Взгляните ещё раз на рисунки линз из предыдущего листка: эти линзы обладают заметной толщиной и существенной кривизной своих сферических границ. Мы намеренно рисовали такие линзы чтобы основные закономерности хода световых лучей проявились как можно более чётко.
4.5.1 Понятие тонкой линзы
Теперь, когда эти закономерности достаточно ясны, мы рассмотрим очень полезную идеализацию, которая называется тонкой линзой. В качестве примера на рис. 4.24 приведена двояковыпуклая линза; точки O1 и O2 являются центрами её сферических поверхностей6 , R1 и R2 радиусы кривизны этих поверхностей.
Рис. 4.24. К определению тонкой линзы
Так вот, линза считается тонкой, если её толщина MN очень мала. Нужно, правда, уточнить: мала по сравнению с чем?
Во-первых, предполагается, что MN R1 и MN R2 . Тогда поверхности линзы хоть и будут выпуклыми, но могут восприниматься как ¾почти плоские¿. Этот факт нам очень скоро пригодится.
Во-вторых, MN a, где a характерное расстояние от линзы до интересующего нас предмета. Собственно, лишь в таком случае мы и сможем корректно говорить о ¾расстоянии от предмета до линзы¿, не уточняя, до какой именно точки линзы берётся это самое расстояние.
Мы дали определение тонкой линзы, имея в виду двояковыпуклую линзу на рис. 4.24 . Это определение без каких-либо изменений переносится на все остальные виды линз. Итак: линза является тонкой, если толщина линзы много меньше радиусов кривизны её сферических границ и расстояния от линзы до предмета.
Условное обозначение тонкой собирающей линзы показано на рис. 4.25 .
Рис. 4.25. Обозначение тонкой собирающей линзы
6 Напомним, что прямая O1 O2 называется главной оптической осью линзы.
Условное обозначение тонкой рассеивающей линзы показано на рис. 4.26 .
Рис. 4.26. Обозначение тонкой рассеивающей линзы
В каждом случае прямая F F это главная оптическая ось линзы, а сами точки F её фокусы. Оба фокуса тонкой линзы расположены симметрично относительно линзы.
4.5.2 Оптический центр и фокальная плоскость
Точки M и N, обозначенные на рис. 4.24 , у тонкой линзы фактически сливаются в одну точку. Это точка O на рис.4.25 и4.26 , называемая оптическим центром линзы. Оптический центр находится на пересечении линзы с её главной оптической осью.
Расстояние OF от оптического центра до фокуса называется фокусным расстоянием линзы. Мы будем обозначать фокусное расстояние буквой f. Величина D, обратная фокусному расстоянию, есть оптическая сила линзы:
D = f 1 :
Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). Так, если фокусное расстояние линзы равно 25 см, то её оптическая сила:
D = 0; 1 25 = 4 дптр:
Продолжаем знакомиться с новыми понятиями. Всякая прямая, проходящая через оптический центр линзы и отличная от главной оптической оси, называется побочной оптической осью. На рис. 4.27 изображена побочная оптическая ось прямая OP .
P (побочный фокус)
(фокальная плоскость)
Рис. 4.27. Побочная оптическая ось, фокальная плоскость и побочный фокус
Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. Фокальная плоскость, таким образом, параллельна плоскости линзы. Имея два фокуса, линза соответственно имеет и две фокальных плоскости, расположенных симметрично относительно линзы.
Точка P , в которой побочная оптическая ось пересекает фокальную плоскость, называется побочным фокусом. Собственно, каждая точка фокальной плоскости (кроме F) есть побочный фокус мы ведь всегда сможем провести побочную оптическую ось, соединив данную точку с оптическим центром линзы. А сама точка F фокус линзы в связи с этим называется ещё
главным фокусом.
То, что на рис. 4.27 изображена собирающая линза, никакой роли не играет. Понятия побочной оптической оси, фокальной плоскости и побочного фокуса совершенно аналогично определяются и для рассеивающей линзы с заменой на рис.4.27 собирающей линзы на рассеивающую.
Теперь мы переходим к рассмотрению хода лучей в тонких линзах. Мы будем предполагать, что лучи являются параксиальными, то есть образуют достаточно малые углы с главной оптической осью. Если параксиальные лучи исходят из одной точки, то после прохождения линзы преломлённые лучи или их продолжения также пересекаются в одной точке. Поэтому изображения предметов, даваемые линзой, в параксиальных лучах получаются весьма чёткими.
4.5.3 Ход луча через оптический центр
Как мы знаем из предыдущего раздела, луч, идущий вдоль главной оптической оси, не преломляется. В случае тонкой линзы оказывается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, также не преломляется!
Объяснить это можно следующим образом. Вблизи оптического центра O обе поверхности линзы неотличимы от параллельных плоскостей, и луч в данном случае идёт как будто через плоскопараллельную стеклянную пластинку (рис. 4.28 ).
Рис. 4.28. Ход луча через оптический центр линзы
Угол преломления луча AB равен углу падения преломлённого луча BC на вторую поверхность. Поэтому второй преломлённый луч CD выходит из плоскопараллельной пластинки параллельно падающему лучу AB. Плоскопараллельная пластинка лишь смещает луч, не изменяя его направления, и это смещение тем меньше, чем меньше толщина пластинки.
Но для тонкой линзы мы можем считать, что эта толщина равна нулю. Тогда точки B, O и C фактически сольются в одну точку, и луч CD окажется просто продолжением луча AB. Вот поэтому и получается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, не преломляется тонкой линзой (рис. 4.29 ).
Рис. 4.29. Луч, идущий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется
Это единственное общее свойство собирающих и рассеивающих линз. В остальном ход лучей в них оказывается различным, и дальше нам придётся рассматривать собирающую и рассеивающую линзу по отдельности.
4.5.4 Ход лучей в собирающей линзе
Как мы помним, собирающая линза называется так потому, что световой пучок, параллельный главной оптической оси, после прохождения линзы собирается в её главном фокусе (рис. 4.30 ).
Рис. 4.31. Преломление пучка, идущего из главного фокуса
Оказывается, что пучок параллельных лучей, падающих на собирающую линзу наклонно, тоже соберётся в фокусе но в побочном. Этот побочный фокус P отвечает тому лучу, который проходит через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 4.32 ).
Рис. 4.32. Параллельный пучок собирается в побочном фокусе
Теперь мы можем сформулировать правила хода лучей в собирающей линзе. Эти правила вытекают из рисунков 4.29 –4.32 .
1. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется.
а) Нарисуйте ход двух параллельных лучей (см. рис. а) и докажите, что после преломления в линзе эти лучи пересекутся в точке, лежащей в фокальной плоскости линзы. 6) На собирающую линзу падают лучи, исходящие из точки, расположенной в фокальной плоскости линзы (см. рис. б). Нарисуйте ход этих лучей и докажите, что после преломления в линзе эти лучи станут параллельными.
Источники:
1.Решение ключевых задач по физике для основной школы. 7-9 классы. Генденштейн Л.Э., Кирик Л.А., Гельфгат И.М
2. Задачи по физике для поступающих в ВУЗы Бендриков, Буховцев и др.
Указание. а) См. рис. а. Можно доказать, что в этой же точке, лежащей в фокальной плоскости линзы, пересекутся после преломления в линзе все лучи параллельного пучка, падающие на линзу. б) См. рис. б. Можно доказать, что все лучи, исходящие из точки, находящейся в фокальной плоскости линзы, после преломления в линзе будут идти параллельным пучком (направление этого пучка легко найти, рассматривая луч, проходящий через оптический центр). 
Если картинка в решении отображается размыто - нажмите на нее, и она откроется в хорошем качестве.
Преломление света - изменение направления распространения оптического излучения (света) при его прохождении через границу раздела двух сред.
Законы преломления света:
1) Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, восставленный в точку падения к границе раздела двух сред, лежат в одной плоскости.
2) Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данной пары сред. Эта постоянная называется показателем преломления n 21 второй среды относительно первой:
Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления n 21 =n 2 /n 1
Абсолютным показателем преломления среды называется величина n, равная отношению скорости с электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости v в среде n=c/v
3) Луч света, падающий на поверхность раздела двух сред перпендикулярно поверхности, проходит в другую среду, не преломляясь.
4) Падающий и преломленный лучи обратимы: если падающий луч направить по пути преломленного луча, то преломленный луч пойдет по пути падающего луча.
Полное внутреннее отражение - отражение света на поверхности раздела двух прозрачных веществ, не сопровождаемое преломлением. Полное внутреннее отражение происходит при падении пучка света на поверхность, отделяющую данную среду от другой, оптически менее плотной среды, когда угол падения больше предельного угла преломления.
Ход лучей в линзе .
Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой
линзы мала по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют тонкой .
Линзы бывают собирающими и рассеивающими. Собирающие (положительные) линзы - это линзы, преобразующие пучок параллельных лучей в сходящийся. Рассеивающие (отрицательные) линзы - это линзы, преобразующие пучок параллельных лучей в расходящийся. Линзы, у которых середины толще чем края - собирающие, а у которых толще края - рассеивающие.
Прямая, проходящая через центры кривизны O1 и O2 сферических поверхностей, называется главной оптической осью линзы . В случае тонких линз приближенно можно считать, что главная оптическая ось пересекается с линзой в одной точке, которую принято называть оптическим центром линзы O . Луч света проходит через оптический центр линзы, не отклоняясь от первоначального направления. Все прямые, проходящие через оптический центр, называются побочными оптическими осями.
Если на линзу направить пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после прохождения через линзу лучи (или их продолжения) соберутся в одной точке F, которая называется главным фокусом линзы. У тонкой линзы имеются два главных фокуса, расположенных симметрично на главной оптической оси относительно линзы. У собирающих линз фокусы действительные, у рассеивающих – мнимые. Пучки лучей, параллельных одной из побочных оптических осей, после прохождения через линзу также фокусируются в точку F", которая расположена при пересечении побочной оси с фокальной плоскостью Ф, то есть плоскостью, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус. Расстояние между оптическим центром линзы O и главным фокусом F называется фокусным расстоянием. Оно обозначаетcя той же буквой F. У собирающей линзы считают F > 0, у рассеивающей F < 0.
Величину D, обратную фокусному расстоянию, называют оптической силой линзы. Единицей измерения оптической силы в СИ является диоптрия (дптр).
Ход лучей в линзах
Основное свойство линз – способность давать изображения предметов. Изображения бывают прямыми или перевернутыми, действительными или мнимыми, увеличенными или уменьшенными.
Положение изображения и его характер можно определить с помощью геометрических построений. Для этого используют свойства некоторых стандартных лучей (замечательных лучей), ход которых известен. Это лучи, проходящие через оптический центр или один из фокусов линзы, а также лучи, параллельные главной или одной из побочных оптических осей. Построение изображения в тонкой линзе:
1. Луч, параллельный главной оптической оси, проходит через точку главного фокуса.
2. Луч, параллельный побочной оптической оси, проходит через побочный фокус (точку на побочной оптической оси).
3. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется.
4. Действительное изображение - пересечение лучей. Мнимое изображение - пересечение продолжений лучей
Собирающая линза
1. Если предмет располагается за двойным фокусом.
Чтобы построить изображение предмета, нужно пустить два луча. Первый луч проходит из верхней точки предмета параллельно главной оптической оси. На линзе луч преломляется и проходит через точку фокуса. Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета через оптический центр линзы, он пройдет, не преломившись. На пересечении двух лучей ставим точку А’. Это и будет изображение верхней точки предмета. Точно так же строится изображение нижней точки предмета. В результате построения получается уменьшенное, перевернутое, действительное изображение.
2.Если предмет располагается в точке двойного фокуса.
Для построения необходимо использовать два луча. Первый луч проходит из верхней точки предмета параллельно главной оптической оси. На линзе луч преломляется и проходит через точку фокуса. Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета через оптический центр линзы, он пройдет через линзу, не преломившись. На пересечении двух лучей ставим точку А1. Это и будет изображение верхней точки предмета. Точно так же строится изображение нижней точки предмета. В результате построения получается изображение, высота которого совпадает с высотой предмета. Изображение является перевернутым и действительным
3. Если предмет располагается в пространстве между фокусом и двойным фокусом
Для построения необходимо использовать два луча. Первый луч проходит из верхней точки предмета параллельно главной оптической оси. На линзе луч преломляется и проходит через точку фокуса. Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета через оптический центр линзы. Через линзу он проходит, не преломившись. На пересечении двух лучей ставим точку А’. Это и будет изображение верхней точки предмета. Точно так же строится изображение нижней точки предмета. В результате построения получается увеличенное, перевернутое, действительное изображение
Рассеивающая линза
Предмет располагается перед рассеивающей линзой.
Для построения необходимо использовать два луча. Первый луч проходит из верхней точки предмета параллельно главной оптической оси. На линзе луч преломляется таким образом, что продолжение этого луча пойдет в фокус. А второй луч, который проходит через оптический центр, пересекает продолжение первого луча в точке А’, – это и будет изображение верхней точки предмета.Таким же образом строится изображение нижней точки предмета. В результате получается прямое, уменьшенное, мнимое изображение. При перемещении предмета относительно рассеивающей линзы всегда получается прямое, уменьшенное, мнимое изображение. При перемещении предмета относительно рассеивающей линзы всегда получается прямое, уменьшенное, мнимое изображение.
Положение изображения и его характер (действительное или мнимое) можно также рассчитать с помощью
формулы тонкой линзы. Если расстояние от предмета до линзы обозначить через d, а расстояние от линзы до изображения через f, то формулу тонкой линзы можно записать в виде:
Величины d и f также подчиняются определенному правилу знаков: d > 0 и f > 0 – для действительных предметов
(то есть реальных источников света, а не продолжений лучей, сходящихся за линзой) и изображений; d < 0 и f < 0 – для мнимых источников и изображений.
17262 0
Наибольшее значение для оптометрии имеет прохождение света через линзы. Линзой называют тело из прозрачного материала, ограниченное двумя преломляющими поверхностями, из которых хотя бы одна является поверхностью вращения.
Рассмотрим простейшую линзу — тонкую, ограниченную одной сферической и одной плоской поверхностью. Такую линзу называют сферической. Она представляет собой сегмент, отпиленный от стеклянного шара. Линия АО, соединяющая центр шара с центром линзы, называется ее оптической осью. На разрезе такую линзу можно представить как пирамиду, сложенную из маленьких призм с нарастающим углом при вершине.
Лучи, входящие в линзу и параллельные ее оси, претерпевают преломление тем большее, чем дальше они отстоят от оси. Можно показать, что все они пересекут оптическую ось в одной точке (F"). Эта точка называется фокусом линзы (точнее, задним фокусом). Такую же точку имеет и линза с вогнутой преломляющей поверхностью, но ее фокус находится с той же стороны, откуда входят лучи. Расстояние от фокусной точки до центра линзы называется ее фокусным расстоянием (f"). Величина, обратная фокусному расстоянию, характеризует преломляющую силу, или рефракцию, линзы (D):
Где D — преломляющая сила линзы, дптр; f — фокусное расстояние, м;
Преломляющая сила линзы измеряется в диоптриях. Это основная единица в оптометрии. За 1 диоптрию (D, дптр) принята преломляющая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м. Следовательно, линза с фокусным расстоянием 0,5 м обладает преломляющей силой 2,0 дптр, 2 м — 0,5 дптр и т. д. Преломляющая сила выпуклых линз имеет положительное значение, вогнутых — отрицательное.
Не только лучи, параллельные оптической оси, проходя через выпуклую сферическую линзу, сходятся в одной точке. Лучи, исходящие из любой точки слева от линзы (не ближе фокусной), сходятся в другую точку справа от нее. Благодаря этому сферическая линза обладает свойством формировать изображения предметов.
Так же как плосковыпуклые и плосковогнутые линзы, действуют линзы, ограниченные двумя сферическими поверхностями,—двояковыпуклые, двояковогнутые и выпукло-вогнутые. В очковой оптике применяются главным образом выпукло-вогнутые линзы, или мениски. От того, какая поверхность имеет большую кривизну, зависит общее действие линзы.
Действие сферических линз называют стигматическим (от греч. — точка), так как они формируют изображение точки в пространстве в виде точки.
Следующие виды линз — цилиндрические и торические. Выпуклая цилиндрическая линза имеет свойство собирать падающий на нее пучок параллельных лучей в линию, параллельную оси цилиндра. Прямую F1F2 по аналогии с фокусной точкой сферической линзы называют фокальной линией.
Цилиндрическая поверхность при пересечении ее плоскостями, проходящими через оптическую ось, образует в сечениях окружность, эллипсы и прямую. Два таких сечения называются главными: одно проходит через ось цилиндра, другое — перпендикулярно ему. В первом сечении образуется прямая, во втором — окружность. Соответственно в цилиндрической линзе различают два главных сечения, или меридиана, — ось и деятельное сечение. Нормальные лучи, падающие на ось линзы, не подвергаются преломлению, а падающие на деятельное сечение, собираются на фокальной линии, в точке ее пересечения с оптической осью.
Более сложной является линза с торической поверхностью, которая образуется при вращении окружности или дуги радиусом r вокруг оси. Радиус вращения R не равен радиусу r.
Существует два условно разных типа задач:
- задачи на построение в собирающей и рассеивающей линзах
- задачи на формулу для тонкой линзы
Первый тип задач основан на фактическом построении хода лучей от источника и поиска пересечения преломлённых в линзах лучей. Рассмотрим ряд изображений, полученных от точечного источника, который будем помещать на различных расстояниях от линз. Для собирающей и рассеивающей линзу существуют рассмотренные (не нами) траектории распространения луча (рис. 1) от источника .
Рис.1. Собирающая и рассеивающая линзы (ход лучей)
Для собирающей линзы (рис. 1.1) лучи:
- синий. Луч, идущий вдоль главной оптической оси, после преломления проходит через передний фокус.
- красный. Луч, идущий через передний фокус, после преломления распространяется параллельно главной оптической оси.
Пересечение любых из этих двух лучей (чаще всего выбирают лучи 1 и 2) дают ().
Для рассеивающей линзы (рис. 1.2) лучи:
- синий. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, преломляется так, что продолжения луча проходит через задний фокус.
- зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).
Пересечение продолжений рассмотренных лучей даёт ().
Аналогично , получим набор изображений от предмета, расположенного на различных расстояниях от зеркала. Введём те же обозначения: пусть — расстояние от предмета до линзы, — расстояние от изображения до линзы, — фокусное расстояние (расстояние от фокуса до линзы).
Для собирающей линзы :
Рис. 2. Собирающая линза (источник в бесконечности)
Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе проходят через фокус, то точка фокуса и является точкой пересечения преломлённых лучей, тогда она же и есть изображение источника (точечное, действительное ).
Рис. 3. Собирающая линза (источник за двойным фокусом)
Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Для визуализации изображения введём описание предмета через стрелку. Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (уменьшенное, действительное, перевёрнутое ). Положение — между фокусом и двойным фокусом.
Рис. 4. Собирающая линза (источник в двойном фокусе)
того же размера, действительное, перевёрнутое ). Положение — ровно в двойном фокусе.
Рис. 5. Собирающая линза (источник между двойным фокусом и фокусом)
Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (увеличенное, действительное, перевёрнутое ). Положение — за двойным фокусом.
Рис. 6. Собирающая линза (источник в фокусе)
Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). В этом случае, оба преломлённых луча оказались параллельными друг другу, т.е. точка пересечения отражённых лучей отсутствует. Это говорит о том, что изображения нет .
Рис. 7. Собирающая линза (источник перед фокусом)
Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Однако преломлённые лучи расходятся, т.е. сами преломлённые лучи не пересекутся, зато могут пересечься продолжения этих лучей. Точка пересечения продолжений преломлённых лучей — изображение (увеличенное, мнимое, прямое ). Положение — по ту же сторону, что и предмет.
Для рассеивающей линзы построение изображений предметов практически не зависит от положения предмета, так что ограничимся произвольным положением самого предмета и характеристикой изображения.
Рис. 8. Рассеивающая линза (источник в бесконечности)
Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе должны проходить через фокус (свойство фокуса), однако после преломления в рассеивающей линзе лучи должны расходится. Тогда в фокусе сходятся продолжения преломившихся лучей. Тогда точка фокуса и является точкой пересечения продолжений преломлённых лучей, т.е. она же и есть изображение источника (точечное, мнимое ).
- любое другое положение источника (рис. 9).
