Geometria jako nauka powstała w starożytnym Egipcie i osiągnęła wysoki poziom rozwoju. Słynny filozof Platon założył Akademię, w której szczególną uwagę przywiązywano do systematyzacji istniejącej wiedzy. Pierwsza wzmianka o stożku jako jednej z figur geometrycznych pojawia się w słynnym traktacie Euklidesa „Elementy”. Euklides znał dzieła Platona. W dzisiejszych czasach niewiele osób wie, że słowo „stożek” przetłumaczone z języka greckiego oznacza „szyszka”. Grecki matematyk Euklides, który mieszkał w Aleksandrii, słusznie uważany jest za twórcę algebry geometrycznej. Starożytni Grecy nie tylko stali się następcami wiedzy Egipcjan, ale także znacznie rozwinęli teorię.
Historia definicji stożka
Geometria jako nauka wyłoniła się z praktycznych wymagań konstrukcji i obserwacji przyrody. Stopniowo wiedza eksperymentalna została uogólniona, a właściwości niektórych ciał zostały udowodnione przez inne. Starożytni Grecy wprowadzili pojęcie aksjomatów i dowodów. Aksjomat to stwierdzenie uzyskane za pomocą praktycznych środków i nie wymagające dowodu.
W swojej książce Euklides podał definicję stożka jako figury uzyskanej przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego nóg. Jest także właścicielem głównego twierdzenia określającego objętość stożka. Twierdzenie to zostało udowodnione przez starożytnego greckiego matematyka Eudoksosa z Knidos.
Inny matematyk starożytnej Grecji, Apoloniusz z Pergi, który był uczniem Euklidesa, rozwinął i objaśnił w swoich książkach teorię powierzchni stożkowych. Jest właścicielem definicji powierzchni stożkowej i jej siecznej. Dzisiaj dzieci w wieku szkolnym uczą się geometrii euklidesowej, która zachowała podstawowe twierdzenia i definicje z czasów starożytnych.
Podstawowe definicje
Prawy okrągły stożek powstaje poprzez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej nogi. Jak widać koncepcja stożka nie zmieniła się od czasów Euklidesa.
Przeciwprostokątna AS prawego trójkąta AOS, obrócona wokół nogi OS, tworzy powierzchnię boczną stożka, dlatego nazywa się ją generatorem. Noga OS trójkąta zmienia się jednocześnie w wysokość stożka i jego oś. Punkt S staje się wierzchołkiem stożka. Noga AO, po opisaniu koła (podstawy), zamieniła się w promień stożka.
Jeśli narysujesz płaszczyznę z góry przez wierzchołek i oś stożka, zobaczysz, że powstały przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym, w którym osią jest wysokość trójkąta.
Gdzie C- obwód podstawy, l— długość tworzącej stożka, R— promień podstawy.
Wzór na obliczenie objętości stożka
Aby obliczyć objętość stożka, skorzystaj z następującego wzoru:
gdzie S jest polem podstawy stożka. Ponieważ podstawą jest okrąg, jego pole oblicza się w następujący sposób:
Oznacza to:
gdzie V jest objętością stożka;
n jest liczbą równą 3,14;
R jest promieniem podstawy odpowiadającym segmentowi AO na rysunku 1;
H to wysokość równa segmentowi OS.
Stożek ścięty, objętość
Jest prosty okrągły stożek. Jeśli odetniesz górną część płaszczyzną prostopadłą do wysokości, otrzymasz ścięty stożek. Jego dwie podstawy mają kształt koła o promieniach R1 i R2.
Jeśli prawy stożek powstaje poprzez obrót trójkąta prostokątnego, wówczas stożek ścięty powstaje poprzez obrót prostokątnego trapezu wokół prostego boku.
Objętość ściętego stożka oblicza się ze wzoru:
V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.
Stożek i jego przekrój płaszczyzną
Starożytny grecki matematyk Apoloniusz z Pergi napisał pracę teoretyczną Przekroje stożkowe. Dzięki jego pracy w geometrii pojawiły się definicje krzywych: parabola, elipsa, hiperbola. Spójrzmy, co stożek ma z tym wspólnego.
Weźmy prosty okrągły stożek. Jeśli płaszczyzna przecina ją prostopadle do osi, wówczas w przekroju powstaje okrąg. Kiedy sieczna przecina stożek pod kątem do osi, w przekroju uzyskuje się elipsę.
Płaszczyzna cięcia prostopadła do podstawy i równoległa do osi stożka tworzy na powierzchni hiperbolę. Płaszczyzna przecinająca stożek pod kątem do podstawy i równoległa do stycznej do stożka tworzy na powierzchni krzywiznę, którą nazywamy parabolą.
Rozwiązanie problemu
Nawet proste zadanie, jak zrobić wiadro o określonej wielkości, wymaga wiedzy. Na przykład musisz obliczyć wymiary wiadra, aby miało objętość 10 litrów.
V=10 l=10 dm 3 ;
Rozwój stożka ma postać przedstawioną schematycznie na rysunku 3.
L jest tworzącą stożka.
Aby sprawdzić powierzchnię wiadra, którą oblicza się za pomocą następującego wzoru:
S=n*(R1 +R2)*L,
konieczne jest obliczenie generatora. Znajdujemy to na podstawie wartości objętości V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.
Zatem H=3V/n*(R 1 2 + R 2 2 + R 1 *R 2).
Stożek ścięty powstaje poprzez obrót prostokątnego trapezu, którego bok jest tworzącą stożka.
L 2 = (R 2- R 1) 2 + H 2.
Teraz mamy wszystkie dane do zbudowania rysunku wiadra.
Dlaczego wiadra strażackie mają kształt stożka?
Kto kiedykolwiek zastanawiał się, dlaczego wiadra strażackie mają pozornie dziwny stożkowy kształt? I to nie tylko tak. Okazuje się, że stożkowe wiadro do gaszenia pożaru ma wiele zalet w stosunku do zwykłego wiadra w kształcie ściętego stożka.
Po pierwsze, jak się okazuje, wiadro strażackie szybciej napełnia się wodą i nie rozlewa się podczas przenoszenia. Stożek o większej objętości niż zwykłe wiadro pozwala na przelanie większej ilości wody za jednym razem.
Po drugie, wodę z niej można wyrzucić na większą odległość niż ze zwykłego wiadra.
Po trzecie, jeśli stożkowe wiadro wypadnie z twoich rąk i wpadnie do ognia, wówczas cała woda zostanie wylana na źródło ognia.
Wszystkie te czynniki oszczędzają czas – główny czynnik przy gaszeniu pożaru.
Praktyczne użycie
Dzieci w wieku szkolnym często zadają pytania, dlaczego muszą nauczyć się obliczać objętość różnych ciał geometrycznych, w tym stożka.
Inżynierowie-projektanci stale stoją przed koniecznością obliczenia objętości stożkowych części części maszyn. Są to końcówki wierteł, części tokarek i frezarek. Stożkowy kształt umożliwi łatwe wprowadzenie wierteł w materiał bez konieczności wstępnego zaznaczania specjalnym narzędziem.
Objętość stożka to kupka piasku lub ziemi wysypana na ziemię. Jeśli to konieczne, wykonując proste pomiary, możesz obliczyć jego objętość. Niektórzy mogą być zdezorientowani pytaniem, jak sprawdzić promień i wysokość stosu piasku. Uzbrojeni w miarkę mierzymy obwód kopca C. Korzystając ze wzoru R=C/2n wyznaczamy promień. Zarzucając linę (taśmę) na wierzchołek, znajdujemy długość tworzącej. Obliczenie wysokości za pomocą twierdzenia Pitagorasa i objętości nie jest trudne. Oczywiście ta kalkulacja jest przybliżona, ale pozwala określić, czy zostałeś oszukany, przynosząc tonę piasku zamiast kostki.
Niektóre budynki mają kształt ściętego stożka. Na przykład wieża telewizyjna Ostankino zbliża się do kształtu stożka. Można go sobie wyobrazić jako składający się z dwóch stożków umieszczonych jeden na drugim. Kopuły starożytnych zamków i katedr przedstawiają stożek, którego objętość starożytni architekci obliczyli z niesamowitą dokładnością.
Jeśli przyjrzysz się uważnie otaczającym obiektom, wiele z nich to stożki:
- lejki do nalewania płynów;
- głośnik tubowy;
- stożki parkingowe;
- abażur do lampy podłogowej;
- zwykła choinka;
- dęte instrumenty muzyczne.
Jak widać z podanych przykładów, umiejętność obliczania objętości szyszki i jej pola powierzchni jest niezbędna w życiu zawodowym i codziennym. Mamy nadzieję, że artykuł Ci pomoże.
1. Obliczanie objętości sześcianu
A- bok sześcianu
Wzór na objętość sześcianu ( V ):
2. Znajdź według wzoru objętość prostokątnego równoległościanu
a, b, c- boki równoległościanu
Czasami bok równoległościanu nazywany jest krawędzią.
Wzór na objętość równoległościanu ( V):
3. Wzór na obliczenie objętości kuli, kuli
R — promień kuli
Korzystając ze wzoru, jeśli podany jest promień, możesz znaleźć objętość kuli ( V):
4. Jak obliczyć objętość cylindra?
H- wysokość cylindra
R— promień podstawy
Korzystając ze wzoru, znajdź objętość walca, jeśli znany jest jego promień podstawy i wysokość, ( V):
5. Jak obliczyć objętość stożka?
R- promień podstawy
H- wysokość stożka
Wzór na objętość stożka, jeśli znany jest promień i wysokość ( V):
7. Wzór na objętość ściętego stożka
R - górny promień podstawy
R- dolny promień
H - wysokość stożka
Wzór na objętość ściętego stożka, jeśli jest znany - promień dolnej podstawy, promień górnej podstawy i wysokość stożka ( V):
8. Objętość czworościanu foremnego
Regularny czworościan to piramida, której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.
A- krawędź czworościanu
Wzór na obliczenie objętości regularnego czworościanu ( V):
9. Objętość regularnej czworokątnej piramidy
Piramidę o kwadratowej podstawie i równych bokach trójkąta równoramiennego nazywa się regularną piramidą czworokątną.
A- strona podstawy
H- wysokość piramidy
Wzór na obliczenie objętości regularnej czworokątnej piramidy ( V):
10. Objętość regularnej piramidy trójkątnej
Piramida, której podstawą jest trójkąt równoboczny i których boki są równe, trójkąty równoramienne, nazywa się regularną piramidą trójkątną.
A- strona podstawy
H- wysokość piramidy
Wzór na objętość regularnej piramidy trójkątnej, biorąc pod uwagę wysokość i bok podstawy ( V):
11. Znajdź objętość regularnej piramidy
Piramidę z foremnym wielokątem i równymi trójkątami u podstawy nazywa się regularną.
H- wysokość piramidy
A- bok podstawy piramidy
N- liczba boków wielokąta u podstawy
Wzór na objętość regularnej piramidy, znając wysokość, bok podstawy i liczbę tych boków ( V):
Wszystkie wzory na objętości ciał geometrycznych
Geometria, algebra, fizyka
Wzory objętościowe
Objętość figury geometrycznej- ilościowa cecha przestrzeni zajmowanej przez ciało lub substancję. W najprostszych przypadkach objętość mierzy się liczbą sześcianów jednostkowych mieszczących się w ciele, czyli sześcianów o krawędzi równej jednostkowej długości. Objętość korpusu lub pojemność naczynia określa jego kształt i wymiary liniowe.
Wzór na objętość sześcianu
1) Objętość sześcianu jest równa sześcianowi jego krawędzi.
V- objętość sześcianu
H— wysokość krawędzi sześcianu
Wzór na objętość piramidy
1) Objętość piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy S (ABCD) i wysokości h (OS).
V- objętość piramidy
S- obszar podstawy piramidy
H- wysokość piramidy
Wzory na objętość stożka
1) Objętość stożka jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości.
2) Objętość stożka jest równa jednej trzeciej iloczynu pi (3,1415) przez kwadrat promienia podstawy i wysokości.
V— objętość stożka
S- obszar podstawy stożka
H— wysokość stożka
π — liczba pi (3,1415)
R— promień stożka
Wzory na objętość cylindra
1) Objętość cylindra jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.
2) Objętość cylindra jest równa iloczynowi pi (3,1415) przez kwadrat promienia podstawy i wysokości.
V- objętość cylindra
S- powierzchnia podstawy cylindra
H- wysokość cylindra
π — liczba pi (3,1415)
R— promień cylindra
Wzór na objętość piłki
1) Objętość kuli oblicza się za pomocą poniższego wzoru.
V- objętość piłki
π — liczba pi (3,1415)
R- promień kuli
Wzór na objętość czworościanu
1) Objętość czworościanu jest równa ułamkowi w liczniku, którego pierwiastek kwadratowy z dwóch jest pomnożony przez sześcian długości krawędzi czworościanu, a w mianowniku dwanaście.
Wzory objętościowe
Wzory objętościowe i programy online do obliczania objętości
Formuła objętości.
Formuła objętości niezbędne do obliczenia parametrów i cech figury geometrycznej.
Objętość rysunku jest ilościową cechą przestrzeni zajmowanej przez ciało lub substancję. W najprostszych przypadkach objętość mierzy się liczbą sześcianów jednostkowych mieszczących się w ciele, czyli sześcianów o krawędzi równej jednostkowej długości. Objętość korpusu lub pojemność naczynia określa jego kształt i wymiary liniowe.
Równoległościan.
Objętość prostokątnego równoległościanu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.
Cylinder.
Objętość cylindra jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.
Objętość walca jest równa iloczynowi pi (3,1415) przez kwadrat promienia podstawy i wysokości.
Piramida.
Objętość piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy S (ABCDE) i wysokości h (OS).
Poprawna piramida- jest to piramida, u podstawy której leży foremny wielokąt, a wysokość przechodzi przez środek wpisanego koła u podstawy.
Regularna trójkątna piramida to piramida, której podstawą jest trójkąt równoboczny, a boki są równymi trójkątami równoramiennymi.
Regularna czworokątna piramida to piramida, której podstawą jest kwadrat, a boki są równymi trójkątami równoramiennymi.
Czworościan jest piramidą, której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.
Ścięta piramida.
Objętość ściętej piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu wysokości h (OS) przez sumę obszarów górnej podstawy S 1 (abcde), dolnej podstawy ściętej piramidy S 2 (ABCDE) i średnia proporcjonalna między nimi.
Obliczenie objętości sześcianu jest łatwe - należy pomnożyć długość, szerokość i wysokość. Ponieważ sześcian ma długość równą jego szerokości i równą wysokości, objętość sześcianu jest równa s 3 .
Stożek to ciało w przestrzeni euklidesowej powstałe w wyniku połączenia wszystkich promieni wychodzących z jednego punktu (wierzchołka stożka) i przechodzących przez płaską powierzchnię.
Stożek ścięty zadziała, jeśli narysujesz przekrój stożka równolegle do podstawy.
V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)
Objętość kuli jest półtora razy mniejsza od objętości opisanego wokół niej walca.
Pryzmat.
Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi pola podstawy pryzmatu i jego wysokości.
Sektor piłki.
Objętość wycinka kuli jest równa objętości ostrosłupa, którego podstawa ma takie samo pole jak część powierzchni kuli wyciętej przez wycinek, a wysokość jest równa promieniowi kuli.
Warstwa kulkowa- jest to część kuli zawarta pomiędzy dwiema siecznymi równoległymi płaszczyznami.
Odcinek kulkowy- ta część kuli, odcięta od niej przez jakąś płaszczyznę, nazywana jest segmentem kulistym lub kulistym
Formuła objętości
Wzór na objętość sześcianu, kuli, piramidy, równoległoboku, walca, czworościanu, stożka, pryzmatu i objętości innych kształtów geometrycznych.
Na kursie stereometrii jednym z głównych pytań jest to, jak obliczyć objętość konkretnego ciała geometrycznego. Wszystko zaczyna się od prostego równoległościanu, a kończy na piłce.
Również w życiu często trzeba mierzyć się z podobnymi problemami. Na przykład, aby obliczyć objętość wody, która mieści się w wiadrze lub beczce.
Właściwości ważne dla objętości każdego ciała
- Ta wartość jest zawsze liczbą dodatnią.
- Jeśli ciało można podzielić na części tak, aby nie było przecięć, wówczas całkowita objętość okazuje się równa sumie objętości części.
- Równe ciała mają jednakowe objętości.
- Jeśli mniejsze ciało jest całkowicie zawarte w większym, wówczas objętość pierwszego jest mniejsza niż objętość drugiego.
Ogólne oznaczenia wszystkich ciał
Każdy z nich ma krawędzie i podstawy, a w nich wbudowane są wysokości. Dlatego takie elementy są dla nich jednakowo wyznaczone. Dokładnie tak są zapisane we wzorach. Dowiemy się dalej, jak obliczyć objętość każdego ciała i zastosować nowe umiejętności w praktyce.
Niektóre formuły mają inne ilości. Ich przeznaczenie zostanie omówione, gdy zaistnieje taka potrzeba.
Pryzmat, równoległościan (prosty i ukośny) i sześcian
Ciała te połączono, ponieważ wyglądają bardzo podobnie, a wzory na obliczenie objętości są identyczne:
V = S * godz.
Tylko S będzie się różnić. W przypadku równoległościanu oblicza się go jak dla prostokąta lub kwadratu. W pryzmacie podstawą może być trójkąt, równoległobok, dowolny czworokąt lub inny wielokąt.
W przypadku sześcianu wzór jest znacznie uproszczony, ponieważ wszystkie jego wymiary są równe:
V = a 3.
Piramida, czworościan, piramida ścięta
Dla pierwszego z tych ciał istnieje wzór na obliczenie objętości:
V = 1/3 * S * n.
Czworościan jest szczególnym przypadkiem piramidy trójkątnej. Wszystkie krawędzie w nim są równe. Dlatego ponownie otrzymujemy uproszczoną formułę:
V = (a 3 * √2) / 12 lub V = 1/ 3 S godz
Piramida zostaje obcięta, gdy odetnie się jej górną część. Dlatego jego objętość jest równa różnicy między dwiema piramidami: tą, która byłaby nienaruszona, i usuniętą górą. Jeśli możliwe jest znalezienie obu podstaw takiej piramidy (S 1 - większa i S 2 - mniejsza), wówczas wygodnie jest użyć tego wzoru do obliczenia objętości:
Cylinder, stożek i stożek ścięty
V = π * r 2 * godz.
Sytuacja ze stożkiem jest nieco bardziej skomplikowana. Jest na to formuła:
V = 1/3 π * r 2 * godz. Jest bardzo podobny do wskazanego dla cylindra, tylko wartość jest zmniejszona trzykrotnie.
Podobnie jak w przypadku piramidy ściętej, tak i w przypadku stożka, który ma dwie podstawy, sytuacja nie jest łatwa. Wzór na obliczenie objętości ściętego stożka wygląda następująco:
V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2). Tutaj r 1 jest promieniem dolnej podstawy, r 2 jest promieniem górnej (mniejszej).
Piłka, segmenty i sektor piłki
To najtrudniejsze do zapamiętania formuły. Dla objętości piłki wygląda to następująco:
V = 4/3 π *r 3 .
W problemach często pojawia się pytanie, jak obliczyć objętość odcinka kuli - części kuli, która jest niejako przecięta równolegle do średnicy. W takim przypadku na ratunek przyjdzie następująca formuła:
V = π godz. 2 * (r - godz./3). W nim h przyjmuje się wysokość odcinka, to znaczy części biegnącej wzdłuż promienia kuli.
Sektor jest podzielony na dwie części: stożek i część kulistą. Dlatego jego objętość definiuje się jako sumę tych ciał. Wzór po przekształceniach wygląda następująco:
V = 2/3 πr 2 * godz. Tutaj h jest także wysokością odcinka.
Przykładowe problemy
O objętościach walca, kuli i stożka
Stan : schorzenie:średnica cylindra (pierwszy korpus) jest równa jego wysokości, średnica kuli (drugi korpus) i wysokość stożka (trzeci korpus), sprawdź proporcjonalność objętości V 1: V 2: V 3 = 3:2:1
Rozwiązanie. Najpierw musisz zapisać trzy wzory na objętości. Następnie weź pod uwagę, że promień jest połową średnicy. Oznacza to, że wysokość będzie równa dwóm promieniom: h = 2r. Dokonując prostego podstawienia okazuje się, że wzory na objętości będą wyglądać następująco:
V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. Wzór na objętość kuli nie zmienia się, ponieważ nie pojawia się w nim wysokość.
Teraz pozostaje zapisać stosunki objętości i wykonać redukcję 2π i r 3. Okazuje się, że V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. Liczby te można łatwo zapisać jako 3:2:1.
O objętości piłki
Stan : schorzenie: Są dwa arbuzy o promieniach 15 i 20 cm, który bardziej opłaca się je zjeść: pierwszy z czterema osobami czy drugi z ośmioma?
Rozwiązanie. Aby odpowiedzieć na to pytanie, musisz znaleźć stosunek objętości części, które będą pochodzić z każdego arbuza. Biorąc pod uwagę, że są to kule, musimy zapisać dwa wzory na objętości. Następnie weź pod uwagę, że od pierwszej każdy dostanie tylko czwartą część, a od drugiej - ósmą.
Pozostaje zapisać stosunek objętości części. Będzie to wyglądać tak:
(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). Po przekształceniu pozostaje tylko ułamek: (2 r 1 3) / r 2 3. Po podstawieniu wartości i obliczeniu otrzymuje się ułamek 6750/8000. Jasne jest z tego, że porcja z pierwszego arbuza będzie mniejsza niż z drugiego.
Odpowiedź. Bardziej opłaca się zjeść jedną ósmą arbuza o promieniu 20 cm.
O objętościach piramidy i sześcianu
Stan : schorzenie: istnieje piramida z gliny o podstawie prostokątnej o wymiarach 8 x 9 cm i wysokości 9 cm, z tego samego kawałka gliny wykonano sześcian, jaka jest jego krawędź?
Rozwiązanie. Jeśli oznaczymy boki prostokąta literami b i c, wówczas pole podstawy piramidy oblicza się jako ich iloczyn. Zatem wzór na jego objętość jest następujący:
Wzór na objętość sześcianu opisano w artykule powyżej. Te dwie wartości są równe: V 1 = V 2 . Pozostaje tylko zrównać prawe strony wzorów i dokonać niezbędnych obliczeń. Okazuje się, że krawędź sześcianu będzie równa 6 cm.
O objętości równoległościanu
Stan : schorzenie: trzeba zrobić skrzynkę o pojemności 0,96 m 3, znana jest jej szerokość i długość - 1,2 i 0,8 m, jaka powinna być jej wysokość?
Rozwiązanie. Ponieważ podstawą równoległościanu jest prostokąt, jego pole definiuje się jako iloczyn długości (a) i szerokości (b). Zatem wzór na objętość wygląda następująco:
Na tej podstawie łatwo jest określić wysokość, dzieląc objętość przez powierzchnię. Okazuje się, że wysokość powinna wynosić 1 m.
Odpowiedź. Wysokość pudełka wynosi jeden metr.
Jak obliczyć objętość różnych ciał geometrycznych?
Na kursie stereometrii jednym z głównych zadań jest obliczenie objętości konkretnego ciała geometrycznego. Wszystko zaczyna się od prostego równoległościanu, a kończy na piłce.
Ciała wirujące badane w szkole to walec, stożek i kula.
Jeśli w zadaniu na egzaminie jednolitym z matematyki musisz obliczyć objętość stożka lub pole kuli, uważaj się za szczęściarza.
Zastosuj wzory na objętość i powierzchnię walca, stożka i kuli. Wszystkie są na naszym stole. Uczyć się na pamięć. Tutaj zaczyna się wiedza o stereometrii.
Czasem dobrze jest narysować widok z góry. Lub, jak w tym problemie, od dołu.
2. Ile razy objętość stożka opisanego na regularnej czworokątnej piramidzie jest większa od objętości stożka wpisanego w tę piramidę?
To proste - narysuj widok od dołu. Widzimy, że promień większego okręgu jest razy większy niż promień mniejszego. Wysokość obu stożków jest taka sama. Dlatego objętość większego stożka będzie dwukrotnie większa.
Kolejny ważny punkt. Pamiętamy, że w zadaniach części B Unified State Examination z matematyki odpowiedź zapisuje się jako liczbę całkowitą lub końcowy ułamek dziesiętny. Dlatego w Twojej odpowiedzi w części B nie powinno być żadnego lub. Nie ma też potrzeby podstawiania przybliżonej wartości liczby! Zdecydowanie musi się skurczyć! W tym celu w niektórych problemach zadanie formułuje się na przykład w następujący sposób: „Znajdź pole powierzchni bocznej cylindra podzielone przez”.
Gdzie jeszcze stosuje się wzory na objętość i powierzchnię ciał obrotowych? Oczywiście w zadaniu C2 (16). O tym również opowiemy.
W sześcian wpisano kulę o objętości 8π. Znajdź objętość sześcianu.
Rozwiązanie
Niech a będzie bokiem sześcianu. Zatem objętość sześcianu wynosi V = a 3.
Ponieważ kula jest wpisana w sześcian, promień kuli jest równy połowie krawędzi sześcianu, czyli R = a/2 (patrz rysunek).
Objętość kuli jest zatem równa V w = (4/3)πR 3 i równa 8π
(4/3)πR 3 = 8π,
A objętość sześcianu jest równa V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Zadanie B9 (Typowe opcje 2015)
Objętość stożka wynosi 32. Przez środek wysokości, równolegle do podstawy stożka, narysowano przekrój będący podstawą mniejszego stożka o tym samym wierzchołku. Znajdź objętość mniejszego stożka.
Rozwiązanie
Rozważmy zadania:
72353. Objętość stożka wynosi 10. Przez środek wysokości poprowadzono przekrój równoległy do podstawy stożka, która jest podstawą mniejszego stożka o tym samym wierzchołku. Znajdź objętość mniejszego stożka.
Zauważmy od razu, że stożek oryginalny i odcięty są podobne i jeśli weźmiemy pod uwagę stożek odcięty w stosunku do pierwotnego, możemy powiedzieć tak: mniejszy stożek jest podobny do większego o współczynniku równym połowie lub 0,5 . Możemy pisać:
Można by napisać:
Można tak pomyśleć!
Rozważmy pierwotny stożek w stosunku do odciętego. Można powiedzieć, że większy stożek jest podobny do odciętego o współczynniku równym dwa, napiszmy:
Teraz spójrz na rozwiązanie bez korzystania z właściwości podobieństwa.
Objętość stożka jest równa jednej trzeciej iloczynu pola jego podstawy i jego wysokości:
Rozważ rzut boczny (widok z boku) o wskazanym przekroju:
Niech promień większego stożka będzie równy R, wysokość równa H. Przekrój (podstawa mniejszego stożka) przechodzi przez środek wysokości, czyli jego wysokość będzie równa H/2. A promień podstawy jest równy R/2, wynika to z podobieństwa trójkątów.
Zapiszmy objętość pierwotnego stożka:
Objętość odciętego stożka będzie równa:
Takie szczegółowe rozwiązania są pokazane, abyś mógł zobaczyć, jak można zbudować rozumowanie. Działaj w jakikolwiek sposób - najważniejsze jest to, że rozumiesz istotę decyzji. Nawet jeśli wybrana ścieżka nie jest racjonalna, wynik (poprawny wynik) jest ważny.
Odpowiedź: 1,25
318145. W naczyniu w kształcie stożka poziom cieczy osiąga połowę swojej wysokości. Objętość płynu wynosi 70 ml. Ile mililitrów płynu należy dodać, aby całkowicie wypełnić pojemnik?
To zadanie jest podobne do poprzedniego. Chociaż mówimy tutaj o cieczy, zasada rozwiązania jest taka sama.
Mamy dwa stożki - jest to samo naczynie i „mały” stożek (wypełniony płynem), są podobne. Wiadomo, że objętości takich ciał są powiązane w następujący sposób:
Początkowy stożek (naczynie) przypomina stożek wypełniony cieczą o współczynniku równym 2, gdyż mówi się, że poziom cieczy osiąga połowę wysokości. Możesz napisać bardziej szczegółowo:
Obliczamy:
Zatem musisz dodać:
Inne problemy z płynami.
74257. Znajdź objętość V stożka, którego tworząca jest równa 44 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 0. W odpowiedzi proszę wskazać V/Pi.
Objętość stożka:
Wysokość stożka obliczamy korzystając z właściwości trójkąta prostokątnego.
Noga leżąca naprzeciw kąta 30° jest równa połowie przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna, w w tym przypadku, jest generatorem stożka. Zatem wysokość stożka wynosi 22.
Kwadrat promienia podstawy obliczamy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
*Potrzebujemy kwadratu promienia, a nie samego promienia.