Uneori, în viață, există situații în care trebuie să vă adânciți în memorie în căutarea cunoștințelor școlare de mult uitate. De exemplu, trebuie să determinați suprafața unui teren în formă triunghiulară sau a venit timpul pentru o nouă renovare într-un apartament sau o casă privată și trebuie să calculați cât material va fi necesar pentru o suprafață cu o formă triunghiulară. A existat o perioadă în care ai putea rezolva o astfel de problemă în câteva minute, dar acum încerci cu disperare să-ți amintești cum să determini aria unui triunghi?

Nu vă faceți griji! La urma urmei, este destul de normal când creierul unei persoane decide să transfere cunoștințe neutilizate de multă vreme undeva într-un colț îndepărtat, din care uneori nu este atât de ușor să le extragi. Pentru a nu trebui să vă luptați cu căutarea cunoștințelor școlare uitate pentru a rezolva o astfel de problemă, acest articol conține diverse metode care facilitează găsirea zonei necesare a unui triunghi.

Este bine cunoscut faptul că un triunghi este un tip de poligon care este limitat la numărul minim posibil de laturi. În principiu, orice poligon poate fi împărțit în mai multe triunghiuri conectând vârfurile sale cu segmente care nu îi intersectează laturile. Prin urmare, cunoscând triunghiul, puteți calcula aria aproape oricărei figuri.

Dintre toate triunghiurile posibile care apar în viață, se pot distinge următoarele tipuri particulare: și dreptunghiulare.

Cel mai simplu mod de a calcula aria unui triunghi este atunci când unul dintre unghiurile sale este drept, adică în cazul unui triunghi dreptunghic. Este ușor de observat că este o jumătate de dreptunghi. Prin urmare, aria sa este egală cu jumătate din produsul laturilor care formează un unghi drept între ele.

Dacă cunoaștem înălțimea unui triunghi, coborât de la unul dintre vârfurile sale pe latura opusă, și lungimea acestei laturi, care se numește bază, atunci aria se calculează ca jumătate din produsul înălțimii și bazei. Aceasta se scrie folosind următoarea formulă:

S = 1/2*b*h, în care

S este aria necesară a triunghiului;

b, h - respectiv, înălțimea și baza triunghiului.

Este atât de ușor să calculați aria unui triunghi isoscel, deoarece înălțimea va diviza latura opusă și poate fi măsurată cu ușurință. Dacă aria este determinată, atunci este convenabil să luați lungimea uneia dintre laturile care formează un unghi drept ca înălțime.

Toate acestea sunt bineînțeles bune, dar cum să determinați dacă unul dintre unghiurile unui triunghi este drept sau nu? Dacă dimensiunea figurii noastre este mică, atunci putem folosi un unghi de construcție, un triunghi de desen, o carte poștală sau un alt obiect cu formă dreptunghiulară.

Dar dacă avem un teren triunghiular? În acest caz, procedați după cum urmează: numărați din partea de sus a presupusului unghi drept pe o parte un multiplu de distanță de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), iar pe cealaltă parte măsurați un multiplu de distanță de 4 în același proporție (40 cm, 160 cm, 4 m). Acum trebuie să măsurați distanța dintre punctele de capăt ale acestor două segmente. Dacă rezultatul este un multiplu de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), atunci putem spune că unghiul este corect.

Dacă lungimea fiecăreia dintre cele trei laturi ale figurii noastre este cunoscută, atunci aria triunghiului poate fi determinată folosind formula lui Heron. Pentru ca acesta să aibă o formă mai simplă, se folosește o nouă valoare, care se numește semiperimetru. Aceasta este suma tuturor laturilor triunghiului nostru, împărțite la jumătate. După ce semi-perimetrul a fost calculat, puteți începe să determinați aria folosind formula:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), unde

sqrt - rădăcină pătrată;

p - valoarea semiperimetrului (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - muchiile (laturile) triunghiului.

Dar dacă triunghiul are o formă neregulată? Există două moduri posibile aici. Primul dintre ele este să încercați să împărțiți o astfel de figură în două triunghiuri dreptunghiulare, a căror sumă a ariilor este calculată separat și apoi adăugată. Sau, dacă unghiul dintre două laturi și dimensiunea acestor laturi sunt cunoscute, atunci aplicați formula:

S = 0,5 * ab * sinC, unde

a,b - laturile triunghiului;

c este dimensiunea unghiului dintre aceste laturi.

Cel din urmă caz ​​este rar în practică, dar, cu toate acestea, totul este posibil în viață, așa că formula de mai sus nu va fi de prisos. Succes cu calculele tale!

Un triunghi este cea mai simplă figură geometrică, care constă din trei laturi și trei vârfuri. Datorita simplitatii sale, triunghiul a fost folosit inca din cele mai vechi timpuri pentru a lua diverse masuratori, iar astazi figura poate fi utila pentru rezolvarea problemelor practice si de zi cu zi.

Caracteristicile unui triunghi

Cifra a fost folosită pentru calcule încă din cele mai vechi timpuri, de exemplu, geodezii și astronomii operează cu proprietățile triunghiurilor pentru a calcula suprafețe și distanțe. Este ușor să exprimați aria oricărui n-gon prin aria acestei figuri, iar această proprietate a fost folosită de oamenii de știință antici pentru a obține formule pentru zonele poligoanelor. Lucrul constant cu triunghiuri, în special cu triunghiul dreptunghic, a devenit baza pentru o întreagă ramură a matematicii - trigonometria.

Geometria triunghiului

Proprietățile figurii geometrice au fost studiate din cele mai vechi timpuri: cele mai vechi informații despre triunghi au fost găsite în papirusurile egiptene de acum 4.000 de ani. Apoi figura a fost studiată în Grecia Antică și cele mai mari contribuții la geometria triunghiului au fost aduse de Euclid, Pitagora și Heron. Studiul triunghiului nu a încetat niciodată, iar în secolul al XVIII-lea, Leonhard Euler a introdus conceptul de ortocentru al unei figuri și de cerc Euler. La începutul secolelor al XIX-lea și al XX-lea, când părea că se știe absolut totul despre triunghi, Frank Morley a formulat teorema trisectoarelor unghiulare, iar Waclaw Sierpinski a propus triunghiul fractal.

Există mai multe tipuri de triunghiuri plate care ne sunt familiare de la cursurile de geometrie ale școlii:

• acut - toate colțurile figurii sunt acute;
• obtuz - figura are un unghi obtuz (mai mult de 90 de grade);
• dreptunghiular - figura conține un unghi drept egal cu 90 de grade;
• isoscel - un triunghi cu două laturi egale;
• echilateral - un triunghi cu toate laturile egale.
• Există tot felul de triunghiuri în viața reală și, în unele cazuri, este posibil să fie nevoie să calculăm aria unei figuri geometrice.

Aria unui triunghi

Aria este o estimare a cât de mult din plan o înconjoară o figură. Aria unui triunghi poate fi găsită în șase moduri, folosind laturile, înălțimea, unghiurile, raza cercului înscris sau circumscris, precum și folosind formula lui Heron sau calculând integrala dublă de-a lungul liniilor care delimitează planul. Cea mai simplă formulă pentru calcularea ariei unui triunghi este:

unde a este latura triunghiului, h este înălțimea acestuia.

Cu toate acestea, în practică, nu este întotdeauna convenabil pentru noi să găsim înălțimea unei figuri geometrice. Algoritmul calculatorului nostru vă permite să calculați zona știind:

• trei laturi;
• două laturi și unghiul dintre ele;
• o latură și două colțuri.

Pentru a determina aria prin trei laturi, folosim formula lui Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

unde p este semiperimetrul triunghiului.

Aria pe două laturi și un unghi se calculează folosind formula clasică:

S = a × b × sin(alfa),

unde alfa este unghiul dintre laturile a și b.

Pentru a determina aria în termeni de o latură și două unghiuri, folosim relația care:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Folosind o proporție simplă, determinăm lungimea celei de-a doua laturi, după care calculăm aria folosind formula S = a × b × sin(alfa). Acest algoritm este complet automatizat și trebuie doar să introduceți variabilele specificate și să obțineți rezultatul. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemple din viață

Dale de pavaj

Să presupunem că doriți să pavați podeaua cu plăci triunghiulare și, pentru a determina cantitatea de material necesară, trebuie să cunoașteți zona plăcilor de os și zona podelei. Să presupunem că trebuie să procesați 6 metri pătrați de suprafață folosind o țiglă ale cărei dimensiuni sunt a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Evident, pentru a calcula aria unui triunghi, calculatorul folosește formula lui Heron și dă Rezultatul:

Astfel, aria unui element de plăci va fi de 0,021 metri pătrați și veți avea nevoie de 6/0,021 = 285 de triunghiuri pentru îmbunătățirea podelei. Numerele 20, 21 și 29 formează un triplu - numere pitagoreice care satisfac . Și așa este, calculatorul nostru a calculat și toate unghiurile triunghiului, iar unghiul gamma este exact de 90 de grade.

Sarcina școlară

Într-o problemă școlară, trebuie să găsiți aria unui triunghi, știind că latura a = 5 cm, iar unghiurile alfa și beta sunt de 30, respectiv 50 de grade. Pentru a rezolva manual această problemă, vom găsi mai întâi valoarea laturii b folosind proporția raportului de aspect și sinusurile unghiurilor opuse, apoi vom determina aria folosind formula simplă S = a × b × sin(alfa). Să economisim timp, să introducem date în formularul calculatorului și să obținem un răspuns instantaneu

Când utilizați calculatorul, este important să indicați corect unghiurile și laturile, altfel rezultatul va fi incorect.

Concluzie

Triunghiul este o figură unică care se găsește atât în ​​viața reală, cât și în calculele abstracte. Utilizați calculatorul nostru online pentru a determina aria triunghiurilor de orice fel.

Din vârful opus) și împarte produsul rezultat la doi. Acesta arată astfel:

S = ½ * a * h,

Unde:
S – aria triunghiului,
a este lungimea laturii sale,
h este înălțimea coborâtă în această parte.

Lungimea laterală și înălțimea trebuie prezentate în aceleași unități de măsură. În acest caz, aria triunghiului va fi obținută în unitățile „ ” corespunzătoare.

Exemplu.
Pe o parte a unui triunghi scalen de 20 cm lungime, se coboară o perpendiculară de la vârful opus de 10 cm lungime.
Este necesară aria triunghiului.
Soluţie.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Dacă sunt cunoscute lungimile oricăror două laturi ale unui triunghi scalen și unghiul dintre ele, atunci utilizați formula:

S = ½ * a * b * sinγ,

unde: a, b sunt lungimile a două laturi arbitrare, iar γ este unghiul dintre ele.

În practică, de exemplu, atunci când se măsoară terenuri, utilizarea formulelor de mai sus este uneori dificilă, deoarece necesită construcție suplimentară și măsurarea unghiurilor.

Dacă cunoașteți lungimile tuturor celor trei laturi ale unui triunghi scalen, atunci utilizați formula lui Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – lungimile laturilor triunghiului,
p – semiperimetru: p = (a+b+c)/2.

Dacă, pe lângă lungimile tuturor laturilor, este cunoscută raza cercului înscris în triunghi, atunci utilizați următoarea formulă compactă:

unde: r – raza cercului înscris (р – semiperimetrul).

Pentru a calcula aria unui triunghi scalen și lungimea laturilor sale, utilizați formula:

unde: R – raza cercului circumscris.

Dacă lungimea uneia dintre laturile triunghiului și a trei unghiuri sunt cunoscute (în principiu, două sunt suficiente - valoarea celui de-al treilea este calculată din egalitatea sumei celor trei unghiuri ale triunghiului - 180º), atunci utilizați formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

unde α este valoarea unghiului opus laturii a;
β, γ – valorile celor două unghiuri rămase ale triunghiului.

Necesitatea de a găsi diverse elemente, inclusiv zonă triunghi, a apărut cu multe secole î.Hr. printre astronomii învățați ai Greciei Antice. Pătrat triunghi poate fi calculată în moduri diferite folosind formule diferite. Metoda de calcul depinde de ce elemente triunghi cunoscut.

Instrucţiuni

Dacă din condiție cunoaștem valorile a două laturi b, c și unghiul format de acestea?, atunci aria triunghi ABC se găsește după formula:
S = (bcsin?)/2.

Dacă din condiție cunoaștem valorile a două laturi a, b și unghiul neformat de acestea?, atunci aria triunghi ABC se găsește după cum urmează:
Găsirea unghiului?, păcat? = bsin?/a, apoi utilizați tabelul pentru a determina unghiul în sine.
Găsirea unghiului?, ? = 180°-?-?.
Găsim zona în sine S = (absin?)/2.

Dacă din condiție cunoaștem valorile doar a trei laturi triunghi a, b și c, apoi aria triunghi ABC se găsește după formula:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , unde p este semiperimetrul p = (a+b+c)/2

Daca din conditiile problema stim inaltimea triunghi h și latura la care se coboară această înălțime, apoi zona triunghi ABC după formula:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Dacă cunoaştem semnificaţiile laturilor triunghi a, b, c și raza descrisă despre aceasta triunghi R, apoi zona acesteia triunghi ABC este determinat de formula:
S = abc/4R.
Dacă sunt cunoscute trei laturi a, b, c și raza celor înscrise în, atunci aria triunghi ABC se găsește după formula:
S = pr, unde p este semiperimetrul, p = (a+b+c)/2.

Dacă ABC este echilateral, atunci aria se găsește cu formula:
S = (a^2v3)/4.
Dacă triunghiul ABC este isoscel, atunci aria este determinată de formula:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, unde c – triunghi.
Dacă triunghiul ABC este dreptunghic, atunci aria este determinată de formula:
S = ab/2, unde a și b sunt catete triunghi.
Dacă triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic isoscel, atunci aria este determinată de formula:
S = c^2/4 = a^2/2, unde c este ipotenuza triunghi, a=b – picior.

Video pe tema

Surse:

• cum se măsoară aria unui triunghi

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui triunghi dacă unghiul este cunoscut

Cunoașterea unui singur parametru (unghiul) nu este suficientă pentru a găsi zona tre pătrat . Dacă există dimensiuni suplimentare, atunci pentru a determina zona puteți alege una dintre formulele în care valoarea unghiului este, de asemenea, utilizată ca una dintre variabilele cunoscute. Mai jos sunt prezentate mai multe dintre formulele cele mai frecvent utilizate.

Instrucţiuni

Dacă, pe lângă mărimea unghiului (γ) format de cele două laturi tre pătrat , se cunosc de asemenea lungimile acestor laturi (A si B). pătrat(S) unei figuri poate fi definită ca jumătate din produsul lungimilor laturilor și sinusul acestui unghi cunoscut: S=½×A×B×sin(γ).

Pentru a determina aria unui triunghi, puteți utiliza diferite formule. Dintre toate metodele, cea mai ușoară și mai des folosită este să înmulțiți înălțimea cu lungimea bazei și apoi să împărțiți rezultatul la două. Cu toate acestea, această metodă este departe de a fi singura. Mai jos puteți citi cum să găsiți aria unui triunghi folosind diferite formule.

Separat, vom analiza modalități de a calcula aria unor tipuri specifice de triunghiuri - dreptunghiulare, isoscel și echilaterale. Însoțim fiecare formulă cu o scurtă explicație care vă va ajuta să înțelegeți esența ei.

Metode universale pentru găsirea ariei unui triunghi

Formulele de mai jos folosesc notație specială. Vom descifra fiecare dintre ele:

• a, b, c – lungimile celor trei laturi ale figurii pe care o luăm în considerare;
• r este raza cercului care poate fi înscris în triunghiul nostru;
• R este raza cercului care poate fi descris în jurul acestuia;
• α este mărimea unghiului format de laturile b și c;
• β este mărimea unghiului dintre a și c;
• γ este mărimea unghiului format de laturile a și b;
• h este înălțimea triunghiului nostru, coborâtă din unghiul α în latura a;
• p – jumătate din suma laturilor a, b și c.

Este clar din punct de vedere logic de ce puteți găsi aria unui triunghi în acest fel. Triunghiul poate fi completat cu ușurință într-un paralelogram, în care o latură a triunghiului va acționa ca o diagonală. Aria unui paralelogram se găsește prin înmulțirea lungimii uneia dintre laturile sale cu valoarea înălțimii trase de el. Diagonala împarte acest paralelogram condiționat în 2 triunghiuri identice. Prin urmare, este destul de evident că aria triunghiului nostru original trebuie să fie egală cu jumătate din aria acestui paralelogram auxiliar.

S=½ a b sin γ

Conform acestei formule, aria unui triunghi se găsește înmulțind lungimile celor două laturi ale sale, adică a și b, cu sinusul unghiului format de acestea. Această formulă este derivată logic din cea anterioară. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul β la latura b, atunci, conform proprietăților unui triunghi dreptunghic, atunci când înmulțim lungimea laturii a cu sinusul unghiului γ, obținem înălțimea triunghiului, adică h. .

Aria figurii în cauză se găsește înmulțind jumătate din raza cercului care poate fi înscris în el cu perimetrul său. Cu alte cuvinte, găsim produsul semiperimetrului și raza cercului menționat.

S= a b c/4R

Conform acestei formule, valoarea de care avem nevoie poate fi găsită împărțind produsul laturilor figurii la 4 raze ale cercului descris în jurul acesteia.

Aceste formule sunt universale, deoarece fac posibilă determinarea ariei oricărui triunghi (scalen, isoscel, echilateral, dreptunghiular). Acest lucru se poate face folosind calcule mai complexe, asupra cărora nu ne vom opri în detaliu.

Arii de triunghiuri cu proprietăți specifice

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic? Particularitatea acestei figuri este că cele două laturi ale sale sunt simultan înălțimile sale. Dacă a și b sunt catete și c devine ipotenuză, atunci găsim aria astfel:

Cum să găsiți aria unui triunghi isoscel? Are două laturi cu lungimea a și o parte cu lungimea b. În consecință, aria sa poate fi determinată împărțind la 2 produsul pătratului laturii a la sinusul unghiului γ.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral? În ea, lungimea tuturor laturilor este egală cu a, iar mărimea tuturor unghiurilor este α. Înălțimea sa este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii a și rădăcinii pătrate a lui 3. Pentru a găsi aria unui triunghi obișnuit, trebuie să înmulțiți pătratul laturii a cu rădăcina pătrată a lui 3 și să împărțiți la 4.

Un triunghi este o figură geometrică care constă din trei linii drepte care se leagă în puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Punctele de legătură ale liniilor sunt vârfurile triunghiului, care sunt desemnate prin litere latine (de exemplu, A, B, C). Liniile drepte de legătură ale unui triunghi se numesc segmente, care sunt de obicei notate cu litere latine. Se disting următoarele tipuri de triunghiuri:

• Dreptunghiular.
• Obtuz.
• Unghiar acut.
• Versatil.
• Echilateral.
• Isoscel.

Formule generale pentru calcularea ariei unui triunghi

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe lungime și înălțime

S= a*h/2,
unde a este lungimea laturii triunghiului a cărui zonă trebuie găsită, h este lungimea înălțimii trasate la bază.

Formula lui Heron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
unde √ este rădăcina pătrată, p este semiperimetrul triunghiului, a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului. Semiperimetrul unui triunghi poate fi calculat folosind formula p=(a+b+c)/2.

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe unghiul și lungimea segmentului

S = (a*b*sin(α))/2,
unde b,c este lungimea laturilor triunghiului, sin(α) este sinusul unghiului dintre cele două laturi.

Formula pentru aria unui triunghi având în vedere raza cercului înscris și trei laturi

S=p*r,
unde p este semiperimetrul triunghiului a cărui zonă trebuie găsită, r este raza cercului înscris în acest triunghi.

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumscris în jurul acestuia

S= (a*b*c)/4*R,
unde a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului, R este raza cercului circumscris triunghiului.

Formula pentru aria unui triunghi folosind coordonatele carteziene ale punctelor

Coordonatele carteziene ale punctelor sunt coordonate în sistemul xOy, unde x este abscisa, y este ordonata. Sistemul de coordonate carteziene xOy pe un plan este axele numerice reciproc perpendiculare Ox și Oy cu origine comună în punctul O. Dacă coordonatele punctelor din acest plan sunt date sub forma A(x1, y1), B(x2, y2). ) și C(x3, y3 ), atunci puteți calcula aria triunghiului folosind următoarea formulă, care se obține din produsul vectorial al doi vectori.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
unde || reprezintă modul.

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi cu un unghi care măsoară 90 de grade. Un triunghi poate avea doar un astfel de unghi.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic pe două laturi

S= a*b/2,
unde a,b este lungimea picioarelor. Picioarele sunt laturile adiacente unui unghi drept.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic bazată pe ipotenuză și unghiul ascuțit

S = a*b*sin(α)/ 2,
unde a, b sunt catetele triunghiului, iar sin(α) este sinusul unghiului la care se intersectează liniile a, b.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic bazată pe latura și unghiul opus

S = a*b/2*tg(β),
unde a, b sunt catetele triunghiului, tan(β) este tangenta unghiului la care catetele a, b sunt conectate.

Cum se calculează aria unui triunghi isoscel

Un triunghi isoscel este unul care are două laturi egale. Aceste laturi se numesc laturi, iar cealalta parte este baza. Pentru a calcula aria unui triunghi isoscel, puteți utiliza una dintre următoarele formule.

Formula de bază pentru calcularea ariei unui triunghi isoscel

S=h*c/2,
unde c este baza triunghiului, h este înălțimea triunghiului coborât la bază.

Formula unui triunghi isoscel bazat pe latură și bază

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
unde c este baza triunghiului, a este dimensiunea uneia dintre laturile laterale ale triunghiului isoscel.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale. Pentru a calcula aria unui triunghi echilateral, puteți folosi următoarea formulă:
S = (√3*a*a)/4,
unde a este lungimea laturii triunghiului echilateral.

Formulele de mai sus vă vor permite să calculați aria necesară a triunghiului. Este important să rețineți că pentru a calcula aria triunghiurilor, trebuie să luați în considerare tipul de triunghi și datele disponibile care pot fi utilizate pentru calcul.