☰

Ступенева функція та коріння - визначення, властивості та формули. Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення

Вирази, перетворення виразів

Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення

У цій статті ми поговоримо про перетворення виразів зі ступенями. Спочатку ми зупинимося на перетвореннях, які виконуються з виразами будь-яких видів, у тому числі зі статечними виразами, таких як розкриття дужок, приведення подібних доданків. А далі розберемо перетворення, властиві саме виразам зі ступенями: робота з основою та показником ступеня, використання властивостей ступенів тощо.

Навігація на сторінці.

Що таке статечні вирази?

Термін «статечні висловлювання» практично не зустрічається шкільних підручниках математики, але він часто фігурує у збірниках завдань, особливо призначених для підготовки до ЄДІ та ОДЕ, наприклад, . Після аналізу завдань, у яких потрібно виконати будь-які дії зі статечними виразами, стає зрозуміло, що під статечними виразами розуміють вирази, що містять у своїх записах ступеня. Тому для себе можна прийняти таке визначення:

Визначення.

Ступінні вирази- Це вирази, що містять ступеня.

Наведемо приклади статечних виразів. Причому будемо їх представляти відповідно до того, як відбувається розвиток поглядів на ступінь з натуральним показником до ступеня з дійсним показником.

Як відомо, спочатку відбувається знайомство зі ступенем числа з натуральним показником, на цьому етапі з'являються перші найпростіші статечні вирази типу 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 тощо.

Трохи пізніше вивчається ступінь числа з цілим показником, що призводить до появи статечних виразів з негативними ступенями, на кшталт наступних: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .

У старших класах знову повертаються до ступенів. Там вводиться ступінь з раціональним показником, що тягне за собою появу відповідних статечних виразів: , , і т.п. Нарешті, розглядаються ступеня з ірраціональними показниками і їх висловлювання: , .

Перерахованими статечними виразами справа не обмежується: далі в показник ступеня проникає змінна, і виникають, наприклад, такі вирази 2 x 2 +1 або . А після знайомства з , починають зустрічатися вирази зі ступенями і логарифмами, наприклад, x 2 lgx −5 x lgx .

Отже, ми розібралися з питанням, що є статечними виразами. Далі вчитимемося перетворювати їх.

Основні види перетворень статечних виразів

Зі статечними виразами можна виконувати будь-які з основних тотожних перетворень виразів. Наприклад, можна розкривати дужки, замінювати числові вирази їх значеннями, наводити подібні доданки тощо. Природно, при цьому варто дотримуватися прийнятого порядку виконання дій. Наведемо приклади.

приклад.

Обчисліть значення статечного виразу 23 · (42-12).

Рішення.

Відповідно до порядку виконання дій спочатку виконуємо дії у дужках. Там, по-перше, замінюємо ступінь 4 2 її значенням 16 (за потреби дивіться ), і по-друге, обчислюємо різницю 16-12=4 . Маємо 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В отриманому вираженні замінюємо ступінь 2 3 її значенням 8 після чого обчислюємо твір 8 · 4 = 32 . Це і є потрібне значення.

Отже, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Відповідь:

2 3 · (4 2 -12) = 32 .

приклад.

Спростити вирази зі ступенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7.

Рішення.

Вочевидь, що це вираз містить подібні доданки 3·a 4 ·b −7 і 2·a 4 ·b −7 , і ми можемо навести їх: .

Відповідь:

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1.

приклад.

Подайте вираз зі ступенями у вигляді твору.

Рішення.

Впоратися з поставленим завданням дозволяє подання числа 9 у вигляді ступеня 3 2 і подальше використання формули скороченого множення різниця квадратів:

Відповідь:

Також існує ряд тотожних перетворень, властивих саме статечним виразам. Далі ми їх і розберемо.

Робота з основою та показником ступеня

Зустрічаються ступеня, в основі та/або показнику яких знаходяться не просто числа або змінні, а деякі вирази. Як приклад наведемо записи (2+0,3·7) 5−3,7 та (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Працюючи з подібними виразами можна як вираз у основі ступеня, і вираз у показнику замінити тотожно рівним виразом на ОДЗ його змінних. Іншими словами, ми можемо за відомими нам правилами окремо перетворювати основу ступеня, і окремо – показник. Зрозуміло, що в результаті цього перетворення вийде вираз, що тотожно дорівнює вихідному.

Такі перетворення дозволяють спрощувати вирази зі ступенями або досягати інших потрібних нам цілей. Наприклад, у згаданому вище статечному вираженні (2+0,3·7) 5-3,7 можна виконати дії з числами на підставі та показнику, що дозволить перейти до ступеня 4,1 1,3 . А після розкриття дужок і приведення подібних доданків в підставі ступеня (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1) ми отримаємо статечне вираз простішого виду a 2 · (x + 1) .

Використання властивостей ступенів

Один із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями – це рівності, що відображають . Нагадаємо основні із них. Для будь-яких позитивних чисел a та b і довільних дійсних чисел r і s справедливі такі властивості ступенів:

  • a r · a s = a r + s;
  • a r: as = a r−s;
  • (a b) r = a r b r ;
  • (a:b) r = a r: b r;
  • (a r) s = a r · s.

Зауважимо, що з натуральних, цілих, і навіть позитивних показниках ступеня обмеження числа a і b може бути менш строгими. Наприклад, для натуральних чисел m і n рівність a m · a n = a m+n вірно як для позитивних a , але й негативних, й у a=0 .

У школі основну увагу при перетворенні статечних виразів зосереджено саме на вмінні вибрати відповідну властивість і правильно її застосувати. При цьому основи ступенів зазвичай позитивні, що дозволяє використовувати властивості ступенів без обмежень. Це саме стосується і перетворення виразів, що містять в підставах ступенів змінні – область допустимих значень змінних зазвичай така, що на ній підстави набувають лише позитивних значень, що дозволяє вільно використовувати властивості ступенів. Взагалі, потрібно постійно ставити питання, а чи можна в даному випадку застосовувати будь-яку властивість ступенів, адже неакуратне використання властивостей може призводити до звуження ОДЗ та інших неприємностей. Детально і на прикладах ці моменти розібрані у статті перетворення виразів з використанням властивостей ступенів. Тут ми обмежимося розглядом кількох простих прикладів.

приклад.

Подайте вираз a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 у вигляді ступеня з основою a .

Рішення.

Спочатку другий множник (a 2) −3 перетворимо за якістю зведення ступеня на ступінь: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Вихідний статечний вираз при цьому набуде вигляду a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, залишається скористатися властивостями множення та поділу ступенів з однаковою основою, маємо
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Відповідь:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Властивості ступенів при перетворенні статечних виразів використовуються як зліва направо, так і праворуч наліво.

приклад.

Знайти значення статечного виразу.

Рішення.

Рівність (a b) r = a r b r , застосоване праворуч наліво, дозволяє від вихідного виразу перейти до твору виду і далі . А при множенні ступенів з однаковими основами показники складаються: .

Можна було виконувати перетворення вихідного виразу та інакше:

Відповідь:

.

приклад.

Дано статечний вираз a 1,5 −a 0,5 −6 , введіть нову змінну t=a 0,5 .

Рішення.

Ступінь a 1,5 можна як a 0,5·3 і далі з урахуванням якості ступеня ступеня (a r) s =a r·s , застосованого праворуч наліво, перетворити її до виду (a 0,5) 3 . Таким чином, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Тепер легко ввести нову змінну t=a 0,5 одержуємо t 3 −t−6 .

Відповідь:

t 3 −t−6 .

Перетворення дробів, що містять ступеня

Ступінні вирази можуть містити дроби зі ступенями або являти собою такі дроби. До таких дробів повною мірою застосовні будь-які з основних перетворень дробів, які притаманні дробам будь-якого виду. Тобто, дроби, які містять ступеня, можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з їх чисельником та окремо зі знаменником тощо. Для ілюстрації сказаних слів розглянемо розв'язання кількох прикладів.

приклад.

Спростити статечний вираз .

Рішення.

Дане статечне вираз являє собою дріб. Попрацюємо з її чисельником та знаменником. У чисельнику розкриємо дужки і спростимо отриманий після цього вираз, використовуючи властивості ступенів, а в знаменнику наведемо такі складові:

І ще змінимо знак знаменника, помістивши мінус перед дробом: .

Відповідь:

.

Приведення дробів, що містять ступеня, до нового знаменника проводиться аналогічно до приведення до нового знаменника раціональних дробів. При цьому знаходиться додатковий множник і виконується множення на нього чисельника і знаменника дробу. Виконуючи цю дію, варто пам'ятати, що приведення до нового знаменника може спричинити звуження ОДЗ. Щоб цього не відбувалося, потрібно, щоб додатковий множник не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.

приклад.

Наведіть дроби до нового знаменника: а) до знаменника a, б) до знаменника.

Рішення.

а) У цьому випадку досить просто збагнути, який додатковий множник допомагає досягти потрібного результату. Це множник a 0,3, тому що a 0,7 · 0,3 = a 0,7 +0,3 = a. Зауважимо, що на області допустимих значень змінної a (це є безліч всіх позитивних дійсних чисел) ступінь a 0,3 не звертається в нуль, тому ми маємо право виконати множення чисельника та знаменника заданого дробу на цей додатковий множник:

б) Придивившись уважніше до знаменника, можна виявити, що

і множення цього виразу дасть суму кубів і , тобто, . А це і є новим знаменником, до якого нам потрібно привести вихідний дріб.

Так ми знайшли додатковий множник. На ділянці допустимих значень змінних x і y вираз не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:

Відповідь:

а) , б) .

У скороченні дробів, що містять ступеня, також немає нічого нового: чисельник і знаменник представляються у вигляді деякої кількості множників, і скорочуються однакові множники чисельника та знаменника.

приклад.

Скоротіть дріб: а) б) .

Рішення.

а) По-перше, чисельник і знаменник можна скоротити на чисел 30 і 45, який дорівнює 15 . Також, очевидно, можна виконати скорочення на x 0,5+1 та на . Ось що ми маємо:

б) У цьому випадку однакових множників у чисельнику та знаменнику відразу не видно. Щоб отримати їх, доведеться виконати попередні перетворення. У разі вони полягають у розкладанні знаменника на множники по формулі різниці квадратів:

Відповідь:

а)

б) .

Приведення дробів до нового знаменника та скорочення дробів в основному використовується для виконання дій із дробами. Дії виконуються за відомими правилами. При складанні (відніманні) дробів, вони приводяться до спільного знаменника, після чого складаються (віднімаються) чисельники, а знаменник залишається тим самим. У результаті виходить дріб, чисельник якого є твір чисельників, а знаменник – твір знаменників. Розподіл на дріб є множення на дріб, зворотний їй.

приклад.

Виконайте дії .

Рішення.

Спочатку виконуємо віднімання дробів, що знаходяться в дужках. Для цього наводимо їх до спільного знаменника, який є , після чого віднімаємо чисельники:

Тепер множимо дроби:

Очевидно, можливе скорочення на ступінь x 1/2 після якого маємо .

Ще можна спростити статечний вираз у знаменнику, скориставшись формулою різниця квадратів: .

Відповідь:

приклад.

Спростіть статечний вираз .

Рішення.

Очевидно, цей дріб можна скоротити на (x 2,7 +1) 2 , це дає дріб . Зрозуміло, що ще треба щось зробити зі ступенями ікса. Для цього перетворимо отриманий дріб у твір. Це дає можливість скористатися властивістю поділу ступенів з однаковими підставами: . І на закінчення процесу переходимо від останнього твору до дробу.

Відповідь:

.

І ще додамо, що можна і в багатьох випадках бажано множники з негативними показниками ступеня переносити з чисельника в знаменник або з знаменника в чисельник, змінюючи знак показника. Такі перетворення часто спрощують подальші дії. Наприклад, статечний вираз можна замінити на .

Перетворення виразів з корінням та ступенями

Часто у виразах, в яких потрібно провести деякі перетворення, разом зі ступенями з дробовими показниками є і коріння. Щоб перетворити подібний вираз до потрібного вигляду, у більшості випадків достатньо перейти тільки до коріння або лише до ступенів. Але оскільки працювати зі ступенями зручніше, зазвичай переходять від коріння до ступенів. Однак, здійснювати такий перехід доцільно тоді, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків (це ми докладно розібрали у статті перехід від коренів до ступенів і назад). вводиться ступінь із ірраціональним показником, що дозволяє говорити і про ступінь із довільним дійсним показником. На цьому етапі в школі починає вивчатися. показова функція, Яка аналітично задається ступенем, на основі якої знаходиться число, а в показнику - змінна. Так ми стикаємося зі статечними виразами, що містять числа на підставі ступеня, а в показнику - вирази зі змінними, і природно виникає необхідність виконання перетворень таких виразів.

Слід сказати, що перетворення виразів зазначеного виду зазвичай доводиться виконувати під час вирішення показових рівняньі показових нерівностей, і це перетворення досить прості. У переважній кількості випадків вони базуються на властивостях ступеня і націлені переважно на те, щоб надалі ввести нову змінну. Продемонструвати їх нам дозволить рівняння 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0.

По-перше, ступеня, у показниках яких перебуває сума деякої змінної (або вирази зі змінними) та числа, замінюються творами. Це відноситься до першого і останнього доданків вирази з лівої частини:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0.

Далі виконується розподіл обох частин рівності на вираз 7 2·x , яке на ОДЗ змінної x для вихідного рівняння приймає тільки позитивні значення (це стандартний прийом розв'язання рівнянь такого виду, зараз не про нього, так що зосередьте увагу на подальших перетвореннях виразів зі ступенями ):

Тепер скорочуються дроби зі ступенями, що дає .

Нарешті, ставлення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння , яке рівносильне . Зроблені перетворення дозволяють ввести нову змінну, що зводить рішення початкового показникового рівняння до розв'язання квадратного рівняння

  • І. В. Бойков, Л. Д. РомановаЗбірник завдань для підготовки до ЄДІ. Ч. 1. Пенза 2003 року.

    • Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їхнього складання одне за одним зі своїми знаками.

    Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
    Сума a3-bn і h5-d4 є a3-bn+h5-d4.

    Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.

    Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .

    Це також очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.

    Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.

    Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .

    Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a, не дорівнює подвійному квадрату a, але подвоєному кубу a.

    Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Відніманняступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.

    Або:
    2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

    Помноження ступенів

    Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.

    Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.

    Або:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в останньому прикладі може бути упорядкований шляхом складання однакових змінних.
    Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .

    Порівнюючи кілька чисел(змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює суміступенів доданків.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.

    Так, a n a m = a m + n .

    Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;

    І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;

    Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Або:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

    Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
    Відповідь: x 4 – y 4 .
    Помножте (x3+x-5) ⋅ (2x3+x+1).

    Це правило справедливе і для чисел, показники ступеня яких негативні.

    1. Так, a-2.a-3 = a-5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y-n. y-m = y-n-m.

    3. a -n. am = am-n.

    Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто

    Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумі чи різниці їх квадратів.

    Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.

    Так, (a - y). (a + y) = a2 - y2.
    (a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
    (a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

    Розподіл ступенів

    Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, відбираючи від дільника дільника, або розміщенням їх у формі дробу.

    Таким чином a 3 b 2 поділений на b 2 , дорівнює a 3 .

    Або:
    $\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
    $\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
    $ frac (d cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

    Запис a 5 поділеного на a 3 виглядає як $\frac(a^5)(a^3)$. Але це одно a 2 . У ряді чисел
    a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
    будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.

    При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..

    Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac(yyy)(yy) = y$.

    І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

    Або:
    y 2m: y m = y m
    8a n+m: 4a m = 2a n
    12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

    Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
    Результат поділу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
    Також, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.

    h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

    Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.

    Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями

    1. Зменшіть показники ступенів $\frac(5a^4)(3a^2)$ Відповідь: $\frac(5a^2)(3)$.

    2. Зменшіть показники ступенів $\frac(6x^6)(3x^5)$. Відповідь: $\frac(2x)(1)$ або 2x.

    3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
    a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
    a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
    a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
    Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .

    4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
    Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .

    5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

    6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

    7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.

    8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.

    9. Розділіть (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

    Раніше ми вже говорили, що таке ступінь числа. Вона має певні властивості, корисні у вирішенні завдань: саме їх та всі можливі показники ступеня ми розберемо у цій статті. Також ми наочно покажемо на прикладах, як їх можна довести та правильно застосувати на практиці.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Згадаймо вже сформульоване нами раніше поняття ступеня з натуральним показником: це добуток n-ної кількості множників, кожен з яких дорівнює а. Також нам доведеться згадати, як правильно множити дійсні числа. Все це допоможе нам сформулювати для ступеня з натуральним показником такі властивості:

    Визначення 1

    1. Головна властивість ступеня: a m · a n = a m + n

    Можна узагальнити до: a n 1 · an 2 · … · an k = an 1 + n 2 + … + n k .

    2. Властивість частки для ступенів, що мають однакові підстави: a m: a n = a m − n

    3. Властивість ступеня твору: (a · b) n = a n · b n

    Рівність можна розширити до: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

    4. Властивість приватного в натуральному ступені: (a: b) n = a n: b n

    5. Зводимо ступінь у ступінь: (a m) n = a m · n ,

    Можна узагальнити до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

    6. Порівнюємо ступінь з нулем:

    • якщо a > 0 то при будь-якому натуральному n, a n буде більше нуля;
    • при a , що дорівнює 0 , a n також дорівнюватиме нулю;
    • при a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
    • при a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

    7. Рівність a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

    8. Нерівність a m > a n буде правильною за умови, що m і n – натуральні числа, m більше n і а більше нуля і менше одиниці.

    У результаті ми здобули кілька рівностей; якщо дотриматися всіх умов, зазначених вище, то вони будуть тотожними. Для кожного з рівностей, наприклад, для основного властивості, можна поміняти місцями праву і ліву частину: a m · a n = a m + n - те саме, що і a m + n = a m · a n . У такому вигляді воно часто використовується при спрощенні виразів.

    1. Почнемо з основного властивості ступеня: рівність a m a n = a m + n буде вірним за будь-яких натуральних m і n і дійсному a . Як довести це твердження?

    Основне визначення ступенів з натуральними показниками дозволить нам перетворити рівність на твір множників. Ми отримаємо запис такого виду:

    Це можна скоротити до (Згадаймо основні властивості множення). У результаті ми отримали ступінь числа a з натуральним показником m + n. Таким чином, a m + n означає основну властивість ступеня доведено.

    Розберемо конкретний приклад, що підтверджує це.

    Приклад 1

    Отже, у нас є два ступені з основою 2 . Їхні натуральні показники - 2 і 3 відповідно. У нас вийшла рівність: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Обчислимо значення, щоб перевірити вірність цієї рівності.

    Виконаємо необхідні математичні дії: 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32 і 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

    У результаті ми вийшло: 2 2 · 2 3 = 2 5 . Властивість доведено.

    У силу властивостей множення ми можемо виконати узагальнення властивості, сформулювавши його у вигляді трьох і більшої кількості ступенів, у яких показники є натуральними числами, а підстави однакові. Якщо позначити кількість натуральних чисел n 1 , n 2 та ін. літерою k , ми отримаємо правильну рівність:

    a n 1 · a n 2 · … · a n k = an 1 + n 2 + … + n k .

    Приклад 2

    2. Далі нам необхідно довести таку властивість, яка називається властивістю приватного і властиво ступеням з однаковими підставами: це рівність a m: a n = a m n , яка справедлива за будь-яких натуральних m і n (причому m більше n)) і будь-якого відмінного від нуля дійсного a .

    Для початку пояснимо, який саме зміст умов, згаданих у формулюванні. Якщо ми візьмемо a, що дорівнює нулю, то у результаті вийде поділ на нуль, чого робити не можна (адже 0 n = 0). Умова, щоб число m обов'язково було більше n, потрібно для того, щоб ми могли утриматися в рамках натуральних показників ступеня: віднімаючи n з m, ми отримаємо натуральне число. Якщо умови не буде дотримано, у нас вийде негативне число або нуль, і знову ж таки ми вийдемо за межі вивчення ступенів із натуральними показниками.

    Тепер ми можемо перейти до підтвердження. З раніше вивченого пригадаємо основні властивості дробів та сформулюємо рівність так:

    a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

    З нього можна вивести: a m − n · a n = a m

    Згадаймо про зв'язок поділу та множення. З нього випливає, що a m n - приватна ступенів a m і a n . Це і є підтвердження другої якості ступеня.

    Приклад 3

    Підставимо конкретні числа для наочності в показники, а основу ступеня позначимо π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

    3. Наступним ми розберемо властивість ступеня твору: (a · b) n = a n · b n за будь-яких дійсних a і b і натурального n .

    Згідно з базовим визначенням ступеня з натуральним показником ми можемо переформулювати рівність так:

    Згадавши властивості множення, запишемо: . Це означає те саме, що і a n · b n .

    Приклад 4

    2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

    Якщо множників у нас три і більше, то ця властивість також поширюється на цей випадок. Введемо для числа множників позначення k і запишемо:

    (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

    Приклад 5

    З конкретними числами отримаємо таку правильну рівність: (2 · (- 2 , 3) ​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​7 · a

    4. Після цього ми спробуємо довести властивість частки: (a: b) n = a n: b n за будь-яких дійсних a і b , якщо b не дорівнює 0 , а n – натуральне число.

    Для підтвердження можна використовувати попередню властивість ступеня. Якщо (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , а (a: b) n · b n = a n , то з цього виходить, що (a: b) n є приватним від поділу a n на b n .

    Приклад 6

    Підрахуємо приклад: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

    Приклад 7

    Почнемо відразу з прикладу: (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6

    А тепер сформулюємо ланцюжок рівностей, який доведе нам вірність рівності:

    Якщо у нас у прикладі є ступеня ступенів, то ця властивість є справедливою для них також. Якщо у нас є будь-які натуральні числа p, q, r, s, то правильно буде:

    a p q y s = a p · q · y · s

    Приклад 8

    Додамо конкретики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

    6. Ще одна властивість ступенів із натуральним показником, яку нам потрібно довести, – властивість порівняння.

    Для початку порівняємо ступінь із нулем. Чому a n > 0 за умови, що більше 0 ?

    Якщо помножити одне позитивне число інше, ми отримаємо також позитивне число. Знаючи цей факт, ми можемо сказати, що від числа множників це не залежить – результат множення будь-якої кількості позитивних чисел є позитивним. А що таке ступінь, як результат множення чисел? Тоді для будь-якого ступеня a n з позитивною основою та натуральним показником це буде правильно.

    Приклад 9

    3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 і 34 9 13 51 > 0

    Також очевидно, що ступінь з основою, що дорівнює нулю, сама є нуль. Який би ступінь ми не зводили нуль, він залишиться їм.

    Приклад 10

    0 3 = 0 та 0 762 = 0

    Якщо основа ступеня – негативне число, то тут доказ трохи складніше, оскільки важливим стає поняття парності/непарності показника. Візьмемо спочатку випадок, коли показник ступеня парний, і позначимо його 2 · m , де m – натуральне число.

    Згадаймо, як правильно множити негативні числа: твір a · a дорівнює добутку модулів, а отже, воно буде позитивним числом. Тоді і ступінь a 2 · m також позитивні.

    Приклад 11

    Наприклад, (−6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 та - 2 9 6 > 0

    Якщо показник ступеня з негативним підставою – непарне число? Позначимо його 2 · m − 1 .

    Тоді

    Всі твори a · a згідно властивостей множення, позитивні, їх твір теж. Але якщо ми його помножимо на єдине число, що залишилося a , то кінцевий результат буде від'ємний.

    Тоді отримаємо: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

    Як це довести?

    a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

    Приклад 12

    Наприклад, вірні нерівності: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

    8. Нам залишилося довести останню властивість: якщо у нас є два ступені, підстави яких однакові та позитивні, а показники є натуральними числами, то та з них більша, показник якої менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більшим є той ступінь, показник якого більший.

    Доведемо ці твердження.

    Для початку нам потрібно переконатися, що am< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

    Винесемо a n за дужки, після чого наша різниця набуде вигляду a n · (a m − n − 1) . Її результат буде негативний (оскільки негативний результат множення позитивного числа на негативне). Адже згідно з початковими умовами, m − n > 0 , тоді a m − n − 1 –негативно, а перший множник позитивний, як і будь-який натуральний ступінь із позитивною основою.

    У нас вийшло, що a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

    Залишилося навести доказ другої частини твердження, сформульованого вище: a m > a справедливо при m > n та a > 1 . Вкажемо різницю і винесемо a n за дужки: (a m − n − 1) .Ступінь a n при а, більшому за одиницю, дасть позитивний результат; а сама різниця також виявиться позитивною через початкові умови, і при a > 1 ступінь a m n більше одиниці. Виходить, a m − a n > 0 і a m > a n , що нам потрібно було довести.

    Приклад 13

    Приклад із конкретними числами: 3 7 > 3 2

    Основні властивості ступенів із цілими показниками

    Для ступенів з цілими позитивними показниками властивості будуть аналогічні, тому що цілі позитивні числа є натуральними, а отже, всі рівні, доведені вище, справедливі і для них. Також вони підходять і для випадків, коли показники негативні або рівні нулю (за умови, що сама основа ступеня ненульова).

    Таким чином, властивості ступенів такі ж для будь-яких підстав a та b (за умови, що ці числа дійсні і не рівні 0) та будь-яких показників m і n (за умови, що вони є цілими числами). Запишемо їх коротко у вигляді формул:

    Визначення 2

    1. a m · a n = a m + n

    2. a m: a n = a m − n

    3. (a · b) n = a n · b n

    4. (a: b) n = a n: b n

    5. (a m) n = a m · n

    6. a n< b n и a − n >b − n за умови цілого позитивного n , позитивних a та b , a< b

    7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n та 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.

    Якщо підстава ступеня дорівнює нулю, записи a m і a n мають сенс лише у разі натуральних і позитивних m і n . У результаті отримаємо, що формулювання вище підходять і для випадків зі ступенем з нульовою основою, якщо дотримуються всі інші умови.

    Докази цих властивостей у разі нескладні. Нам потрібно згадати, що таке ступінь з натуральним та цілим показником, а також властивості дій із дійсними числами.

    Розберемо властивість ступеня в міру і доведемо, що воно правильне і для позитивних, і для непозитивних чисел. Почнемо з доказу рівностей (a p) q = a p · q , (a - p) q = a (- p) · q, (a p) - q = a p · (- q) та (a - p) - q = a (− p) · (− q)

    Умови: p = 0 чи натуральне число; q – аналогічно.

    Якщо значення p і q більше 0, то в нас вийде (a p) q = a p · q. Таку рівність ми вже доводили раніше. Якщо p = 0, то:

    (a 0) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1

    Отже, (a 0) q = a 0 · q

    Для q = 0 так само:

    (a p) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1

    Підсумок: (a p) 0 = a p · 0 .

    Якщо ж обидва показники нульові, то (a 0) 0 = 1 0 = 1 і a 0 · 0 = a 0 = 1 означає, (a 0) 0 = a 0 · 0 .

    Згадаймо доведену вище властивість частки в мірі і запишемо:

    1 a p q = 1 q a p q

    Якщо 1 p = 1 · 1 · … · 1 = 1 і a p q = a p · q, то 1 q a p q = 1 a p · q

    Цей запис ми можемо перетворити з основних правил множення в a (− p) · q .

    Також: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

    І (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p · q = a (- p) · (- q)

    Інші властивості ступеня можна довести аналогічним чином, перетворивши наявні нерівності. Докладно зупинятись ми на цьому не будемо, зазначимо лише складні моменти.

    Доказ передостанньої властивості: пригадаємо, a − n > b − n правильне будь-яких цілих негативних значень nі будь-яких позитивних a і b за умови, що a менше b .

    Тоді нерівність можна перетворити так:

    1 a n > 1 b n

    Запишемо праву та ліву частини у вигляді різниці та виконаємо необхідні перетворення:

    1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

    Згадаймо, що в умові a менше b тоді, згідно з визначенням ступеня з натуральним показником: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

    a n · b n у результаті дає позитивне число, оскільки його множники є позитивними. У результаті маємо дріб b n - a n a n · b n , яка у результаті також дає позитивний результат. Звідси 1 a n > 1 b n звідки a − n > b − n , що нам треба було довести.

    Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться аналогічно до властивості ступенів з показниками натуральними.

    Основні властивості ступенів з раціональними показниками

    У попередніх статтях ми розбирали, що таке ступінь із раціональним (дрібним) показником. Їхні властивості такі ж, що й у ступенів з цілими показниками. Запишемо:

    Визначення 3

    1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 при a > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (властивість добутку степенів з однаковими основами).

    2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 якщо a > 0 (властивість приватного).

    3. a · b m n = a m n · b m n при a > 0 і b > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 та (або) b ≥ 0 (властивість твору в дробового ступеня).

    4. a: b m n = a m n: b m n при a > 0 і b > 0 , а якщо m n > 0 , то при a ≥ 0 і b > 0 (властивість приватного дробового ступеня).

    5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 при a > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (властивість ступеня в ступеня).

    6. a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; якщо p< 0 - a p >b p (властивість порівняння ступенів з рівними раціональними показниками).

    7. a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 - a p > a q

    Для доказу зазначених положень нам знадобиться згадати, що таке ступінь із дробовим показником, які властивості арифметичного кореня n-ного ступеня та які властивості ступеня з цілими показником. Розберемо кожну властивість.

    Відповідно до того, що собою являє ступінь з дробовим показником, отримаємо:

    a m 1 n 1 = a m 1 n 1 і a m 2 n 2 = a m 2 n 2 , отже, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

    Властивості кореня дозволять нам вивести рівність:

    a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2

    З цього отримуємо: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

    Перетворюємо:

    a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

    Показник ступеня можна записати у вигляді:

    m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

    Це є доказ. Друга властивість доводиться абсолютно так само. Запишемо ланцюжок рівностей:

    a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 · n 2: a m 2 · n 1 n · n 2 = = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = am 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = am 1 · n 2 n 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

    Докази інших рівностей:

    a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; am 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2

    Наступна властивість: доведемо, що для будь-яких значень a і b більше 0 якщо а менше b буде виконуватися a p< b p , а для p больше 0 - a p >b p

    Уявимо раціональне число p як m n . У цьому m –ціле число, n –натуральне. Тоді умови p< 0 и p >0 будуть поширюватися на m< 0 и m >0 . При m > 0 та a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

    Використовуємо властивість коріння і виведемо: a m n< b m n

    Враховуючи позитивність значень a і b перепишемо нерівність як a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

    Так само при m< 0 имеем a a m >b m отримуємо a m n > b m n означає, a m n > b m n і a p > b p .

    Нам залишилося навести доказ останньої якості. Доведемо, що для раціональних чисел p і q p > q при 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 буде правильно a p > a q.

    Раціональні числа p і q можна привести до спільного знаменника та отримати дроби m 1 n і m 2 n

    Тут m1 і m2 – цілі числа, а n – натуральне. Якщо p > q , то m 1 > m 2 (з огляду на правило порівняння дробів). Тоді при 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – нерівність a 1 m > a 2 m.

    Їх можна переписати в наступному вигляді:

    a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

    Тоді можна зробити перетворення та отримати в результаті:

    a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

    Підбиваємо підсумок: при p > q і 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 - a p > a q.

    Основні властивості ступенів із ірраціональними показниками

    На такий ступінь можна поширити всі описані вище властивості, якими має рівень з раціональними показниками. Це випливає із самого її визначення, яке ми давали в одній із попередніх статей. Сформулюємо коротко ці властивості (умови: a > 0, b > 0, показники p і q – ірраціональні числа):

    Визначення 4

    1. a p · a q = a p + q

    2. a p: a q = a p − q

    3. (a · b) p = a p · b p

    4. (a: b) p = a p: b p

    5. (a p) q = a p · q

    6. a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

    7. a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , a p > a q .

    Таким чином, всі ступеня, показники яких p і q є дійсними числами, за умови a > 0 мають ті ж властивості.

    Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

    Наведено основні властивості статечної функції, включаючи формули та властивості коренів. Представлені похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд і подання за допомогою комплексних чисел статечної функції.

    Визначення

    Визначення
    Ступінна функція з показником ступеня p- це функція f (x) = x pзначення якої в точці x дорівнює значенню показової функції з основою x в точці p .
    Крім цього, f (0) = 0 p = 0при p> 0 .

    Для натуральних значень показника, статечна функція є добуток n чисел, рівних x:
    .
    Вона визначена всім дійсних .

    Для позитивних раціональних значень показника, статечна функція є добуток n коренів ступеня m з числа x:
    .
    Для непарних m вона визначена для всіх дійсних x . Для парних m, статечна функція визначена для невід'ємних.

    Для негативних , статечна функція визначається за формулою:
    .
    Тому вона не визначена у точці.

    Для ірраціональних значень показника p статечна функція визначається за формулою:
    ,
    де a - довільне позитивне число, що не дорівнює одиниці: .
    При , вона визначена для .
    При , статечна функція визначена для .

    Безперервність. Ступінна функція безперервна у своїй області визначення.

    Властивості та формули статечної функції при x ≥ 0

    Тут ми розглянемо властивості статечної функції при невід'ємних значеннях аргументу x. Як зазначено вище, при деяких значеннях показника p степенева функція визначена і для негативних значень x . У цьому випадку її властивості можна отримати з властивостей при , використовуючи парність або непарність. Ці випадки детально розглянуто та проілюстровано на сторінці « ».

    Ступінна функція, y = x p, з показником p має такі властивості:
    (1.1) визначена і безперервна на безлічі
    при ,
    при;
    (1.2) має безліч значень
    при ,
    при;
    (1.3) строго зростає при ,
    суворо зменшується при ;
    (1.4) при;
    при;
    (1.5) ;
    (1.5*) ;
    (1.6) ;
    (1.7) ;
    (1.7*) ;
    (1.8) ;
    (1.9) .

    Доказ властивостей наводиться на сторінці «Ступінна функція (доказ безперервності та властивостей)»

    Коріння - визначення, формули, властивості

    Визначення
    Корінь із числа x ступеня n- Це число, зведення якого в ступінь n дає x:
    .
    Тут n = 2, 3, 4, ... - Натуральне число, більше одиниці.

    Також можна сказати, що корінь у складі x ступеня n - це корінь (тобто рішення) рівняння
    .
    Зауважимо, що функція є зворотною до функції .

    Квадратний корінь із числа x- Це корінь ступеня 2: .

    Кубічний корінь із числа x- Це корінь ступеня 3: .

    Парний ступінь

    Для парних ступенів n = 2 m, корінь визначений за x ≥ 0 . Часто використовується формула, справедлива як для позитивних, так і для негативних x:
    .
    Для квадратного кореня:
    .

    Тут важливий порядок, у якому виконуються операції - тобто спочатку виробляється зведення у квадрат, у результаті виходить неотрицательное число, та був із нього витягується корінь (з неотрицательного числа можна витягувати квадратний корінь). Якби змінили порядок: , то за негативних x корінь було б визначено, разом із не визначено і весь вираз.

    Непарний ступінь

    Для непарних ступенів корінь визначений для всіх x :
    ;
    .

    Властивості та формули коріння

    Корінь з x є статечною функцією:
    .
    При x ≥ 0 мають місце такі формули:
    ;
    ;
    , ;
    .

    Ці формули можуть бути застосовні і за негативних значеннях змінних . Потрібно лише стежити, щоб підкорене вираз парних ступенів був негативним.

    Приватні значення

    Корінь 0 дорівнює 0: .
    Корінь 1 дорівнює 1: .
    Квадратний корінь 0 дорівнює 0: .
    Квадратний корінь 1 дорівнює 1: .

    приклад. Корінь з коріння

    Розглянемо приклад квадратного кореня з коріння:
    .
    Перетворимо внутрішній квадратний корінь, застосовуючи наведені вище формули:
    .
    Тепер перетворимо вихідний корінь:
    .
    Отже,
    .

    y = x p при різних значеннях показника p.

    Тут наводяться графіки функції при негативних значеннях аргументу x. Графіки статечної функції, визначеної при негативних значеннях x, наводяться на сторінці «Ступінна функція, її властивості та графіки»

    Зворотня функція

    Зворотною для статечної функції з показником p є статечна функція з показником 1/p.

    Якщо, то.

    Похідна статечної функції

    Похідна n-го порядку:
    ;

    Висновок формул > > >

    Інтеграл від статечної функції

    P ≠ - 1 ;
    .

    Розкладання в статечний ряд

    При - 1 < x < 1 має місце наступне розкладання:

    Вирази через комплексні числа

    Розглянемо функцію комплексного змінного z:
    f (z) = z t.
    Виразимо комплексну змінну z через модуль r та аргумент φ (r = |z|):
    z = r e i φ.
    Комплексне число t представимо у вигляді дійсної та уявної частин:
    t = p + i q.
    Маємо:

    Далі врахуємо, що аргумент φ визначено неоднозначно:
    ,

    Розглянемо випадок, коли q = 0 , Тобто показник ступеня - дійсне число, t = p. Тоді
    .

    Якщо p – ціле, те й kp – ціле. Тоді, через періодичність тригонометричних функцій:
    .
    Тобто показова функція при цілому показнику ступеня для заданого z має тільки одне значення і тому є однозначною.

    Якщо p - ірраціональне, то твори kp за жодного k не дають цілого числа. Оскільки k пробігає нескінченний ряд значень k = 0, 1, 2, 3, ..., то функція z p має нескінченно багато значень. Щоразу, коли аргумент z отримує приріст 2 π(один оборот), ми переходимо на нову галузь функції.

    Якщо p - раціональне, то його можна подати у вигляді:
    , де m, n- Цілі, що не містять спільних дільників. Тоді
    .
    Перші n величин при k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, дають n різних значень kp:
    .
    Однак наступні величини дають значення, що відрізняються від попередніх на ціле число. Наприклад, при k = k 0 + nмаємо:
    .
    Тригонометричні функції, аргументи яких різняться на величини, кратні 2 πмають рівні значення. Тому при подальшому збільшенні ми отримуємо ті ж значення z p , що і для k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

    Таким чином, показова функція з раціональним показником ступеня є багатозначною та має n значень (гілок). Щоразу, коли аргумент z отримує приріст 2 π(один оборот), ми переходимо на нову галузь функції. Через n таких оборотів ми повертаємось на першу гілку, з якої починався відлік.

    Зокрема, корінь ступеня n має значення n. Як приклад розглянемо корінь n-го ступеня дійсного позитивного числа z = x. У цьому випадку φ 0 = 0, z = r = | z | = x, .
    .
    Так, для квадратного кореня, n = 2 ,
    .
    Для парних k, (-1) k = 1. Для непарних k, (- 1) k = - 1.
    Тобто квадратний корінь має два значення: + та - .

    Використана література:
    І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

    Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.

    Число cє n-ний ступенем числа aколи:

    Операції зі ступенями.

    1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

    a m· a n = a m + n.

    2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

    3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

    (abc ...) n = a n · b n · c n ...

    4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

    (a/b) n = n / b n .

    5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

    (a m) n = a m n .

    Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

    Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

    Операції з корінням.

    1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

    2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:

    3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

    4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

    5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

    Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:

    Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.

    Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

    Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою при m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

    Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

    Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

    Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.