Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Міністерство Освіти та Науки

Республіки Казахстан

ВКДТУ ім. Д. Серікбаєва

Курсова робота

з дисципліни: Фізика

на тему: «Гармонічні коливанняметодомвектор амплітуди, що обертається, абометодомвекторнихдіаграм»

Виконав: студент групи14-ГРК-1

Сері??анов?.Е

Перевірив(ла): Нуркенова Б.Д

Усть-Кам'яногірськ - 2014 р.

• Коливальний контур
• Гармонічні коливання
• Вимушені коливання
• Резонанс
• Автоколивання
• Визначення коливань.
• Графічний метод складання коливань. Векторна діаграма
• Методом обертового вектора амплітуди.
• Складання взаємно перпендикулярних коливань
• Складання коливання одного напрямку та однакової частоти.
• Різні форми траєкторії суми коливань. Фігури Ліссажу
• Список литературы

Коливальний контур

Коливанняминазиваються рухи чи процеси, які характеризуються певною повторюваністю у часі. Коливальні процеси широко поширені в природі та техніці, наприклад, коливання маятника годинника, змінний електричний струм і т.д. При коливальному русі маятника змінюється координата центру мас, у разі змінного струму коливаються напруга і струм у ланцюга. Фізична природа коливань може бути різною, тому розрізняють механічні, електромагнітні та інші коливання. Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками та однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходу до вивчення коливань різної фізичної природи. Наприклад, єдиний підхід до вивчення механічних та електромагнітних коливань застосовувався англійським фізиком Д. У. Релеєм (1842–1919), а А.Г. Столетовим, російським інженером-експериментатором П.М. Лебедєвим (1866-1912). Великий внесок у розвиток теорії коливань зробили: Л.І. Мандельштам (1879-1944) та його учні.

Коливанняназиваються вільними(або власними), якщо вони здійснюються за рахунок спочатку досконалої енергії при подальшій відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему (систему, яка здійснює коливання). Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання- коливання, при яких величина, що коливається, зміняться з часом за законом синуса (косинусу). Розгляд гармонійних коливань важливий з двох причин:

Коливання, що зустрічаються в природі та техніці, часто мають характер, близький до гармонійного;

Різні періодичні процеси(процеси, що повторюються через рівні проміжки часу) можна як накладення гармонійних коливань.

Гармонічні коливання

коливання резонанс вектор амплітуда

Гармонічні коливання величини s описуються рівнянням типу

s = A cos (0 t +), (1)

де

a) А - максимальне значення коливається величини, зване амплітудою коливання,

b) 0 - кругова (циклічна) частота,

-початкова фаза коливанняу момент часу t=0,

c) (0 t +) - фаза коливанняу момент часу t.

Фаза коливання визначає значення коливається в даний момент часу. Оскільки косинус змінюється не більше від 1 до -1, то s може набувати значення від +А до -А.

Певні стани системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу Т, що називається періодом коливання, який фаза коливання отримує збільшення дорівнює 2, тобто.

0(t+T)+ =(0t+)+2,

звідки

T=2/0 (2)

Величина, обернена до періоду коливань,

=1/T (3)

т. е. число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу, називається частотою коливань. Порівнюючи (2) та (3), отримаємо

0=2 .

Одиниця частоти - герц(Гц): 1 Гц - частота періодичного процесу, коли він за 1 секунду відбувається 1 цикл процесу.

Запишемо першу і другу похідні за часом від величини, що гармонічно коливається s:

(4)

(5)

тобто маємо гармонійні коливання з тією самою циклічною частотою. Амплітуди величин (5) і (4) відповідно дорівнюють і . Фаза величини (4) відрізняється від фази величини (1) /2, а фаза величини (5) відрізняється від фази величини (1) . Отже, у моменти часу, коли s =0, набуває найбільших значень; коли ж s досягає максимального негативного значення, то набуває найбільшого позитивного значення .

З виразу (5) випливає диференціальне рівняння гармонійних коливань

(6)

де s = cos (0 t +). Рішенням цього рівняння є вираз (1).

Гармонічні коливання зображуються графічно методом обертового вектора амплітуди, або методом векторних діаграм.

Для цього з довільної точки О, обраної на осі x під кутом, рівним початковій фазі коливання, відкладається вектор А, модуль якого дорівнює амплітуді А коливання, що розглядається.

Якщо цей вектор привести в обертання з кутовою швидкістю 0, що дорівнює циклічній частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі x і приймати значення від -А до +А, а величина, що коливається, буде змінюватися з часом за законом s =A cos (0 t+). Таким чином, гармонійне коливання можна уявити проекцією на деяку довільно обрану вісь вектора амплітуди А, відкладеного з довільної точки осі під кутом, рівним початковій фазі, і обертається з кутовою швидкістю 0 навколо цієї точки.

Вимушені коливання

Коливання, які відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили, називаються вимушеними.

Зовнішня сила здійснює позитивну роботу та забезпечує приплив енергії до коливальної системи. Вона не дає коливань загасати, незважаючи на дію сил тертя.

Періодична зовнішня сила може змінюватись у часі за різними законами. Особливий інтерес представляє випадок, коли зовнішня сила, що змінюється за гармонічним законом із частотою щ, впливає на коливальну систему, здатну здійснювати власні коливання деякою частотою щ0.

Якщо вільні коливання відбуваються на частоті щ0, яка визначається параметрами системи, то вимушені коливання, що встановилися, завжди відбуваються на частоті щ зовнішньої сили.

Після початку впливу зовнішньої сили на коливальну систему потрібен деякий час Дt для встановлення вимушених коливань. Час встановлення по порядку величини дорівнює часу загасання ф вільних коливань у коливальній системі.

У початковий момент у коливальній системі збуджуються обидва процеси - вимушені коливання на частоті щ і вільні коливання на власній частоті 0. Але вільні коливання згасають через неминучу наявність сил тертя. Тому через деякий час у коливальній системі залишаються тільки стаціонарні коливання на частоті зовнішньої вимушальної сили.

Розглянемо як приклад вимушені коливання тіла на пружині (рис. 1). Зовнішня сила прикладена до вільного кінця пружини. Вона змушує вільний (лівий на рис. 1) кінець пружини переміщатися згідно із законом

y = ym cos щt.

де ym – амплітуда коливань, щ – кругова частота.

Такий закон переміщення можна забезпечити за допомогою шатунного механізму, який не показаний на рис.1.

Малюнок 1.Вимушені коливання вантажу на пружині. Вільний кінець пружини переміщається згідно із законом y = ym cos щt. l – довжина недеформованої пружини, k – жорсткість пружини.

Якщо лівий кінець пружини зміщений на відстань y, а правий - на відстань x від їхнього первісного положення, коли пружина була недеформована, то подовження пружини Дl дорівнює:

Дl = x – y = x – ym cos щt.

Другий закон Ньютона для тіла масою m:

ma = -k (x - y) = -kx + Kym cos щt.

У цьому рівнянні сила, що діє на тіло, представлена ​​у вигляді двох доданків. Перший доданок у правій частині - це пружна сила, що прагне повернути тіло в положення рівноваги (x = 0). Другий доданок - зовнішній періодичний вплив на тіло. Це доданок і називають силою, що змушує.

Амплітуда вимушених коливань xm і початкова фаза залежать від співвідношення частот щ0 і щ і від амплітуди ym зовнішньої сили.

На дуже низьких частотах, коли щ<< щ0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x(t) = y(t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при щ << щ0 стремится к нулю.

Резонанс

Якщо частота щ зовнішньої сили наближається до своєї частоти 0, виникає різке зростання амплітуди вимушених коливань. Це називається резонансом. Залежність амплітуди xm вимушених коливань від частоти примусової сили називається резонансною характеристикою або резонансною кривою (рис 2).

При резонансі амплітуда xm коливання вантажу може у багато разів перевершувати амплітуду ym коливань вільного (лівого) кінця пружини, спричиненого зовнішнім впливом. За відсутності тертя амплітуда вимушених коливань при резонансі має необмежено зростати. У реальних умовах амплітуда вимушених коливань, що встановилися, визначається умовою: робота зовнішньої сили протягом періоду коливань повинна дорівнювати втратам механічної енергії за той же час через тертя. Чим менше тертя (тобто чим вище добротність Q коливальної системи), тим більше амплітуда вимушених коливань при резонансі.

У коливальних систем з не дуже високою добротністю (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис 2.

Явище резонансу може спричинити руйнування мостів, будівель та інших споруд, якщо власні частоти їх коливань збігатимуться з частотою сили, що періодично діє, що виникла, наприклад, через обертання незбалансованого мотора.

Малюнок 2.

Резонансні криві при різних рівнях згасання: 1 – коливальна система без тертя; при резонансі амплітуда xm вимушених коливань необмежено зростає; 2, 3, 4 – реальні резонансні криві для коливальних систем з різною добротністю: Q2 > Q3 > Q4. На низьких частотах (щ<< щ0) xm ? ym. На высоких частотах (щ >> щ0) xm > 0.

Вимушені коливання - це коливання. Неминучі втрати енергії на тертя компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерела сили, що періодично діє. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес незагасаючих коливань у таких системах - автоколиваннями. В авто коливальній системі можна виділити три характерні елементи - коливальна система, джерело енергії та пристрій зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом. Як коливальної системи може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника).

Джерелом енергії може бути енергія деформація пружини чи потенційна енергія вантажу на полі тяжкості. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела. На рис 3 зображено схему взаємодії різних елементів автоколивальної системи.

Малюнок 3. Функціональна схема автоколивальної системи

Автоколивання

Прикладом механічної автоколивальної системи може бути годинниковий механізм з анкерним ходом (рис 4). Ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплений анкер (якорек) з двома пластинками з твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручному годиннику гиря замінюється пружиною, а маятник - балансиром - маховичком, скріпленим зі спіральною пружиною. Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир. Джерелом енергії - піднята вгору гиря чи заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод. Зворотний зв'язок здійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергія гирі (або закрученої пружини) поступово окремими порціями передається маятнику.

Механічні автоколивальні системи широко поширені в навколишньому житті і в техніці. Автоколивання здійснюють парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричні дзвінки, струни смичкових музичних інструментів, повітряні стовпи в трубах духових інструментів, голосові зв'язки під час розмови чи співу тощо.

Малюнок 4. Часовий механізм із маятником.

Визначення коливань

Коливаннями називають рухи або процеси, які повністю або майже повністю повторюються через рівні проміжки часу. Коливання, що описуються рівнянням

,

де x - зміщення коливається величини від положення рівноваги; w - циклічна частота, що визначає кількість коливань, що здійснюються за час 2 р секунд; t - час називають гармонійними.

Графічний спосіб складання коливань. Векторна діаграма

Метод вектора, що обертається, амплітуди полягає в поданні гармонійного коливання за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям утворює з віссю x кут, рівний початковій фазі коливань називають методом обертового вектора амплітуди.

Гармонічні коливання однакового напрямку та частоти зручно складати, зобразивши коливання у вигляді векторів на площині – графічно.

1). Виберемо деяку спрямовану пряму - вісь, вздовж якої будемо відкладати величину x, що коливається.

2). З взятої на осі деякої точки Про відкладемо спрямований відрізок - вектор довжини A, що утворює з віссю кут деякий б.

3). Обертаючи вектор А навколо точки Про з кутовою швидкістю щ 0, отримаємо, що проекція кінця вектора на вісь здійснюватиме гармонійні коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора, з круговою частотою, що дорівнює кутової швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, що дорівнює куту, що утворюється вектор з віссю в початковий момент часу: проекція кінця вектора буде переміщатися по осі x, приймаючи значення від - А до + A, а координата цієї проекції змінюватиметься з часом за законом

Схему, одержану таким методом подання коливань, називають векторною діаграмою.

Складання взаємно перпендикулярних коливань.

Розглянемо дві взаємно перпендикулярні векторні величини x та y, що змінюються з часом з однаковою частотою щ за гармонічним законом:

(1)

Де e x і e у - орти координатних осей x і y, А і B - амплітуди коливань. Величинами x і у може бути, наприклад, усунення матеріальної точки (частки) із положення рівноваги.

У разі коливальної частинки величини x і y можна подати у вигляді:

, (2)

Вони визначають координати частки на площині xy.

Вирази (2) є задане в параметричній формі рівняння траєкторії, по якій рухатиметься частка. Вид траєкторії залежить від різниці фаз обох коливань.

Виключивши із рівнянь (2) параметр t, отримаємо рівняння траєкторії у звичайному вигляді. З першого рівняння: (3). Відповідно

(4)

За формулою для косинуса суми:

тоді

Перетворимо це рівняння

(5)

Отримали рівняння еліпса, осі якого повернуті щодо координатних осей х і у. Орієнтація еліпса та його півосі залежать досить складним чином від амплітуд A і В та різниці фаз б.

Складання коливання одного напрямку та однакової частоти.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань х 1 і х 2 одного напрямку та однакової частоти:

, (1)

Обидва коливання представимо за допомогою векторів A 1 і А 2. Використовуючи правила складання векторів можна знайти результуючий вектор А, що є сумою двох векторів A 1 і А 2.

Вектор A є результуючим коливанням, тому що з малюнка видно, що проекція цього вектора на вісь x дорівнює сумі проекцій векторів, що складаються:

Вектор A обертається з тією ж кутовою швидкістю 0, як і вектори А 1 і А 2, так що сума x 1 і х 2 є гармонічним коливанням з частотою (щ 0, амплітудою A і початковою фазою б. Використовуючи теорему косінусів отримуємо, що

(2)

(3)

Заміна складання функцій додаванням векторів, яка можлива при представленні гармонійних коливань за допомогою векторів, значно спрощує обчислення.

Різні форми траєкторії суми коливань. Фігури Лісаж.

Різниця фаз б дорівнює нулю.

При різниці фаз, що дорівнює нулю, рівняння (5) спрощується так:

Звідси:

- Рівняння прямої.

Результуючий рух є гармонічним коливанням вздовж цієї прямої з частотою щ і амплітудою, що дорівнює (рис. 1 а).

Різниця фаз б дорівнює ±р.

При різниці фаз б рівної ±р рівняння (5) має вигляд

- результуючий рух являє собою гармонійне коливання вздовж прямої

(Рис. 1 б)

Рис.1

Різниця фаз дорівнює

Випадки і відрізняються напрямом руху еліпсом або колом.

При різниці фаз, що дорівнює.

Півосі еліпса дорівнюють відповідним амплітудам коливань. Якщо амплітуди А і В рівні, еліпс перетворюється на коло.

Рівномірний рух по колу радіуса R з кутовою швидкістю щ може бути представлений як сума двох взаємно перпендикулярних коливань:

,

(Знак плюс у виразі для у відповідає руху проти годинникової стрілки, знак мінус - руху за годинниковою стрілкою).

При різних частотах взаємно перпендикулярних коливань, траєкторії результуючого руху мають вигляд складних кривих, званих фігурами Ліссажу.

Фігура Лісажу для відношення частот 1:2 та різниці фаз р/2

Фігура Лісажу для відношення частот 3:4 і різниці фаз р/2

Список литературы

Геворкян Р.Г. Курс фізики -М, 1979, -656 с.

І. У Савельєв. Курс загальної фізики. -М. 1990

Дж.Орір. Фізика том 1, - М. 1981

Трофімова Т.І. Курс фізики, -М. 2006 -560 с.

Розміщено на Allbest.ru

...

Подібні документи

Графічне зображення коливань у вигляді векторів та у комплексній формі. Побудова результуючого вектора за правилами складання векторів. Биття та періодичний закон зміни амплітуди коливань. Рівняння та побудова найпростіших фігур Ліссажу.

презентація , додано 18.04.2013


Метод векторної діаграми. Подання гармонійних коливань у комплексній формі; складання гармонійних коливань; биття. Додавання взаємно перпендикулярних коливань: рівняння траєкторії результуючого коливання; рівняння еліпса; фігури Лісаж.

презентація , доданий 24.09.2013


Додавання взаємно перпендикулярних механічних гармонійних коливань. Диференціальне рівняння вільних загасаючих коливань та його вирішення; автоколивання. Диференційне рівняння вимушених коливань. Амплітуда та фаза коливань; резонанс.

презентація , доданий 28.06.2013


Дослідження поняття коливальних процесів. Класифікація коливань за фізичною природою та характером взаємодії з навколишнім середовищем. Визначення амплітуди та початкової фази результуючого коливання. Додавання однаково спрямованих коливань.

контрольна робота , доданий 24.03.2013


Поняття та фізична характеристика значень коливань, визначення їх періодичного значення. Параметри частоти, фази та амплітуди вільних та вимушених коливань. Гармонічний осцилятор та склад диференціального рівняння гармонійних коливань.

презентація , доданий 29.09.2013


Визначення та класифікація коливань. Способи опису гармонійних коливань. Кінематичні та динамічні характеристики. Визначення параметрів гармонійних коливань щодо початкових умов опору. Енергія та складання гармонійних коливань.

презентація , доданий 09.02.2017


Векторна діаграма одночастотних коливань, що відбуваються вздовж однієї прямої. Знаходження графічно амплітуди коливань, що виникають при складанні двох коливань одного напряму. Складання двох гармонійних коливань одного напряму.

курсова робота , доданий 15.11.2012


Резонанс як явище різкого зростання амплітуди вимушених вагань, його фізичні основи. Вимушені коливання. Руйнівна роль резонансу та його позитивні значення. Частотометрія: поняття, загальний вигляд, функції. Резонанс та стан людини.

презентація , доданий 27.10.2013


Єдиний підхід до вивчення коливань різної фізичної природи. Характеристика гармонійних коливань. Поняття періоду коливань, протягом якого фаза коливання отримує збільшення. Механічні гармонійні коливання. Фізичний та математичний маятники.

презентація , доданий 28.06.2013


Коливання як один із найпоширеніших процесів у природі та техніці. Графік загасаючих коливань. Математичний та пружинний маятники. Резонанс як різке зростання амплітуди коливань. Висновок формули до розрахунку періоду пружинного маятника.

Вирішення низки питань, зокрема додавання кількох коливань однакового напрями (чи, що те саме, додавання кількох гармонійних функцій), значно полегшується і стає наочним, якщо зображати коливання графічно як векторів на площині. Отримана у такий спосіб схема називається векторної діаграмою.

Візьмемо вісь, яку позначимо літерою х (рис. 55.1). З точки, взятої на осі, відкладемо вектор довжини а, що утворює з віссю кут а.

Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю , то проекція кінця вектора переміщатиметься по осі х в межах від -а до +а, причому координата цієї проекції змінюватиметься згодом згідно із законом

Отже, проекція кінця вектора на вісь здійснюватиме гармонійне коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора, з круговою частотою, що дорівнює кутової швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, що дорівнює куту, утвореному вектором з віссю в початковий момент часу.

Зі сказаного слід, що гармонійне коливання може бути задане за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям вектора утворює з віссю х кут, рівний початковій фазі коливання.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку та однакової частоти. Зміщення х тіла, що коливається, буде сумою зсувів, які запишуться наступним чином:

Подаємо обидва коливання за допомогою векторів (рис. 55.2). Побудуємо за правилами складання векторів результуючий вектор а.

Легко бачити, що проекція цього вектора на вісь х дорівнює сумі проекцій доданків векторів:

Отже, вектор а є результуючим коливанням. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю як вектори так що результуючий рух буде гармонійним коливанням з частотою амплітудою а і початковою фазою а. З побудови видно, що

Отже, уявлення гармонійних коливань у вигляді векторів дає можливість звести додавання кількох коливань до операції складання векторів. Цей прийом буває особливо корисним, наприклад, в оптиці, де світлові коливання в деякій точці визначаються як результат накладання багатьох коливань, що приходять в цю точку різних ділянок хвильового фронту.

Формули (55.2) і (55.3) можна, звичайно, отримати, склавши вирази (55.1) і зробивши відповідні тригонометричні перетворення. Але застосований нами спосіб отримання цих формул відрізняється більшою простотою та наочністю.

Проаналізуємо вираз (55.2) для амплітуда. Якщо різниця фаз обох коливань дорівнює нулю, амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі а та . Якщо різниця фаз дорівнює або, тобто обидва коливання знаходяться в протифазі, то амплітуда результуючого коливання дорівнює

Якщо частоти коливань неоднакові, вектори і будуть обертатися з різною швидкістю. У цьому випадку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з непостійною швидкістю. Отже, результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонійне коливання, а складний коливальний процес.

Додавання кількох коливань однакового напряму (або, що те саме, додавання кількох гармонійних функцій) значно полегшується і стає наочним, якщо зображати коливання графічно у вигляді векторів на площині.

Візьмемо вісь, яку позначимо "x". З точки, взятої на осі, під кутом a, рівним початковій фазі коливань, відкладемо вектор довжини A (рис. 8.3). Спроектуємо вектор A на вісь x отримаємо x 0 =A cos a – початкове зміщення точки, що коливається від положення рівноваги. Наведемо цей вектор для обертання проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю w 0 . Положення цього вектора в будь-які моменти часу буде характеризуватись кутами, рівними:

w 0 t 1 +a; w 0 t 2 +a; w 0 t 3 +a; і т.д.

А проекція цього вектора переміщатиметься по осі «x» у межах від –А до +А. Причому координата цієї проекції змінюватиметься згодом згідно із законом:

.

Отже, проекція кінця вектора на деяку довільну вісь буде здійснювати гармонійне коливання з рівною амплітудою довжині вектора, кругової частотою рівної кутової швидкості обертання вектора і початковою фазою рівної куту, утвореному вектором з віссю в початковий момент часу.

Отже, гармонійне коливання може бути задане за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям вектора утворює з віссю "x" кут, що дорівнює початковій фазі коливання.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку та однакової частоти. Зміщення коливається “x” буде сумою зміщень x 1 і x 2 , які запишуться наступним чином:

Представимо обидва коливання за допомогою векторів та (рис. 8.4) За правилами складання векторів будуємо результуючий вектор. Проекція цього вектора на вісь X дорівнюватиме сумі проекцій доданків векторів: x=x 1 +x 2 . Отже, вектор є результуючим коливанням. Цей вектор обертається з тією кутовою швидкістю w 0 , що вектори і , так що результуючий рух буде гармонійним коливанням з частотою w 0 , амплітудою «а» і початковою фазою a. З побудови випливає, що

Отже, уявлення гармонійних коливань у вигляді векторів дає можливість звести додавання кількох коливань до операції складання векторів. Цей спосіб відрізняється більшою простотою та наочністю, ніж використання тригонометричних перетворень.

Проаналізуємо вираз для амплітуди. Якщо різниця фаз обох коливань a 2 - a 1 = 0, то амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі ( а 2 + а 1). Якщо різниця фаз a 2 - a 1 = + p чи -p, тобто. коливання знаходяться в протифазі, то амплітуда результуючого коливання дорівнює .

Якщо частоти коливань x 1 і x 2 неоднакові, вектори будуть обертатися з різною швидкістю. У цьому випадку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з непостійною швидкістю. Отже, результуючим рухом буде в цьому випадку непросто гармонійне коливання, а деякий складний коливальний процес.

Векторна діаграма - це спосіб графічного завдання коливального руху як вектора.

Вздовж горизонтальної осі відкладається величина ξ, що коливається (будь-якої фізичної природи). Вектор, відкладений з точки 0 дорівнює модулю амплітуді коливання A і спрямований під кутом α, рівним початковій фазі коливання, до осі ξ. Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю ω , що дорівнює циклічній частоті коливань, то проекція цього вектора на вісь дає значення коливається величини в довільний момент часу.

Складання коливань однакової частоти та однакового напрямку

Нехай складається два коливання: будуємо векторні діаграми та складаємо вектори:

За теоремою косінусів

Оскільки то

Очевидно (див. діаграму), що початкова фаза результуючого коливання визначається співвідношенням:

Складання коливань близьких частот

П усть складається з двох коливань з майже однаковими частотами, тобто.

З тригонометрії:

Застосовуючи до нашої нагоди, отримаємо:

Графік результуючого коливання – графік биття, тобто. майже гармонійних коливань частоти ω, амплітуда яких повільно змінюється із частотою Δω .

Амплітуда через наявність знака модуля (амплітуда завжди > 0) частота з якою змінюється амплітуда, дорівнює не Δω / 2 , а удвічі вище - Δω.

Складання взаємно-перпендикулярних коливань

Нехай маленьке тіло коливається на взаємно перпендикулярних пружинках однакової жорсткості. За якою траєкторією рухатиметься це тіло?

Це рівняння траєкторії у параметричному вигляді. Для отримання явної залежності між координатами x та y треба з рівнянь виключити параметр t.

З першого рівняння: ,

З другого

Після підстановки

Позбавимося кореня:

- це рівняння еліпса

Ч
астні випадки:

27. Затухаючі коливання. Вимушені коливання. Резонанс.

Згасання вільних коливань

Внаслідок опору вільні коливання завжди рано чи пізно згасають. Розглянемо процес згасання коливань. Припустимо, що сила опору пропорційна швидкості тіла. (Коефіцієнт пропорційності позначений через 2mg з міркувань зручності, яке виявиться пізніше). Будемо мати на увазі випадок, коли за період коливання його загасання невелике. Тоді можна вважати, що згасання слабо позначиться на частоті, але позначиться на амплітуді коливань. Тоді рівняння загасаючих коливань можна уявити у вигляді Тут А(t) представляє деяку спадну функцію, яку потрібно визначити. Будемо виходити із закону збереження та перетворення енергії. Зміна енергії коливань рівно середньої за період роботі сили опору, тобто. Розділимо обидві частини рівняння на dt. Справа матимемо dx/dt, тобто. швидкість v, а зліва вийде виробнича від енергії за часом. Отже, з урахуванням Але середня кінетична енергія дорівнює половині повної енергії. Тому можна записати, що Розділимо обидві його частини на E і помножимо на dt. Отримаємо, що Проінтегруємо обидві частини отриманого рівняння: Після потенцірування отримаємо Постійна інтегрування З знаходиться з початкових умов. Нехай при t = 0 Е = Е0, тоді Е0 = С. Отже, Але Е ~А^2. Тому й амплітуда загасаючих коливань убуває за показовим законом:

І так, внаслідок сопротивлення амплітуда коливань убуває і вони в цілому виглядають так, як представлено на рис. 4.2. Коефіцієнт називається коефіцієнтом згасання. Однак він не цілком характеризує згасання. Зазвичай згасання коливань характеризується декрементом згасання. Останній показує, у скільки разів зменшується амплітуда коливань за час, рівний період коливань. Тобто декpемент згасання визначається так: Логарифм декрету згасання називається логарифмічним декрементом, він, очевидно, рівний

Вимушені коливання

Якщо коливальна система піддається впливу зовнішньої періодичної сили, то виникають так звані вимушені коливання, що мають незагасаючий характер. Вимушені коливання слід відрізняти від автоколивань. У разі автоколивань у системі передбачається спеціальний механізм, який у такт із власними коливаннями "постачає" в систему невеликі порції енергії з деякого резервуара енергії. Тим самим підтримуються власні коливання, які не згасають. У разі автоколивань система як би сама себе підштовхує. Прикладом коливальної системи можуть служити годинник. Годинник забезпечений храповим механізмом, за допомогою якого маятник отримує невеликі поштовхи (від стиснутої пружини) в такт власним коливанням. У разі вимушених коливань система підштовхується сторонньою силою. Нижче ми зупинимося на цьому випадку, припускаючи, що сопротивлення в системі невелике і їм можна нехтувати. Як модель вимушених коливань будемо мати на увазі те ж тіло, підвішене на пружині, на яке діє зовнішня періодична сила (наприклад, сила, що має електромагнітну природу). Без урахування сопротивлення рівняння руху такого тіла в проекції на вісь х має вигляд: де w * - циклічна частота, - амплітуда зовнішньої сили. Відомо, що коливання існують. Тому шукатимемо приватне рішення рівняння у вигляді синусоїдальної функції Підставимо функцію рівняння, навіщо двічі продиференціюємо за часом . Підстановка призводить до співвідношення

Рівняння обертається в тотожність при дотриманні трьох умов: . Тоді і рівняння вимушених коливань можна уявити як Вони відбуваються з частотою, що збігається з частотою зовнішньої сили, і їх амплітуда задається не довільно, як у разі вільних коливань, а сама собою встановлюється. Це значення залежить від співвідношення власної частоти коливань системи і частоти зовнішньої сили згідно з формулою

Н а рис. 4.3 виявлено графік залежності амплітуди вимушених коливань від частоти зовнішньої сили. Видно, що амплітуда коливань істотно зростає в міру наближення частоти зовнішньої сили до частоти власних коливань. Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при збігу власної частоти і частоти зовнішньої сили називається резонансом.

При резонансі амплітуда коливань має бути нескінченно великою. Насправді ж при резонансі амплітуда вимушених коливань завжди кінцева. Це пояснюється тим, що в резонансі і поблизу нього наше припущення про пренебрежимо малому опорі стає невірним. Якщо навіть сопротивлення в системі і мало, то в резонансі воно суттєво. Його наявність робить амплітуду коливань у резонансі кінцевою величиною. Таким чином, реальний графік залежності амплітуди коливань від частоти має вигляд, представлений на рис. 4.4. Чим більше опір в системі, тим нижче максимум амплітуди в точці резонансу.

Як правило, резонанс в механічних системах - явище небажане, і його намагаються уникнути: механічні споруди, схильні до коливань і вібрацій, намагаються сконструювати таким чином, щоб власна частота коливань була далека від можливих значень частот зовнішніх впливів. Але в ряді пристроїв резонанс використовується як явище позитивне. Наприклад, резонанс електромагнітних коливань широко використовується в радіозв'язку, резонанс g-променів - в прецезійних приладах.

Стан термодинамічної системи. Процеси

Термодинамічні стани та термодинамічні процеси

Коли, крім законів механіки, потрібне застосування законів термодинаміки, систему називають термодинамічної системою. Необхідність використання цього поняття виникає, якщо число елементів системи (наприклад, число молекул газу) дуже велике, і рух окремих її елементів є мікроскопічним порівняно з рухом самої системи або її складових частин макроскопічних. У цьому термодинаміка визначає макроскопічні руху (зміни макроскопічних станів) термодинамічної системи.

Параметри, що описують такий рух (зміни) термодинамічної системи, прийнято розділяти на зовнішні та внутрішні. Цей поділ дуже умовний і залежить від конкретного завдання. Так, наприклад, газ у повітряній кулі з еластичною оболонкою як зовнішній параметр має тиск навколишнього повітря, а для газу в посудині з жорсткою оболонкою зовнішнім параметром є об'єм, обмежений цією оболонкою. У термодинамічній системі обсяг та тиск можуть змінюватися незалежно один від одного. Для теоретичного опису їх зміни необхідне введення щонайменше ще одного параметра – температури.

У більшості термодинамічних завдань трьох параметрів достатньо опису стану термодинамічної системи. У цьому випадку зміни в системі описуються за допомогою трьох термодинамічних координат, пов'язаних із відповідними термодинамічних параметрів.

Рівноважним станом- станом термодинамічної рівноваги - називається такий стан термодинамічної системи, в якому відсутні всякі потоки (енергії, речовини, імпульсу і т.д.), а макроскопічні параметри системи встановлюються і не змінюються в часі.

Класична термодинаміка стверджує, що ізольована термодинамічна система (надана собі самій) прагне стану термодинамічного рівноваги і після його досягнення не може мимоволі з нього вийти. Це твердження часто називаю нульовим початком термодинаміки.

Системи, що перебувають у стані термодинамічної рівноваги, мають наступні властивостіми:

Якщо дві термодинамічні системи, мають тепловий контакт, перебувають у стані термодинамічного рівноваги, те й сукупна термодинамічна система перебуває у стані термодинамічного рівноваги.

Якщо якась термодинамічна система знаходиться в термодинамічній рівновазі з двома іншими системами, то і ці дві системи знаходяться в термодинамічній рівновазі один з одним.

Розглянемо термодинамічні системи, що у стані термодинамічного рівноваги. Опис систем, що у нерівноважному стані, тобто у стані, коли мають місце макроскопічні потоки, займається нерівноважна термодинаміка. Перехід з одного термодинамічного стану до іншого називається термодинамічний процес. Нижче розглядатимуться лише квазістатичні процеси або, що те саме, квазірівноважні процеси. Граничним випадком квазірівноважного процесу є нескінченно повільно рівноважний процес, що складається з безперервно наступних один за одним станів термодинамічної рівноваги. Реально такий процес протікати не може, проте якщо макроскопічні зміни в системі відбуваються досить повільно (за проміжки часу, які значно перевищують час встановлення термодинамічної рівноваги), з'являється можливість апроксимувати реальний процес квазістатичним (квазірівноважним). Така апроксимація дозволяє проводити обчислення з досить високою точністю для великого класу практичних завдань. Рівноважний процес є оборотним, тобто таким, при якому повернення до значень параметрів стану, що мали місце в попередній момент часу, має наводити термодинамічну систему в попередній стан без будь-яких змін в оточуючих системах тілах.

Практичне застосування квазірівноважних процесів у будь-яких технічних пристроях малоефективне. Так, використання в тепловій машині квазірівноважного процесу, наприклад, що відбувається при практично постійній температурі (див. опис циклу Карно в третьому розділі), неминуче призводить до того, що така машина буде працювати дуже повільно (у межі - нескінченно повільно) і мати дуже малу потужність. Тому практично квазиравновесные процеси у технічних пристроях не використовуються. Тим не менш, так як передбачення рівноважної термодинаміки для реальних систем з досить високою точністю збігаються з експериментально отриманими для таких систем даними, вона широко застосовується для розрахунку термодинамічних процесів в різних технічних пристроях.

Якщо під час термодинамічного процесу система повертається у вихідний стан, такий процес називається круговим чи циклічним. Кругові процеси, як і будь-які інші термодинамічні процеси, може бути як рівноважними (отже - оборотними), і нерівноважними (необоротними). При оборотному круговому процесі після повернення термодинамічної системи у вихідний стан в оточуючих її тілах немає ніяких термодинамічних збурень, та його стану залишаються рівноважними. В цьому випадку зовнішні параметри системи після здійснення циклічного процесу повертаються до своїх вихідних значень. При незворотному круговому процесі після завершення його оточуючі тіла переходять у нерівноважні стану і зовнішні параметри термодинамічної системи змінюються.

Гармонічні коливання

Тобто. фактично графік синуса виходить із обертання вектора, який описується формулою:

F(x) = A sin (ωt + φ),

Де A - довжина вектора (амплітуда коливань), - початковий кут (фаза) вектора в нульовий момент часу, - кутова швидкість обертання, яка дорівнює:

ω=2 πf, де f - частота Герцах.

Як бачимо, знаючи частоту сигналу, амплітуду і кут, ми можемо побудувати гармонійний сигнал.

Магія починається тоді, коли виявляється, що подання абсолютно будь-якого сигналу можна подати у вигляді суми (часто нескінченної) різних синусоїд. Інакше висловлюючись, у вигляді ряду Фур'є.
Я наведу приклад з англійської вікіпедії. Наприклад візьмемо пилкоподібний сигнал.

Пилоподібний сигнал

Його сума буде подана наступною формулою:

Якщо ми будемо по черзі підсумовувати, брати спочатку n=1, потім n=2 і т.д., то побачимо, як у нас гармонійний синусоїдальний сигнал поступово перетворюється на пилку:

Напевно, найкрасивіше це ілюструє одна програма, знайдена мною на просторах мережі. Вище вже говорилося, що графік синуса є проекцією вектора, що обертається, а як же бути у разі більш складних сигналів? Це, як не дивно, проекція безлічі векторів, що обертаються, а точніше їх суми, і виглядає це все так:

Вектор малює пилку.

Взагалі рекомендую сходити самим за посиланням і спробувати самим погратися з параметрами і подивитися як змінюється сигнал. ІМХО наочнішої іграшки для розуміння я ще не зустрічав.

Ще слід зауважити, що є зворотна процедура, що дозволяє отримати з цього сигналу частоту, амплітуду та початкову фазу (кут), що називається Перетворення Фур'є.

Розкладання ряд Фур'є деяких відомих періодичних функцій (звідси)

Я детально на ньому зупинятись не буду, але покажу, як це можна застосувати у житті. У списку літератури порекомендую те, де можна почитати детальніше про матч.

Переходимо до практичних вправ!

Мені здається, що кожен студент запитує себе, сидячи на лекції, наприклад по матану: навіщо мені все це марення? І як правило, не знайшовши відповіді в найближчому майбутньому, на жаль, втрачає інтерес до предмета. Тому я відразу покажу практичне застосування даних знань, а ви ці знання вже освоюватимете самі:).

Все подальше я реалізовуватиму на сях. Робив все, звичайно, під Linux, але ніякої специфіки не використовував, за ідеєю програма компілюватиметься і працюватиме під іншими платформами.

Для початку напишемо програму для формування звукового файлу. Був узятий wav-файл, як найпростіший. Прочитати про його структуру можна.
Якщо коротко, то структура wav-файлу описується так: заголовок, який описує формат файлу, і далі йде (у нашому випадку) масив 16-ти бітових даних (гостроконечник) завдовжки: частота_дискретизації*t секунд або 44100*t штук.

Для формування звукового файлу було взято приклад. Я його трохи модифікував, виправив помилки, і остаточна версія з моїми правками тепер лежить на гітхабі.

Згенеруємо двосекундний звуковий файл із чистим синусом частотою 100 Гц. Для цього модифікуємо програму таким чином:

#define S_RATE (44100) // Частота дискретизації #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 second buffer */ …. int main(int argc, char * argv) (... float amplitude = 32000; //беремо максимальну можливу амплітуду float freq_Hz = 100; //частота сигналу /* fill buffer with a sine wave */ for (i=0; i

Звертаю увагу, що формула чистого синуса відповідає тій, яку ми говорили вище. Амплітуда 32000 (можна було взяти 32767) відповідає значенню, яке може приймати 16-бітне число (від мінус 32767 до плюс 32767).

В результаті отримуємо наступний файл (можна його навіть послухати будь-якою програмою, що відтворює звук). Відкриємо цей файл audacity і побачимо, що графік сигналу насправді відповідає чистому синусу:

Чистий ламповий синус

Подивимося спектр цього синуса (Аналіз->Побудувати графік спектра)

Графік спектру

Видно чистий пік на 100 Гц (логарифмічний масштаб). Що таке колорит? Це амплітудно-частотна характеристика. Існує ще фазочастотна характеристика. Якщо пам'ятаєте, я говорив, що для побудови сигналу треба знати його частоту, амплітуду і фазу? Так от можна з сигналу отримати ці параметри. В даному випадку ми маємо графік відповідностей частот амплітуді, причому амплітуда у нас не в реальних одиницях, а в Децибелах.

Я розумію, що для того, щоб пояснити, як працює програма, треба пояснити, що таке швидке перетворення Фур'є, а це як мінімум ще на одну некислу статтю.

Для початку алокуємо масиви:

C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // масив поворотних множників in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //Вхідний масив out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //вихідний масив

Скажу лише, що в програмі ми читаємо дані в масив завдовжки size_array (яке беремо із заголовка wav-файлу).

While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) break; )

Масив для швидкого перетворення Фур'є повинен бути послідовністю (re, im, re, im,… re, im), де fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
це масив комплексних чисел. Я навіть боюся уявити, де використовується комплексне перетворення Фур'є, але в нашому випадку уявна частина у нас дорівнює нулю, а дійсна дорівнює значенню кожної точки масиву.
Ще одна особливість саме швидкого перетворення Фур'є, що обраховує масиви, кратні лише ступеня двійки. У результаті ми маємо обчислити мінімальний ступінь двійки:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Логарифм від кількості байт в даних, поділених на кількість байт в одній точці.

Після цього вважаємо поворотні множники:

Fft_make(p2,c); // Функція розрахунку поворотних множників для БПФ (перший параметр ступінь двійки, другий алокований масив поворотних множників).

І згодовуємо наш лічений масив у перетворювач Фур'є:

Fft_calc(p2, c, in, out, 1); //(Одиниця означає, що ми отримуємо нормалізований масив).

На виході отримуємо комплексні числа виду (re, im, re, im,… re, im). Для тих, хто не знає, що таке комплексне число, поясню. Я не дарма почав цю статтю з купи векторів, що обертаються, і купи гіфок. Так от, вектор на комплексній площині визначається дійсною координатою a1 і уявною координатою a2. Або завдовжки (це у нас амплітуда Am) та кутом Псі (фаза).

Вектор на комплексній площині

Зауважте, що size_array=2^p2. Перша точка масиву відповідає частоті 0 Гц (постійна), остання точка відповідає частоті дискретизації, саме 44100 Гц. В результаті ми повинні розрахувати частоту, що відповідає кожній точці, які відрізнятимуться на частоту дельта:

Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //Частота дискретизації на розмір масиву.

Алокуємо масив амплітуд:

Double * ampl; ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));

І дивимося на картинку: амплітуда – це довжина вектора. А у нас є його проекції на дійсну та уявну вісь. В результаті ми будемо прямокутний трикутник, і тут ми згадуємо теорему Піфагора, і вважаємо довжину кожного вектора, і відразу пишемо її в текстовий файл:

For(i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
В результаті одержуємо файл приблизно такого виду:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Пробуємо!

Тепер згодовуємо програмі, що вийшла, той звуковий файл синуса

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav format: 16 bits, PCM uncompressed, channel 1, freq 44100, 88200 bytes per sec, 2 bytes by capture, 2 bits per sample, 882000 441000 log2=18 size array=262144 wav format Max Freq = 99.928 , amp =7216.136

І отримуємо текстовий файл АЧХ. Будуємо його графік за допомогою гнуплота

Скрипт для побудови:

#! /usr/bin/gnuplot -persist set terminal postscript eps розширений колір solid set output "result.ps" #set terminal png size 800, 600 #set output "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz" set ylabel "Amp, dB" set xrange #set yrange plot "test.txt" using 1:2 title "AFC" with lines linestyle 1 !}

Зверніть увагу на обмеження в скрипті на кількість точок X: set xrange . Частота дискретизації в нас 44100, і якщо згадати теорему Котельникова, то частота сигналу може бути вище половини частоти дискретизації, отже сигнал вище 22050 Гц нас цікавить. Чому так, раджу прочитати у спеціальній літературі.
Отже (барабанна дріб), запускаємо скрипт і бачимо:

Спектр нашого сигналу

Зверніть увагу на різкий пік на частоті 100 Гц. Не забувайте, що по осях – логарифмічний масштаб! Шерсть справа, як я думаю, помилки перетворення Фур'є (тут на згадку приходять вікна).

А давайте побалуємо?

А давайте! Давайте подивимося спектри інших сигналів!

Навколо шум…

Для початку збудуємо спектр шуму. Тема про шуми, випадкові сигнали тощо. гідна окремого курсу. Але ми її торкнемося трохи. Модифікуємо нашу програму генерації wav-файлу, додамо одну процедуру:

Double d_random(double min, double max) ( return min + (max - min) / RAND_MAX * rand(); )

Вона генеруватиме випадкове число в заданому діапазоні. В результаті main виглядатиме так:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitude = 32000; srand((unsigned int)time(0)); // ініціалізуємо генератор випадкових чисел for (i=0; i

Згенеруємо файл (рекомендую до прослуховування). Подивимося його в audacity.

Сигнал в audacity

Подивимося спектр у програмі audacity.

Спектр

І подивимося спектр за допомогою нашої програми:

Наш спектр

Хочу звернути увагу на дуже цікавий факт і особливість шуму - він містить спектри всіх гармонік. Як видно з графіка, спектр цілком рівний. Як правило, білий шум використовується для частотного аналізу пропускної здатності, наприклад аудіоапаратури. Існують інші види шумів: рожевий, синій та інші. Домашнє завдання – дізнатися, чим вони відрізняються.

А компот?

А тепер давайте подивимося інший цікавий сигнал – меандр. Я там вище наводив табличку розкладів різних сигналів у ряди Фур'є, ви подивіться, як розкладається меандр, випишіть на папірець, і ми продовжимо.

Для генерації меандру з частотою 25 Гц ми модифікуємо вкотре наш генератор wav-файлу:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* fill buffer with a sine wave */ for (i=0; i

В результаті отримаємо звуковий файл (знову ж таки, раджу послухати), який відразу треба подивитися в audacity

Його величність - меандр чи меандр здорової людини

Не будемо нудитися і подивимося його спектр:

Спектр меандру

Поки не дуже щось зрозуміло, що таке... А давайте подивимося кілька перших гармонік:

Перші гармоніки

Зовсім інша річ! Ану подивимося табличку. Дивіться, у нас є тільки 1, 3, 5 і т.д., тобто. непарні гармоніки. Ми так і бачимо, що у нас перша гармоніка 25 Гц, наступна (третя) 75 Гц, потім 125 Гц і т.д., при цьому ми амплітуда поступово зменшується. Теорія зійшлася з практикою!
А тепер увага! У реальному житті сигнал меандру у нас має нескінченну суму гармонік все більш і більш високої частоти, але, як правило, реальні електричні ланцюги не можуть пропускати частоти вище за якусь частоту (через індуктивність і ємність доріжок). В результаті на екрані осцилографа можна часто побачити такий сигнал:

Меандр курця

Ця картинка прямий як картинка з вікіпедії, де для прикладу меандра беруться не всі частоти, а лише перші кілька.

Сума перших гармонік і як змінюється сигнал

Меандр так само активно використовується в радіотехніці (треба сказати, що - це основа всієї цифрової техніки), і варто розуміти, що при довгих ланцюгах його може відфільтрувати так, що рідна мама не впізнає. Його також використовують для перевірки АЧХ різних приладів. Ще цікавий факт, що глушилки телевізорів працювали саме за принципом вищих гармонік, коли сама мікросхема генерувала меандр десятки МГц, а його вищі гармоніки могли мати частоти сотні МГц якраз на частоті роботи телевізора, і вищі гармоніки успішно глушили сигнал мовлення телевізора.

Взагалі, тема подібних експериментів нескінченна, і ви можете тепер самі її продовжити.

Книга

Для тих, хто ніфіга не зрозумів, що ми тут робимо, або навпаки, для тих, хто зрозумів, але хоче розібратися ще краще, а також студентам, які вивчають ЦГЗ, вкрай рекомендую цю книгу. Це ЦГЗ для чайників, яким є автор цієї посади. Там доступною навіть дитині мовою розповідаються найскладніші поняття.

Висновок

На закінчення хочу сказати, що математика - цариця наук, але без реального застосування багато людей втрачають до неї інтерес. Сподіваюся, цей пост підстьобне вас до вивчення такого чудового предмета, як обробка сигналів, і взагалі аналогової схемотехніки (затикайте вуха, щоб не витікали мізки!). :)
Успіхів!

Теги:

Додати теги