зростаючою на проміжку \(X\) , якщо для будь-яких \(x_1, x_2\in X\) , таких що \(x_1 0\) при будь-яких \(t\in \mathbb(R)\) .
Таким чином, функція \(f(t)\) строго зростає при всіх \(t\in \mathbb(R)\).
Отже, рівняння \(f(ax)=f(x^2)\) рівносильне рівнянню \(ax=x^2\) .
Рівняння \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) має один корінь \(x=0\) , а при \(a\ne 0\) має два різні корені \(x_1=0 \) та \(x_2=a\) .
Нам потрібно знайти значення \(a\) , при яких рівняння матиме не менше двох коренів, враховуючи також те, що \(a>0\) .
Отже, відповідь: (a in (0; + infty)) .
Відповідь:
\((0;+\infty)\) .
Завдання 4 #1232
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \
має єдине рішення.
Домножимо праву та ліву частини рівняння на \(2^(\sqrt(x+1))\) (т.к. \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) і перепишемо рівняння у вигляді : \
Розглянемо функцію \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) при \(t\geqslant 0\) (т.к. \(\sqrt (x + 1) \ geqslant 0 \) ).
Похідна \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\) cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\) .
Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) при всіх \(t\geqslant 0\) , то \( y"0\) при всіх \(a\) . Отже, рівняння завжди має два корені \(x_1\) і \(x_2\) , причому вони різних знаків (т.к. за теоремою Вієта \(x_1\cdot x_2) =-\dfrac(1)(a^2) 0 при . х= 0 похідна перетворюється на нуль. Функція ж монотонно зростає по всій числовій осі.
Екстремум функції
Визначення 1. Крапка х 0 називається точкою максимуму функції f(хх 0 виконується нерівність 
Визначення 2. Крапка х 1 , називається точкою мінімуму функції f(х), якщо в деякій околиці точки х 1 ,виконується нерівність 
Значення функції у точках х 0 та х 1 , називаються відповідно максимумом та мінімумом функції.
Максимум і мінімум функції поєднуються загальною назвою екстремуму функції.
Екстремум функції часто називають локальним екстремумом,підкреслюючи той факт, що поняття екстремуму пов'язане лише з досить малою околицею точки х n. Так що на одному проміжку функція може мати кілька екстремумів, причому може статися, що мінімум в одній точці більше максимуму в іншій, наприклад, на рис. 
Наявність максимуму (або мінімуму) в окремій точці проміжку Xзовсім не означає, що в цій точці функція f(х) приймає найбільше (найменше) значення на цьому проміжку (або, як кажуть, має глобальний максимум (мінімум)).
Необхідна умова екстремуму: Для того, щоб функція у = f(х) мала екстремум у точці х 0 необхідно, щоб її похідна в цій точці дорівнювала нулю ( 
)чи не існувала.
Крапки, у яких виконано необхідну умову екстремуму, тобто. похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними(або стаціонарними ).
Таким чином, якщо в будь-якій точці є екстремум, ця точка критична. Дуже важливо, однак, зауважити, що зворотне твердження неправильне. Критична точка зовсім не обов'язково є точкою екстремуму.
Рисунок 8 – Екстремуми функції f(х)
приклад 1 . Знайти критичні точки функції та переконатися у наявності чи відсутності екстремуму у цих точках.
Як вставити математичні формули на сайт?
Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Окрім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту у пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.
Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.
Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.
Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:
Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.
Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.
Будь-який фрактал будується за певним правилом, яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.
Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.
Монотонна функція - це функція, прирістякої не змінює знака, тобто завжди невід'ємне, або завжди непозитивне. Якщо на додаток збільшення не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонною. Монотонна функція - це функція, що змінюється в тому самому напрямку.
Функція зростає, якщо більше значення аргументу відповідає більше значення функції. Функція зменшується, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Нехай дана функція Тоді
(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.
Визначення екстремуму
Функція y = f(x) називається зростаючою (зменшує) в деякому інтервалі, якщо при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).
Якщо функція, що диференціюється, y = f(x) на відрізку зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f "(x) > 0
(f "(x)< 0).
Точка xо називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f(x), якщо існує околиця точки xо, для всіх точок якої правильна нерівність f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).
Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції у цих точках - її екстремумами.
Крапки екстремуму
Необхідні умови екстремуму. Якщо точка xо є точкою екстремуму функції f(x), то або f "(xо) = 0, або f(xо) не існує. Такі точки називають критичними, причому сама функція в критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.
Перша достатня умова. Нехай xо – критична точка. Якщо f " (x) при переході через точку xо змінює знак плюс на мінус, то в точці xо функція має максимум, в іншому випадку - мінімум. Якщо при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то в точці xо екстремуму немає.
Друга достатня умова. Нехай функція f(x) має похідну f "(x) на околиці точки xо і другу похідну в самій точці xо. Якщо f "(xо) = 0,> 0 (0 - увігнутий).
Доведення. f""(Припустимо для певності, що) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
x Візьмемо на графіку функції y = f(x) довільну точку 0 M Припустимо для певності, що 0 (з абсцисою; a b довільну точку 0 ) і проведемо через точку дотичну.Її рівняння. Припустимо для певності, щоМи повинні показати, що графік функції на Візьмемо на графіку функції(a; b)
лежить нижче від цієї дотичної, тобто. при тому самому значенні
ордината кривої буде менше ординату дотичної..
Точка перегину функції Цей термін має й інші значення, див.Точка перегину
Точка перегину функції внутрішня точка
області визначення , Така що безперервна в цій точці, існує кінцева або певного знака нескінченна похідна в цій точці, і є одночасно кінцем інтервалу суворої опуклості вгору і початком інтервалу суворої опуклості вниз, або навпаки.Неофіційне У цьому випадку точка єточкою перегину