Definicja. Krawędź boczna- jest to trójkąt, w którym jeden kąt leży na szczycie piramidy, a przeciwny bok pokrywa się z bokiem podstawy (wielokąt).
Definicja. Boczne żebra- są to wspólne strony ścian bocznych. Piramida ma tyle krawędzi, ile kątów wielokąta.
Definicja. Wysokość piramidy- jest to prostopadłość obniżona od góry do podstawy piramidy.
Definicja. Apotem- jest to prostopadłość do bocznej ściany piramidy, obniżona od szczytu piramidy do boku podstawy.
Definicja. Przekrój ukośny- jest to przekrój piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez wierzchołek piramidy i przekątną podstawy.
Definicja. Poprawna piramida to piramida, której podstawą jest wielokąt foremny, a wysokość schodzi do środka podstawy.
Objętość i powierzchnia piramidy
Formuła. Objętość piramidy przez powierzchnię podstawy i wysokość:
Właściwości piramidy
Jeśli wszystkie krawędzie boczne są równe, można narysować okrąg wokół podstawy piramidy, a środek podstawy pokrywa się ze środkiem okręgu. Również prostopadła opuszczona z góry przechodzi przez środek podstawy (okrąg).
Jeżeli wszystkie krawędzie boczne są równe, to są one nachylone do płaszczyzny podstawy pod tymi samymi kątami.
Krawędzie boczne są równe, gdy tworzą kąty równe z płaszczyzną podstawy lub jeśli wokół podstawy piramidy można opisać okrąg.
Jeśli ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, wówczas w podstawę piramidy można wpisać okrąg, a wierzchołek piramidy rzutuje się na jej środek.
Jeżeli ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to apotemy ścian bocznych są równe.
Właściwości regularnej piramidy
1. Szczyt piramidy jest w równej odległości od wszystkich rogów podstawy.
2. Wszystkie krawędzie boczne są równe.
3. Wszystkie żebra boczne są nachylone pod równym kątem do podstawy.
4. Apotemy wszystkich ścian bocznych są równe.
5. Pola wszystkich ścian bocznych są równe.
6. Wszystkie ściany mają te same kąty dwuścienne (płaskie).
7. Wokół piramidy można opisać kulę. Środek opisanej kuli będzie punktem przecięcia prostopadłych przechodzących przez środki krawędzi.
8. Można zmieścić kulę w piramidzie. Środek wpisanej kuli będzie punktem przecięcia dwusiecznych wychodzących z kąta między krawędzią a podstawą.
9. Jeżeli środek kuli wpisanej pokrywa się ze środkiem sfery opisanej, to suma kątów płaskich w wierzchołku jest równa π lub odwrotnie, jeden kąt jest równy π/n, gdzie n jest liczbą kątów u podstawy piramidy.
Połączenie piramidy i kuli
Kulę można opisać wokół piramidy, gdy u podstawy piramidy znajduje się wielościan, wokół którego można opisać okrąg (warunek konieczny i wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących prostopadle przez środki bocznych krawędzi piramidy.
Zawsze można opisać kulę wokół dowolnej trójkątnej lub regularnej piramidy.
W ostrosłup można wpisać kulę, jeżeli dwusieczne kąty wewnętrzne piramidy przecinają się w jednym punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt będzie środkiem kuli.
Połączenie piramidy ze stożkiem
Stożek nazywa się wpisanym w piramidę, jeśli ich wierzchołki pokrywają się, a podstawa stożka jest wpisana w podstawę piramidy.
W piramidę można wpisać stożek, jeśli apotemy piramidy są sobie równe.
Mówi się, że stożek jest opisany na piramidzie, jeśli ich wierzchołki pokrywają się, a podstawa stożka jest opisana na podstawie piramidy.
Stożek można opisać wokół piramidy, jeśli wszystkie boczne krawędzie piramidy są sobie równe.
Związek piramidy z cylindrem
Piramidę nazywamy wpisaną w cylinder, jeżeli wierzchołek piramidy leży na jednej podstawie walca, a podstawa piramidy jest wpisana w inną podstawę walca.
Walec można opisać wokół piramidy, jeśli można opisać okrąg wokół podstawy piramidy.
Czworościan ma cztery ściany, cztery wierzchołki i sześć krawędzi, przy czym dowolne dwie krawędzie nie mają wspólnych wierzchołków, ale się nie stykają.
Każdy wierzchołek składa się z trzech ścian i krawędzi, które się tworzą kąt trójkątny.
Nazywa się odcinek łączący wierzchołek czworościanu ze środkiem przeciwległej ściany środkowa czworościanu(GM).
Bimedian nazywany odcinkiem łączącym środki przeciwległych krawędzi, które się nie stykają (KL).
Wszystkie bimediany i środkowe czworościanu przecinają się w jednym punkcie (S). W tym przypadku bimediany dzieli się na pół, a środkowe dzieli się w stosunku 3:1, zaczynając od góry.
Definicja. Ostra piramida kątowa- piramida, w której apotem jest dłuższy niż połowa długości boku podstawy.
Definicja. Tępa piramida- piramida, w której apotem jest mniejszy niż połowa długości boku podstawy.
Definicja. Regularny czworościan- czworościan, w którym wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi. Jest to jeden z pięciu wielokątów foremnych. W czworościanie foremnym wszystkie kąty dwuścienne (między ścianami) i kąty trójścienne (w wierzchołku) są równe.
Definicja. Prostokątny czworościan nazywa się czworościanem, w którym pomiędzy trzema krawędziami na wierzchołku istnieje kąt prosty (krawędzie są prostopadłe). Tworzą się trzy twarze prostokątny kąt trójkątny a ściany są trójkątami prostokątnymi, a podstawą jest dowolny trójkąt. Apothem dowolnej ściany jest równy połowie boku podstawy, na którą apotem spada.
Definicja. Czworościan izoedryczny nazywa się czworościanem, którego ściany boczne są sobie równe, a podstawą jest trójkąt foremny. Taki czworościan ma ściany będące trójkątami równoramiennymi.
Definicja. Ortocentryczny czworościan nazywa się czworościanem, w którym wszystkie wysokości (prostopadłe) obniżone od góry do przeciwległej ściany przecinają się w jednym punkcie.
Definicja. Gwiazdowa piramida Nazywa się wielościan, którego podstawą jest gwiazda.
jest figurą, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są reprezentowane przez trójkąty. Ich wierzchołki leżą w tym samym punkcie i odpowiadają wierzchołkowi piramidy.
Piramida może być zróżnicowana - trójkątna, czworokątna, sześciokątna itp. Jego nazwę można określić w zależności od liczby kątów przylegających do podstawy.
Właściwa piramida nazywana piramidą, w której boki podstawy, kąty i krawędzie są równe. Również w takiej piramidzie powierzchnia ścian bocznych będzie równa.
Wzór na pole powierzchni bocznej piramidy jest sumą pól wszystkich jej ścian: 
Oznacza to, że aby obliczyć pole powierzchni bocznej dowolnej piramidy, musisz znaleźć obszar każdego pojedynczego trójkąta i dodać je do siebie. Jeśli piramida jest obcięta, jej ściany są reprezentowane przez trapezy. Istnieje inny wzór na regularną piramidę. W nim pole powierzchni bocznej oblicza się poprzez półobwód podstawy i długość apotemu:
Rozważmy przykład obliczenia pola powierzchni bocznej piramidy.
Niech zostanie podana regularna czworokątna piramida. Strona podstawy B= 6 cm, apotem A= 8 cm Znajdź pole powierzchni bocznej.
U podstawy regularnej czworokątnej piramidy znajduje się kwadrat. Najpierw znajdźmy jego obwód:
Teraz możemy obliczyć pole powierzchni bocznej naszej piramidy: 
Aby znaleźć całkowitą powierzchnię wielościanu, musisz znaleźć pole jego podstawy. Wzór na pole podstawy piramidy może się różnić w zależności od tego, który wielokąt leży u podstawy. Aby to zrobić, skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta, obszar równoległoboku itp.
Rozważmy przykład obliczenia pola podstawy piramidy podanego przez nasze warunki. Ponieważ piramida jest regularna, u jej podstawy znajduje się kwadrat.
Powierzchnia kwadratowa obliczane według wzoru: ,
gdzie a jest bokiem kwadratu. Dla nas jest to 6 cm, co oznacza, że pole podstawy piramidy wynosi: 
Teraz pozostaje tylko znaleźć całkowitą powierzchnię wielościanu. Wzór na pole piramidy składa się z sumy pola jej podstawy i powierzchni bocznej.
Piramida- jedna z odmian wielościanu utworzonego z wielokątów i trójkątów leżących u podstawy i stanowiących jego ściany.
Co więcej, na szczycie piramidy (tj. w jednym punkcie) wszystkie twarze są zjednoczone.
Aby obliczyć pole piramidy, warto ustalić, że jej powierzchnia boczna składa się z kilku trójkątów. I możemy łatwo znaleźć ich obszary za pomocą
różne formuły. W zależności od tego, jakie dane znamy o trójkątach, szukamy ich pola.
Podajemy kilka formuł, których można użyć do znalezienia obszaru trójkątów:
- S = (a*h)/2 . W tym przypadku znamy wysokość trójkąta H , który jest obniżony na bok A .
- S = a*b*sinβ . Oto boki trójkąta A , B , a kąt między nimi wynosi β .
- S = (r*(a + b + c))/2 . Oto boki trójkąta a, b, c . Promień okręgu wpisanego w trójkąt wynosi R .
- S = (a*b*c)/4*R . Promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi R .
- S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Tę formułę należy stosować tylko wtedy, gdy trójkąt jest prostokątny.
- S = (a²*√3)/4 . Stosujemy ten wzór do trójkąta równobocznego.
Dopiero po obliczeniu pól wszystkich trójkątów będących ścianami naszej piramidy możemy obliczyć pole jej powierzchni bocznej. W tym celu skorzystamy z powyższych formuł.
Aby obliczyć pole powierzchni bocznej piramidy, nie ma żadnych trudności: musisz znaleźć sumę pól wszystkich trójkątów. Wyraźmy to za pomocą wzoru:
Sp = ΣSi
Tutaj Si jest obszarem pierwszego trójkąta i S P - obszar bocznej powierzchni piramidy.
Spójrzmy na przykład. Biorąc pod uwagę regularną piramidę, jej boczne ściany są utworzone przez kilka trójkątów równobocznych,
« Geometria jest najpotężniejszym narzędziem wyostrzającym nasze zdolności umysłowe».
Galileo Galilei.
a kwadrat jest podstawą piramidy. Ponadto krawędź piramidy ma długość 17 cm. Znajdźmy pole powierzchni bocznej tej piramidy.
Rozumujemy w ten sposób: wiemy, że ściany piramidy są trójkątami, są równoboczne. Wiemy również, jaka jest długość krawędzi tej piramidy. Wynika z tego, że wszystkie trójkąty mają równe boki i ich długość wynosi 17 cm.
Aby obliczyć powierzchnię każdego z tych trójkątów, możesz skorzystać z następującego wzoru:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Skoro więc wiemy, że kwadrat leży u podstawy piramidy, okazuje się, że mamy cztery trójkąty równoboczne. Oznacza to, że powierzchnię boczną piramidy można łatwo obliczyć za pomocą następującego wzoru: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Nasza odpowiedź jest następująca: 500,548 cm² - jest to powierzchnia bocznej powierzchni tej piramidy.
Przygotowując się do Unified State Exam z matematyki, uczniowie muszą usystematyzować swoją wiedzę z algebry i geometrii. Chciałbym połączyć wszystkie znane informacje, na przykład o tym, jak obliczyć pole piramidy. Co więcej, zaczynając od podstawy i krawędzi bocznych, aż po całą powierzchnię. Jeśli sytuacja ze ścianami bocznymi jest jasna, ponieważ są to trójkąty, wówczas podstawa jest zawsze inna.
Jak znaleźć obszar podstawy piramidy?
Może to być absolutnie dowolna figura: od dowolnego trójkąta po n-gon. A ta podstawa, oprócz różnicy w liczbie kątów, może być figurą regularną lub nieregularną. W zadaniach egzaminu Unified State Exam, które interesują uczniów, znajdują się tylko zadania z prawidłowymi liczbami u podstawy. Dlatego porozmawiamy tylko o nich.
Zwykły trójkąt
Czyli równoboczny. Taki, w którym wszystkie strony są równe i są oznaczone literą „a”. W tym przypadku pole podstawy piramidy oblicza się według wzoru:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kwadrat
Wzór na obliczenie jego powierzchni jest najprostszy, tutaj „a” jest znowu bokiem:
Dowolny regularny n-gon
Bok wielokąta ma takie samo oznaczenie. Do liczby kątów używana jest łacińska litera n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180°/n)).
Co zrobić przy obliczaniu powierzchni bocznej i całkowitej?
Ponieważ podstawą jest figura regularna, wszystkie ściany piramidy są równe. Co więcej, każdy z nich jest trójkątem równoramiennym, ponieważ krawędzie boczne są równe. Następnie, aby obliczyć pole boczne piramidy, będziesz potrzebować wzoru składającego się z sumy identycznych jednomianów. Liczbę wyrazów określa liczba boków podstawy.
Pole trójkąta równoramiennego oblicza się ze wzoru, w którym połowa iloczynu podstawy jest mnożona przez wysokość. Ta wysokość w piramidzie nazywa się apothem. Jego oznaczenie to „A”. Ogólny wzór na pole powierzchni bocznej to:
S = ½ P*A, gdzie P jest obwodem podstawy piramidy.
Zdarzają się sytuacje, gdy nie są znane boki podstawy, ale podane są krawędzie boczne (c) i kąt płaski na jej wierzchołku (α). Następnie należy skorzystać z następującego wzoru, aby obliczyć pole boczne piramidy:
S = n/2 * in 2 sin α .
Zadanie nr 1
Stan : schorzenie. Znajdź całkowite pole piramidy, jeśli jej podstawa ma bok 4 cm, a apotem ma wartość √3 cm.
Rozwiązanie. Musisz zacząć od obliczenia obwodu podstawy. Ponieważ jest to regularny trójkąt, to P = 3*4 = 12 cm Ponieważ apotem jest znany, możemy od razu obliczyć pole całej powierzchni bocznej: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Dla trójkąta u podstawy otrzymujemy następującą wartość pola: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Aby wyznaczyć całą powierzchnię, należy dodać dwie otrzymane wartości: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odpowiedź. 10√3 cm 2.
Problem nr 2
Stan. Istnieje regularna czworokątna piramida. Długość boku podstawy wynosi 7 mm, krawędź boku 16 mm. Konieczne jest sprawdzenie jego powierzchni.
Rozwiązanie. Ponieważ wielościan jest czworokątny i regularny, jego podstawą jest kwadrat. Kiedy już poznasz pole podstawy i ścian bocznych, będziesz mógł obliczyć pole piramidy. Wzór na kwadrat podano powyżej. A w przypadku ścian bocznych znane są wszystkie boki trójkąta. Dlatego możesz użyć wzoru Herona do obliczenia ich pól.
Pierwsze obliczenia są proste i prowadzą do następującej liczby: 49 mm 2. Dla drugiej wartości musisz obliczyć półobwód: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Teraz możesz obliczyć pole trójkąta równoramiennego: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Istnieją tylko cztery takie trójkąty, więc przy obliczaniu ostatecznej liczby należy ją pomnożyć przez 4.
Okazuje się: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odpowiedź. Pożądana wartość to 267,576 mm2.
Problem nr 3
Stan. W przypadku regularnej czworokątnej piramidy należy obliczyć powierzchnię. Wiadomo, że bok kwadratu ma długość 6 cm, a wysokość 4 cm.
Rozwiązanie. Najłatwiej jest użyć wzoru na iloczyn obwodu i apotema. Pierwszą wartość łatwo znaleźć. Drugie jest trochę bardziej skomplikowane.
Będziemy musieli pamiętać o twierdzeniu Pitagorasa i rozważyć Jest ono utworzone przez wysokość piramidy i apothem, czyli przeciwprostokątną. Druga noga jest równa połowie boku kwadratu, ponieważ wysokość wielościanu przypada na jego środek.
Wymagany apotem (przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego) jest równy √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Teraz możesz obliczyć wymaganą wartość: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odpowiedź. 96cm2.
Problem nr 4
Stan : schorzenie. Podano prawidłowy bok. Boki podstawy mają długość 22 mm, a krawędzie boczne 61 mm. Jakie jest pole powierzchni bocznej tego wielościanu?
Rozwiązanie. Rozumowanie w nim jest takie samo jak opisane w zadaniu nr 2. Tylko tam dano piramidę z kwadratem u podstawy, a teraz jest to sześciokąt.
W pierwszej kolejności pole podstawy obliczamy korzystając z powyższego wzoru: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 cm 2.
Teraz musisz znaleźć półobwód trójkąta równoramiennego, który jest ścianą boczną. (22+61*2):2 = 72 cm Pozostaje tylko obliczyć pole każdego takiego trójkąta ze wzoru Herona, a następnie pomnożyć je przez sześć i dodać do otrzymanego dla podstawy.
Obliczenia z wykorzystaniem wzoru Herona: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Obliczenia, które dadzą powierzchnię boczną: 660 * 6 = 3960 cm 2. Pozostaje je dodać, aby znaleźć całą powierzchnię: 5217,47≈5217 cm 2.
Odpowiedź. Podstawa ma długość 726√3 cm 2, powierzchnia boczna 3960 cm 2, a całe pole wynosi 5217 cm 2.
Przed zapoznaniem się z pytaniami dotyczącymi tej figury geometrycznej i jej właściwości powinieneś zrozumieć niektóre terminy. Kiedy ktoś słyszy o piramidzie, wyobraża sobie ogromne budynki w Egipcie. Tak wyglądają te najprostsze. Występują jednak w różnych typach i kształtach, co oznacza, że wzór obliczeniowy dla kształtów geometrycznych będzie inny.
Piramida - figura geometryczna, oznaczający i reprezentujący kilka twarzy. W istocie jest to ten sam wielościan, u podstawy którego leży wielokąt, a po bokach znajdują się trójkąty łączące się w jednym punkcie - wierzchołku. Liczba ta występuje w dwóch głównych typach:
- prawidłowy;
- kadłubowy.
W pierwszym przypadku podstawą jest wielokąt foremny. Tutaj wszystkie powierzchnie boczne są równe między sobą a samą sylwetką będzie cieszyć oko perfekcjonisty.
W drugim przypadku mamy dwie podstawy – dużą na samym dole i małą pomiędzy górą, powtarzającą kształt głównej. Innymi słowy, ścięta piramida to wielościan o przekroju równoległym do podstawy.
Terminy i symbole
Kluczowe terminy:
- Trójkąt regularny (równoboczny).- figura z trzema równymi kątami i równymi bokami. W tym przypadku wszystkie kąty mają miarę 60 stopni. Figura jest najprostszym z wielościanów foremnych. Jeśli ta figura leży u podstawy, wówczas taki wielościan będzie nazywany regularnym trójkątem. Jeśli podstawą jest kwadrat, piramidę nazwiemy regularną piramidą czworokątną.
- Wierzchołek– najwyższy punkt, w którym spotykają się krawędzie. Wysokość wierzchołka tworzy linia prosta rozciągająca się od wierzchołka do podstawy piramidy.
- Krawędź– jedna z płaszczyzn wielokąta. Może mieć postać trójkąta w przypadku piramidy trójkątnej lub trapezu w przypadku piramidy ściętej.
- Sekcja- płaska sylwetka powstała w wyniku rozbioru. Nie należy go mylić z sekcją, ponieważ sekcja pokazuje również, co znajduje się za sekcją.
- Apotem- odcinek poprowadzony od szczytu piramidy do jej podstawy. Jest to jednocześnie wysokość twarzy, na której znajduje się drugi punkt wysokości. Definicja ta obowiązuje tylko w odniesieniu do wielościanu foremnego. Na przykład, jeśli nie jest to ścięta piramida, wówczas twarz będzie trójkątem. W tym przypadku wysokość tego trójkąta stanie się apotemem.
Formuły powierzchniowe
Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy dowolny typ można wykonać na kilka sposobów. Jeśli figura nie jest symetryczna i jest wielokątem o różnych bokach, wówczas w tym przypadku łatwiej jest obliczyć całkowitą powierzchnię na podstawie wszystkich powierzchni. Innymi słowy, musisz obliczyć obszar każdej twarzy i dodać je do siebie.
W zależności od znanych parametrów mogą być wymagane wzory do obliczenia kwadratu, trapezu, dowolnego czworoboku itp. Same formuły w różnych przypadkach również będą różnice.
W przypadku zwykłej figury odnalezienie obszaru jest znacznie łatwiejsze. Wystarczy znać tylko kilka kluczowych parametrów. W większości przypadków obliczenia są wymagane specjalnie dla takich liczb. Dlatego poniżej zostaną podane odpowiednie wzory. W przeciwnym razie musiałbyś wszystko rozpisać na kilku stronach, co tylko spowodowałoby zamieszanie i zamieszanie.
Podstawowy wzór do obliczeń Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy będzie miało następującą postać:
S=½ Pa (P to obwód podstawy i apotem)
Spójrzmy na jeden przykład. Wielościan ma podstawę z odcinkami A1, A2, A3, A4, A5 i wszystkie są równe 10 cm. Niech apotem będzie równy 5 cm. Najpierw musisz znaleźć obwód. Ponieważ wszystkie pięć ścian podstawy jest takich samych, można to obliczyć w następujący sposób: P = 5 * 10 = 50 cm Następnie stosujemy podstawowy wzór: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm do kwadratu.
Powierzchnia boczna regularnej trójkątnej piramidy najłatwiej policzyć. Formuła wygląda następująco:
S =½* ab *3, gdzie a jest apotemem, b jest ścianą podstawy. Współczynnik trzy oznacza tutaj liczbę ścian podstawy, a pierwsza część to powierzchnia powierzchni bocznej. Spójrzmy na przykład. Mając figurę o apotemie 5 cm i krawędzi podstawy 8 cm, obliczamy: S = 1/2*5*8*3=60 cm do kwadratu.
Powierzchnia boczna ściętej piramidy Trochę trudniej jest to obliczyć. Wzór wygląda następująco: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, gdzie p_01 i p_02 to obwody podstaw i jest apotemem. Spójrzmy na przykład. Załóżmy, że dla figury czworokątnej wymiary boków podstaw wynoszą 3 i 6 cm, a apothem wynosi 4 cm.
Tutaj najpierw musisz znaleźć obwody podstaw: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Pozostaje podstawić wartości do głównego wzoru i otrzymamy: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm do kwadratu.
W ten sposób można znaleźć powierzchnię boczną regularnej piramidy o dowolnej złożoności. Należy zachować ostrożność i nie wprowadzać zamieszania te obliczenia z całkowitą powierzchnią całego wielościanu. A jeśli nadal musisz to zrobić, po prostu oblicz pole największej podstawy wielościanu i dodaj je do pola powierzchni bocznej wielościanu.
Wideo
Ten film pomoże Ci skonsolidować informacje o tym, jak znaleźć pole powierzchni bocznej różnych piramid.
Nie otrzymałeś odpowiedzi na swoje pytanie? Zaproponuj temat autorom.