Візьмемо циркуль. Встановимо ніжку циркуля з голкою в точку «O», а ніжку циркуля з олівцем обертатимемо навколо цієї точки. Таким чином ми отримаємо замкнуту лінію. Таку замкнуту лінію називають. коло.
Розглянемо докладніше коло. Розберемося, що називають центром, радіусом та діаметром кола.
- (·) O - називається центром кола.
- Відрізок, який з'єднує центр та будь-яку точку кола, називається радіусом кола. Радіус кола позначається буквою "R". На малюнку вище - це відрізок "OA".
- Відрізок, який з'єднує дві точки кола і проходить через її центр, називається діаметром кола.
Діаметр кола позначається буквою «D». На малюнку вище - це відрізок "BC".
На малюнку також видно, що діаметр дорівнює двом радіусам. Тому справедливим є вираз «D = 2R».
Число π і довжина кола
Перш ніж розібратися, як вважається довжина кола, необхідно з'ясувати, що таке число π (читається як Пі), яке так часто згадують на уроках.
У далекі часи математики Стародавню Грецію уважно вивчали коло і дійшли висновку, що довжина кола та його діаметр взаємопов'язані.
Запам'ятайте!
Відношення довжини кола до її діаметра є однаковим для всіх кіл і позначається грецькою літерою π («Пі»).
π ≈ 3,14…
Число «Пі» відноситься до числа, точне значення яких записати неможливо ні за допомогою звичайних дробів, ні за допомогою десяткових дробів. Нам для наших обчислень достатньо використовувати значення π,
округлене до розряду сотих π ≈ 3,14…
Тепер, знаючи, що таке число π, ми можемо записати формулу довжини кола.
Запам'ятайте!
Довжина кола- Це добуток числа π і діаметра кола. Довжина кола позначається буквою «З» (читається як «Це»).
C = π D
C = 2π R, оскільки D = 2R
Як знайти довжину кола
Щоб закріпити отримані знання, розв'яжемо завдання на колі.
Віленкін 6 клас. Номер 831
Умова завдання:
Знайдіть довжину кола, радіус якого дорівнює 24 см. Число π округліть до сотих.
Скористаємося формулою довжини кола:
C = 2π R ≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см
Розберемо зворотне завдання, коли ми знаємо довжину кола, а нас просять знайти його діаметр.
Віленкін 6 клас. Номер 835
Умова завдання:
Визначте діаметр кола, якщо його довжина дорівнює 56,52 дм. (π ≈ 3,14).
Виразимо з формули довжини кола діаметр.
C = π D
D = С/π
D = 56,52/3,14 = 18дм
Хорда та дуга кола
На малюнку нижче відзначимо на колі дві точки «A» та «B». Ці точки поділяють коло на дві частини, кожну з яких називають дугою. Це синя дуга "AB" та чорна дуга "AB". Точки «A» та «B» називають кінцями дуг.
І коло- геометричні постаті, взаємопов'язані між собою. є гранична ламана лінія (крива) кола,
Визначення. Окружність - замкнута крива, кожна точка якої рівновіддалена від точки, званої центром кола.
Для побудови кола вибирається довільна точка, прийнята за центр кола, і за допомогою циркуля проводиться замкнута лінія.
Якщо точку центру кола з'єднати з довільними точками на колі, то всі отримані відрізки будуть між собою рівні, і називаються такі відрізки радіусами, скорочено позначаються латинською маленькою або великою літерою «ер» ( rабо R). Радіусів у колі можна провести стільки ж, скільки точок має довжина кола.
Відрізок, що з'єднує дві точки кола і проходить через її центр, називається діаметром. Діаметрскладається з двох радіусів, що лежить на одній прямій. Діаметр позначається латинською маленькою або великою літерою «де» ( dабо D).
Правило. Діаметркола дорівнює двом її радіусів.
d = 2r
D = 2R
Довжина кола обчислюється за формулою і залежить від радіусу (діаметра) кола. У формулі є число ¶, яке показує у скільки разів довжина кола більше, ніж його діаметр. Число ¶ має нескінченну кількість знаків після коми. Для обчислень прийнято = 3,14.
Довжина кола позначається великою латинською літерою «це» ( C). Довжина кола пропорційна її діаметру. Формули для розрахунку довжини кола за її радіусом та діаметром:
C = ¶d
C = 2¶r
- Приклади
- Дано: d = 100 див.
- Довжина кола: C = 3,14 * 100 см = 314 см
- Дано: d = 25 мм.
- Довжина кола: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм
Сікна кола та дуга кола
Будь-яка січна (пряма лінія) перетинає коло у двох точках і ділить її на дві дуги. Величина дуги кола залежить від відстані між центром і січною і вимірюється по замкнутій кривій від першої точки перетину січної з колом до другої.
Дугикола діляться січучоюна велику і малу, якщо січна не збігається з діаметром, і на дві рівні дуги, якщо січна проходить діаметром кола.
Якщо січна проходить через центр кола, то її відрізок, розташований між точками перетину з колом, є діаметр кола, або найбільша хорда кола.
Чим далі січна розташована від центру кола, тим менша градусна міра меншої дуги кола і більше - більшої дуги кола, а відрізок сіючої, званий хордий, зменшується в міру видалення січе від центру кола.
Визначення. Навколо називається частина площини, що лежить усередині кола.
Центр, радіус, діаметр кола є одночасно центром, радіусом та діаметром відповідного кола.
Так як коло - це частина площини, то одним із його параметрів є площа.
Правило. Площа кола ( S) дорівнює добутку квадрата радіусу ( r 2) на число ¶.
- Приклади
- Дано: r = 100 см
- Площа кола:
- S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
- Дано: d = 50 мм
- Площа кола:
- S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2
Якщо у колі провести два радіуси до різних точок кола, то утворюється дві частини кола, які називаються секторами. Якщо у колі провести хорду, то частина площини між дугою та хордою називається сегментом кола.
Окружність складається з безлічі точок, які знаходяться на рівній відстані від центру. Це плоска геометрична фігура, і знайти її довжину не складе труднощів. З колом та колом людина стикається щодня незалежно від того, в якій сфері вона працює. Багато овочів та фруктів, пристрої та механізми, посуд та меблі мають круглу форму. Навколо називають те безліч точок, що знаходиться в межах кола. Тому довжина фігури дорівнює периметру кола.
Характеристики фігури
Крім того, що опис поняття кола досить просте, його характеристики також нескладні для розуміння. З їхньою допомогою можна обчислити її довжину. Внутрішня частина кола складається з множини точок, серед яких дві - А і В - можна побачити під прямим кутом. Цей відрізок називають діаметром, він складається із двох радіусів.
У межах кола є точки Х такі, Що не змінюється і не дорівнює одиниці відношення АХ/ВХ. У колі ця умова обов'язково дотримується, інакше ця постать немає форму кола. На кожну точку, з яких складається фігура, поширюється правило: сума квадратів відстаней від цих точок до двох завжди перевищує половину довжини відрізка між ними.
Основні терміни кола
Щоб вміти знаходити довжину фігури, необхідно знати основні терміни, що стосуються її. Основні параметри фігури – це діаметр, радіус та хорда. Радіусом називають відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою на її кривій. Величина хорди дорівнює відстані між двома точками на кривій постаті. Діаметр – відстань між точками, що проходить через центр фігури.
Основні формули для обчислень
Параметри використовуються у формулах обчислень величин кола:
Діаметр у формулах обчислення
В економіці та математиці нерідко виникає необхідність пошуку довжини кола. Але і в повсякденному житті можна зіткнутися з цією потребою, наприклад, під час будівництва паркану навколо басейну круглої форми. Як розрахувати довжину кола діаметром? У цьому випадку використовують формулу C = π*D, де С - це потрібна величина, D - діаметр.
Наприклад, ширина басейну дорівнює 30 метрам, а стовпчики паркану планують поставити на відстані 10 метрів від нього. І тут формула розрахунку діаметра: 30+10*2 = 50 метрів. Шукана величина (у цьому прикладі - довжина огорожі): 3,14 * 50 = 157 метрів. Якщо стовпчики паркану стоятимуть на відстані трьох метрів один від одного, то всього їх знадобиться 52.
Розрахунки з радіусу
Як обчислити довжину кола за відомим радіусом? Для цього використовується формула C = 2*π*r, де С – довжина, r – радіус. Радіус у колі менше діаметра вдвічі, і це правило може стати в нагоді у повсякденному житті. Наприклад, у разі приготування пирога у розсувній формі.
Для того щоб кулінарний виріб не забруднився, необхідно використовувати декоративну обгортку. А як вирізати паперове коло відповідного розміру?
Ті, хто трохи знайомий з математикою, розуміють, що в цьому випадку потрібно помножити число π на подвійний радіус форми, що використовується. Наприклад, діаметр форми дорівнює 20 сантиметрів, відповідно її радіус становить 10 сантиметрів. За цими параметрами є необхідний розмір кола: 2*10*3, 14 = 62,8 сантиметра.
Підручні способи обчислення
Якщо знайти довжину кола за формулою немає можливості, варто скористатися підручними методами розрахунку цієї величини:
- При невеликих розмірах круглого предмета його довжину можна знайти за допомогою мотузки, обгорнутої навколо один раз.
- Величину великого предмета вимірюють так: на рівній площині розкладають мотузку, і нею прокочують коло один раз.
- Сучасні студенти та школярі для розрахунків використовують калькулятори. У режимі онлайн за відомими параметрами можна пізнавати невідомі величини.
Круглі предмети в історії людського життя
Перший виріб круглої форми, який винайшов чоловік – це колесо. Перші конструкції являли собою невеликі округлі колоди, насаджені на осі. Потім з'явилися колеса, зроблені з дерев'яних спиць та обода. Поступово у виріб додавали металеві деталі зменшення зносу. Саме для того, щоб дізнатися про довжину металевих смуг для оббивки колеса, вчені минулих століть шукали формулу розрахунку цієї величини.
Форму колеса має гончарне коло, більшість деталей у складних механізмах, конструкціях водяних млинів та прядок. Нерідко зустрічаються круглі предмети у будівництві – рамки круглих вікон у романському архітектурному стилі, ілюмінатори у суднах. Архітектори, інженери, вчені, механіки та проектувальники щодня у сфері своєї професійної діяльності стикаються з необхідністю розрахунку розмірів кола.
Її діаметр. Для цього тільки треба застосувати формулу довжини кола. L = п D Тут: L – довжина кола, п – число Пі, що дорівнює 3.14, D – діаметр кола. /п
Розберемо практичне завдання. Припустимо, вам необхідно виготовити кришку на круглу дачну криницю, доступу до якої в даний момент немає. Чи не , і невідповідні погодні умови. Але у вас є дані по довжинійого кола. Припустимо, це 600 см. У зазначену формулу підставляємо значення: D = 600/3,14 = 191.08 см. Отже, 191 см діаметр вашого. Збільшуйте діаметр до 2-х з урахуванням припуску за краї. Встановлюйте циркуль на радіус 1 м (100 см) та викреслюйте коло.
Корисна порада
Кола порівняно великих діаметрів у домашніх умовах зручно викреслювати циркулем, який швидко можна виготовити. Робиться це так. У рейку вбивається два цвяхи на відстані один від одного, що дорівнює радіусу кола. Один цвях неглибоко вбийте у заготовку. А інший використовуйте, обертаючи рейку, як маркер.
Колом називається геометрична фігура на площині, яка складається з усіх точок цієї площини, що знаходяться на однаковій відстані від заданої точки. Задана точка при цьому називається центром кола, а відстань, на якій точки колазнаходяться від її центру – радіусом кола. Область площини обмежена колом називається кругом. Існує кілька методів розрахунку діаметра кола, вибір конкретного залежить від наявних початкових даних.
Інструкція
У найпростішому випадку, якщо коло радіуса R, то його дорівнюватиме
D = 2 * R
Якщо радіус колане відомий, але відома її , то діаметр можна обчислити за формулою довжини кола
D = L/П, де L – довжина кола, П - П.
Так само діаметр коламожна розрахувати, знаючи площу нею обмеженою
D = 2 * v(S/П), де S – площа кола, П – число П.
Джерела:
- діаметр кола розрахунок
У курсі планіметрії середньої школи коловизначається як геометрична фігура, що складається з усіх точок площини, що лежать на відстані радіуса від точки, званої її центром. Усередині кола можна провести безліч відрізків, що по-різному з'єднують її точки. Залежно від побудови цих відрізків, коломожна розділити на кілька частин у різний спосіб.
Інструкція
Зрештою, коломожна поділити побудовою сегментів. Сегментом частина кола, складена з хорди та дуги кола. Хордою в цьому випадку є відрізок, що з'єднує будь-які дві точки кола. За допомогою сегментів коломожна розділити на безліч частин з освітою або без у його центрі.
Відео на тему
Зверніть увагу
Отримані перерахованими способами фігури – багатокутники, сегменти та сектори, можна також розділити, використовуючи відповідні методи, наприклад, діагоналі багатокутників або бісектриси кутів.
Навколо називають плоску геометричну фігуру, а лінію, що її обмежує, прийнято називати колом. Основна властивість полягає в тому, що кожна точка на цій лінії знаходиться на однаковій відстані від центру фігури. Відрізок з початком у центрі кола і закінченням на будь-якій з точок кола називається радіусом, а відрізок, що з'єднує дві точки кола і проходить через центр - діаметром.
Інструкція
Використовуйте число Пі для знаходження довжини діаметра за відомою довжиною кола. Ця константа виражає постійне співвідношення між цими двома параметрами кола - незалежно від розмірів кола, розподіл довжини його кола на довжину діаметра завжди дає те саме число. З цього випливає, що для знаходження довжини діаметра слід довжину кола розділити на число Пі. Як правило, для практичних обчислень довжини діаметра достатньо точності до сотих одиниці, тобто до двох знаків після коми, тому число Пі вважатимуться рівним 3,14. Але оскільки ця константа є ірраціональним числом, то має нескінченну кількість знаків після коми. Якщо виникне необхідність у більш точному визначенні , то необхідну кількість знаків для пі можна знайти, наприклад, за цим посиланням http://www.math.com/tables/constants/pi.htm.
При відомих довжинах сторін (a та b) прямокутника, вписаного в коло, довжину діаметра (d) можна обчислити, знайшовши довжину діагоналі цього прямокутника. Оскільки діагональ тут є гіпотенузою у прямокутному трикутнику, катети якого утворюють сторони відомої довжини, то за теоремою Піфагора довжину діагоналі, а разом з нею і довжину діаметра описаного кола можна розрахувати, знайшовши із суми квадратів довжин відомих сторін: d=√(a² + b2).
Розподіл на кілька рівних частин - завдання, що часто зустрічається. Так можна збудувати правильний багатокутник, накреслити зірку або підготувати основу для схеми. Є кілька способів вирішення цього цікавого завдання.
Вам знадобиться
- - коло з позначеним центром (якщо центр не позначений, вам доведеться знайти його будь-яким способом);
- - транспортир;
- - циркуль із грифелем;
- - олівець;
- - Лінійка.
Інструкція
Найпростіший спосіб розділити колона рівні частини – за допомогою транспортира. Розділивши 360° на потрібне число частин, ви отримаєте кут . Почніть з будь-якої точки на колі - відповідний радіус буде нульовою відміткою. Починаючи з нього, робіть по транспортирові позначки, що відповідають обчисленому куту. Цей спосіб рекомендується, якщо вам потрібно розділити колона п'ять, сім, дев'ять і т.д. частин. Наприклад, для побудови правильного п'ятикутника його вершини повинні розташовуватися через кожні 360/5 = 72°, тобто на відмітках 0°, 72°, 144°, 216°, 288°.
Щоб поділити колона шість частин, можна скористатися властивістю правильного - його найдовша діагональ дорівнює подвоєному боці. Правильний шестикутник ніби складений із шести рівносторонніх трикутників. Встановіть розчин циркуля, що дорівнює радіусу кола, і робіть їм засічки, починаючи з будь-якої довільної точки. Засічки утворюють правильний шестикутник, одна з вершин якого перебуватиме в цій точці. З'єднавши вершини через одну, ви побудуєте правильний трикутник, вписаний у колотобто її на три рівні частини.
Щоб поділити колона чотири частини, почніть із довільного діаметра. Його кінці дадуть дві з необхідних чотирьох точок. Щоб знайти інші, встановіть розчин циркуля, що дорівнює колу. Поставивши голку циркуля на один з кінців діаметра, зробіть засічки за межами кола та знизу. Повторіть те саме з іншим кінцем діаметра. Проведіть допоміжну лінію між точками перетину засічок. Вона дасть вам другий діаметр, строго перпендикулярний до вихідного. Його кінці стануть рештою двох вершин квадрата, вписаного в коло.
За допомогою способу, описаного вище, можна знайти середину будь-якого відрізка. Як наслідок, цим методом можна подвоїти кількість рівних частин, на які ви коло. Знайшовши середину кожної сторони правильного n-, вписаного в коло, ви можете провести до них перпендикуляри, знайти точку їх перетину з колою і таким чином побудувати вершини правильного 2n-кутника. Цю процедуру можна повторювати завгодно раз. Так, квадрат перетворюється на , той - на і т.д. Почавши з квадрата, ви можете, наприклад, поділити колона 256 рівних частин.
Зверніть увагу
Для поділу кола на рівні частини зазвичай застосовують ділильні головки або ділильні столи, що дозволяють розділити коло на рівні частини з високою точністю. Коли необхідно розділити коло на рівні частини, користуються наведеною нижче таблицею. Для цього потрібно помножити діаметр поділеного кола на коефіцієнт, наведений у таблиці: До х D.
Корисна порада
Розподіл кола на три, шість та дванадцять рівних частин. Проводять дві перпендикулярні осі, які перетинаючи коло в точках 1,2,3,4 ділять на чотири рівні частини; Застосовуючи відомий прийом розподілу прямого кута на дві рівні частини за допомогою циркуля або косинця будують бісектриси прямих кутів, які перетинаються з колом у точках 5, 6, 7 і 8 ділять кожну четверту частину кола навпіл.
При проведенні побудов різних геометричних фігур іноді потрібно визначити їх характеристики: довжину, ширину, висоту тощо. Якщо йдеться про коло або коло, то часто доводиться визначати їхній діаметр. Діаметр є відрізок прямий, який з'єднує дві найбільш віддалені один від одного точки, розташовані на колі.
Вам знадобиться
- - Вимірювальна лінійка;
- - циркуль;
- - Калькулятор.
Безліч предметів у навколишньому світі мають круглу форму. Це колеса, круглі віконні отвори, труби, різний посуд та багато іншого. Підрахувати, чому дорівнює довжина кола, можна, знаючи її діаметр чи радіус.
Існує кілька визначень цієї геометричної фігури.
- Це замкнута крива, що складається з точок, що розташовуються на однаковій відстані від заданої точки.
- Це крива, що складається з точок А і В, що є кінцями відрізка, і всіх точок, з яких А і видно під прямим кутом. У цьому відрізок АВ – діаметр.
- Для того ж відрізка АВ ця крива включає всі точки, такі, що відношення АС/ВС незмінно і не дорівнює 1.
- Це крива, що складається з точок, для яких справедливо наступне: якщо скласти квадрати відстаней від однієї точки до двох даних інших точок А і В, вийде постійне число, більше 1/2 з'єднує А і відрізка. Це визначення виводиться із теореми Піфагора.
Зверніть увагу!Є й інші визначення. Коло – це область усередині кола. Периметр кола є її довжина. За різними визначеннями коло може включати або не включати саму криву, яка є його межею.
Визначення кола
Формули
Як визначити довжину кола через радіус? Це робиться за простою формулою:
де L - Шукана величина,
π – число пі, приблизно рівне 3,1413926.
Зазвичай знаходження потрібної величини досить використовувати π до другого знака, тобто 3,14, це забезпечить потрібну точність. На калькуляторах, зокрема інженерних, може бути кнопка, яка автоматично вводить значення π.
Позначення
Для знаходження через діаметр існує така формула:
Якщо L вже відомо, можна легко дізнатися про радіус або діаметр. Для цього L потрібно поділити на 2 або на π відповідно.
Якщо вже дано кола, потрібно розуміти, як знайти довжину кола за цими даними. Площа кола дорівнює S = πR2. Звідси знаходимо радіус: R = √(S/π). Тоді
L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).
Обчислити площу через L також нескладно: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)
Резюмуючи, можна сказати, що існує три основні формули:
- через радіус – L = 2πR;
- через діаметр - L = πD;
- через площу кола – L = 2√(Sπ).
Число пі
Без числа π вирішити завдання, що розглядається, не вийде. Число π вперше і було знайдено як відношення довжини кола до його діаметра. Це зробили ще давні вавилоняни, єгиптяни та індійці. Знайшли вони досить точно – їх результати відрізнялися від відомого зараз значення π не більше, ніж на 1%. Постійну наближали такими дробами як 25/8, 256/81, 339/108.
Далі значення цієї постійної вважали як з позиції геометрії, а й з погляду математичного аналізу через суми рядів. Позначення цієї константи грецькою буквою π вперше використав Вільям Джонс у 1706 році, а популярне воно стало після робіт Ейлера.
Зараз відомо, що цей постійний є нескінченним неперіодичним десятковим дробом, він ірраціональний, тобто його не можна уявити у вигляді відношення двох цілих чисел. За допомогою обчислень на суперкомп'ютерах у 2011 році дізналися 10-трильйонний знак константи.
Це цікаво!Для запам'ятовування кількох перших знаків числа π було винайдено різні мнемонічні правила. Деякі дозволяють зберігати у пам'яті велику кількість цифр, наприклад, один французький вірш допоможе запам'ятати пі до 126 знака.
Якщо вам потрібна довжина кола, онлайн-калькулятор допоможе цьому. Таких калькуляторів існує безліч, у них потрібно лише ввести радіус чи діаметр. У деяких з них є обидві ці опції, інші обчислюють результат тільки через R. Деякі калькулятори можуть розрахувати величину з різною точністю, потрібно вказати число знаків після коми. Також за допомогою онлайн-калькуляторів можна порахувати площу кола.
Такі калькулятори легко знайти будь-яким пошукачем. Також існують мобільні програми, які допоможуть вирішити завдання, як знайти довжину кола.
Корисне відео: довжина кола
Практичне застосування
Вирішувати таке завдання найчастіше необхідно інженерам та архітекторам, але й у побуті знання потрібних формул теж може стати в нагоді. Наприклад, потрібно обернути паперовою смужкою торт, випечений у формі з діаметром 20 см. Тоді не важко знайти довжину цієї смужки:
L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 см.
Інший приклад: потрібно побудувати огорожу навколо круглого басейну на певній відстані. Якщо радіус басейну 10 м, а паркан потрібно поставити на відстані 3 м, то R для отриманого кола буде 13 м. Тоді її довжина дорівнює:
L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 м.
Корисне відео: коло — радіус, діаметр, довжина кола
Підсумок
Периметр кола легко розрахувати за простими формулами, що включають діаметр або радіус. Також можна знайти потрібну величину через площу кола. Вирішити це завдання допоможуть онлайн-калькулятори або мобільні програми, в які потрібно ввести однину - діаметр або радіус.