Визначення власного вектора лінійного оператора. Власні числа та власні вектори лінійного оператора

Вектор Х ≠ 0 називають власним векторомлінійного оператора із матрицею А, якщо знайдеться таке число, що АХ =Х.

При цьому число  називають власним значеннямоператора (матриці А), що відповідає вектору х.

Інакше кажучи, власний вектор – це вектор, який під впливом лінійного оператора перетворюється на колінеарний вектор, тобто. просто множиться на кілька. На відміну від нього, невласні вектори перетворюються складніше.

Запишемо визначення власного вектора як системи рівнянь:

Перенесемо всі складові в ліву частину:

Останню систему можна записати в матричній формі таким чином:

(А - Е)Х = О

Отримана система завжди має нульове рішення Х = О. Такі системи, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називають однорідними. Якщо матриця такої системи – квадратна, і її визначник не дорівнює нулю, то за формулами Крамера ми завжди матимемо єдине рішення – нульове. Можна довести, що система має ненульові рішення і тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює нулю, тобто.

|А - Е| = = 0

Це рівняння з невідомим  називають характеристичним рівнянням(характеристичним багаточленом) матриці А (лінійного оператора).

Можна довести, що характеристичний багаточлен лінійного оператора залежить від вибору базису.

Наприклад, знайдемо власні значення та власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею А = .

І тому складемо характеристичне рівняння |А - Е| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; Д = 4 + 140 = 144; власні значення  1 = (2 - 12)/2 = -5;  2 = (2 + 12)/2 = 7.

Щоб знайти власні вектори, вирішуємо дві системи рівнянь

(А + 5Е) Х = О

(А - 7Е) Х = О

Для першої з них розширена матриця набуде вигляду

звідки х 2 = с, х 1 + (2/3) с = 0; х 1 = -(2/3)з, тобто. Х(1) = (-(2/3)с; с).

Для другої з них розширена матриця набуде вигляду

звідки х 2 = з 1, х 1 - (2/3) з 1 = 0; х 1 = (2/3) з 1, тобто. Х (2) = ((2/3) з 1; з 1).

Таким чином, власними векторами цього лінійного оператора є всі вектори виду (-(2/3)з; с) з власним значенням (-5) і всі вектори виду ((2/3)з 1; з 1) з власним значенням 7 .

Можна довести, що матриця оператора А в базисі, що складається з власних векторів, є діагональною і має вигляд:

де  i – власні значення цієї матриці.

Правильно і зворотне: якщо матриця А в деякому базисі є діагональною, всі вектори цього базису будуть власними векторами цієї матриці.

Також можна довести, що якщо лінійний оператор має n попарно різних власних значень, відповідні їм власні вектори лінійно незалежні, а матриця цього оператора у відповідному базисі має діагональний вигляд.

На зображенні бачимо трансформації зсуву, що відбувається з Джокондою. Синій вектор змінює напрямок, а червоний – ні. Тому червоний є власним вектором такого перетворення, синій – ні. Оскільки червоний вектор ні розтягнувся, ні стиснувся, його значення дорівнює одиниці. Всі вектори колінеарні червоні теж власні (англ. eigenvector)квадратної матриці (С власним значенням(англ. eigenvalue)) – це ненульовий вектор , для якого виконується співвідношення

Де? це певний скаляр, тобто дійсне чи комплексне число.
Тобто власні вектори матриці A- це ненульові вектори, які під дією лінійного перетворення задається матрицею Aне змінюють напрями, але можуть змінювати довжину на коефіцієнт?
Матриця розмірами має не більше Nвласних векторів та власних значень, що відповідають їм.
Співвідношення (*) має сенс також для лінійного оператора у векторному просторі V.Якщо цей простір – кінцевомірний, то оператор можна записати у вигляді матриці щодо безумовно базису. V.
Оскільки власні вектори та власні значення було позначено без застосування координат, які не залежать від вибору базису. Тому такі матриці мають однакові власні значення.
Провідну роль розумінні своїх значень матриць грає теорема Гамільтона-Келі. З неї випливає, що власні значення матриці Aі тільки вони є корінням характеристичного полінома матриці A:

p (?) є поліномом ступеня n,отже за основною теоремою алгебри, існує рівно nкомплексних власних значень з огляду на їх кратності.
Отже, матриця Aмає не більше nвласних значень (але безліч власних векторів кожного з них).
Запишемо характеристичний поліном через його коріння:

Кратність кореня характеристичного полінома матриці називається алгебраїчною кратністювласного значення
Сукупність всіх власних значень матриці або лінійного оператора в кінцевому векторному просторі називається спектромматриці чи лінійного оператора. (Ця термінологія видозмінюється для нескінченозмірних векторних просторів: у загальному випадку, до спектра оператора можуть належати?, які не є власними значеннями.)
Завдяки зв'язку характеристичного полінома матриці з її власними значеннями останні ще називають характеристичними числамиматриці.
Для кожного власного значення Отримаємо свою систему рівнянь:

Що матиме лінійно-незалежних рішень.
Сукупність всіх рішень системи утворює лінійний підпростір розмірності та називається власним простором(англ. eigenspace)матриці з власним значенням.
Розмірність власного простору називається геометричною кратністювідповідного власного значення?
Усі власні простори є інваріантними підпросторами для .
Якщо існують не менше двох лінійно-незалежних власних векторів з однаковим власним значенням?, то таке власне значення називається виродженим.Ця термінологія використовується переважно у разі, якщо геометрична і алгебраїчна кратності власних значень збігаються, наприклад, для ермітових матриць.

Де – Квадратна матриця розміру n x n,-Той стовпець якої є вектор, А - це діагональна матриця з відповідними значеннями.

Проблемою власних значень називається завдання знаходження власних векторів та чисел матриці.
За визначенням (за допомогою характеристичного рівняння) можна знаходити лише власні значення матриць розмірності менше п'яти. Характеристичне рівняння має рівний ступінь матриці. Для більших ступенів знаходження рішень рівняння стає дуже проблематичним, тому використовують різноманітні чисельні методи
Різні завдання вимагають отримання різної кількості власних значень. Тому розрізняють кілька проблем пошуку власних значень, кожної з яких використовують свої методи.
Здавалося б часткова проблема своїх значень є частковою проблемою повної, і вирішується тими самими методами як і повна. Однак, методи, що застосовуються до приватних завдань, набагато ефективніші, тому можуть застосовуватися до матриць великої розмірності (наприклад, у ядерній фізиці виникають проблеми знаходження власних значень для матриць розмірності 10 3 – 10 6).
Метод Якобі

Одним із найстаріших і найбільш загальних підходів до вирішення повної проблеми власних значень є метод Якобі, вперше був опублікований у 1846 році.
Метод застосовують до симетричної матриці A
Це простий ітеративний алгоритм, у якому матриця із власними векторами обчислюється послідовністю множень.

З матрицею А якщо знайдеться таке число l, що АХ = lХ.

У цьому число l називають власним значеннямоператора (матриці А), що відповідає вектору Х.

Інакше кажучи, власний вектор - це вектор, який під впливом лінійного оператора перетворюється на колінеарний вектор, тобто. просто множиться на кілька. На відміну від нього, невласні вектори перетворюються складніше.

Запишемо визначення власного вектора як системи рівнянь:

Перенесемо всі складові в ліву частину:

Останню систему можна записати в матричній формі таким чином:

(А - lЕ) Х = О

Отримана система завжди має нульове рішення Х = О. Такі системи, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називають однорідними. Якщо матриця такої системи – квадратна, і її визначник не дорівнює нулю, то за формулами Крамера ми завжди отримаємо єдине рішення – нульове. Можна довести, що система має ненульові рішення і тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює нулю, тобто.

|А - lЕ| = = 0

Це рівняння з невідомим l називають характеристичним рівнянням (характеристичним багаточленом) матриці А (лінійного оператора).

Можна довести, що характеристичний багаточлен лінійного оператора залежить від вибору базису.

Наприклад, знайдемо власні значення та власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею А = .

І тому складемо характеристичне рівняння |А - lЕ| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; Д = 4 + 140 = 144; власні значення l 1 = (2 - 12) / 2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Щоб знайти власні вектори, вирішуємо дві системи рівнянь

(А + 5Е) Х = О

(А - 7Е) Х = О

Для першої з них розширена матриця набуде вигляду

звідки х 2 = с, х 1 + (2/3) с = 0; х 1 = -(2/3)з, тобто. Х(1) = (-(2/3)с; с).

Для другої з них розширена матриця набуде вигляду

звідки х 2 = з 1, х 1 - (2/3) з 1 = 0; х 1 = (2/3) з 1, тобто. Х (2) = ((2/3) з 1; з 1).

де l i - Власні значення цієї матриці.

Пояснимо це на попередньому прикладі. Візьмемо довільні ненульові значення з і з 1 але такі, щоб вектори Х (1) і Х (2) були лінійно незалежними, тобто. утворили б базис. Наприклад, нехай з = з 1 = 3, тоді Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3).

Переконаємося у лінійній незалежності цих векторів:

12 ≠ 0. У цьому новому базисі матриця А набуде вигляду А * = .

Щоб переконатися в цьому, скористаємося формулою А* = С-1АС. Спочатку знайдемо С-1.

З -1 = ;

Квадратичні форми

Квадратичною формою f(х 1 , х 2 , х n) від n змінних називають суму, кожен член якої є або квадратом однієї із змінних, або добутком двох різних змінних, взятим з деяким коефіцієнтом: f(х 1 , х 2 , х n) = (a ij = a ji).

Матрицю А, складену з цих коефіцієнтів, називають матрицеюквадратичної форми. Це завжди симетричнаматриця (тобто матриця, симетрична щодо головної діагоналі, a ij = a ji).

У матричному записі квадратична форма має вигляд f(Х) = Х Т AX, де

Справді

Наприклад, запишемо у матричному вигляді квадратичну форму.

Для цього знайдемо матрицю квадратичної форми. Її діагональні елементи дорівнюють коефіцієнтам при квадратах змінних, інші елементи - половинам відповідних коефіцієнтів квадратичної форми. Тому

Нехай матриця-стовпець змінних X отримана невиродженим лінійним перетворенням матриці-стовпця Y, тобто. X = CY, де - невироджена матриця n-го порядку. Тоді квадратична форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким чином, при невиродженому лінійному перетворенні З матриця квадратичної форми набуває вигляду: А * = C T AC.

Наприклад, знайдемо квадратичну форму f(y 1 , y 2), отриману з квадратичної форми f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 лінійним перетворенням.

Квадратична форма називається канонічної(має канонічний вигляд), якщо її коефіцієнти a ij = 0 при i ≠ j, тобто.
f(х 1, х 2, х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Її матриця є діагональною.

Теорема(Доказ тут не наводиться). Будь-яка квадратична форма може бути приведена до канонічного виду за допомогою невиродженого лінійного перетворення.

Наприклад, наведемо до канонічного вигляду квадратичну форму
f(х 1, х 2, х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 .

Для цього спочатку виділимо повний квадрат при змінній х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х2 2-х 2х3.

Тепер виділяємо повний квадрат при змінній х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 - 5(х 2 2 + 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) + (5/100) х 3 2 =
= 2 (x 1 + х 2) 2 - 5 (х 2 - (1/10) х 3) 2 + (1/20) х 3 2 .

Тоді невироджене лінійне перетворення y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 + (1/10)х 3 і y 3 = x 3 наводить цю квадратичну форму до канонічного вигляду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Зазначимо, що канонічний вид квадратичної форми визначається неоднозначно (одна й та сама квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду різними способами). Однак отримані різними способами канонічні форми мають низку загальних властивостей. Зокрема, кількість доданків з позитивними (негативними) коефіцієнтами квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до цього виду (наприклад, у розглянутому прикладі завжди буде два негативні та один позитивний коефіцієнт). Цю властивість називають законом інерції квадратичних форм.

Впевнимося в цьому, по-іншому привівши ту ж квадратичну форму до канонічного вигляду. Почнемо перетворення зі змінною х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = -3х 2 2 - х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = - 3(х 2 2 +
+ 2* х 2 ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) + ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2) + 3((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 + (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2 де y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 + (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 та y 3 = x 1 . Тут негативний коефіцієнт -3 при y 1 і два позитивні коефіцієнти 3 і 2 при y 2 і y 3 (а при використанні іншого способу ми отримали негативний коефіцієнт (-5) при y 2 і два позитивних: 2 при y 1 і 1/20 за y 3).

Також слід зазначити, що ранг матриці квадратичної форми, званий рангом квадратичної форми, дорівнює числу відмінних від нуля коефіцієнтів канонічної форми і змінюється при лінійних перетвореннях.

Квадратичну форму f(X) називають позитивно (негативно) певною, якщо за всіх значеннях змінних, не рівних одночасно нулю, вона позитивна, тобто. f(X) > 0 (негативна, тобто.
f(X)< 0).

Наприклад, квадратична форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 – позитивно визначена, т.к. є сумою квадратів, а квадратична форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - негативно визначена, т.к. представляє її можна подати у вигляді f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

У більшості практичних ситуації встановити знаковизначеність квадратичної форми дещо складніше, тому для цього використовують одну з наступних теорем (сформулюємо їх без доказів).

Теорема. Квадратична форма є позитивно (негативно) певною тоді і лише тоді, коли всі власні значення її матриці позитивні (негативні).

Теорема(Критерій Сільвестра). Квадратична форма є позитивно визначеною тоді і лише тоді, коли головні мінори матриці цієї форми позитивні.

Головним (кутовим) мінором k-го порядку матриці А n-го порядку називають визначником матриці, що складається з перших k рядків і стовпців матриці А().

Зазначимо, що для негативно визначених квадратичних форм знаки головних мінорів чергуються, причому мінор першого порядку має бути негативним.

Наприклад, досліджуємо на знаковизначеність квадратичну форму f(х 1, х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l) *
* (3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Отже, квадратична форма – позитивно визначена.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 = 2 > 0. Головний мінор другого порядку D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма – позитивно визначена.

Досліджуємо на знаковизначеність іншу квадратичну форму, f(х 1, х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А = . Характеристичне рівняння матиме вигляд = (-2 - l) *
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Отже, квадратична форма – негативно визначена.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма – негативно визначена (знаки головних мінорів чергуються, починаючи з мінусу).

І як ще один приклад досліджуємо на знаковизначеність квадратичну форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А = . Характеристичне рівняння матиме вигляд = (2 - l) *
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Одне з цих чисел негативне, а інше – позитивно. Знаки своїх значень різні. Отже, квадратична форма може бути ні негативно, ні позитивно певної, тобто. ця квадратична форма не є знаковизначеною (може набувати значень будь-якого знака).

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 = 2 > 0. Головний мінор другого порядку D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Найпростіший лінійний оператор - множення вектора на число (lambda). Цей оператор просто розтягує всі вектори в \(\lambda\) разів. Його матрична форма в будь-якому базисі - (diag (lambda, lambda, ..., lambda)). Фіксуємо для визначеності базис \(\(e\)\) у векторному просторі \(\mathit(L)\) і розглянемо лінійний оператор з діагональною матричною формою в цьому базисі, \(\alpha = diag(\lambda _1,\lambda _2, ..., \ lambda _n) \). Цей оператор, згідно з визначенням матричної форми, розтягує \(e_k\) в \(\lambda _k\) раз, тобто. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) всім \(k=1,2,...,n\). З діагональними матрицями зручно працювати, для них просто будується функціональне обчислення: для будь-якої функції \(f(x)\) можна покласти \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)))= diag(f(\lambda _1), f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Таким чином виникає природне питання: нехай є лінійний оператор (A), чи можна вибрати такий базис у векторному просторі, щоб матрична форма оператора (A) була діагональною в цьому базисі? Це питання призводить до визначення власних чисел та власних векторів.

Визначення. Нехай для лінійного оператора (A) існує ненульовий вектор (u) і число (lambda) такі, що Au = lambda cdot u. \quad \quad(59) \] Тоді вектор \(u\) називають власним вектором оператора \(A\), а число \(\lambda \) - відповідним власним числом оператора (A). Сукупність всіх власних чисел називають спектром лінійного оператора (A).

Виникає природне завдання: знайти для заданого лінійного оператора його власні числа та відповідні власні вектори. Це завдання називають завданням про спектр лінійного оператора.

Рівняння для власних значень

Фіксуємо для визначеності базис у векторному просторі, тобто. вважатимемо, що він раз і назавжди заданий. Тоді, як було обговорено вище, розгляд лінійних операторів можна звести до розгляду матриць - матричних форм лінійних операторів. Рівняння (59) перепишемо у вигляді [(\alpha - lambda E)u=0. \] Тут \(E\) - одинична матриця, а \(\alpha\) - матрична форма нашого лінійного оператора (A\). Це співвідношення можна трактувати як систему (n) лінійних рівнянь для (n) невідомих - координат вектора (u). Причому це однорідна система рівнянь і нам слід знайти її нетривіальнерішення. Раніше була наведена умова існування такого рішення - для цього необхідно і достатньо, щоб ранг системи був меншим за кількість невідомих. Звідси випливає рівняння для власних чисел: det(\alpha - lambda E) = 0. \quad \quad(60) \]

Визначення. Рівняння (60) називається характеристичним рівнянням для лінійного оператора (A).

Опишемо властивості цього рівняння та його рішень. Якщо його виписувати в явному вигляді, отримаємо рівняння виду [(-1) ^ n lambda ^ n + ... + det (A) = 0. \quad \quad(61) \] У лівій частині стоїть поліном по змінній \(\lambda\). Такі рівняння називаються алгебраїчними ступенями (n). Наведемо необхідні відомості про ці рівняння.

Довідка про рівняння алгебри.

Теорема. Нехай всі власні числа лінійного оператора (A) - прості. Тоді набір власних векторів, відповідних цим власним числам, утворює базис векторного простору.

З умов теореми випливає, що всі власні числа оператора (A) різні. Припустимо, що набір власних векторів лінійно залежний, отже є константи \(c_1,c_2,...,c_n\), в повному обсязі нулі, задовольняють умові: \[ \sum_(k=1)^nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Розглянемо серед таких формул таку, що включає мінімальну кількість доданків, і подіємо на неї оператором (A). З огляду на його лінійності отримуємо: \[ A\left (\sum_(k=1)^nc_ku_k \right)=\sum_(k=1)^nc_kAu_k=\sum_(k=1)^nc_k\lambda _ku_k=0. \quad \quad(63) \]

Нехай для визначеності \(c_1 \neq 0\). Помножуючи (62) на (lambda _1) і віднімаючи з (63), отримаємо співвідношення виду (62), але що містить на одне доданок менше. Суперечність доводить теорему.

Отже, за умов теореми утворюється базис, що з даним лінійним оператором - базис його власних векторів. Розглянемо матричну форму оператора у такому базисі. Як згадувалося вище, \(k\)-ий стовпець цієї матриці - це розкладання вектора \(Au_k\) по базису. Однак за визначенням \(Au_k = \ lambda _ku_k \), так що це розкладання (те, що виписано в правій частині) містить тільки одне доданок і побудована матриця виявляється діагональною. У результаті отримуємо, що за умов теореми матрична форма оператора в базисі його векторів дорівнює \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Тому, якщо необхідно розвивати функціональне обчислення для лінійного оператора, розумно працювати в базисі його власних векторів.

Якщо серед власних чисел лінійного оператора є кратні, опис ситуації стає складнішим і може включати звані жорданові клітини. Ми надішлемо читача до більш просунутих посібників для вивчення відповідних ситуацій.

Найбільш просто влаштовані матриці діагонального вигляду. Виникає питання, чи не можна знайти базис, у якому матриця лінійного оператора мала б діагональний вигляд. Такий базис існує.
Нехай дано лінійний простір R n і лінійний оператор A, що діє в ньому; у цьому випадку оператор A переводить R n у себе, тобто A: R n → R n .

Визначення. Ненульовий вектор x називається власним вектором оператора A якщо оператор A переводить x в колінеарний йому вектор, тобто . Число λ називається власним значенням або власним числом оператора A, що відповідає власному вектору x.
Зазначимо деякі властивості власних чисел та власних векторів.
1. Будь-яка лінійна комбінація власних векторів оператора A, відповідальних одному й тому власному числу λ, є власним вектором з тим самим власним числом.
2. Власні вектори оператора A з попарно різними власними числами λ 1 , λ 2 , …, λ m лінійно незалежні.
3. Якщо власні числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то власному числу λ відповідає не більше m лінійно незалежних власних векторів.

Отже, якщо є n лінійно незалежних власних векторів , відповідних різним власним числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , всі вони лінійно незалежні, отже, їх можна вважати базис простору R n . Знайдемо вид матриці лінійного оператора A у базисі з його власних векторів, для чого подіємо оператором A на базисні вектори: тоді .
Таким чином, матриця лінійного оператора A в базисі його власних векторів має діагональний вигляд, причому по діагоналі стоять власні числа оператора A.
Чи існує інший базис, у якому матриця має діагональний вигляд? Відповідь на поставлене запитання дає така теорема.

Теорема. Матриця лінійного оператора A у базисі (i = 1..n) має діагональний вигляд тоді і лише тоді, коли всі вектори базису - власні вектори оператора A.

Правило відшукання власних чисел та власних векторів

Нехай дано вектор

, де x 1 x 2 … x n - координати вектора x щодо базису

і x - власний вектор лінійного оператора A, що відповідає власному числу , тобто . Це співвідношення можна записати у матричній формі

. (*)

Рівняння (*) можна як рівняння для відшукання x , причому , тобто нас цікавлять нетривіальні рішення, оскільки власний вектор може бути нульовим. Відомо, що нетривіальні рішення однорідної системи лінійних рівнянь існують тоді і тільки тоді, коли det(A - λE) = 0. Таким чином, для того, щоб λ було власним числом оператора A необхідно і достатньо, щоб det(A - λE) = 0.
Якщо рівняння (*) докладно розписати в координатній формі, то отримаємо систему лінійних однорідних рівнянь:

(1)
де - матриця лінійного оператора.

Система (1) має ненульове рішення, якщо її визначник D дорівнює нулю

Здобули рівняння для знаходження власних чисел.
Це рівняння називається характеристичним рівнянням, яке ліва частина - характеристичним многочленом матриці (оператора) A. Якщо характеристичний багаточлен немає речових коренів, то матриця A немає власних векторів і її не можна призвести до діагональному виду.
Нехай λ 1 , λ 2 , …, λ n - речові корені характеристичного рівняння, причому серед них можуть бути і кратні. Підставляючи по черзі ці значення систему (1), знаходимо власні вектори.

Приклад 12 Лінійний оператор A діє в R 3 згідно із законом , де x 1 , x 2 ,.., x n - координати вектора в базисі , , . Знайти власні числа та власні вектори цього оператора.
Рішення. Будуємо матрицю цього оператора:
.
Складаємо систему визначення координат власних векторів:

Складаємо характеристичне рівняння та вирішуємо його:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Підставляючи λ = -1 у систему, маємо:
або
Оскільки , то залежних змінних два, а вільне одне.
Нехай x 1 - вільне невідоме, тоді Вирішуємо цю систему будь-яким способом і знаходимо загальне рішення цієї системи: Фундаментальна система рішень складається з одного рішення, оскільки n – r = 3 – 2 = 1.
Безліч власних векторів, що відповідають своєму числу λ = -1, має вигляд: , де x 1 - будь-яке число, відмінне від нуля. Виберемо з цієї множини один вектор, наприклад, поклавши x 1 = 1: .
Розмірковуючи аналогічно, знаходимо власний вектор, що відповідає власному числу = 3: .
У просторі R 3 базис складається з трьох лінійно незалежних векторів, ми отримали тільки два лінійно незалежних власних вектора, з яких базис в R 3 скласти не можна. Отже, матрицю A лінійного оператора призвести до діагонального вигляду не можемо.

приклад 13. Дана матриця .
1. Довести, що вектор є власним вектором матриці A. Знайти власне число, що відповідає цьому власному вектору.
2. Знайти базис, у якому матриця A має діагональний вигляд.
Рішення.
1. Якщо , то x - власний вектор

.
Вектор (1, 8, -1) – власний вектор. Власне число = -1.
Діагональний вигляд матриця має в базисі, що складається зі своїх векторів. Один із них відомий. Знайдемо решту.
Власні вектори шукаємо із системи:

Характеристичне рівняння: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Знайдемо власний вектор, що відповідає власному числу = -3:

Ранг матриці цієї системи дорівнює двом і дорівнює числу невідомих, тому ця система має тільки нульове рішення x 1 = x 3 = 0. x 2 тут може бути будь-яким, відмінним від нуля, наприклад, x 2 = 1. Таким чином, вектор (0 ,1,0) є власним вектором, що відповідає λ = -3. Перевіримо:
.
Якщо λ = 1, то одержуємо систему
Ранг матриці дорівнює двом. Останнє рівняння викреслюємо.
Нехай x 3 – вільне невідоме. Тоді x 1 = -3 x 3, 4 x 2 = 10 x 1 - 6 x 3 = -30 x 3 - 6 x 3, x 2 = -9 x 3.
Вважаючи x 3 = 1, маємо (-3,-9,1) - власний вектор, що відповідає власному числу = 1. Перевірка:

.
Так як власні числа дійсні і різні, то вектори, що їм відповідають, лінійно незалежні, тому їх можна прийняти за базис R 3 . Таким чином, у базисі , , матриця A має вигляд:
.
Не будь-яку матрицю лінійного оператора A:R n → R n можна призвести до діагонального вигляду, оскільки для деяких лінійних операторів лінійно незалежних власних векторів може бути менше n. Однак, якщо матриця симетрична, кореню характеристичного рівняння кратності m відповідає рівно m лінійно незалежних векторів.

Визначення. Симетричною матрицею називається квадратна матриця, у якій елементи, симетричні щодо головної діагоналі, рівні, тобто у якій .
Зауваження. 1. Усі власні числа симетричної матриці речові.
2. Власні вектори симетричної матриці, що відповідають попарно різним власним числам, ортогональні.
Як один з численних додатків вивченого апарату, розглянемо завдання визначення виду кривої другого порядку.