bercakap tentang pecahan. Mari kita lihat matriks yang diperoleh dalam masalah Penyelesaian kedua: Ideanya adalah untuk mencuba pilih pembolehubah asas yang lain. Mari kita lihat matriks dan perhatikan dua matriks di lajur ketiga. Jadi mengapa tidak mempunyai sifar di bahagian atas? Mari kita jalankan satu lagi transformasi asas: lihat juga Menyelesaikan persamaan pembezaan linear dalam talian Mari kita panggil persamaan pembezaan linear (*) sebagai persamaan dengan pekali malar jika pekali dalam persamaan ini adalah malar, iaitu a i (x)=const. Kemudian persamaan homogen yang sepadan L(y)=0 akan mempunyai bentuk Contoh. Untuk persamaan y""-3y" + 2y=0, punca-punca persamaan ciri r 2 - 3r + 2 = 0 adalah sama dengan r 1 = 1, r 2 = 2 (akar-akar ditemui melalui perkhidmatan untuk mencari diskriminasi). Oleh itu, sistem asas penyelesaian terdiri daripada fungsi y 1 = e x, y 2 = e 2 x, dan penyelesaian umum ditulis sebagai y = C 1 e x + C 2 e 2 x. Untuk memahami apa itu sistem keputusan asas anda boleh menonton tutorial video untuk contoh yang sama dengan mengklik. Sekarang mari kita beralih kepada penerangan sebenar semua kerja yang diperlukan. Ini akan membantu anda memahami intipati isu ini dengan lebih terperinci. Mari kita ambil contoh sistem persamaan linear berikut: Mari kita cari penyelesaian kepada sistem persamaan linear ini. Sebagai permulaan, kita anda perlu menuliskan matriks pekali sistem.
kita akan memanggilnya persamaan tak homogen linear.
, iaitu jika , maka punca dan ialah nombor nyata berbeza. Jika, maka. Jika, i.e. , maka akan menjadi nombor khayalan, dan punca dan akan menjadi nombor kompleks. Dalam kes ini, kami bersetuju untuk menandakan .
.
atau .
.
Def. 14.5.5.1. sistem asas penyelesaian. Sistem penyelesaian asas persamaan pembezaan homogen linear n
-tertib ke- ialah mana-mana sistem bebas linear y
1 (x
), y
2 (x
), …, y n
(x
) miliknya n
penyelesaian peribadi.
Teorem 14.5.5.1.1 mengenai struktur penyelesaian am persamaan pembezaan homogen linear. Penyelesaian umum y
(x
) daripada persamaan pembezaan homogen linear ialah gabungan linear fungsi daripada sistem asas penyelesaian kepada persamaan ini:
y
(x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + …+ C n y n
(x
).
Dokumen. biarlah y
1 (x
), y
2 (x
), …, y n
(x
) ialah sistem asas penyelesaian kepada persamaan pembezaan homogen linear. Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa mana-mana penyelesaian tertentu y
apa ( x
) persamaan ini terkandung dalam formula y
(x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + …+ C n y n
(x
) untuk set pemalar tertentu C
1 , C
2 , …, Cn
. Mari kita ambil sebarang titik, hitung nombor pada titik ini dan cari pemalar C
1 , C
2 , …, Cn
sebagai penyelesaian kepada sistem tak homogen linear bagi persamaan algebra 
Penyelesaian sedemikian wujud dan unik, kerana penentu sistem ini adalah sama dengan . Pertimbangkan gabungan linear y
(x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + …+ C n y n
(x
) berfungsi daripada sistem asas penyelesaian dengan nilai pemalar ini C
1 , C
2 , …, Cn
dan bandingkan dengan fungsinya y
apa ( x
). Fungsi y
(x
) Dan y
apa ( x
) memenuhi persamaan yang sama dan keadaan awal yang sama pada titik itu x
0, oleh itu, disebabkan oleh keunikan penyelesaian kepada masalah Cauchy, mereka bertepatan: y
apa ( x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + … + C n y n
(x
). Teorem terbukti.
Daripada teorem ini, maka dimensi ruang linear penyelesaian separa persamaan homogen dengan pekali selanjar tidak melebihi n
. Ia kekal untuk membuktikan bahawa dimensi ini tidak kurang daripada n
.
Teorem 14.5.5.1.2 tentang kewujudan sistem asas penyelesaian kepada persamaan pembezaan homogen linear. Mana-mana persamaan pembezaan homogen linear n
tertib ke dengan pekali berterusan mempunyai sistem penyelesaian asas, i.e. sistem daripada n
penyelesaian bebas linear.
Dokumen. Mari kita ambil sebarang penentu berangka n
-perintah ke-, tidak sama dengan sifar
Berdasarkan perenggan pertama, bahan itu mungkin kelihatan membosankan dan biasa-biasa saja, tetapi tanggapan ini mengelirukan. Sebagai tambahan kepada perkembangan lanjut teknik, akan terdapat banyak maklumat baharu, jadi sila cuba untuk tidak mengabaikan contoh dalam artikel ini.Apakah sistem persamaan linear homogen?
. Remeh, bagi mereka yang langsung tidak faham maksud kata adjektif, bermakna tanpa menunjuk-nunjuk. Tidak dari segi akademik, sudah tentu, tetapi dengan mudah difahami =) ...Mengapa perlu berpusu-pusu, mari ketahui sama ada sistem ini mempunyai penyelesaian lain:
, dan, menggunakan songsangan kaedah Gaussian, adalah mudah untuk mengesahkan bahawa penyelesaian itu unik.
– pembolehubah bebas.
ke dalam penyelesaian am dan dapatkan vektor yang koordinatnya memenuhi setiap persamaan sistem homogen. Dan sekali lagi, saya ulangi bahawa adalah sangat dinasihatkan untuk memeriksa setiap vektor yang diterima - ia tidak akan mengambil banyak masa, tetapi ia akan melindungi anda sepenuhnya daripada kesilapan.
cari vektor 
kita mendapat vektor ketiga: 
dan dapatkan jawapan dalam bentuk yang setara:
dan marilah kita bertanya kepada diri sendiri: adakah mungkin untuk memudahkan penyelesaian selanjutnya? Lagipun, di sini kita mula-mula menyatakan pembolehubah asas melalui pecahan, kemudian melalui pecahan pembolehubah asas, dan, saya mesti katakan, proses ini bukanlah yang paling mudah dan bukan yang paling menyenangkan.
Mencari sistem asas penyelesaian dalam kes umum adalah tugas yang agak sukar. Walau bagaimanapun, terdapat kelas persamaan yang mana masalah ini boleh diselesaikan dengan agak mudah. Kami kini mula mempelajari kelas ini.
(*)
. (6)
Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan (6) dalam bentuk y = e rx . Kemudian y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx . Menggantikan kepada (6), kita dapat
Oleh kerana e rx tidak hilang di mana-mana, maka 
. (7)
Persamaan (7) dipanggil persamaan ciri bagi persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar.
Oleh itu, kami telah membuktikan teorem berikut. Teorem. Fungsi y = e rx ialah penyelesaian kepada persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar (6) jika dan hanya jika r ialah punca persamaan ciri (7).
Kes berikut adalah mungkin.
1. Semua punca polinomial ciri adalah nyata dan berbeza. Mari kita nyatakan mereka r 1 ,r 2 ,…,r n . Kemudian kita mendapat n penyelesaian yang berbeza
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,…, y n = e rnx (8)
persamaan (6). Mari kita buktikan bahawa sistem penyelesaian yang terhasil adalah bebas linear. Mari kita pertimbangkan penentu Wronskynya 
.
Faktor e (r 1+ r 2+..+ rn) x di sebelah kanan W(e r 1 x, e r 2 x,…, e rnx) tidak hilang di mana-mana. Oleh itu, ia tetap menunjukkan bahawa faktor kedua (penentu) tidak sama dengan sifar. Mari kita anggap itu 
Kemudian baris penentu ini adalah bersandar secara linear, iaitu terdapat nombor α 1, α 2, ..., α n sehingga
Oleh itu, kami mendapati bahawa r i , i = 1,2,..,n ialah n punca yang berbeza bagi polinomial (n-1) darjah, yang mustahil. Akibatnya, penentu di sebelah kanan W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) tidak sama dengan sifar dan sistem fungsi (8) membentuk sistem asas penyelesaian kepada persamaan (6) dalam kes apabila punca-punca persamaan ciri adalah berbeza.
2. Antara punca persamaan ciri terdapat gandaan. Katakan bahawa r 1 mempunyai multiplicity α, dan semua yang lain adalah berbeza. Mari kita pertimbangkan dahulu kes r 1 = 0. Kemudian persamaan ciri mempunyai bentuk
kerana jika tidak, ia tidak akan menjadi punca kepada kepelbagaian α. Oleh itu, persamaan pembezaan mempunyai bentuk
iaitu, ia tidak mengandungi terbitan tertib di bawah α. Persamaan ini dipenuhi oleh semua fungsi yang terbitan tertib α dan lebih tinggi adalah sama dengan sifar. Khususnya, ini semua polinomial darjah tidak lebih tinggi daripada α-1, sebagai contoh,
1, x, x 2, …, x α-1. (9)
Mari kita tunjukkan bahawa sistem ini bebas secara linear. Setelah menyusun penentu Wronski sistem fungsi ini, kami memperoleh 
.
Ini ialah penentu segi tiga dengan unsur bukan sifar pada pepenjuru utama. Oleh itu, ia berbeza daripada sifar, yang membuktikan kebebasan linear sistem fungsi (9). Perhatikan bahawa dalam salah satu contoh dalam perenggan sebelumnya kami membuktikan kebebasan linear sistem fungsi (9) dengan cara yang berbeza. Biarkan sekarang punca persamaan ciri bagi kedaraban α ialah nombor r 1 ≠0. Mari kita buat penggantian y = z r 1 x = z exp(r 1 x) dalam persamaan (6) L(y) = 0. Kemudian 
dan seterusnya. Menggantikan nilai derivatif yang diperoleh ke dalam persamaan asal, kita sekali lagi memperoleh persamaan homogen linear dengan pekali malar
(0)
dengan persamaan ciri 
. (1)
Perhatikan bahawa jika k ialah punca persamaan ciri (1), maka z = e kx ialah penyelesaian kepada persamaan (0), dan y = y r 1 x = e (k + r 1) x ialah penyelesaian kepada persamaan ( 6). Maka r=k+r 1 ialah punca bagi persamaan ciri (7). Sebaliknya, persamaan (6) boleh diperolehi daripada persamaan (0) dengan penggantian songsang z = ye - r 1 x dan oleh itu setiap punca persamaan ciri (7) sepadan dengan punca k = r - r 1 daripada persamaan ciri (1). Oleh itu, korespondensi satu-dengan-satu telah diwujudkan di antara punca-punca persamaan ciri (7) dan (1), dan punca-punca yang berbeza bagi satu persamaan sepadan dengan punca-punca yang berbeza bagi persamaan yang lain. Memandangkan r = r 1 ialah punca kepelbagaian α bagi persamaan (7), maka persamaan (1) mempunyai k=0 sebagai punca kepelbagaian α. Menurut apa yang telah dibuktikan sebelum ini, persamaan (0) mempunyai penyelesaian bebas linear α
yang sepadan dengan penyelesaian bebas linear α
(2)
persamaan (7). Dengan menambahkan sistem penyelesaian (2) yang terhasil kepada penyelesaian n-α yang sepadan dengan baki punca persamaan ciri, kita memperoleh sistem asas penyelesaian untuk persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar dalam kes berbilang punca.
Contoh.
Untuk persamaan y"""-4y""+4y" = 0, persamaan ciri r 3 -4r 2 + 4r = 0 mempunyai punca r=0 bagi gandaan 1 dan r=2 bagi gandaan 2, kerana r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2, oleh itu sistem asas penyelesaian kepada persamaan asal ialah sistem fungsi y 1 = 1, y 2 = e 2 x, y 3 = xe 2 x, dan penyelesaian umum mempunyai bentuk y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x .
3. Antara punca persamaan ciri terdapat punca kompleks. Anda boleh mempertimbangkan penyelesaian yang kompleks, tetapi untuk persamaan dengan pekali sebenar ini tidak begitu mudah. Marilah kita mencari penyelesaian sebenar yang sepadan dengan akar kompleks. Oleh kerana kita sedang mempertimbangkan persamaan dengan pekali nyata, maka bagi setiap punca kompleks r j = a+bi kedaraban α persamaan ciri, nombor konjugat kompleksnya r k = a-bi juga merupakan punca kedaraban α persamaan ini. Pasangan penyelesaian yang sepadan dengan akar-akar ini ialah fungsi dan , l=0,1,.., α-1. Daripada penyelesaian ini, pertimbangkan gabungan linearnya 3. Untuk persamaan y (4) + 8y"" + 16y =0, persamaan ciri r 4 +8r 2 +16=0 mempunyai r 1 = 2i, r 2 = -2i daripada kepelbagaian 2, kerana r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2, oleh itu sistem asas penyelesaian kepada persamaan asal ialah sistem fungsi y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x , y 4 = xsin2x, dan penyelesaian am mempunyai bentuk y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x. Anda boleh memesan penyelesaian terperinci untuk masalah anda!!! Bagaimana untuk mencari sistem asas penyelesaian kepada persamaan linear?
Mari kita ubah matriks ini kepada segi tiga. Kami menulis semula baris pertama tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(11)$ mesti dijadikan sifar. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(21)$, anda perlu menolak yang pertama daripada baris kedua, dan menulis perbezaan pada baris kedua. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(31)$, anda perlu menolak yang pertama daripada baris ketiga dan menulis perbezaan dalam baris ketiga. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(41)$, anda perlu menolak yang pertama didarab dengan 2 daripada baris keempat dan menulis perbezaan pada baris keempat. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(31)$, anda perlu menolak yang pertama didarab dengan 2 daripada baris kelima dan menulis perbezaan pada baris kelima. 
Kami menulis semula baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(22)$ mesti dijadikan sifar. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(32)$, anda perlu menolak yang kedua didarab dengan 2 daripada baris ketiga dan menulis perbezaan dalam baris ketiga. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(42)$, anda perlu menolak yang kedua didarab dengan 2 daripada baris keempat dan menulis perbezaan pada baris keempat. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(52)$, anda perlu menolak kedua didarab dengan 3 daripada baris kelima dan menulis perbezaan pada baris kelima. 
Kita nampak itu tiga baris terakhir adalah sama, jadi jika anda menolak yang ketiga daripada yang keempat dan kelima, ia akan menjadi sifar. 
Mengikut matriks ini tulis sistem persamaan baharu.
Kita melihat bahawa kita hanya mempunyai tiga persamaan bebas linear, dan lima tidak diketahui, jadi sistem asas penyelesaian akan terdiri daripada dua vektor. Jadi kita kita perlu mengalihkan dua yang tidak diketahui terakhir ke kanan.
Sekarang, kita mula menyatakan perkara yang tidak diketahui yang berada di sebelah kiri melalui yang berada di sebelah kanan. Kita mulakan dengan persamaan terakhir, mula-mula kita nyatakan $x_3$, kemudian kita gantikan hasil yang terhasil ke dalam persamaan kedua dan nyatakan $x_2$, dan kemudian ke dalam persamaan pertama dan di sini kita nyatakan $x_1$. Oleh itu, kami menyatakan semua yang tidak diketahui yang berada di sebelah kiri melalui yang tidak diketahui yang berada di sebelah kanan. 
Kemudian, bukannya $x_4$ dan $x_5$, kita boleh menggantikan sebarang nombor dan mencari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$. Setiap lima nombor ini akan menjadi punca sistem persamaan asal kita. Untuk mencari vektor yang disertakan dalam FSR kita perlu menggantikan 1 bukannya $x_4$, dan menggantikan 0 bukannya $x_5$, cari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, dan kemudian sebaliknya $x_4=0$ dan $x_5=1$.