Свойства
Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:
1. Если A ,B - конечные множества, то A ×B - конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения - бесконечное множество.
2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A ×B |=|A |⋅|B | .
3. A np ≠(A n ) p - в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров 1×np , во втором же - как матрицу размеров n ×p .
4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A ×B ≠B ×A .
5. Ассоциативный закон не выполняется: (A ×B )×C ≠A ×(B ×C ) .
6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: (A ∗B )×C =(A ×C )∗(B ×C ),∗∈{∩,∪,∖}
11. Понятие высказывания. Элементарные и составные высказывания.
Высказывание - это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно (И-1) или ложно (Л-0), но не то и другое одновременно.
Например, «Сегодня идет дождь», «Иванов выполнил лабораторную работу №2 по физике».
Если у нас имеется несколько исходных высказываний, то из них при помощи логических союзов или частиц мы можем образовывать новые высказывания, истинностное значение которых зависит только от истинностных значений исходных высказываний и от конкретных союзов и частиц, которые участвуют в построении нового высказывания. Слова и выражения «и», «или», «не», «если... , то», «поэтому», «тогда и только тогда» являются примерами таких союзов. Исходные высказывания называются простыми , а построенные из них с помощью тех или иных логических союзов новые высказывания - составными . Разумеется, слово «простые» никак не связано с сутью или структурой исходных высказываний, которые сами могут быть весьма сложными. В данном контексте слово «простой» является синонимом слова «исход-ный». Важно то, что значения истинности простых высказываний предполагаются известными или заданными; в любом случае они никак не обсуждаются.
Хотя высказывание типа «Сегодня не четверг» не составлено из двух различных простых высказываний, для единообразия конструкции оно также рассматривается как составное, по-скольку его истинностное значение определяется истинностным значением другого высказыва-ния «Сегодня четверг»
Пример 2. Cледующие высказывания рассматриваются как составные:
Я читаю «Московский комсомолец» и я читаю «Коммерсант».
Если он сказал это, значит, это верно.
Солнце не является звездой.
Если будет солнечно и температура превысит 25 0 , я приеду поездом или автомобилем
Простые высказывания, входящие в составные, сами по себе могут быть совершенно произвольными. В частности, они сами могут быть составными. Описываемые ниже базисные типы составных высказываний определяются независимо от образующих их простых высказываний.
12. Операции над высказываниями.
1. Операция отрицания.
Отрицанием высказывания А (читается «не А », «неверно, что А »), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.
Отрицающие друг друга высказывания А и называются противоположными.
2. Операция конъюнкции .
Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А В (читается «А и В »), истинные значения которого определяются в том и только том случае, когда оба высказывания А и В истинны.
Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.
Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С » и высказывание В – «в Витебске идет дождь». Тогда А В будет следующей: «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0 С или в Витебске не было дождя, то А В будет ложной.
3 . Операция дизъюнкции .
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (А или В ), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.
Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.
Высказывание «4<5 или 4=5 » является истинным. Так как высказывание «4<5 » – истинное, а высказывание «4=5 » – ложное, то А В представляет собой истинное высказывание «4 5 ».
4 . Операция импликации .
Импликацией высказываний А и В называется высказывание А В («если А , то В », «из А следует В »), значение которого ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
В импликации А В высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание В – следствием, или заключением.
13. Таблицы истинности высказываний.
Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.
Таблицы истинности применяются для:
Вычисления истинности сложных высказываний;
Установления эквивалентности высказываний;
Определения тавтологий.
Установление истинности сложных высказываний.
Пример 1. Установить истинность высказывания · С
Решение.
В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.
| А | В | С | А+ | · С | ||
Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.
14. Равносильные формулы.
Две формулы А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулу элементарных высказываний.
Равносильность обозначается знаком « ». Для преобразования формул в равносильные важную роль играют основные равносильности, выражающие одни логические операции через другие, равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.
Для любых формул А , В , С справедливы равносильности.
I. Основные равносильности
закон идемпотентности
1-истина
0-ложь
Закон противоречия
Закон исключенного третьего
закон поглощения
формулы расщепления
закон склеивания
II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.
закон де Моргана
III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.
коммутативный закон
ассоциативный закон
дистрибутивный закон
15. Формулы логики высказываний.
Виды формул классической логики высказываний – в логике высказываний различают следующие виды формул:
1. Законы (тождественно-истинные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «истинно» ;
2. Противоречия (тождественно-ложные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «ложно» ;
3. Выполнимые формулы – такие, которые принимают значение «истинно» хотя бы при одном наборе значений истинности входящих в их состав пропозициональных переменных.
Основные законы классической логики высказываний:
1. Закон тождества: ;
2. Закон противоречия:
;
3. Закон исключенного третьего: ;
4. Законы коммутативности и : , ;
5. Законы дистрибутивности относительно ,и наоборот: , ;
6. Закон удаления истинного члена конъюнкции: ;
7. Закон удаления ложного члена дизъюнкции: ;
8. Закон контрапозиции: ;
9. Законы взаимовыразимости пропозициональных связок: , , , , , .
Процедура разрешимости – метод, позволяющий для каждой формулы установить является она законом, противоречием или выполнимой формулой. Самой распространенной процедурой разрешимости является метод истинностных таблиц. Однако он не единственный. Эффективным методом разрешимости является метод нормальных форм для формул логики высказываний. Нормальной формой формулы логики высказываний является форма, не содержащая знака импликации « ». Различают конъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы. Конъюнктивная форма содержит только знаки конъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к конъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является противоречием . Дизъюнктивная форма содержит только знаки дизъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к дизъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является законом . Во всех остальных случаях формула является выполнимой формулой .
16. Предикаты и операции над ними. Кванторы.
Предложение, содержащее одну или несколько переменных и которое при конкретных значениях переменных является высказыванием, называется высказывательной формой или предикатом.
В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты, обозначаемые соответственно: А(х ), В(х , у ), С(х , у , z ).
Если задан некоторый предикат, то с ним связаны два множества:
1. Множество (область) определения Х , состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в предикат последний обращается в высказывание. При задании предиката обычно указывают его область определения.
2. Множество истинности Т, состоящее из всех тех значений переменных, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание.
Множество истинности предиката всегда является подмножеством его области определения, то есть .
Над предикатами можно совершать те же операции, что и над высказываниями.
1. Отрицанием предиката А(х ), заданного на множестве Х, называется предикат , истинный при тех значениях , при которых предикат А(х ) обращается в ложное высказывание, и наоборот.
Из данного определения следует, что предикаты А(х ) и В(х ) не являются отрицаниями друг друга, если найдется хотя бы одно значение , при котором предикаты А(х ) и В(х ) обращаются в высказывания с одинаковыми значениями истинности.
Множество истинности предиката является дополнением к множеству истинности предиката А(х ). Обозначим через Т А множество истинности предиката А(х ), а через Т - множество истинности предиката . Тогда .
2. Конъюнкцией предикатов А(х ) и В(х х ) В(х х Х, при которых оба предиката обращаются в истинные высказывания.
Множество истинности конъюнкции предикатов есть пересечение множеств истинности предиката А(х
) В(х
). Если обозначить множество истинности предиката А(х) через Т А, а множество истинности предиката В(х) через Т В и множество истинности предиката А(х) В(х) через , то 
3. Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат А(х ) В(х ), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Х, при которых хотя бы один из предикатов обратился в истинное высказывание.
Множество истинности дизъюнкции предикатов есть объединение множеств истинности образующих ее предикатов, т.е. .
4.Импликацией предикатов А(х ) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат А(х ) В(х ), который ложен при тех и только тех значениях переменной, при которых первый предикат обращается в истинное высказывание, а второй – в ложное.
Множество истинности импликации предикатов есть объединение множества истинности предиката В(х
) с дополнением к множеству истинности предиката А(х
), т.е.
5. Эквиваленцией предикатов А(х ) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат , который обращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях переменной, при которых оба предиката обращаются либо в истинные высказывания, либо в ложные высказывания.
Множество истинности эквиваленции предикатов есть пересечение множества истинности предиката с множеством истинности предиката .
Кванторные операции над предикатами
Предикат можно перевести в высказывание способом подстановки и способом «навешивание квантора».
Про числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 можно сказать: а) все данные числа простые; б) некоторые из данных чисел четные.
Так как относительно этих предложений можно сказать, что они истинны или ложны, то полученные предложения – высказывания.
Если из предложения «а» убрать слово «все», а из предложения «б» - слово «некоторые», то получим следующие предикаты: «данные числа простые», «данные числа нечетные».
Слова «все» и «некоторые» называются кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и означает «сколько», т. е. квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении.
Различают два основных вида кванторов: квантор общности и квантор существования.
Термины «всякий», «любой», «каждый» носят название – квантор всеобщности. Обозначается .
Пусть А(х ) – определенный предикат, заданный на множестве Х. Под выражением А(х ) будем понимать высказывание истинное, когда А(х ) истинно для каждого элемента из множества Х, и ложное в противном случае.R .
В примере 1 для R 1 область определения: , множество значений - . Для R 2 область определения: , множество значений: .
Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения. Оно осуществляется двумя способами: с помощью точек на плоскости и с помощью стрелок.
В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные линии в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На горизонтальной оси откладывают элементы множества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы множества B , через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения
18. Способы задания бинарных отношений.
Всякое подмножество декартова произведения A×B называется бинарным отношением, определенным на паре множеств A и B (по латыни «бис» обозначает «дважды»). В общем случае по аналогии с бинарными можно рассматривать и n-арные отношения как упорядоченные последовательностиn элементов, взятых по одному из n множеств.
Для обозначения бинарного отношения применяют знак R. Поскольку R- это подмножество множества A×B, то можно записать R⊆A×. Если же требуется указать, что (a, b) ∈ R, т. е. между элементами a ∈ A и b ∈ B существует отношение R, то пишут aRb.
Способы задания бинарных отношений:
1. Это использование правила, согласно которому указываются все элементы, входящие в данное отношение. Вместо правила можно привести список элементов заданного отношения путем непосредственного их перечисления;
2. Табличный, в виде графов и с помощью сечений. Основу табличного способа составляет прямоугольная система координат, где по одной оси откладываются элементы одного множества, по второй - другого. Пересечения координат образуют точки, обозначающие элементы декартова произведения.
На (рисунке 1.16) изображена координатная сетка для множеств. Точкам пересечения трех вертикальных линий с шестью горизонтальными соответствуют элементы множества A×B. Кружочками на сетке отмечены элементы отношения aRb, где a ∈ A и b ∈ B, R обозначает отношение «делит».
Бинарные отношения задаются двухмерными системами координат. Очевидно, что все элементы декартова произведения трех множеств аналогично могут быть представлены в трехмерной системе координат, четырех множеств- в четырехмерной системе и т. д;
3. Способ задания отношений с помощью сечений используется реже, поэтому рассматривать его не будем.
19. Рефлексивность бинарного отношения. Пример.
В математике бинарное отношение на множестве называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении с самим собой.
Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю - дугу (х, х).
Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества, то отношение называется антирефлексивным.
Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли - нет дуг вида (х, х).
Формально антирефлексивность отношения определяется как: .
Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества, говорят, что отношение нерефлексивно.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-12
Здесь: 1 - истина, 0 - ложь.
- 1. Х: треугольник АВС - остроугольный. Х: неверно, что треугольник АВС - остроугольный. Это все равно, что: Х: треугольник АВС - прямоугольный или тупоугольный
- 2. А: Иванова М. На экзамене по математике получила 4. : Неверно, что Иванова М. по математике получила 4.
Определение: Дизъюнкцией высказывания А и В называется высказывание АВ, истинное при условии, что хотя бы одно из высказываний А или В истинно.
Его читают «А или В».
Таблица истинности для АВ
Пример: 1. На этот раз ответчик явился и суд состоялся. - истина
2. В прямоугольном треугольнике сумма двух любых углов больше или равна третьего угла и гипотенуза меньше катета. - ложь
Определение: Импликацией высказываний А и В называется высказывание АВ, ложное лишь при условии, что А истинно, а В ложно.
Его читают: «Если А, то В».
Таблица истинности
Пример: 1. Если я сдам зачет, то пойду в кино.
2. Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Определение: Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание АВ, истинное в том и только в том случае, когда А и В имеют одну и ту же истинность (т.е. либо оба истинны, либо оба ложны).
Читают: «А тогда и только тогда, когда В» или «А необходимо и достаточно для В»
Таблица истинности
Вторая задача, решаемая средствами алгебры высказываний, состоит в том, чтобы определить истинность конкретного высказывания на основе составления его формулы (процесс формализации) и составления таблицы истинности.
Пример: Если Саратов расположен на берегу Невы, то в Африке обитают белые медведи.
А: Саратов расположен на берегу реки Невы;
В: В Африке обитают белые медведи
Определение: Формула, которая истинна независимо от того, какие значения принимают входящие в нее высказывательные переменные, называется тавтологией или тождественно истинной формулой.
Определение: Формулы F 1 и F 2 называются равносильными, если их эквиваленция - тавтология.
Определение: Если формулы F 1 и F 2 равносильны, то предложения Р 1 и Р 2 , которые инициируют эти формулы, называются равносильными в логике высказываний.
Основные, наиболее часто встречающиеся равносильности, называют законами логики. Перечислим некоторые из них:
- 1. Х Х - закон тождества
- 2. Х Л - закон противоречия
- 3. Х И - закон исключения третьего
- 4. Х - закон двойного отрицания
- 5. законы коммутативности
- 6. Х (У Z) (Х У) Z закон ассоциативности
Х (У Z) (Х У) Z закон дистрибутивности
7. законы Де Моргана
8. законы сочленения переменной с константой
Используя законы логики, можно преобразовывать формулы.
4. Из множества формул, равносильных между собой, рассмотрим две. Это - совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Они строятся для данной формулы на основе ее таблицы истинности.
Построение СДНФ:
- -- выбираются строки, соответствующие значениям истинности (1) данной формулы;
- -- для каждой выделенной строки составляем конъюнкцию переменных или их отрицаний так, чтобы наборам значений переменных, представленных в строке, соответствовали истинные значения конъюнкции (для этого надо переменные, которые в этой строке принимали значения ложь (0) взять со знаком отрицания, а переменные, принимающие значения истинности (1) без отрицания);
- -- составляется дизъюнкция полученных конъюнкций.
Из алгоритма следует, что для любой формулы можно составить СДНФ, и притом единственную, если формула не является тождественно ложной, т.е. принимающей только ложные значения.
Составление СКНФ осуществляется по следующему алгоритму:
- -- выделить те строки таблицы, в которых формула принимает значение ложь (0);
- -- из переменных, стоящих в каждой такой строке, составить дизъюнкцию, которая должна принимать значения - ложь (0). Для этого все переменные должны войти в нее со значением ложь, следовательно те, которые истинны (1), надо заменить их отрицанием;
- -- из полученных дизъюнкций составить конъюнкцию.
Очевидно, что любая формула, не являющаяся тавтологией, имеет СКНФ.
СДНФ и СКНФ используются для получения следствий из данной формулы.
Пример: Составить таблицу истинности СДНФ и СКНФ для формулы: .
Таблица истинности СДНФ и СКНФ
5. Рассмотрим высказывательные форму «Река впадает в Черное море». Она содержит одну переменную и может быть представлена в виде «Река х впадает в Черное море».
В зависимости от значений переменной Х предложение является либо истинным, либо ложным, т.е. задается отображение множества рек на двух элементное множество. Обозначим это отображение, тогда:
Таким образом, имеем функцию, все значения которой принадлежат множеству.
Определение: Функция, все значения которой принадлежат множеству, называется предикатом.
Буквы, обозначающие предикаты, называют предикатными символами.
Предикаты могут задаваться:
a) высказывательной формулой,
b) формулой, т.е. задавая интерпретацию предикатного символа,
c) таблицей.
1) Р - «впадать в Черное море».
Эта формула означает, что «Река а впадает в Черное море».
- 2) Предикат Р задан высказывательной формулой: «быть простым числом на множестве первых 15 натуральных чисел».
- 3) В табличной форме предикат имеет вид:
Областью определения предикатов может быть любое множество.
Если предикат при каком-либо наборе входящих переменных теряет смысл, то принято считать, что этому набору соответствует значение Л.
Если предикат содержит одну переменную, то его называют одноместным, две переменные - двуместным, n переменных - n-местным предикатом.
Для перевода текстов на язык предикатов и определения их истинности необходимо ввести логические операции над предикаторами и кванторы.
Над предикатами выполняются так же операции: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции.
Определение: Подмножество множества М, на котором задан предикат Р, состоящий из тех и только тех элементов М, которым соответствует значение И предиката Р, называется множеством истинности предиката Р.
Множество истинности обозначается.
Определение: Отрицанием предиката Р называется предикат, ложный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в истинный, и истинный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в ложный предикат.
Обозначается отрицание.
Быть студентом АБиК.
Не быть студентом АБиК.
Если, то множество, где М - множество, на котором заданы предикаты Р и Q .
Определение: конъюнкцией предикатов и называется предикат истинный при тех и только тех значениях переменных, входящих в него, которые обращают оба предиката и в истинные.
Быть футболистом
Быть студентом
: быть футболистом и быть студентом.
Определение: дизъюнкцией предикатов и называется предикат ложный при тех наборах входящих в него переменных, которые обращают оба предиката в ложные
Быть четным натуральным числом
Быть нечетным натуральным числом
: быть натуральным числом.
Определение: Импликацией предикатов называется предикат, ложный при тех и только тех наборах входящих в него переменных, которые обращают в истинный предикат, а - в ложный.
Обозначается:
Быть простым числом на множестве N
Быть нечетным числом
Ложен при и истинным при других натуральных числах.
Определение: Эквиваленцией предикатов и называется предикат, который становится истинным, если оба предиката и истинны, или оба ложны.
Обозначается:
- «выигрывать», т.е. х выигрывает у
Лучше знать шахматную историю, х знает лучше у
обозначает, что х выигрывает у у в шахматы тогда и только тогда, когда он лучше знает теорию.
Определение: Предикат следует из предиката если импликация истинна при любых входящих в нее значениях переменных.
Обозначаются следования: .
Быть студентом
Ходить в институт
Для превращения предиката в высказывание существуют 2 пути:
1) придание переменной конкретного значения
; х - студент
Иванов - студент.
2) Навешивание кванторов - любой, всякий, каждый
Существует, имеется.
Запись, где обладает свойством Р означает, что всякий предмет х обладает свойством Р. Или по другому, «все х обладают свойством Р».
Запись означает, что существует предмет х, обладающий свойством Р.
Среди возможных значений истинности лингвистической переменной Истинность два значения привлекают особое внимание, а именно пустое множество и единичный интервал , которые соответствуют наименьшему и наибольшему элементам (по отношению включения) решетки нечетких подмножеств интервала . Важность именно этих значений истинности обусловлена тем, что их можно интерпретировать как значения истинности не определено и неизвестно соответственно. Для удобства будем обозначать эти значения истинности символами и , понимая при этом, что и определяются выражениями
Значения неизвестно и не определено , интерпретируемые как степени принадлежности, используются также в представлении нечетких множеств типа 1. В этом случае имеются три возможности выражения степени принадлежности точки в : 1) число из интервала ; 2) (не определено ); 3) (неизвестно ).
Рассмотрим простой пример. Пусть
Возьмем нечеткое подмножество множества вида
В этом случае степень принадлежности элемента множеству есть неизвестно , а степень принадлежности есть не определено . В более общем случае может быть
где имеется в виду, что степень принадлежности элемента множеству частично неизвестна, причем член интерпретируется следующим образом:
. (6.56)
Важно
четко понимать разницу между и . Когда мы говорим, что степень
принадлежности точки множеству есть , мы имеем в виду, что функция
принадлежности 
не
определена в точке .
Предположим, например, что - множество действительных чисел, а - функция,
определенная на множестве целых чисел, причем , если - четное, и , если - нечетное. Тогда степень
принадлежности числа множеству есть , а не 0. С другой стороны, если бы была определена на
множестве действительных чисел и тогда и только тогда, когда - четное число, то
степень принадлежности числа множеству была бы равна 0.
Поскольку мы умеем вычислять значения истинности высказываний и , или и не по заданным лингвистическим значениям истинности высказываний и , нетрудно вычислить и значения , , , когда . Предположим, например, что
, (6.57)
. (6.58)
Применяя принцип обобщения, как в (6.25), получим
, (6.59)
После упрощения (6.59) сводится к выражению
. (6.61)
Другими
словами, значение истинности высказывания и
, где 
, есть нечеткое подмножество
интервала ,
степень принадлежности которому точки равна (функции принадлежности ) на интервале .
Рис. 6.4. Конъюнкция и дизъюнкция значений истинности высказывания со значением истинности неизвестно ().
Аналогично находим, что значение истинности высказывания или выражается в виде
. (6.62)
Следует отметить, что выражения (6.61) и (6.62) легко получить с помощью описанной выше графической процедуры (см. (6.38) и далее). Пример, иллюстрирующий это, показан на рис. 6.4.
Обращаясь к случаю , находим
(6.63)
и аналогично для .
Поучительно проследить, что происходит с приведенными выше соотношениями, когда мы применяем их к частному случаю двузначной логики, т. е. к случаю, когда универсальное множество имеет вид
или в более привычном виде
где означает истинный , а - ложный . Поскольку есть , мы можем отождествить значение истинности неизвестно со значением истинный или ложный , т. е.
Результирующая логика имеет четыре значения истинности , , и и является обобщением двузначной логики в смысле замечания 6.5.
Поскольку универсальное множество значений истинности состоит лишь из двух элементов, целесообразно построить таблицы истинности для операций , и в этой четырехзначной логике непосредственно, т. е. без использования общих формул (6.25), (6.29) и (6.31). Так, применяя принцип обобщения к операции , сразу получаем
откуда с необходимостью следует, что
На этом пути мы приходим к обычному определению связки ⟹ в двузначной логике в виде следующей таблицы истинности:
Как показывает рассмотренный выше пример, понятие значения истинности неизвестно в сочетании с принципом обобщения помогает уяснить некоторые из понятий и соотношений обычных двузначной и трехзначной логик. Эти логики, конечно, можно рассматривать как вырожденные случаи нечеткой логики, в которой значением истинности неизвестно является весь единичный интервал, а не множество 0 + 1.
Тема программы: Высказывания и операции над ними.
Цели урока:
1) Обобщить теоретические знания по теме: «Высказывания и операции над ними».
2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Высказывания и операции над ними», решить задачи.
3) Формировать умение прогнозировать собственную деятельность, умение организовать свою деятельность и анализировать ее.
Время выполнения: 1 час.
Теоретические основы
Основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».
Примеры высказываний.
1) Москва стоит на Неве.
2) Лондон - столица Англии.
3) Сокол не рыба.
4) Число 6 делится на 2 и на 3.
Высказывания 2), 3), 4) истинны, а высказывание 1) ложно.
Очевидно, предложение «Да здравствует Россия!» не является высказыванием.
Различают два вида высказываний.
Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).
Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если.... то...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.
Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Сокол - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на З», соединенных союзом «и».
Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».
В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...;
истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение - буквой цифрой 0.
Если высказывание а
истинно, то будем писать а = 1
, а если а
ложно, то а = 0
.
Логические операции над высказываниями
Отрицание.
Отрицанием высказывания х называется новое высказывание , которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.
Отрицание высказывания х обозначается и читается «не х» или «неверно, что х» .
Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы.
Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.
Пусть х
высказывание. Так как также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое называется двойным отрицанием высказывания х
. Ясно, что логические значения высказываний х
и совпадают.
Например, для высказывания «Путин президент России» отрицанием будет высказывание «Путин не президент России», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что Путин не президент России».
Конъюнкция.
Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний х и у
называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х и у
истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.
Конъюнкция высказываний х и у
обозначается символом х&у ( , ху)
, читается «х и у»
. Высказывания х и у
называются членами конъюнкции.
Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:
Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.
Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.
Дизъюнкция
Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний х и у
называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у
истинно, и ложным, если они оба ложны. Дизъюнкция высказываний х, у
обозначается символом «x V у»
, читается «х или у»
. Высказывания х, у
называются членами дизъюнкции.
Логические значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:
В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.
Импликация.
Импликацией двух высказываний х и у
называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.
Импликация высказываний х, у
обозначается символом
, читается«если х, то у» или «из х следует у».
Высказывание х
называют условием или посылкой, высказывание у
- следствием или заключением, высказывание
следованием или импликацией.
Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:
Употребление слов «если.... то...» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание х
ложно, то высказывание «Если х, то у»
вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида «если х, то у»
в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение у
вытекает из предложения х
. Употребление слов «если..., то...» в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.
Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме «Если х, то у».
Если при этом известно, что х
истинно и доказана истинность импликации
, то мы вправе сделать вывод об истинности заключения у
.
Эквивалентность.
Эквивалентностью двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.
Эквивалентность высказываний х, у
обозначается символом , читается«для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у».
Высказывания х, у
называются членами эквивалентности.
Логические значения операции эквивалентности описываются следующей таблицей истинности:
Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы заключаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.
Практические задания
1. Установить логическую структуру следующих предложений и записать их на языке логики высказываний:
- Если металл нагревается, он плавится.
- Неправда, что философские споры неразрешимы.
- Деньги - продукт стихийного развития товарных отношений, а не результат договоренности или какого-либо иного сознательного акта.
2. Записать логической формулой следующие высказывания:
а) если на улице дождь, то нужно взять с собой зонт или остаться дома;
Б) если - прямоугольный и стороны - равны, то
3. Проверить истинность высказывания:
а) , если, .
б) , если, .
в) , если, .
4. Проверить истинность высказывания:
а) Чтобы завтра пойти на занятия, я должен встать рано. Если я сегодня пойду в кино, то лягу спать поздно. Если я лягу спать поздно, то встану поздно. Следовательно, либо я не пойду в кино, либо не пойду на занятия.
б) Я пойду либо в кино, либо в бассейн. Если я пойду в кино, то получу эстетическое удовольствие. Если я пойду в бассейн, то получу физическое удовольствие. Следовательно, если я получу физическое удовольствие, то не получу эстетического удовольствия.
5 . На вопрос: «Кто из трех студентов изучал дискретную математику?» получен верный ответ: «Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал дискретную математику?
6. Определите, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно:
если первый сдал, то и второй сдал;
если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал;
если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал;
если четвертый сдал, то и первый сдал.
Контрольные вопросы
1. Какие элементы входят язык логики?
2. Какие способы установления общезначимости формулы логики вы знаете?
Список литературы
Практические занятия № 10-11
Тема программы: Формулы алгебры высказываний.
Ложное и истинное высказывание часто употребляется в языковой практике. Первая оценка воспринимается как отрицание истинности (неистинности). В реальности используют и иные виды оценки: неопределенность, недоказуемость (доказуемость), неразрешимость. Рассуждая над тем, для какого числа x истинно высказывание, необходимо рассмотреть законы логики.
Возникновение «многозначной логики» привело к использованию неограниченного числа показателей истинности. Ситуация с элементами истинности запутана, усложнена, поэтому важно внести в нее ясность.
Принципы теории
Истинное высказывание - это значение свойства (признака), рассматривается всегда для определенного действия. Что такое истина? Схема следующая: «Высказывание Х обладает значением истинности Y в том случае, когда истинно высказывание Z».
Давайте рассмотрим пример. Нужно понять, для какого из приведенных истинно высказывание: «Предмет а имеет признак В». Это высказывание неверно в том, что у предмета есть признак В, и неверно в том, что а не обладает признаком в». Термин «неверно» в данном случае употребляется в качестве внешнего отрицания.
Определение истинности
Как определяется истинное высказывание? Вне зависимости от структуры высказывания Х допускается только следующее определение: «Высказывание Х истинно тогда, когда есть Х, только Х».
Данное определение дает возможность ввести в язык термин «истинно». Оно определяет акт принятия согласия или высказывания с тем, о чем говорится в нем.
Простые высказывания
В них истинное высказывание без определения. Можно ограничиться при высказывании «Не-Х» общим определением, если это высказывание не является истинным. Истинна конъюнкция "X и Y", если будут истинны X и Y.
Пример высказывания
Как понять, для каких x истинно высказывание? Чтобы ответить на этот вопрос, используем выражение: «Частица а находится в области пространства b». Рассмотрим для этого высказывания следующие случаи:
- невозможно наблюдать частицу;
- можно наблюдать частицу.
Второй вариант предполагает определенные возможности:
- частица реально находится в определенной области пространства;
- ее нет в предполагаемой части пространства;
- частица движется так, что сложно определить область ее расположения.
В данном случае можно использовать четыре термина значений истинности, которые соответствуют приведенным возможностям.
Для сложных структур уместно использование большего количества терминов. Это свидетельствует о неограниченности значений истинности. Для какого числа истинно высказывание, зависит от практической целесообразности.
Двузначности принцип
В соответствии с ним, любое высказывание либо ложно, либо истинно, то есть, характеризуется одним из двух вероятных истинностных значений - «ложно» и «истинно».
Данный принцип является основой классической логики, которую именуют двузначной теорией. Двузначности принцип использовался Аристотелем. Этот философ, рассуждая над тем, для какого числа х истинно высказывание, считал его неподходящим к тем высказываниям, которые касаются будущих случайных событий.
Он устанавливал логическую взаимосвязь между фатализмом и принципом двузначности, положением о предопределенности любых действий человека.
В последующие исторические эпохи ограничения, которые накладывались на данный принцип, объяснялись тем, что он существенно затрудняет анализ высказываний о планируемых событиях, а также о несуществующих (ненаблюдаемых) объектах.
Задумываясь о том, какие высказывания истинные, этим методом не всегда можно было найти однозначный ответ.
Появляющиеся сомнения в логических системах были развеяны только после того, как была разработана современная логика.
Чтобы понять, для какого из приведенных чисел истинно высказывание, подходит двухзначная логика.
Принцип многозначности
Если переформулировать вариант двухзначного высказывания для выявления истинности, можно превратить его в частный случай многозначности: любое высказывание будет иметь одно п значение истинности, если п равно либо больше 2, или же меньше бесконечности.
В качестве исключений дополнительных значений истинности (выше «ложно» и «истинно») выступают многие логические системы, базирующиеся на принципе многозначности. Двузначная классическая логика характеризует типичные варианты использования некоторых логически знаков: «или», «и», «не».
Многозначная логика, претендующая на их конкретизацию, не должна противоречить результатам двузначной системы.
Ошибочным считают то убеждение, согласно которому, принцип двузначности всегда приводит к констатации фатализма и детерминизма. Также неверна и мысль, согласно которой, многократную логику рассматривают в качестве необходимого средства осуществления индетерминистических рассуждений, что принятие ее соответствует отказу от использования строгого детерминизма.
Семантика логических знаков
Чтобы понять, для какого числа Х истинно высказывание, можно вооружиться таблицами истинности. Семантика логическая представляет раздел металогики, который исследует отношение к обозначаемым объектам, их содержанию разнообразных языковых выражений.
Данная проблема рассматривалась уже в античном мире, но в виде полноценной самостоятельной дисциплины она была сформулирована только на рубеже XIX—XX веков. Работы Г. Фреге, Ч. Пирса, Р. Карнапа, С. Крипке позволили выявить суть данной теории, ее реалистичность и целесообразность.
На протяжении длительного временного периода семантическая логика опиралась в основном на анализ формализованных языков. Только в последнее время большая часть исследований стала посвящаться естественному языку.
В данной методике выделяют две основные области:
- теорию обозначения (референции);
- теорию смысла.
Первая предполагает исследование отношения разнообразных языковых выражений к обозначаемым объектам. В качестве ее основных категорий можно представить: «обозначение», «имя», «модель», «интерпретация». Данная теория является основой для доказательств в современной логике.
Теория смысла занимается поиском ответа на вопрос относительно того, что представляет собой смысл языкового выражения. Она объясняет их тождественность по смыслу.
Существенную роль теория смысла имеет при обсуждении семантических парадоксов, при решении которых любой критерий приемлемости считается важным и актуальным.
Логическое уравнение
Данный термин используется в метаязыке. Под логическим уравнением можно представить запись F1=F2, в которой F1и F2 являются формулами расширенного языка логических высказываний. Решить такое уравнение означает, определить те наборы истинных значений переменных, которые будут входить в одну из формул F1 либо F2, при которых будет соблюдаться предложенное равенство.
Знак равенства в математике в некоторых ситуациях свидетельствует о равенстве исходных объектов, а в ряде случаев он ставится для демонстрации равенства их значений. Запись F1=F2 может свидетельствовать о том, что речь идет об одной и той же формуле.
В литературе довольно часто под формальной логикой подразумевают такой синоним, как «язык логических высказываний». В качестве «правильных слов» выступают формулы, служащие семантическими единицами, используемыми для построения рассуждений в неформальной (философской) логике.
Высказывание выступает в качестве предложения, которое выражает конкретное суждение. Иными словами, оно выражает мысль о присутствии некоего положения дел.
Данный факт стал основой пропозициональной логики. Существует подразделение высказываний на простые и сложные группы.
При формализации простых вариантов высказываний применяют элементарные формулы языка нулевого порядка. Описание сложных высказываний возможно только с применением формул языка.
Логические связки необходимы для обозначения союзов. При их применении простые высказывания превращаются в сложные виды:
- «не»,
- «неверно, что…»,
- «или».
Заключение
Формальная логика помогает выяснять, для какого имени истинно высказывание, предполагает конструирование и анализ правил преобразования определенных выражений, которые сохраняют их истинное значение независимо от содержания. В качестве отдельного раздела философской науки она появилась только в конце девятнадцатого века. Вторым направлением является неформальная логика.
Основной задачей этой науки является систематизация правил, которые позволяют выводить новые утверждения на основе доказанных утверждений.
Фундаментом логики является возможность получения каких-то идей в качестве логического следствия иных утверждений.
Подобный факт позволяет адекватно описывать не только определенную проблему в математической науке, но и переносить логику в художественное творчество.
Логическое исследование предполагает отношение, которое существует между посылками и заключениями, выводимыми из них.
Его можно отнести к числу исходных, фундаментальных понятий современной логики, которую часто именуют наукой «что из него следует».
Сложно представить себе без подобных рассуждений доказательство теорем в геометрии, объяснение физических явлений, пояснение механизмов протекания реакций в химии.