Использование корней зубов в целях протезирования . Наиболее известны в стоматологии конструкции штифтовых зубов по Ричмонду, Ильиной-Маркосян и многие их разновидности. Применение их в геронтопротезировании практикуется не часто и мало чем отличается как по показаниям, так и по методике изготовления. Более трудным является лишь прохождение уже значительно облитерированных суженных каналов корней зубов.
Однако ранее применявшиеся конструкции штифтовых зубов в настоящее время используют редко. В стоматологической практике более широко применяют так называемые культевые коронки. Их используют при наличии на челюсти вылеченных или здоровых корней зубов, края которых выстоят над уровнем десневого края или находятся на одном уровне с десной.
Методика их изготовления заключается в следующем. Корневой канал проходят на 2/3 его длины и готовят штифт из проволоки. Наддесневую часть корня зуба выравнивают, спиливая острые края и имеющиеся выступы. Затем из воска моделируют культю зуба во рту пациента с учетом прикуса. Смоделированную культю вместе со штифтом извлекают из корня зуба и передают в лабораторию для замены воска на металл. После отливки культи ее припасовывают по прикусу и цементируют. В последующем культю покрывают металлической, комбинированной или пластмассовой коронкой по показаниям.
Принято считать, что культевые коронки выгодно отличаются от штифтовых зубов тем, что в случае разрушения их легко снять и заменить на новые, что более трудно и не всегда возможно при разрушении, например, штифтевого зуба по Ричмонду.
Штифтовые зубы иногда используют для удерживания съемных зубных протезов при помощи кламмеров. Однако такая система крепления недолговечна. В этой связи на нижней челюсти при неблагоприятных анатомических условиях корни передних зубов, которые можно вылечить и запломбировать, используют в качестве опоры для съемных протезов и их крепления, а также предупреждения быстрой атрофии альвеолярного отростка нижней челюсти, которая наступает после удаления всех зубов и корней.
Благодаря передаче жевательного давления не только на слизистую оболочку и альвеолярный отросток, но и на сохранившиеся корни зубов жевательная эффективность съемных протезов увеличивается, а имеющиеся условия для фиксации протеза на нижней челюсти сохраняются на более продолжительный период времени.
Существует несколько способов передачи жевательного давления на нижнюю челюсть через корни сохранившихся зубов. И. И. Хрущев (1884), Ε. М. Гофунг (1935), Rumpel (1930) и др. при протезировании съемными протезами рекомендовали корни зубов сошлифовывать до уровня десны, так как было замечено, что после удаления корней наступает атрофия альвеолярных отростков. Чтобы корни не разрушались, их покрывали колпачками. Однако, как оказалось, десна около корня зуба ущемляется между базисом протеза и корнем, что приводит к постоянному воспалению и, в результате, удалению корней зубов. Б. Н. Бынин и А. И. Бетельман (1947) рекомендуют сохранять только те корни, которые могут быть использованы в последующем для штифтового протезирования. Остальные подлежат удалению.
Как считает Е. И. Гаврилов (1974), предложение оставлять корни зубов под базисом протеза с теоретической точки зрения имеет свои положительные стороны. Жевательное давление передается при этом не только на слизистую оболочку, но и на корни зубов. Последние получают наиболее выгодную для них вертикальную нагрузку и таким образом разгружают слизистую оболочку. Вместе с тем наличие корней предупреждает возрастную атрофию альвеолярного отростка, характерную для этого контингента больных.
Учитывая быстро прогрессирующую атрофию альвеолярного отростка нижней челюсти и возникающие в связи с этим у лиц пожилого и старческого возраста неудовлетворительные условия для фиксации полного нижнего протеза, Elbrecht (1950) предложил специальную методику, предусматривающую предупреждение возможности ущемления десны и дальнейшего разрушения корня зуба (рис.9).
По этой методике при помощи пломбы или литой вкладки создают опору для съемного протеза, чтобы передать давление на корень зуба. Когда корень зуба запломбирован, его сошлифовывают до уровня десны и готовят съемный протез по общепринятой методике. Затем устье корневого канала расширяют. Сформированную полость заполняют воском и моделируют из него вкладку. После этого на нижнюю челюсть накладывают протез и пациенту предлагают произвести жевательные и другие функциональные движения нижней челюстью, чтобы сформировать по высоте верхнюю часть вкладки. Когда воск станет твердым, вкладке придают куполообразную форму и после замены воска на металл вкладку фиксируют при помощи цемента в корне зуба. При наложении протеза его базис будет касаться только вершины вкладки. А так как прилегающие к десне края вкладки расположены ниже его вершины, то десневой край не будет ущемляться протезом во время функционирования вкладки. Надкорневая часть может быть изготовлена также из медной амальгамы или силикат-цемента. Однако вкладка (пломба) не должна слишком выступать или быть плоской, так как при высокой вкладке протез будет балансировать, а при плоской - не будет нагружать корень зуба. Elbrecht считает, что если базис протеза прилегает только к вершине, корень не получает нагрузки во время боковых смещений протеза, испытывая ее лишь при вертикальных нагрузках на протез. Эта нагрузка, совпадающая с длиной оси корня зуба, наиболее благоприятна для тканей пародонта.
Существуют и другие предложения по использованию корней зубов. Например, сохранившиеся на нижней челюсти корни клыков покрывают колпачками, через которые в корневой канал проводят на 2/3 их длины канюли, имеющие дно. Колпачки и канюли путем пайки соединяют между собой и фиксируют в корнях зубов цементом. Фиксацию съемных протезов осуществляют при помощи закрепленных в протезах штифтов, плотно входящих в канюли при наложении протезов на нижнюю часть.
Некоторые авторы рекомендуют при выдвижении одиночных зубов и оголении их корней депульпировать их и после депульпации укоротить таким образом, чтобы корень зуба выстоял над уровнем десневого края на 3-4 мм. Выстоящую часть корня зуба покрывают колпачком с напайкой, а в процессе его изготовления создают ложе для укороченных зубов и устанавливают кламмеры. При достаточной устойчивости и высоте корней возможно создание системы телескопического крепления съемных протезов (рис. 10, а,б).
Подсолнух — это растение, которое ассоциируется с подсолнечным маслом и семечками. Многие используют его части для лечебных целей. Особенно востребованы корни подсолнуха, которые в своем составе имеют большое количество лечебных свойств, используемых в целительстве, но также имеются и противопоказания, о которых будет написано ниже.
Полезные свойства подсолнечника
Подсолнух — это травянистое однолетние растение, которое вырастает длиной в 2 метра и более. Цветет подсолнух в августе, цветок растения большой с золотыми лепестками.
В семечках подсолнуха находится олеиновая и линолевая кислоты. Ценные витамины и микроэлементы, такие как магний, витамин Е.
Масло подсолнуха используется не только для приготовления пищи, но и в лечебных целях.
Подсолнух является медоносом. Мед из растения имеет золотистый цвет с зеленым оттенком.
Лечебные свойства корней подсолнуха
Растение широко используется в медицине для приготовления различных лекарств, которые применяются для лечения всевозможных заболеваний.
- Его принимают для повышения аппетита, выведения солей и камней из организма, при желудочных, кишечных болезнях, профилактики атеросклероза. Также подсолнухом лечат суставы и ожоги.
- Подсолнух очищает организм от холестериновых накоплений.
- Выводит ураты из мочевого пузыря.
- С помощью растения можно вылечить остеохондроз, цистит, приступы головной боли.
- Также проводится общее очищение организма от вредных накоплений.
Важный момент, который следует помнить людям, которые применяют лечебные отвары: подсолнечник способствует тому, что в организме накапливается калий, возникает обезвоживание. Необходимо вместе с приемом отваров и настоев принимать достаточное количество воды.
Как правильно собирать и хранить корни подсолнуха
В народной медицине уже давно используют лечебные свойства корней подсолнуха. Растение можно выращивать самому на своем участке или приобрести готовые корни.
Готовые корни придут запакованные и очищенные, практически готовые к использованию.
Чтобы правильно заготовить корни растения самому, нужно дождаться необходимого периода. Самым подходящим моментом для сбора корней считается время, когда семечки собраны и шляпа срезана.
Необходимо выкопать корни подсолнуха и отряхнуть всю землю. Мыть корни пока не надо, следует очень хорошо убрать всю грязь с помощью щетки.
Чтобы собрать пригодный материал, который будет использоваться в рецептах для лечения, надо с основного корня удалить все мелкие и средние молодые корешки — ответвления. Основные полезные свойства содержатся в толстом корне.
Следующее действие — это промывка лекарственного материала. После того, как корни выкопали, очистили от земли, обрезали, их промывают под проточной водой. Если этого не сделать до сушки, то отвар в последствии получится мутным.
Протирают корни чистой мягкой тканью. Затем уже чистый материал измельчают на небольшие кусочки, примерно по 1-2 см. Корень подсолнечника очень твердый, поэтому для измельчения многие пользуются топориком: сначала рубят вдоль, потом уже на кусочки.
Следующий шаг — сушка. В этом деле главное правило правильно высушить лечебный материал. От этого зависят лечебные свойства корней растения. Самым правильным способом считается сушка на деревянных решетках в тени в хорошо проветриваемом помещении. Очень важна постоянная циркуляция воздуха. Еще можно досушивать корни в электрической сушилке, если она у вас есть.
Хранить корни можно в плотных мешочках из натуральной полотняной ткани на протяжении трех лет. Все это время корни подсолнуха не теряют свои лечебные и полезные свойства.
Применение корней подсолнуха в народной медицине
В народной медицине корень подсолнечника используется много веков. Это самое первое средство, которое выводит камни и соли из почек, . Отвар корней способен растворять не все камни, его действию поддаются только оксалатные и уратные образования.
Отвар из корней подсолнуха для избавления организма от солей
Рецепт отвара из корней очень простой и трудностей с его приготовлением в домашних условиях быть не должно. Для того чтобы приготовить целебный отвар, понадобится три литра воды и стакан корней подсолнуха. Чистые высушенные корни растения поместить в холодную воду и довести до кипения. Кипятить отвар необходимо ровно пять минут. Далее лекарство процедить и применять по рецепту ниже.
Корни, которые остались, выбрасывать не надо, они будут пригодны еще для двух применений.
Следующую порцию отвара также надо приготовить в трех литрах воды, но на этот раз корни необходимо кипятить десять минут.
Заключительный третий раз корни варят пятнадцать минут.
Отвар используют для избавления от солей и камней в желчном пузыре, печени, почках. За день надо выпивать литр отвара разделяя его на равные части в течение всего дня. Лечение проводить в течение двух месяцев. Примерно через месяц начнется основное очищение, вы можете от этом узнать по изменившемуся цвету мочи.
У некоторых людей во время питья отвара может «скакать» давление, чаще оно повышается. Это не является противопоказанием, просто уменьшите на первое время дозу выпитого, а затем, как организм привыкнет, вернитесь к рекомендованной дозировке.
Если человек с помощью отвара из корней подсолнуха хочет избавиться от вредных накоплений в организме, то необходимо не только пить лекарственный отвар, но и придерживаться диеты. Исключить из рациона блюда, которые содержат много жиров, углеводов, острые, копченые блюда, алкоголь.
Отвар от боли и воспалений в суставах
Для лечения суставов можно пить отвар, рецепт приготовления которого описан выше. Но можно его и не пить, если вы точно знаете, что солей в суставах у вас нет. Для того, чтобы снять воспаление и надо принимать отвар внутрь, выпивая литр средства на протяжении всего дня небольшими порциями.
Но в дополнение к этому рекомендуется применять компрессы из более концентрированного раствора: стакан сырья залейте литром воды и кипятите на медленном огне 1 час. За время кипячения количество отвара уменьшится примерно вдвое. Каждый вечер перед сном на больные суставы прикладывайте компресс: мягкую ткань нужно смочить в отваре, отжать, обернуть сустав, обернуть пленкой и теплым платком. Держать до утра. Именно компрессы окажут наибольшее лечебное воздействие.
Использование корней подсолнуха при сахарном диабете
Использование корня подсолнуха . Для того, чтобы приготовить отвар, необходимо собрать мелкие волосяные части, которые отходят от корня. Очень важно правильно собрать лечебный материал. Корень необходимо выкопать, когда подсолнух находится в цветении в середине-конце лета. Лучшее время после того, как прошел дождь и земля мокрая, тогда все мелкие корешки не оторвутся и не повредятся.
Мелкие части очистить от земли, вымыть и высушить. Поскольку корешки тонкие, то сохнут они довольно быстро, сохраняя все полезные свойства.
Рецепт еще проще — для приготовления лекарства понадобится столовая ложка корешков и 2,5 литра чистой воды.
В емкость объемом три литра поместить корни подсолнуха и залить 2,5 литрами кипятка. Посуду с лечебным средством необходимо хорошо укутать и оставить на сорок минут до полного остывания. Рекомендуется пить настой на протяжении всего дня в любом количестве, как обычную воду. Каждый день нужно готовить новую свежую порцию. Регулярный прием в течение нескольких недель настоя из корней подсолнуха заметно улучшает течение болезни и постепенно снижает уровень сахара в крови.
Лечение остеохондроза
Для того, чтобы избавиться от данной проблемы, которая проявляется болью в суставах, пояснице, шейном отделе, используют лечение отварами на основе корней подсолнуха.
При проведении лечения очень важно придерживаться диетического меню. Отказаться от острых, копченных блюд, кофеина, также нельзя кушать кислые продукты.
- Рецепт приготовления отвара:
— Корни подсолнуха 100 гр
— Вода полтора литра.
В кипящую воду поместить корни и варить на слабом огне пять минут. Пить отвар необходимо на протяжении дня небольшими порциями всю порцию. Курс приема средства два месяца.
Лечение корнями подсолнуха цистита
Одной из очень неприятных болезней мочеполовой системы является цистит. Это заболевание проявляется болью и частыми позывами к мочеиспусканию. Обычно проводят лечение болезни, применяя антибиотики. В народной медицине для лечения этого недуга используется корень подсолнуха. Лечение помогает облегчить болезнь и не допустить хронического течения цистита.
Для приготовления отвара необходимо стакан корней подсолнуха всыпать в кипящую воду и проварить две минуты. Количество воды 3 литра. Оставить отвар, чтобы настоялся на протяжении часа. Пить средство надо месяц. В день необходимо выпивать до литра лекарственного средства.
Противопоказания к применению корней подсолнуха
У подсолнечника практически нет противопоказаний.
Нельзя принимать настои и отвары беременным женщинам и мамам, которые кормят детей грудным молоком. Поскольку после использования отваров на основе растения, увеличиваются позывы на мочеиспускание, то беременным, которых во второй половине беременности беспокоит эта проблема, только добавится хлопот.
Также не следует применять растение для изгнания камней, которые не разрушаются этим средством, например карбонатные камни. Поэтому сначала определите какого свойства ваши камни в мед. учреждении, а только потом, при согласовании с врачом, пейте отвар.
У некоторых людей могут возникать аллергическая реакция на подсолнух.
Самым оптимальным вариантом продукта, которое можно применять для лечебных целей, считается подсолнух выращенный своими руками на даче. Покупая средство нельзя быть уверенным, что его правильно вырастили и он не содержит в своем составе огромного количества пестицидов, ядов и нитратов. Все эти компоненты только поспособствуют ухудшению здоровья.
Больная часть целебных составляющих лекарственных растений сосредоточена именно в корнях растений .
Например, окопник лекарственный (виз-трава, жирный корень, огуречная трава, костолом), в котором применяемой частью являются именно корни, содержащие немало крахмала, сахара, слизистых и дубильных ингредиентов, аспарагина, алкалоидов, дигалловой кислоты. Несмотря на то, что растение считается ядовитым, окопник широко известен в народной медицине многих стран и применяется как внутреннее, так и наружное средство. Из свежих корней готовят слизистый отвар и настой, с помощью которых тормозят и останавливают воспалительные процессы, снижают и снимают боли, уничтожают микробов, останавливают кровотечения и эффективно заживляют гнойные раны. Настой корней окопника известен вяжущим и мягчительным действием. Настой и отвар этих корней прекрасно способствуют восстановлению тканей, заглушают боль и благоприятствуют ускоренному срастанию костей при переломах.
Не только у нас, но и за границей, например, в немецкой народной медицине водный настой корней окопника применяется при желудочно-кишечных заболеваниях. Это поносы, дизентерии, хронический катар кишечника, язвы желудка и двенадцатиперстной кишки, катар дыхательных органов с затрудненным и обильным выделением мокроты, кровохарканье и кровотечение, параличи. Как наружное, препараты корня окопника эффективны при воспалении вен, надкостницы, переломах костей и вывихах, болях в ампутационных культях и ишиасе. Окопник принимают внутрь с параллельным наружным применением при заболеваниях кожи, язвах и ранах.
Корни растейний для Ванн
Настой корней растений применяют для ванн, обмываний и компрессов. Спиртовая настойка корней хороша для противовоспалительных и болеутоляющих компрессов. Кроме того, из корней готовят и мази против ревматических и подагрических болей, ран и язв. Для приготовления мази две столовых ложки свежих корней растирают с двумя ложками свиного несоленого сала.
Корни различных растений в народной медицине
Не меньшей известностью в нашей народной медицине пользуется и корень лопуха. Препараты на его основе эффективны при почечнокаменной болезни, подагре и ревматизме, диабете, геморрое, водянке, рахите и золотухе, хронической экземе, фурункулезе, запоре. Они показали свою эффективность при лечении отравлений ртутными препаратами и спасении от укусов ядовитых животных. И еще отвар корня лопуха применим при венерических заболеваниях и ломоте в суставах.
В Болгарии народные целители применяют корень лопуха как средство, улучшающее , при камнях в почках и мочевом пузыре, при гастрите и язве желудка. При дерматитах и сильном зуде корень лопуха применяется наружно для приготовления компресса.
При опухолевых заболеваниях корень лопуха применяют в виде настоя, отвара, порошка или настойки. Готовят ее, смешав в равных долях корень лопуха, мед и медицинский спирт, и настояв с полмесяца. Употребляют по столовой ложке трижды в день.
Из лопуха измельчают двадцать пять граммов корней лопуха и листьев, кипятят в 100 мл воды в течение двадцати минут, затем этот отвар растирают со ста граммами сливочного масла. Применяется мазь для профилактики и лечения облысения, врачевания ожогов и обморожений.
У Бедренец-камнеломки лечебными частями также являются корневища и корни. Настойки и отвары из этого сырья применяются при лечении болезни почек, мочекаменной болезни и болезни мочевого пузыря.
Для приготовления отвара корней бедренца берут десять граммов измельченного сырья и кипятят в полулитре воды с четверть часа. Настаивают час, цедят и принимают по полстакана ежедневно до пяти раз в день. Применяется при подагре, гастрите или почечнокаменной болезни. Как полоскание хорошо при ангине и язве на деснах.
Корень растения одуванчика, это лучший стимулятор печени, он тонизирует и активизирует . как тонизирующее для печени средство, используют настойку из свежего корня одуванчика.
Кроме того в народных методах лечения издревле применяют корневища и корни девясила, как кровоочистительное и улучшающее обмен веществ лекарство, а также при заболеваниях суставов, радикулите, бруцеллезе, цинге, тромбофлебите и множестве иных болезней.
И ни в коем случае нельзя забывать о золотого корне и препарат из него, родозин, улучшающий умственную активность, способствующий активному протеканию окислительных процессов и содержанию на высоком уровне энергетического потенциала головного мозга.
Благодаря богатому питательному составу и целебным качествам данного растения все больше огородников берутся за его выращивание.
Вырастить неприхотливое растение легко, главное, чтобы корень ревеня, свойства которого известных давно, успел набрать лечебную силу, на что уходит три года. После выкапывания осенью корешки необходимо очистить, нарезать, подвялить на солнце, высушить в тени и убрать на хранение в темное сухое местечко.
Использование корня ревеня в народной медицине обусловлено богатым составом натурального продукта. В 100 граммах корешков содержится множество полезных веществ:
- Белков – 1,3 г;
- Лютеина – 0,19 мг;
- Сахаров – 4,7 г;
- Бета-каротина – 0,07 мг;
- Жиров – 0,1 г;
- Клетчатки – 2,3 г;
- Витамина К – 0,03 мг;
- Железа – 0,35 мг;
- Витамина B3 – 0,5 мг;
- Цинка – 0,15 мг;
- Витамина С – 11 мг;
- Кальция – 92 мг;
- Марганца – 0,3 мг;
- Витамина А – 120 мг;
- Магния – 15,5 мг;
- Кислот омега-6 – 0,11 мг;
- Калия – 297 мг;
- Натрия – 4,3 мг;
- Витамина Е – 0,6 мг;
Также в составе часто применяемого корня ревеня от гепатита С содержится 0,03 мг пантотеновой кислоты и 0,1 мг фолиевой кислоты.
Лечебные свойства корня ревеня
- Укрепляет иммунитет.
- Улучшает пищеварение и очищение кишечника.
- Помогает сохранить вес.
- Очищает организм от токсинов.
- Обладает желчегонным действием.
- Улучшает состояние нервной системы.
- Избавляет от отеков.
- Укрепляет сердечную мышцу и сосуды.
- Понижает кровяное давление.
- Избавляет от малокровия.
- Предотвращает развитие остеопороза, улучшая образование тканей хрящей и костей.
- Очищает кровь.
- Вылечивает раны и кожные болезни.
- Обладает противовоспалительным действием.
- Отвар корня ревеня помогает от гепатита.
Настоем корешков на уксусе лечат такие сложные недуги, как псориаз и витилиго.
Благодаря богатому составу и целебным свойствам корня ревеня его применяют при лечении разных недугов и недомоганий.
Лишний вес и переизбыток токсинов
Нередко причиной лишнего веса является засорение кишечника каловыми массами и токсинами, что зачастую сопровождается запорами и отеками. Корень ревеня, обладающий вяжущими и слабительными качествами, помогает быстро очистить и оздоровить толстый кишечник, избавляя его от патогенной микрофлоры, и выводит из тканей излишки воды. Для этого выпиваем за день литр отвара из корешков.
Отвар для детоксикации и похудения
- Истираем корешки в порошок (понадобится столовая ложка).
- Заливаем сырье литром кипящей воды и варим 15 минут.
- Настаиваем отвар корня ревеня, помогающего от гепатита и иных болезней, еще четверть часа.
- Фильтруем средство.
Выпиваем его на протяжении дня по стакану после приемов пищи.
Для излечения от коварного недуга используем любую из рецептур:
Смешанный отвар
Смешиваем лекарственные компоненты:
- Полевой хвощ – 3 части;
- Ревеневые корешки – 5 частей;
- Горечавка желтая – 5 частей;
- Барбарисовый корень – 10 частей.
Заливаем чайную ложку сырья 1 стакан кипятка, томим 15 минут на водяной бане, настаиваем часок в укутанном виде и фильтруем.
Принимаем по полстакана целебного средства четырежды в день.
Ревеневый отвар
Готовим его по такой схеме:
- Заливаем 2 ст.л. молотых корешков 0,5 л кипятка.
- Кипятим 20 минут.
- Держим в тепле 10 часов и фильтруем.
Выпиваем по столовой ложке трижды в день, заедая ложечкой меда, т.к. отвар очень горький.
Лечение отварами из ревеневых корней проводим так: 2 месяца принимаем его, две недели отдыхаем, и т.д.
Рецепты с корнем ревеня от кишечных проблем
Ревеневые корешки обладают удивительным свойством останавливать диарею и справляться с запорами. Это возможно благодаря их способности сокращать толстый кишечник, очищать его и уничтожать патогенную микрофлору.
- При диарее . Принимаем четверть чайной ложки молотого сырья.
- При запоре . Принимаем 0,5 ч.л. порошка корня.
Нужный эффект проявится спустя 6-8 часов.
Кстати, в аптеке можно купить натуральные таблетки из ревеневых корешков, помогающие очистить кишечник при запорах, непроходимости и других проблемах с ЖКТ.
Противопоказания к лечению корнями ревеня
Ревеневые корешки нельзя применять для лечения в следующих случаях:
- Детям до двухлетнего возраста.
- При беременности и грудном вскармливании: прием может вызвать кровотечения и сокращения матки.
- При язве желудка.
- При камнях в почках и иных заболеваниях почек.
- При гастритах.
- При подагре.
Перед использованием ревеневого корня лучше проконсультироваться с лечащим врачом, чтобы выявить возможные негативные побочные эффекты.
Как видим, корень ревеня, свойства которого оценены знахарями с давних времен, способен избавить от множества недугов. Главное, придерживаться рецептур и режима приема, и использовать качественное натуральное сырье.
В данной статье мы рассмотрим часть материала на тему преобразования иррациональных выражений, подробно разобрав тонкости и нюансы преобразований, которые выполняются на основе свойств корней.
Свойства корней
Вспомним основные свойства корней. Это поможет нам последовательно разбирать тему, не возвращаясь к предыдущим разделам.
a · b = a · b , где a ≥ 0 , b ≥ 0 . Оно распространяется на произведение k неотрицательных множителей a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · . . . · a k ;
a: b = a: b или в другой записи a b = a b , где a ≥ 0 , b > 0 ;
a 2 = a и его обобщение a 2 m = a m , где a – любое действительное число, а m – натуральное (при этом число 2 · m – четное).
Введем определение корня n -ой степени. Тут уже a , b , a 1 , a 2 , … , a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , . . . , n k - натуральные числа.
a · b n = a n · b n , где a ≥ 0 , b ≥ 0 , его обобщение a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · . . . · a k n , где a 1 ≥ 0 , a 2 ≥ 0 , … , a k ≥ 0 .
a b n = a n b n , где a ≥ 0 , b > 0 .
a 2 · m 2 · m = a , a 2 m - 1 2 m - 1 = a , где a – любое действительное число.
a m n = a n · m , . . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · . . . · n k , где a ≥ 0 .
a m n · m = a n , где a ≥ 0 .
a m n = a n m , где a ≥ 0 .
Преобразование выражений с числами под знаками корней
Обычно начинают изучение алгоритмов работы с числовыми выражениями. И уже только после этого переходят к работе с выражениями, содержащими переменные. Также построим наш материал и мы.
При указанных ограничениях на числа a , b и проч. все перечисленные свойства корней представляют собой верные числовые равенства. Это значит, что если числа a , b и т.д. соответствуют перечисленным условиям, то значение выражения, которое записано в левой части равенства, равно значению выражения, размещенного в правой части.
Рассмотрим приведенный выше тезис на примере.
Пример 1
Выражение 4 · 9 , в котором числа 4 и 9 - положительные, можно заменить произведением корней 4 · 9 согласно свойству корня, по которому произведение корня можно заменить произведением корней.
Проведем несложные расчеты для того, чтобы подтвердить истинность наших выводов:
4 · 9 = 36 = 6 2 = 6 и 4 · 9 = 2 2 · 3 2 = 2 · 3 = 6 .
Мы можем заменить иррациональное выражение 1 + 4 · 9 выражением 1 + 4 · 9 и наоборот.
Это значит, что при наличии в составе исходного выражения выражения, которое по виду совпадает с выражением из левой или правой частей любого из перечисленных свойств корней, то мы можем заменить его соответствующим выражением из левой или правой части. В этом и заключается смысл преобразования выражений с использованием свойств корней.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2
Предположим, что нам нужно упростить выражение 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 .
Решение
Здесь числа 3 , 5 и 7 положительные, что позволяет нам применять свойства корней без ограничений. Правильными будет несколько вариантов решений.
Корень 5 · 7 на базе свойства a · b = a · b можно представить как 5 · 7 , а корень 3 · 5 · 7 с использованием свойства a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · . . . · a k при k = 3
- как 3 · 5 · 7 . В этом случае решение будет иметь такой вид:
3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0
Еще один вариант решения выглядит следующим образом:
3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0
Ответ: 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0
Рассмотрим еще один пример.
Пример 3
Нам необходимо преобразовать выражение 5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 .
Решение
Выберем из всего многообразия свойств корней нужные для решения. Их будет два: a 2 = a и a 2 m = a m , которые справедливы для любых значений a .
Решение будет иметь вид:
5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = = 5 + - 2 - 4 2 + (- 3) 3 = = 5 + - 2 - 16 + - 27 = = 5 + 2 - 16 + 27 = 18
Мы могли бы использовать здесь и свойства степеней для проведения преобразования выражения под знаками корней:
5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = = 5 2 + (- 1) 2 · 2 2 - 4 2 · 2 + (- 1) 2 · 3 · 3 2 · 3 = = 5 2 + 2 2 - 4 2 · 2 + 3 2 · 3
А уже дальше применять свойства корней:
5 2 + 2 2 - 4 2 · 2 + 3 2 · 3 = = 5 + 2 - 4 2 + 3 3 = 5 + 2 - 16 + 27 = = 5 + 2 - 16 + 27 = 18
Ответ: 5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = 18
С преобразованием выражений, которые содержат только квадратные корни, разобрались. Теперь разберемся с корнями, имеющими другие показатели.
Пример 4
Преобразуйте иррациональное выражение (- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 .
Решение
Для решения используем свойство a 2 m - 1 2 m - 1 = a . Заменим первый множитель произведения - 2 3 3 числом − 2 :
(- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12
Используя свойство. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · . . . · n k второй множитель 81 3 представим как 81 12 . Заменим 81 четвертой степенью тройки, так как это же число фигурирует под знаками корней в остальных множителях:
(- 2) · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 81 12 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 3 64 6 · 3 6 12
Заменим корень из дроби 3 64 6 на отношение корней вида 3 6 64 6 . Преобразуем полученное выражение 3 6 64 6 = 3 6 2 6 6 = 2 6 2 .
(- 2) · 3 4 12 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 2 6 2 · 3 6 12
Произведем действия с двойками и в результате получим: - 3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 . Осталось лишь преобразовать произведение корней.
Используем наименьшее общее кратное (НОК) для того, чтобы привести произведения корней к одному показателю. В нашем случае это 12 , так как два корня имеют такой показатель, а корень 3 6 придется привести к этому показателю.
Используем равенство a m n · m = a n справа налево: 3 6 = 3 2 6 · 2 = 3 2 12 . С учетом полученного результата:
3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12
Заменим произведение корней на корень произведения и продолжим преобразования:
3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12 = = - 3 4 · 3 2 · 3 6 12 = - 3 12 12 = - 3
Запишем краткий вариант решения:
(- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 3 6 2 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12 = = - 3 4 · 3 2 · 3 6 12 = - 3 12 12 = - 3
Ответ: (- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = - 3
Обращаем ваше внимание на то, что применение свойств корней требует учета ограничений, которые накладываются на числа под знаками корней ( a ≥ 0 и т.п.). Невнимание к ним может привести к ошибкам в вычислениях. Например, свойство a m n · m = a n справедливо для неотрицательных a . Используя его, мы можем осуществить переход от 8 3 к 8 6 18 , так как 8 – положительное число. Если же взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, к примеру, - 8 3 , то, применив свойство, мы заменим его на - 8 6 18 . Это будет такой же ошибкой, как если бы мы заменили − 2 на 2 .
Действительно, - 8 3 = - 2 , а (- 8) 6 18 = (- 1) 6 · 8 6 18 = 8 6 18 = 8 3 = 2 . Получается, что при отрицательных a равенство a m n · m = a n может быть неверным.
Другие свойства корней точно также могут стать неверными, если применять их без учета оговоренных условий. Это вовсе не значит, что наличие отрицательного числа под знаком корня полностью исключает возможность проведения преобразований с использованием свойств корней. Это значит, что необходимо провести ряд предварительных действий с числами или воспользоваться правилом определения корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство - a 2 · m + 1 = - a 2 · m + 1 , в котором − a – отрицательное число (при этом a – положительное).
Например, не получится заменить (- 2) · - 3 на - 2 · - 3 , так как − 2 и − 3 – это два отрицательных числа. Мы можем провести предварительные действия: использовать правило умножения отрицательных чисел и перейти от корня (- 2) · - 3 к 2 · 3 .
Переходить от корня - 8 3 к корню восемнадцатой степени, который мы проводили в одном из предыдущих примеров, неправильно делать так: - 8 3 = (- 8) 6 18 . Лучше провести вычисления следующим образом: - 8 3 = - 8 3 = - 8 6 18 .
Подведем промежуточные итоги:
Определение 1
Преобразование выражений с использованием свойств корней предполагает:
- выбор подходящего свойства из списка;
- учет имеющихся у подходящего свойства ограничений, уход от этих ограничений путем проведения промежуточных преобразований;
- проведение преобразований, требующихся по условию задачи.
Преобразование выражений с переменными под знаками корней
Иррациональные выражения, которые содержат под знаком корня числа и переменные, также можно преобразовывать, используя свойства корней. Однако делать это надо аккуратно, соблюдая все оговоренные условия для того, чтобы не допустить ошибок в вычислениях.
Например, используя формулу a · b = a · b , выражение x · x + 1 можно записать как x · x + 1 лишь в том случае, если значения x удовлетворяют условиям x ≥ 0 и x + 1 ≥ 0 , так как указанная формула задана для a ≥ 0 и b ≥ 0 .
Что будет, если не уделять условиям должного внимания? Продемонстрируем на примере: нам нужно вычислить значение выражения x · (x + 1) при x = − 2 . Подставив в выражение значение переменной, получим (- 2) · - 2 + 1 = 2 . Это правильная последовательность действий. А теперь представим, что мы поторопились применить свойства корней и привели выражение к виду x · x + 1 . Подставив значение переменной, получаем выражение, которое не имеет смысла - 2 · - 2 + 1 .
Переход от выражения x · (x + 1) к выражению x · x + 1 приводит к изменениям области допустимых значений переменной x (ОДЗ). ОДЗ можно использовать как инструмент контроля допустимости проведенных преобразований. Если ОДЗ после проделанных переходов изменилась, то это должно настораживать.
Найти ОДЗ просто. Для выражения x · (x + 1) определить ОДЗ можно из неравенства x · (x + 1) ≥ 0 . Решение неравенства дает нам числовое множество (− ∞ , − 1 ] ∪ [ 0 , + ∞) . Определить ОДЗ для выражения x · (x + 1) можно через систему неравенств x ≥ 0 , x + 1 ≥ 0 . Получаем [ 0 , + ∞) . Сравнив полученные ОДЗ мы можем сделать вывод о том, что произошло сужение ОДЗ.
Отсутствие изменения ОДЗ не является гарантом правильности полученного решения. Так, например, мы можем применить свойство a m n · m = a n для проведения замены x - 7 2 6 на x - 7 3 . ОДЗ после преобразований остается неизменной, но сама замена не может проводиться при x − 7 < 0 (x < 7) . Если взять х = 6 , то значение выражения x - 7 2 6 будет равно 1 , а значение выражения x - 7 2 6 будет равно - 1 . Причиной появления ошибки стало невнимательное отношение к условиям, при которых свойства корня могут применяться. Для формулы a m n · m = a n обязательным условием является a ≥ 0 .
Почему мы фокусируем ваше внимание на условиях, при которых допустимо применять свойства корней? В основном потому, что большинство школьных примеров область допустиых значений переменных для приведенных выражений такова, что можно пользоваться свойствами корней без ограничений. Эти облегчает усвоение материала, однако одновременно приучает применять свойства корней бездумно, без учета ограничений. Это может подвести на ЕГЭ и прочих серьезных экзаменах, где всегда есть задачи «с подвохом».
Пример 5
Упростите выражения 1) x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 , 2) (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 .
Решение
Определим ОДЗ для переменной x , решив систему x 2 ≥ 0 x - 1 ≥ 0 . Получаем множество [ 1 , + ∞) . Это позволяет нам сделать вывод, что при любом значении переменной x из [ 1 , + ∞) значения выражений x и x − 1 положительные. Мы можем использовать свойства корней без ограничений.
x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x 2 6 · x 10 6 · x - 1 · x - 1 5 = x 2 · x 10 6 · (x - 1) · (x - 1) 5 = = x 12 6 · (x - 1) 6 = x 2 · (x - 1) 3
x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x 3 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x · x 5 3 · (x - 1) · (x - 1) 5 = = x 6 3 · (x - 1) 6 = x 2 · x - 1 3
ОДЗ переменной x для выражения (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 есть множество всех действительных чисел. Для проведения преобразований оптимальным решением могло бы стать использование свойства a m n · m = a n , но оно дано для a ≥ 0 , а не для любого a .
Можем ли мы на базе указанного свойства провести преобразования?
(x + 2) 2 6 · (x +) 5 3 = (x + 2) 2 6 · (x + 2) 10 6 = = (x + 2) 2 · (x + 2) 10 6 = (x + 2) 12 6 = (x + 2) 2
(x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = (x + 2) 2 6 · (x + 2) 10 6 = = (x + 2) · x + 2 5 3 = (x + 2) 6 3 = x + 2 2
При условии x + 2 ≥ 0 , что то же самое x ≥ − 2 , можем. А для остальных x из ОДЗ, то есть, для x < − 2 это может привести к получению неверных результатов.
При x < − 2
, используя определение модуля числа, выражение x + 2
запишем как − | x + 2 |
:
(x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = - x + 2 2 6 · (- x + 2) 5 3 = = (- 1) 2 · x + 2 2 6 · (- 1) 5 · x + 2 5 3 = = x + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 2 6 · x + 2 5 3
Теперь мы можем преобразовать полученное выражение, воспользовавшись свойствами корней, так как значение выражения | x + 2 | неотрицательно при любых x . Получаем:
X + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 2 6 · x + 2 10 6 = = - x + 2 2 · x + 2 10 6 = - x + 2 12 6 - x + 2 2
или
- x + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 3 · x + 2 5 3 = = - x + 2 · x + 2 5 3 = - x + 2 6 3 = - x + 2 2
Раскрываем модуль с учетом того, что преобразования мыв проводили для x < − 2 : - x + 2 2 = - (- (x + 2) 2 = - (- x - 2) 2 .
Ответ:
1) x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = x 2 · (x - 1) 3 , 2) (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = (x + 2) 2 , x ≥ - 2 - (- x - 2) 2 , x < - 2
Пример 6
Упростите иррациональное выражение (x 2 - x - 2) 6 8 , представив его в виде корня четвертой степени.
Решение
ОДЗ переменной x состоит из всех действительных чисел. Используем свойство степени a m · n = (a m) n для того, чтобы записать выражение в виде ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 . Теперь мы можем продолжить преобразования, используя свойство корня a m n · m = a n , которое задано для неотрицательных a . Это значит, что преобразование ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = (x 2 - x - 2) 3 4 имеет место для всех значений переменной x , которые будут удовлетворять условию (x 2 − x − 2) 3 ≥ 0 .
Решим записанное неравенство для того, чтобы найти множество значений переменной x , удовлетворяющих условию. Сначала перейдем к неравенству (x + 1) 3 · (x − 2) 3 ≥ 0 , затем применим метод интервалов и получим х ∈ (− ∞ , − 1 ] ∪ [ 2 , + ∞) .
При остальных x из ОДЗ, то есть, при x ∈ (− 1 , 2) значения выражения (x 2 − x − 2) 3 отрицательны, и само выражение можно представить как − | (x 2 − x − 2) 3 | . Тогда при x ∈ (− 1 , 2) имеем
((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = (- x 2 - x - 2 3 2 4 · 2 = = (- 1) 2 · x 2 - x - 2 3 2 4 · 2 = (x 2 - x - 2) 3 2 4 · 2 = = x 2 - x - 2 3 4 = - (x 2 - x - 2) 3 4
Итак,
(x 2 - x - 2) 6 8 = = (x 2 - x - 2) 3 4 , x ∈ (- ∞ , 1 ] ∪ [ 2 , + ∞) - (x 2 - x - 2) 3 4 , x ∈ - 1 , 2
Можно записать полученные результаты, записав их при помощи модуля: (x 2 - x - 2) 6 8 = (x 2 - x - 2) 3 4 . Теперь, используя свойства модуля, можно переписать последнее выражение: (x 2 - x - 2) 3 4 .
Ответ: (x 2 - x - 2) 6 8 = (x 2 - x - 2) 3 4
Использование модуля делает процесс вычислений достаточно трудоемким. Упростить процесс преобразований можно следующим образом: взять за основу свойства корней, предположить, что числа a и b могут принимать любые значение, не обязательно те, что удовлетворяют условиям задачи и провести рассуждения по аналогии с теми, которые провели мы в решении последней задачи. Полученные результаты позволят нам проводить вычисления намного быстрее.
Вспомогательные результаты
Оформим вспомогательные результаты в виде таблицы, в которой будет две колонки. Слева будут расположены выражения, которые требуется заменить, справа выражения, которыми можно заменить соответствующие выражения, расположенные в левой колонке. Эти замены можно производить при любых значениях переменных из области допустимых значений. Буквами A и B мы обозначили произвольные числа или выражения корня.
| Выражения, которые заменяем | Выражения, на которые заменяем |
|
A · B n , n - нечетное A · B n , n - четное |
|
| A n · B n , n - любое натуральное | A · B n |
|
A B n , n - нечетное A B n , n - четное |
|
| A n B n , n -любое натуральное | A B n |
|
A n n , n - нечетное A n n , n -четное |
|
|
A , n - нечетное A , n - четное |
A n n A n n , A ≥ 0 * (с м. с н о с к у) - A n n < 0 * с м. с н о с к у |
| A m n , m и n - любые натуральные | A n · m |
| A n · m , m и n - любые натуральные | A m n |
|
A m n · m , m - нечетное n - натуральное A m n · m , m - четное n - натуральное |
|
|
A n , m - нечетное n - натуральное A n , m - четное n - нечетное |
A m n · m A m n · m , A ≥ 0 * (с м. с н о с к у) - A m n · m , A < 0 * (с м. с н о с к у) |
|
A m n , m - нечетное n - натуральное A m n , m - четное n - нечетное |
|
| A n m , m и n - любые натуральные | A m n |
| * A ≥ 0 и A < 0 следует понимать так: для всех значений переменных из ОДЗ для выражения из левой части, при которох значений вырожения A неотрицательны или отрицательны соответственно. | |
Первые результаты этой таблицы можно применить относительно произведений трех, четырех и т.д. множителей, которые находятся под знаком корня. Например, при нечетных n корень A 1 · A 2 · . . . · A k n можно заменить произведением A 1 n · A 2 n · . . . · A k n , а при четных n – произведением A 1 n · A 2 n · . . . · A k n .
Используя данные таблицы корень x · (x + 1) на ОДЗ переменной x сразу можно записать как произведение корней вида x · x + 1 .
Точно также, на ОДЗ переменной x выражение x - 3 x - 5 4 можно записать в виде дроби x - 2 4 x - 5 4 .
Вот еще несколько примеров: x - 2 = (x - 2) 4 4 , x ≥ 2 - (x - 2) 4 4 , x < 2 , 1 - (x 2 - 5) 6 12 = 1 - x 2 - 5 и 5 · x 2 4 = 5 · x 4 2 .
Используя результаты, размещенные в таблице, решим пример последней задачи еще раз:
(x 2 - x - 2) 6 8 = ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = = x 2 - x - 2 3 4 = x 2 - x - 2 3 4
Посмотрим, как мы получили результат так быстро. При нечетных n выражение A · B n на всей ОДЗ переменных можно записать как A n · B n , а при четных n – как A n · B n .
Доказательство 1
Приведем доказательства: при нечетных n для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения A · B n значения выражений A и B таковы, что:
- либо они оба неотрицательны,
- либо первое неотрицательно, а второе отрицательно,
- либо первое отрицательно, а второе неотрицательно,
- либо они оба отрицательны.
Используя свойство корней a · b = a · b , которое верно при a ≥ 0 , b ≥ 0 , мы можем сделать вывод, что A · B n = A n · B n .
Во втором случае мы можем провести следующие преобразования:
A · B n = A · (- B) n = - A · B n = = - A n · B n = - A n · - B n = = - A n · - B n = A n · B n
В третьем случае, аналогично,
A · B n = - A · B n = - A · B n = = - A n · B n = - - A n · B n = = - - A n · B n = A n · B n
И в четвертом случае имеем:
A · B n = - A · - B n = A · B n = = A n · B n = - A n · - B n = = - A n · + B n = A n · B n
Так мы доказали, что при нечетных n на ОДЗ переменных для выражения A · B n это выражение можно заменить на A n · B n .
Докажем справедливость второй части утверждения.
Доказательство 2
При четных n при любом наборе значений переменных из ОДЗ переменных для выражения A · B n значение выражения A · B неотрицательно. Поэтому A · B n можно записать как A · B n , а так как модуль произведения равен произведению модулей, то последнее выражение можно переписать в виде A · B n , откуда в силу свойства корней имеем A n · B n . Что и требовалось доказать.
Для примера возьмем иррациональное выражение x · (x - 1) 3 . Область допустимых значений переменной x для этого выражения является множество всех действительных чисел. Используя утверждение, которое мы доказали выше, мы можем заменить выражение x · (x - 1) 3 выражением x 3 · x - 1 3 на множестве R . Корень (x + 3) · (x - 5) 6 запишем в виде произведения корней x + 3 6 · x - 5 6 на области допустимых значений переменной x для исходного выражения, т.е. на множестве (− ∞ , − 3 ] ∪ [ 5 , + ∞) .
Как еще мы можем удостовериться в правильности полученных результатов?
Доказательство 3
Можно доказать, что при четных m и любых натуральных n на ОДЗ переменных для выражения A m n · m его можно заменить на A n . Для тех значений переменных из ОДЗ, при которых значения выражения A неотрицательны, выражение A m n · m можно переписать в виде A m n · m и дальше в силу свойств модуля как A m n · m . А по свойству корней a m n · m = a n , где a ≥ 0 , имеет место равенство A m n · m = A n .
А для тех значений переменных, при которых значения выражения A отрицательны, выражение A m n · m можно переписать как - A m n · m . Дальше имеют место такие переходы: - A m n · m = - 1 m · A m n · m = A m n · m = A n . Первый из них возможен в силу свойств степени, второй – в силу того, что m – четное, а третий – в силу свойства корней a m n · m = a n , где a ≥ 0 . На этом доказательство завершено.
Аналогично обосновываются и остальные результаты из таблицы.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter