Nazywa się układ równań liniowych, w którym wszystkie wolne wyrazy są równe zeru jednorodny :
Każdy jednorodny system jest zawsze spójny, ponieważ zawsze tak było zero (trywialny ) rozwiązanie. Powstaje pytanie, w jakich warunkach jednorodny układ będzie miał nietrywialne rozwiązanie.
Twierdzenie 5.2.Układ jednorodny ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzystej macierzy jest mniejszy niż liczba jej niewiadomych.
Konsekwencja. Kwadratowy układ jednorodny ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy głównej układu nie jest równy zero.
Przykład 5.6. Określ wartości parametru l, przy których układ ma rozwiązania nietrywialne i znajdź te rozwiązania:
Rozwiązanie. Układ ten będzie miał nietrywialne rozwiązanie, gdy wyznacznik macierzy głównej będzie równy zeru:
Zatem system jest nietrywialny, gdy l=3 lub l=2. Dla l=3 stopień macierzy głównej układu wynosi 1. Następnie pozostaje jedno równanie i przyjmujemy to y=A I z=B, otrzymujemy x=b-a, tj.
Dla l=2 stopień macierzy głównej układu wynosi 2. Następnie wybierając mollę jako podstawę:
otrzymujemy uproszczony system
Stąd to znajdujemy x=z/4, y=z/2. Wierzyć z=4A, otrzymujemy
Zbiór wszystkich rozwiązań układu jednorodnego ma bardzo istotne znaczenie właściwość liniowa : jeśli kolumny X 1 i X 2 - rozwiązania układu jednorodnego AX = 0, następnie dowolna ich kombinacja liniowa A X 1 + b X 2 będzie również rozwiązaniem dla tego systemu. Rzeczywiście, od TOPÓR 1 = 0 I TOPÓR 2 = 0 , To A(A X 1 + b X 2) = a TOPÓR 1 + b TOPÓR 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Dzięki tej właściwości, jeśli układ liniowy ma więcej niż jedno rozwiązanie, to będzie nieskończona liczba tych rozwiązań.
Liniowo niezależne kolumny mi 1 , mi 2 , E k, które są rozwiązaniami układu jednorodnego, nazywane są podstawowy system rozwiązań jednorodny układ równań liniowych, jeżeli rozwiązanie ogólne tego układu można zapisać jako kombinację liniową tych kolumn:
Jeśli jednorodny system ma N zmiennych, a ranga macierzy głównej układu jest równa R, To k = nr-r.
Przykład 5.7. Znajdź podstawowy układ rozwiązań następującego układu równań liniowych:
Rozwiązanie. Znajdźmy rangę macierzy głównej układu:
Zatem zbiór rozwiązań tego układu równań tworzy liniową podprzestrzeń wymiaru nr-r= 5 - 2 = 3. Jako podstawę wybierzmy moll
.
Następnie pozostawiając jedynie równania podstawowe (reszta będzie kombinacją liniową tych równań) i zmienne podstawowe (resztę, tzw. zmienne swobodne, przesuwamy w prawo), otrzymujemy uproszczony układ równań:
Wierzyć X 3 = A, X 4 = B, X 5 = C, znaleźliśmy
, 
.
Wierzyć A= 1, b = do= 0, otrzymujemy pierwsze rozwiązanie podstawowe; wierząc B= 1, a = do= 0, otrzymujemy drugie rozwiązanie podstawowe; wierząc C= 1, a = b= 0, otrzymujemy trzecie rozwiązanie podstawowe. W rezultacie przyjmiemy postać normalnego podstawowego układu rozwiązań
Korzystając z układu podstawowego, ogólne rozwiązanie układu jednorodnego można zapisać jako
X = aE 1 + Być 2 + CE 3. A
Zwróćmy uwagę na pewne własności rozwiązań niejednorodnego układu równań liniowych AX=B i ich związek z odpowiednim jednorodnym układem równań AX = 0.
Ogólne rozwiązanie układu niejednorodnegojest równa sumie rozwiązania ogólnego odpowiedniego układu jednorodnego AX = 0 i dowolnego rozwiązania szczegółowego układu niejednorodnego. Rzeczywiście, niech Y 0 jest dowolnym rozwiązaniem szczególnym układu niejednorodnego, tj. AY 0 = B, I Y- rozwiązanie ogólne układu heterogenicznego, tj. AY=B. Odejmując jedną równość od drugiej, otrzymujemy
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 jest ogólnym rozwiązaniem odpowiedniego układu jednorodnego TOPÓR=0. Stąd, Y-Y 0 = X, Lub T=T 0 + X. co było do okazania
Niech układ niejednorodny będzie miał postać AX = B 1 + B 2 . Wtedy ogólne rozwiązanie takiego układu można zapisać jako X = X 1 + X 2 , gdzie AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Właściwość ta wyraża uniwersalną właściwość wszelkich układów liniowych w ogóle (algebraicznych, różniczkowych, funkcjonalnych itp.). W fizyce ta właściwość nazywa się zasada superpozycji, w elektrotechnice i radiu - zasada superpozycji. Na przykład w teorii liniowych obwodów elektrycznych prąd w dowolnym obwodzie można otrzymać jako sumę algebraiczną prądów powodowanych przez każde źródło energii z osobna.
Pozwalać M 0 – zbiór rozwiązań jednorodnego układu (4) równań liniowych.
Definicja 6.12. Wektory Z 1 ,Z 2 , …, ze str, które są rozwiązaniami jednorodnego układu równań liniowych, nazywane są podstawowy zbiór rozwiązań(w skrócie FNR), jeżeli
1) wektory Z 1 ,Z 2 , …, ze str liniowo niezależne (to znaczy, że żadnego z nich nie można wyrazić w kategoriach pozostałych);
2) każde inne rozwiązanie jednorodnego układu równań liniowych można wyrazić w postaci rozwiązań Z 1 ,Z 2 , …, ze str.
Zauważ, że jeśli Z 1 ,Z 2 , …, ze str– dowolne f.n.r., następnie wyrażenie k 1× Z 1 + k 2× Z 2 + … + k s× ze str możesz opisać cały zestaw M 0 rozwiązań układu (4), tak to się nazywa ogólny widok rozwiązania systemowego (4).
Twierdzenie 6.6. Każdy nieokreślony jednorodny układ równań liniowych ma podstawowy zbiór rozwiązań.
Sposób znalezienia podstawowego zbioru rozwiązań jest następujący:
Znajdź ogólne rozwiązanie jednorodnego układu równań liniowych;
Zbudować ( N – R) rozwiązania cząstkowe tego układu, przy czym wartości wolnych niewiadomych muszą tworzyć macierz tożsamości;
Zapisz ogólną postać rozwiązania zawartego w M 0 .
Przykład 6.5. Znajdź podstawowy zbiór rozwiązań następującego układu:
Rozwiązanie. Znajdźmy ogólne rozwiązanie tego systemu.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
W tym układzie jest pięć niewiadomych ( N= 5), z czego są dwie główne niewiadome ( R= 2), istnieją trzy wolne niewiadome ( N – R), czyli podstawowy zbiór rozwiązań zawiera trzy wektory rozwiązań. Zbudujmy je. Mamy X 1 i X 3 – główne niewiadome, X 2 , X 4 , X 5 – wolne niewiadome
Wartości wolnych niewiadomych X 2 , X 4 , X 5 tworzą macierz tożsamości mi trzecie zamówienie. Mam te wektory Z 1 ,Z 2 , Z 3 formularz f.n.r. tego systemu. Wtedy będzie zbiór rozwiązań tego jednorodnego układu M 0 = {k 1× Z 1 + k 2× Z 2 + k 3× Z 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).
Znajdźmy teraz warunki istnienia niezerowych rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych, czyli innymi słowy warunki istnienia podstawowego zbioru rozwiązań.
Jednorodny układ równań liniowych ma rozwiązania niezerowe, to znaczy nie jest pewne, czy
1) stopień macierzy głównej układu jest mniejszy od liczby niewiadomych;
2) w jednorodnym układzie równań liniowych liczba równań jest mniejsza niż liczba niewiadomych;
3) jeżeli w jednorodnym układzie równań liniowych liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, a wyznacznik macierzy głównej jest równy zero (tj. | A| = 0).
Przykład 6.6. Przy jakiej wartości parametru A jednorodny układ równań liniowych 
ma niezerowe rozwiązania?
Rozwiązanie. Skomponujmy główną macierz tego układu i znajdźmy jej wyznacznik: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Wyznacznik tej macierzy jest równy zeru w A = –4.
Odpowiedź: –4.
7. Arytmetyka N-wymiarowa przestrzeń wektorowa
Podstawowe koncepcje
W poprzednich rozdziałach zetknęliśmy się już z koncepcją zbioru liczb rzeczywistych ułożonych w określonej kolejności. Jest to macierz wierszowa (lub macierz kolumnowa) i rozwiązanie układu równań liniowych N nieznany. Informacje te można podsumować.
Definicja 7.1. N-wymiarowy wektor arytmetyczny zwany uporządkowanym zbiorem N liczby rzeczywiste.
Oznacza A= (za 1 , za 2 , …, za N), gdzie IО R, I = 1, 2, …, N– ogólny widok wektora. Numer N zwany wymiar wektory i liczby a I nazywają się jego współrzędne.
Na przykład: A= (1, –8, 7, 4, ) – wektor pięciowymiarowy.
Wszystko gotowe N wektory wymiarowe są zwykle oznaczane jako Rn.
Definicja 7.2. Dwa wektory A= (za 1 , za 2 , …, za N) I B= (b 1 , b 2 , …, b N) tego samego wymiaru równy wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współrzędne są równe, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a N= b N.
Definicja 7.3.Kwota dwa N-wektory wymiarowe A= (za 1 , za 2 , …, za N) I B= (b 1 , b 2 , …, b N) nazywa się wektorem A + B= (za 1 + b 1, za 2 + b 2, …, za N+b N).
Definicja 7.4. Praca prawdziwy numer k do wektora A= (za 1 , za 2 , …, za N) nazywa się wektorem k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a N)
Definicja 7.5. Wektor O= (0, 0, …, 0) jest wywoływane zero(Lub wektor zerowy).
Łatwo sprawdzić, że akcje (operacje) dodawania wektorów i mnożenia ich przez liczbę rzeczywistą mają następujące właściwości: „ A, B, C Î Rn, " k, l O R:
1) A + B = B + A;
2) A + (B+ C) = (A + B) + C;
3) A + O = A;
4) A+ (–A) = O;
5) 1× A = A, 1 О R;
6) k×( l× A) = l×( k× A) = (l× k)× A;
7) (k + l)× A = k× A + l× A;
8) k×( A + B) = k× A + k× B.
Definicja 7.6. Pęczek Rn z operacjami dodawania wektorów i mnożenia ich przez podaną na nim liczbę rzeczywistą arytmetyczna n-wymiarowa przestrzeń wektorowa.
Równanie liniowe nazywa się jednorodny, jeśli jego wolny termin jest równy zero, a w przeciwnym razie jest niejednorodny. Układ składający się z równań jednorodnych nazywa się jednorodnym i ma ogólną postać:
Jest oczywiste, że każdy układ jednorodny jest spójny i ma zerowe (trywialne) rozwiązanie. Dlatego w zastosowaniu do jednorodnych układów równań liniowych często trzeba szukać odpowiedzi na pytanie o istnienie rozwiązań niezerowych. Odpowiedź na to pytanie można sformułować w postaci następującego twierdzenia.
Twierdzenie . Jednorodny układ równań liniowych ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd jest mniejszy od liczby niewiadomych .
Dowód: Załóżmy, że układ o równym stopniu ma rozwiązanie niezerowe. Oczywiście nie przekracza. W przypadku, gdy system posiada unikalne rozwiązanie. Ponieważ układ jednorodnych równań liniowych zawsze ma rozwiązanie zerowe, wówczas rozwiązaniem zerowym będzie to unikalne rozwiązanie. Zatem niezerowe rozwiązania są możliwe tylko dla .
Wniosek 1 : Jednorodny układ równań, w którym liczba równań jest mniejsza od liczby niewiadomych, ma zawsze niezerowe rozwiązanie.
Dowód: Jeżeli układ równań ma , to ranga układu nie przekracza liczby równań, tj. . Zatem warunek jest spełniony i dlatego układ ma niezerowe rozwiązanie.
Konsekwencja 2 : Jednorodny układ równań z niewiadomymi ma niezerowe rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyznacznikiem jest zero.
Dowód: Załóżmy, że układ liniowych równań jednorodnych, którego macierz z wyznacznikiem ma niezerowe rozwiązanie. Zatem zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem, a to oznacza, że macierz jest osobliwa, tj. .
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego: SLU jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy ranga macierzy systemu jest równa rangi rozszerzonej macierzy tego systemu. Układ nazywa się spójnym, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie.Jednorodny układ liniowych równań algebraicznych.
Układ m równań liniowych z n zmiennymi nazywa się układem liniowych równań jednorodnych, jeśli wszystkie wolne wyrazy są równe 0. Układ liniowych równań jednorodnych jest zawsze spójny, ponieważ zawsze ma co najmniej zerowe rozwiązanie. Układ liniowych równań jednorodnych ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy rząd jego macierzy współczynników dla zmiennych jest mniejszy niż liczba zmiennych, tj. dla rangi A (n. Dowolna kombinacja liniowa
Rozwiązania systemowe Lin. jednorodny. ur-ii jest również rozwiązaniem dla tego systemu.
Układ liniowych rozwiązań niezależnych e1, e2,...,еk nazywa się podstawowym, jeżeli każde rozwiązanie układu jest liniową kombinacją rozwiązań. Twierdzenie: jeżeli rząd r macierzy współczynników dla zmiennych układu liniowych równań jednorodnych jest mniejszy od liczby zmiennych n, to każdy podstawowy układ rozwiązań układu składa się z n-r rozwiązań. Dlatego ogólne rozwiązanie układu liniowego. pewnego dnia ur-th ma postać: c1e1+c2e2+...+skek, gdzie e1, e2,..., ek jest dowolnym podstawowym systemem rozwiązań, c1, c2,...,ck są liczbami dowolnymi, a k=n-r. Ogólne rozwiązanie układu m równań liniowych z n zmiennymi jest równe sumie
rozwiązania ogólnego układu odpowiadającego mu jest jednorodne. równania liniowe i dowolne szczególne rozwiązanie tego układu.
7. Przestrzenie liniowe. Podprzestrzenie. Podstawa, wymiar. Powłoka liniowa. Przestrzeń liniowa nazywa się n-wymiarowy, jeśli zawiera układ wektorów liniowo niezależnych, a każdy układ o większej liczbie wektorów jest liniowo zależny. Numer jest wywoływany wymiar (liczba wymiarów) przestrzeń liniowa i jest oznaczona przez . Inaczej mówiąc, wymiar przestrzeni to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni. Jeśli taka liczba istnieje, wówczas przestrzeń nazywa się skończoną wymiarową. Jeżeli dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje w przestrzeni układ składający się z liniowo niezależnych wektorów, to taką przestrzeń nazywamy nieskończenie wymiarową (zapisane: ). W dalszej części, jeśli nie zaznaczono inaczej, rozważone zostaną przestrzenie skończenie wymiarowe.
Podstawą n-wymiarowej przestrzeni liniowej jest uporządkowany zbiór liniowo niezależnych wektorów ( wektory bazowe).
Twierdzenie 8.1 o rozwinięciu wektora w podstawie. Jeśli jest podstawą n-wymiarowej przestrzeni liniowej, wówczas dowolny wektor można przedstawić jako liniową kombinację wektorów bazowych:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
i w dodatku w jedyny sposób, tj. współczynniki są ustalane jednoznacznie. Innymi słowy, dowolny wektor przestrzeni można rozwinąć w bazę i to w unikalny sposób.
Rzeczywiście, wymiar przestrzeni jest. Układ wektorów jest liniowo niezależny (jest to baza). Po dodaniu dowolnego wektora do bazy otrzymujemy układ liniowo zależny (ponieważ układ ten składa się z wektorów przestrzeni n-wymiarowej). Korzystając z własności 7 liniowo zależnych i liniowo niezależnych wektorów, otrzymujemy wniosek twierdzenia.
System jednorodny jest zawsze spójny i ma trywialne rozwiązanie 
. Aby istniało nietrywialne rozwiązanie, konieczny jest rząd macierzy 
była mniejsza niż liczba niewiadomych:
.
Podstawowy system rozwiązań
układ jednorodny 
nazwać układ rozwiązań w postaci wektorów kolumnowych 
, które odpowiadają podstawie kanonicznej, tj. podstawa, w której dowolne stałe 
są na przemian ustawiane na wartość jeden, a pozostałe na zero.
Wówczas ogólne rozwiązanie układu jednorodnego ma postać:
Gdzie 
- dowolne stałe. Innymi słowy, rozwiązanie całościowe jest liniową kombinacją podstawowego układu rozwiązań.
Zatem rozwiązania podstawowe można otrzymać z rozwiązania ogólnego, jeśli niewiadomym wolnym zostanie po kolei nadana wartość jeden, przy czym wszystkie pozostałe będą równe zero.
Przykład. Znajdźmy rozwiązanie dla systemu
Zaakceptujmy, wtedy otrzymamy rozwiązanie w postaci:
Skonstruujmy teraz podstawowy układ rozwiązań:
.
Ogólne rozwiązanie zostanie zapisane jako:
Rozwiązania układu jednorodnych równań liniowych mają następujące właściwości:
Innymi słowy, każda liniowa kombinacja rozwiązań układu jednorodnego jest ponownie rozwiązaniem.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa
Rozwiązywanie układów równań liniowych interesuje matematyków od kilku stuleci. Pierwsze rezultaty uzyskano w XVIII wieku. W 1750 r. G. Kramer (1704–1752) opublikował swoje prace dotyczące wyznaczników macierzy kwadratowych i zaproponował algorytm znajdowania macierzy odwrotnej. W 1809 roku Gauss nakreślił nową metodę rozwiązywania, znaną jako metoda eliminacji.
Metoda Gaussa, czyli metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych, polega na tym, że za pomocą przekształceń elementarnych układ równań sprowadza się do układu równoważnego o postaci schodkowej (lub trójkątnej). Takie systemy umożliwiają sekwencyjne znajdowanie wszystkich niewiadomych w określonej kolejności.
Załóżmy, że w układzie (1) 
(co zawsze jest możliwe).
(1)
Mnożąc pierwsze równanie jeden po drugim przez tzw odpowiednie liczby
i dodając wynik mnożenia do odpowiednich równań układu, otrzymujemy układ równoważny, w którym we wszystkich równaniach oprócz pierwszego nie będzie niewiadomych X 1
(2)
Pomnóżmy teraz drugie równanie układu (2) przez odpowiednie liczby, zakładając, że 
,
i dodając go do niższych, eliminujemy zmienną 
ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.
Kontynuując ten proces, po 
krok otrzymujemy:
(3)
Jeśli co najmniej jedna z liczb 
nie jest równa zeru, to odpowiadająca jej równość jest sprzeczna i układ (1) jest niespójny. I odwrotnie, dla dowolnego wspólnego systemu liczbowego 
są równe zeru. Numer 
jest niczym innym jak stopniem macierzy układu (1).
Przejście z układu (1) do (3) nazywa się prosto Metoda Gaussa i znajdowanie niewiadomych z (3) – w odwrotnej kolejności .
Komentarz : Wygodniej jest przeprowadzić przekształcenia nie samymi równaniami, ale rozszerzoną macierzą układu (1).
Przykład. Znajdźmy rozwiązanie dla systemu
.
Napiszmy rozszerzoną macierz układu:
.
Dodajmy pierwszą do linii 2,3,4, pomnożoną odpowiednio przez (-2), (-3), (-2):
.
Zamieńmy wiersze 2 i 3, a następnie w wynikowej macierzy dodaj wiersz 2 do wiersza 4 i pomnóż przez 
:
.
Dodaj do linii 4 linię 3 pomnożoną przez 
:
.
To oczywiste 
zatem system jest spójny. Z powstałego układu równań
rozwiązanie znajdujemy poprzez odwrotne podstawienie:
,
,
,
.
Przykład 2. Znajdź rozwiązanie systemu:
.
Jest oczywiste, że system jest niekompatybilny, ponieważ 
, A 
.
Zalety metody Gaussa :
Mniej pracochłonna niż metoda Cramera.
Jednoznacznie stwierdza kompatybilność systemu i pozwala znaleźć rozwiązanie.
Umożliwia określenie rangi dowolnych macierzy.
System M równania liniowe c N zwane niewiadomymi układ liniowy jednorodny równania, jeśli wszystkie wolne wyrazy są równe zeru. Taki system wygląda następująco:
Gdzie i ij (ja = 1, 2, …, M; J = 1, 2, …, N) - podane liczby; x ja- nieznany.
Układ liniowych równań jednorodnych jest zawsze spójny, ponieważ R(A) = R(). Zawsze ma co najmniej zero ( trywialny) rozwiązanie (0; 0; …; 0).
Zastanówmy się, w jakich warunkach układy jednorodne mają niezerowe rozwiązania.
Twierdzenie 1. Układ liniowych równań jednorodnych ma rozwiązania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy rząd jego głównej macierzy wynosi R mniej niewiadomych N, tj. R < N.
□
1). Niech układ liniowych równań jednorodnych ma rozwiązanie niezerowe. Ponieważ ranga nie może przekraczać rozmiaru macierzy, to oczywiście R ≤ N. Pozwalać R = N. Następnie jeden z mniejszych rozmiarów n n różny od zera. Dlatego odpowiedni układ równań liniowych ma unikalne rozwiązanie: 
. Oznacza to, że nie ma innych rozwiązań niż trywialne. Jeśli więc istnieje nietrywialne rozwiązanie, to tak R < N.
2). Pozwalać R < N. Wtedy układ jednorodny, będąc spójnym, jest niepewny. Oznacza to, że ma nieskończoną liczbę rozwiązań, tj. ma niezerowe rozwiązania. ■
Rozważmy system jednorodny N równania liniowe c N nieznany:
(2)
Twierdzenie 2. System jednorodny N równania liniowe c N niewiadoma (2) ma rozwiązania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest równy zero: = 0.
□ Jeśli układ (2) ma rozwiązanie niezerowe, to = 0. Ponieważ gdy system ma tylko jedno rozwiązanie zerowe. Jeśli = 0, to ranga R główna macierz układu jest mniejsza niż liczba niewiadomych, tj. R < N. A zatem układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań, tj. ma niezerowe rozwiązania. ■
Oznaczmy rozwiązanie układu (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x rz = k n jako sznurek 
.
Rozwiązania układu liniowych równań jednorodnych mają następujące właściwości:
1.
Jeśli linia jest rozwiązaniem układu (1), to prosta jest rozwiązaniem układu (1).
2.
Jeśli linie 
I 
- rozwiązania układu (1), to dla dowolnych wartości Z 1 i Z 2 ich kombinacja liniowa jest również rozwiązaniem układu (1).
Ważność tych właściwości można zweryfikować poprzez bezpośrednie podstawienie ich do równań układu.
Z sformułowanych własności wynika, że każda liniowa kombinacja rozwiązań układu liniowych równań jednorodnych jest również rozwiązaniem tego układu.
Układ rozwiązań liniowo niezależnych mi 1 , mi 2 , …, e r zwany fundamentalny, jeśli każde rozwiązanie układu (1) jest kombinacją liniową tych rozwiązań mi 1 , mi 2 , …, e r.
Twierdzenie 3. Jeśli ranga R macierze współczynników dla zmiennych układu liniowych równań jednorodnych (1) są mniejsze od liczby zmiennych N, to każdy podstawowy system rozwiązań układu (1) składa się z nr – r decyzje.
Dlatego wspólna decyzja układ liniowych równań jednorodnych (1) ma postać:
Gdzie mi 1 , mi 2 , …, e r– dowolny podstawowy system rozwiązań układu (9), Z 1 , Z 2 , …, ze str– liczby dowolne, R = nr – r.
Twierdzenie 4. Ogólne rozwiązanie układu M równania liniowe c N niewiadome są równe sumie rozwiązania ogólnego odpowiedniego układu równań liniowych jednorodnych (1) i dowolnego rozwiązania szczególnego tego układu (1).
Przykład. Rozwiąż system
Rozwiązanie. Dla tego systemu M = N= 3. Wyznacznik
zgodnie z Twierdzeniem 2, system ma tylko trywialne rozwiązanie: X = y = z = 0.
Przykład. 1) Znajdź rozwiązania ogólne i szczegółowe układu
2) Znajdź podstawowy system rozwiązań.
Rozwiązanie. 1) Dla tego systemu M = N= 3. Wyznacznik
zgodnie z Twierdzeniem 2, system ma rozwiązania niezerowe.
Ponieważ w układzie istnieje tylko jedno niezależne równanie
X + y – 4z = 0,
wtedy z tego wyrazimy X =4z- y. Skąd otrzymujemy nieskończoną liczbę rozwiązań: (4 z- y, y, z) – jest to ogólne rozwiązanie układu.
Na z= 1, y= -1, otrzymujemy jedno konkretne rozwiązanie: (5, -1, 1). Układanie z= 3, y= 2, otrzymujemy drugie rozwiązanie częściowe: (10, 2, 3) itd.
2) W rozwiązaniu ogólnym (4 z- y, y, z) zmienne y I z są wolne i zmienna X– od nich zależny. Aby znaleźć podstawowy układ rozwiązań, przypiszmy wartości zmiennym wolnym: najpierw y = 1, z= 0, zatem y = 0, z= 1. Otrzymujemy rozwiązania cząstkowe (-1, 1, 0), (4, 0, 1), które tworzą podstawowy układ rozwiązań.
Ilustracje:
Ryż. 1 Klasyfikacja układów równań liniowych
Ryż. 2 Badanie układów równań liniowych
Prezentacje:
· Rozwiązanie Metoda SLAE_matrix
· Rozwiązanie metody SLAE_Cramer
· Rozwiązanie Metoda SLAE_Gaussa
· Pakiety do rozwiązywania problemów matematycznych Mathematica, MathCad: poszukiwanie rozwiązań analitycznych i numerycznych układów równań liniowych
Pytania kontrolne:
1. Zdefiniuj równanie liniowe
2. Jak to wygląda? M równania liniowe z N nieznany?
3. Co nazywa się rozwiązywaniem układów równań liniowych?
4. Jakie systemy nazywamy równoważnymi?
5. Który system nazywa się niekompatybilnym?
6. Jaki system nazywa się stawem?
7. Który układ nazywamy określonym?
8. Który system nazywa się nieokreślonym
9. Wymieniać przekształcenia elementarne układów równań liniowych
10. Wymień elementarne przekształcenia macierzy
11. Formułować twierdzenie o zastosowaniu przekształceń elementarnych do układu równań liniowych
12. Jakie układy można rozwiązać metodą macierzową?
13. Jakie układy można rozwiązać metodą Cramera?
14. Jakie układy można rozwiązać metodą Gaussa?
15. Wymień 3 możliwe przypadki, które pojawiają się przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Gaussa
16. Opisać metodę macierzową rozwiązywania układów równań liniowych
17. Opisać metodę Cramera rozwiązywania układów równań liniowych
18. Opisać metodę Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych
19. Jakie układy można rozwiązać za pomocą macierzy odwrotnej?
20. Wymień 3 możliwe przypadki, które pojawiają się przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Cramera
Literatura:
1. Matematyka wyższa dla ekonomistów: Podręcznik dla uniwersytetów / N.Sh. Kremer, BA Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. wyd. N.Sh. Kremera. – M.: JEDNOŚĆ, 2005. – 471 s.
2. Ogólny kurs matematyki wyższej dla ekonomistów: Podręcznik. / wyd. W I. Ermakowa. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 s.
3. Zbiór problemów matematyki wyższej dla ekonomistów: Podręcznik / pod red. V.I. Ermakowa. M.: INFRA-M, 2006. – 574 s.
4. Gmurman V. E. Przewodnik po rozwiązywaniu problemów w teorii prawdopodobieństwa i statystyce magmowej. - M.: Szkoła Wyższa, 2005. – 400 s.
5. Gmurmana. V.E. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. - M.: Szkoła Wyższa, 2005.
6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematyka wyższa w ćwiczeniach i problemach. Część 1, 2. – M.: Onyks XXI wieku: Pokój i edukacja, 2005. – 304 s. Część 1; – 416 s. Część 2.
7. Matematyka w ekonomii: Podręcznik: W 2 częściach / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finanse i Statystyka, 2006.
8. Shipachev V.S. Matematyka wyższa: Podręcznik dla studentów. uczelnie - M.: Szkoła Wyższa, 2007. - 479 s.
Powiązana informacja.